S D NG TÍNH N I U C A HÀM S GI I PH NG TRÌNH – B T PH NG TRÌNH i v i ph ng trình, b t ph ng trình ngồi d ng quen thu c, đơi cịn g p d ng ph c t p mà đ gi i địi h i ph i có nh ng nh n xét đ c bi t D a c s tính đ n u c a hàm s ta có th tìm đ c nghi m ph ng trình, b t ph ng trình nh lí 1: N u hàm s y = f(x) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) liên t c D s nghi m c a ph ng trình D: f(x) = k không nhi u h n m t f(x) = f(y) ch x = y v i m i x,y thu c D Ch ng minh: Gi s ph ng trình f(x) = k có nghi m x = a, t c f(a) = k Do f(x) đ ng bi n nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên ph ng trình f(x) = k vơ nghi m * x < a suy f(x) < f(a) = k nên ph ng trình f(x) = k vơ nghi m V y pt f(x) = k có nhi u nh t m t nghi m Chú ý:* T đ nh lí trên, ta có th áp d ng vào gi i ph ng trình nh sau: Bài toán yêu c u gi i pt: F(x) = Ta th c hi n phép bi n đ i t ng đ ng đ a ph ng trình v d ng f(x) = k ho c f(u) = f(v) ( u = u(x), v = v(x)) ta ch ng minh đ c f(x) hàm đ ng bi n (ngh ch bi n) N u pt: f(x) = k ta tìm m t nghi m, r i ch ng minh nghi m nh t N u pt: f(u) = f(v) ta có u = v gi i ph ng trình ta tìm đ c nghi m * Ta c ng có th áp d ng đ nh lí cho tốn ch ng minh ph ng trình có nh t nghi m nh lí 2: N u hàm s y = f(x) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) hàm s y = g(x) ngh ch bi n (ho c đ ng bi n ) liên t c D s nghi m D c a ph ng trình: f(x) = g(x) khơng nhi u h n m t Ch ng minh: Gi s x = a m t nghi m c a pt: f(x) = g(x), t c f(a) = g(a).Ta gi s f(x) đ ng bi n g(x) ngh ch bi n *N u x > a suy f(x) > f(a) = g(a) > g(x) d n đ n ph ng trình f(x) = g(x) vơ nghi m x > a *N u x < a suy f(x) < f(a) = g(a) < g(x) d n đ n ph ng trình f(x) = g(x) vơ nghi m x < a V y pt f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m Chú ý: Khi g p ph ng trình F(x)=0 ta có th bi n đ i v d ng f(x)=g(x), f(x) g(x) khác tính đ n u Khi ta tìm m t nghi m c a ph ng trình ch ng minh nghi m nh t nh lí 3: N u hàm s y=f(x) đ ng bi n ( ho c ngh ch bi n) liên t c D f(x) > f(y) n u x > y (ho c x < y ) Áp d ng k t qu ta có th gi i ph ng trình, b t ph ng trình Sau m t s ví d : Hoàng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn Ví d 1:Gi i ph ng trình sau: x x x x x x 3 x x x x x2 x log3 x 3x 2x 4x L i gi i: 1) V i toán n u gi i theo cách bình th ng nh bình ph ng hay đ t n ph s g p nhi u khó kh n Tuy nhiên, n u tinh ý m t chút ta s th y VT m t hàm đ ng bi n x =1 m t nghi m c a ph ng trình nên theo đ nh lí ta có đ c x=1 nghi m nh t V y ta có cách gi i nh sau TX : D x R | x 57 f ( x) x x x , ta có f(x) hàm liên t c D 1 x 0, x D nên hàm s f(x) đ ng bi n f '( x) x x 7x Xét hàm s M t khác, ta th y f(1) = *N u x > suy f(x) > f(1) = nên ph ng trình vơ nghi m *N u x < suy f(x) < f(1) = nên ph ng trình vơ nghi m V y x=1 nghi m nh t c a ph ng trình cho Chú ý:* Vì hàm s y = ax + b v i a > m t hàm đ ng bi n n u f(x) hàm