Tính đơn điệu của hàm số Lý thuyết và bài tập52688

Ngày 22/8/2012 GV soạn : Đinh Quang Đạo -tính đơn điệu hàm số I.Tính đơn điệu hàm số : 1.Kiến thức bản: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm tập D Nếu f '( x) hàm số y f ( x) ®ång biÕn NÕu f '( x)  hàm số y f ( x) nghịch biến 2.Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn ®iƯu cđa hµm sè: x  3x  a) y  f ( x)  ; b) y  f ( x)  x  x x Giải: a)Tập xác định : D  ฀ \ 1 x2  x  Ta cã y '  ; ( x  1)  x  1 y '   x2  x   ; y ' không xác định x ; x Bảng biến thiên x - -1 y' + + - - + + -5 + y - - Suy hàm số đồng biến khoảng (; 1) (3; ) ; hàm số nghịch biến khoảng (1;1) (1;3) b)Tập xác định : D  ฀ x 1 Ta cã y '  ; x  3x  y '   x    x  ; Bảng biến thiên x y' + -1 - - + + + y Suy hµm số đồng biến khoảng (1; ) ; hàm số nghịch biến khoảng (; 1) Ví dụ 2: Chøng minh hµm sè   a) y  f ( x)  2sin x  tan x  x đồng biến 0; ; x  6x b) y  f ( x)  ®ång biÕn trªn (0;  ) ; sin x DeThiMau.vn   c) y  f ( x)  tan x.sin x x3 đồng biến 0;  ;  2 x x d) y  f ( x)    x  sin x đồng biến [0; ) 120 Giải: a)Hàm số có đạo hàm 0;  2 Ta cã y '  f '( x)  cos x  3; cos x 1      cos x  cos x   3, x  0;  nªn suy y '  0, x  0;  V× cos x  2 cos x cos x  2  2   KÕt luËn: Hàm số đà cho đồng biến 0; b)Hàm số có đạo hàm (0; ) (3 x  6) sin x  ( x3  x) cos x ; sin x XÐt hµm sè g ( x)  (3 x  6) sin x  ( x3  x) cos x trªn  0;   , ta thÊy: Ta cã y '  f '( x)  g '( x)  x3 sin x  , x   0;   ( g '( x)  x  ) Suy g ( x) đông biến 0; Do ®ã g ( x)  g (0) , x   0;   hay g ( x)  , x   0;   ( g ( x)  x  ) Suy f '( x)  0, x  (0;  ) Kết luận: Hàm số đà cho đồng biến (0; ) c)Hàm số có đạo hàm 0; 2 Ta cã y '  f '( x)  tan x  2sin x  x ; 2sin x y ''  f ''( x)   2sin x  x ; cos3 x cos x  6sin x.cos x  cos x  y '''  f '''( x)  cos x 8cos x  10 cos x  cos x   cos x 2(cos x  1) (4 cos x  3)     0, x  0;  cos x  2   Suy y ''  f ''( x) đồng biến 0;  f ''( x)  f ''(0), x  0;   2   hay f ''( x)  0, x  0;  ( f ''( x)  x  )  2   Suy y '  f '( x) ®ång biÕn trªn 0;   2    f '( x)  f '(0), x  0;   2   hay f '( x)  0, x  0;  ( f '( x)  x  )  2 DeThiMau.vn   KÕt luận: Hàm số đà cho đồng biến 0; d) Hàm số có đạo hàm  0;   x4 x2    cos x ; 24 x3 y ''  f ''( x)   x  sin x ; x2 y '''  f '''( x)   cos x ; (4) (4) y  f ( x)  x  sin x ; Ta cã y '  f '( x)    y (5)  f (5) ( x)   cos x  , x  0;  ( f (5) ( x)  x  )  2   Suy y (4)  f (4) ( x) đồng biến 0;   f (4) ( x)  f (4) (0), x  0;   2   hay f (4) ( x)  0, x  0;  ( f (4) ( x)  x  )  2   