đ ng bi n hàm n f ( x) ( v i u ki n c n th c t n t i) c ng m t hàm đ ng bi n nên ta d dàng nh n VT c a ph ng trình hàm đ ng bi n * Khi d đoán nghi m ta u tiên nh ng giá tr c a x cho bi u th c d i d u c n nh n giá tr s ph ng 2) V i tốn c ng v y n u dùng phép bi n đ i t ng đ ng hay đ t n ph s g p khó kh n theo ý ta c ng d dàng nh n th y VT c a ph ng trình m t hàm đ ng bi n ph ng trình có nghi m x=1 Do ph ng trình có nghi m nh t x=1 (Cách gi i t ng t nh 1) 3) V i đ ng l i nh hai ta khó kh n đ gi i quy t đ c tốn Tuy nhiên n u nhìn k ta th y bi u th c d i d u c n hai v có chung m t m i liên h x+2=(x+1)+1 2x2+1=(2x2)+1, v y n u đ t u x 1, v x ph ng trình cho tr thành: u u v v f (u ) f (v) f (t ) t t m t hàm liên t c có f '(t ) t2 (t 1) đ ng bi n Do f (u ) f (v) u v x x x 1, x Hoàng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn nên f(t) V y, ph ng trình có nghi m x = 1, x = 4) Nh n xét bi u th c tham gia ph ng trình ta th y ( 2x2+4x +5) – (x2 + x +3 ) = x2 +3x +2 Do v y, n u đ t u = x2 + x +3 , v = 2x2 + 4x + (u,v > 0) v- u = x2 + 3x + 2, ph ng trình tr thành: u log3 v u log u u log3 v v f (u ) f (v) v f (t ) log3 t t ,v i t > Ta th y f(t) hàm liên t c đ ng bi n, v y f (u ) f (v) u v x x x 1, x 2 Ví d 2: Gi i ph ng trình sau: 1.3x + 4x = 5x (1) x x x (2) ( 2) ( 2) ( 5) x x + 2(x-2)3 + 2x – = (3) L i gi i: 1) V i ph ng trình r t khó đ ta s d ng ph ng pháp gi i ph ng trình m đ gi i Tuy nhiên v i ph ng trình (1) ta d dàng đốn đ c m t nghi m c a ph ng trình x =2 Ta ch ng minh x = nghi m nh t cúa ph ng trình Th t v y, ph Vì hàm s x x x ng trình (1) 5 5 m v i c s d ng nh h n hàm ngh ch bi n nên x 4 3 f ( x) hàm s ngh ch bi n, v ph i hàm h ng 5 5 Do nghi m x = nghi m nh t 2) Tuy nhiên, v i pt (2) khơng d đ ta đoán đ nghi m ta đ ý r ng 3 Do v y, x > ta có 3 3 Khi x < ta có 3 c nghi m c a pt (2) vơ pt khơng có nghi m x>0 2 2 5 pt khơng có nghi m x < 2 x x x x x x V i x = 0, rõ ràng không th a mãn V y pt (2) vô nghi m T hai ph ng trình ta có th t ng qt: Cho ph ng trình ax + bx = cx (*), v i a,b,c đ u d ng Khi đó: N u a < b < c ho c a > b > c pt (*) có nghi m nh t N u a < c < b pt (*) vơ nghi m Hồng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn 3) t 3x = t > 0, ph ng trình tr thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x – = t x t 1, lo¹i V i t = – 2x ta có 3x = – 2x Nh n th y x = m t nghi m c a ph ng trình V trái hàm s đ ng bi n v ph i hàm ngh ch bi n Do x = nghi m nh t Ví d 3: Ch ng minh r ng ph ng trình: x5 – x2 -2x -1 = ln có nghi m nh t L i gi i: ch ng minh ph ng trình f(x) = có nghi m nh t D ta có th ti n hành theo cách sau: ch ng minh u * Ch ng minh ph ng trình f(x) = ln có nghi m: ta c n ch ng ch ng minh f(x) liên t c D t n t i hai s a, b cho f(a).f(b) < * Ti p theo ta ch ng minh f(x) hàm đ ng bi n ho c ngh ch bi n Tr l i toán: Xét hàm s f(x) = x5 – x2 -2x -1 Ta có f(x) hàm liên t c R f(0).f(2) < 0, d n đ n pt f(x) = ln có nghi m Gi s x0 nghi m c a ph ng trình f(x)=0, x05 x0 x0 ( x0 1)2 T ta suy đ c x0 x0 ( x0 1) Do v y ta ch c n kh o sát f(x) v i x Ta có f’(x) = 5x4 - 2x - = 2x(x3-1)+ 2(x2 – 1) + x4 > nên f(x) hàm đ ng bi n V y ph ng trình cho ln có nghi m nh t Chú ý: * N u kh o sát hàm f(x) khơng th có đ c f(x) hàm đ ng bi n,do v y ta c n h n ch mi n xác đ nh c a x i u ta có đ c nh vào b n thân c a ph ng trình * ch ng minh ph ng trình f(x)=0 có nghi m nh t D ta cịn có cách khác kh o sát hàm f(x) D, l p b ng biên thiên t b ng bi n thiên ta suy đ c đ th c a hàm f(x) ch c t Ox t i m t m Qua toán ta th y vi c ng d ng tính đ n u vào gi i m t s d ng toán v ph ng trình t hi u qu cho l i gi i ng n g n Thông qua ví d hi vong em có thêm nh ng k n ng gi i ph ng trình nh n d ng đ c nh ng d ng ph ng trình có th dùng đ ng bi n, ngh ch bi n Bây gi ta xét m t s toán v B t Ph Ví d : Gi i b t ph ng trình sau: 1) 3 x 2) ng trình 2x 2x 1 x x x x 11 x x 3) x3 3x x 16 x 4) log x log (2 x ) Hoàng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn L i gi i: 1) K: x 2 2x 2x 1 Ta d dàng ch ng minh đ c f(x) hàm ngh ch bi n f(1) = Do f ( x) f (1) x Xét hàm s f ( x) 3 x K t h p v i u ki n ta có nghi m c a bpt là: T = [1; ] 2) K : x B t ph ng trình t ng đ ng: x x x x x 11 x ( x 1) x (3 x) x Xét hàm s f ( x) x x D dàng ch ng t đ c hàm s đ ng bi n [1;3] Khi b t ph ng trình cho t ng đ ng v i f(x - 1) > f(3 - x) x – > – x x>2 V y nghi m c a b t ph ng trình là: x 3) K: 2 x Xét hàm s f ( x) x3 3x x 16 x Ta có f '( x ) 3( x x 1) x x x 16 , f(x) hàm đ ng bi n 4 x M t khác: f(1) =2 Do v y bpt f(x) < = f(1) x < K t h p u ki n ta có nghi m c a Bpt 2 x 4) K: x > t log x t x 7t B t ph ng trình cho tr thành t log3 (2 7t ) 3t 7t t t 1 f (t ) Do f(t) hàm ngh ch bi n R , f(2) = Nên b t ph ng trình f(t) < f(2) t >2 hay log7 x x > 49 Bài t p: Bài 1: Gi i ph ng trình sau: 1) x x x x 16 14 2) 3x 2x 2 x 3) x x Hoàng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn 4) x x x x 5) x x x x x x 6) 8x + 18x = 2.27x 7) 2 x x x 1 ( x 1) 8) 25x 2(3 x)5x x 9)lg (x2 – x – 6) +x = lg (x +2) + 10) log (1 x ) log7 x Bài 2: Gi i b t ph ng trình sau 1) x x 2) x x x x 35 x 3) x 2 x 13 32 x x 4) 0 4x 5) log x log3 x Hoàng Ti n Ng c - Tr ng THPT S B Tr ch DeThiMau.vn ... ng trình vơ nghi m V y x=1 nghi m nh t c a ph ng trình cho Chú ý:* Vì hàm s y = ax + b v i a > m t hàm đ ng bi n n u f(x) hàm đ ng bi n hàm n f ( x) ( v i u ki n c n th c t n t i) c ng m t hàm. .. t > 0, ph ng trình tr thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x – = t x t 1, lo¹i V i t = – 2x ta có 3x = – 2x Nh n th y x = m t nghi m c a ph ng trình V trái hàm s đ ng bi n v ph i hàm ngh ch bi... x) x Xét hàm s f ( x) x x D dàng ch ng t đ c hàm s đ ng bi n [1;3] Khi b t ph ng trình cho t ng đ ng v i f(x - 1) > f(3 - x) x – > – x x>2 V y nghi m c a b t ph ng trình là: x