Suy y '''  f '''( x) đồng biến 0;    f '''( x)  f '''(0), x  0;   2   hay f '''( x)  0, x  0;  ( f '''( x)  x  )  2   Suy y ''  f ''( x) ®ång biÕn trªn 0;   2    f ''( x)  f ''(0), x  0;   2   hay f ''( x)  0, x  0;  ( f ''( x)  x  )  2   Suy y ' f '( x) đồng biến 0;   2    f '( x)  f '(0), x  0;   2   hay f '( x)  0, x  0;  ( f '( x)  x  )  2   KÕt luËn: Hµm sè ®· cho ®ång biÕn trªn 0;   2 Ví dụ 3: Xác định m để hàm số a) y  f ( x)  x3  x 3mx đồng biến khoảng (2; ) b) y  x3  x 3mx nghịch biến khoảng (0;3) Giải: a)Tập xác định hàm số Ta cã y '  f '( x)  x  x  3m , (   36  36m ) +Víi    m  th× f '( x)  0, x Suy hàm số đồng biến ฀ + Víi    m  th× f '( x)  0, x  (; x1 )  ( x2 ; ) ( x1  x2 ) vµ f '( x)  0, x  ( x1 ; x2 ) DeThiMau.vn (víi x1 , x2 hai nghiệm phương trình f '( x) ) Suy hàm số đồng biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; ) , hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) Khi đó: Để hàm số đồng biến khoảng (2; ) x2 ( x1  x2  )  m  m      f '(2)   3m    m  x  x 1    2  KÕt luËn: víi m  hàm số đà cho đồng biến khoảng (2; ) b)Tập xác định hàm số ฀ Ta cã y '  f '( x)  x  x  3m , (   36  36m ) +Víi    m  th× f '( x)  0, x Suy hàm số đồng biÕn trªn ฀ + Víi    m  th× f '( x)  0, x  (; x1 )  ( x2 ; ) ( x1  x2 ) vµ f '( x)  0, x  ( x1 ; x2 ) (víi x1 , x2 hai nghiệm phương trình f '( x) ) Suy hàm số đồng biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; ) , hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) Khi đó: Để hàm số nghịch biến khoảng (0;3) x1 0;3 x2 m  m      f '(0)   3m   m  3  f '(3)  9  3m    KÕt luËn: víi m  hàm số đà cho nghịch biến khoảng (0;3) Bài tập: Câu 1.Tìm khoảng đơn điệu cđa hµm sè x  3x  a) y  f ( x)  ; b) y  f ( x)  x   x  x  23 x x Câu 2.Chứng minh hàm số a) y  f ( x)  16 x  24 x   x nghịch biến 0; ;   b) y  f ( x)  sin x tan x x đồng biến 0;  ;  2 c) y  f ( x)  x  x  x đồng biến [1; ) ; x3 d) y  f ( x)   x  sin x đồng biến [0; ) Câu 3.Xách định m để hàm số x x  m a) y  f ( x) nghịch biến ( ; ) (ĐH Nông nghiệp-2001B) 2x 1 b) y  x  3(m  1) x  3m(m  2) x  đồng biến 1; (ĐH Dược HN-2001) II.ứng dụng tính đơn điệu: (8 tiết) 1.Giải phương trình: a)Dạng I: Giải phương trình f ( x) Xét hàm số f ( x) tập D Trên khoảng (nửa khoảng, đoạn ) K D ta có NÕu f (a )  th× x  a nghiệm phương trình đà cho Và hàm số f ( x) đơn điệu x a nghiệm Chú ý : Những phương trình nhẩm nghiệm DeThiMau.vn Ví dụ 1: Giải phương trình x x x   x  16  14 Gi¶i: Với điều kiện x Xét hàm số f ( x)  x  x   x   x  16  14 trªn [5; ) Ta cã f (9)  Suy x nghiệm phương trình đà cho 1 1  0, x  (5; ) Vµ f '( x)  x x  x  x  16 Suy hµm sè f (x) đồng biến (5; ) f (5)  VËy x  lµ nghiƯm phương trình Ví dụ 2: (HSG12-NA :2010-2011) Giải phương trình: x x  x  x  Gi¶i: Víi ®iỊu kiƯn   x  XÐt hµm sè f ( x)  x  x  x    x  khoảng [1; 2] Ta có f (0)  vµ f (1)  Suy x=0 x=1 hai nghiệm phương trình 1  Vµ f ' ( x)  x   ; x 1 2  x f ' ( x)   2(2 x  1) ( x  1)(2  x)   x  x    2[( x    x ) ( x  1)(2  x)  1]( x    x )   ( x 1   x)   x Bảng biến thiên x f'(x) -1 2 - + f(x) 1 Suy hàm số f (x) nghịch biến khoảng (1; ) ; đồng biến ( ; 2) ; 2 f (1)  0, f (2)  Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 x=1 b)Dạng II: Giải phương trình f (u )  f (v) (víi u  u ( x), v  v( x) ) XÐt hµm sè f (t ) tập D (khoảng ,nửa khoảng, đoạn ) Nếu hàm số f (t ) đơn điệu f (u )  f (v)  u  v VÝ dụ 3: Giải phương trình x x  (5  x)  x  x Giải: Với điều kiƯn x  XÐt hµm sè f (t )  t  2t trªn [0; ] 5 Ta cã f '(t )  3t   0, t  [0; ] Suy hàm số f (t ) đồng biến trªn [0; ] 3 29  Suy f ( x)  f (  x )  x   x  x   x  x  29 Vậy nghiệm phương trình x Chú ý: Đối với tập dạng ta cần phải xác định biểu thức u, v điều kiện 2.Giải bất phương trình: DeThiMau.vn Ví dụ 1: Giải bất phương tr×nh x  x   x  x  11   x x Giải: Với điều kiện  x  Ta cã x  x   x  x  11   x  x   ( x  1)   x   (3  x)    x XÐt hµm sè f (t )  t   t ,víi t  , ta cã f ' (t )  t t 2  t  Suy hµm số f (t ) đồng biến (0;) Suy f ( x  1)  f (3  x)  x    x  x Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình 2;3 Ví dụ 2: Giải bất phương trình x  x   Gi¶i: Víi ®iỊu kiƯn x   3 XÐt hµm sè f ( x)  x   x  , víi x   Ta cã f ( )   2 1 Víi x   , ta cã f ' ( x)    2 x5 2x  3 Suy hàm số f (x) đồng biến khoảng ( ;) vµ f (11)  Suy f ( x)  f (11)  x  11 Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình ;11   y  x2  x 1  x2  x 1 x t XÐt hµm sè h(t )  3 2 (  x)  t  4 1 Ta có hàm số h(t ) đồng biÕn trªn R Suy h( x  )  h(  x)  x  2 Suy y '   x  Vµ y '   x  ; y '   x  VËy hàm số đồng biến khoảng (0;) , nghịch biến khoảng (;0) 3.Giải hệ phương trình: (4 x  1) x  ( y  3)  y  VÝ dơ 1: Gi¶i hƯ phương trình (ĐH2010A) x y   x  VÝ dô 3: Xét tính đơn điệu hàm số x Gi¶i: Ta cã y '   (x  )  ,y 2 Ta cã (4 x  1) x  ( y  3)  y   (2 x)  x  (  y )   y Giải: Với điều kiện x Xét hµm sè f (t )  t  t Ta cã f ' (t )  3t   Suy hµm sè f (t ) đồng biến R x Suy f (2 x)  f (  y )  x   y Thay vào phương trình  y   x x  y   x  ta 16 x 24 x   x    3 XÐt hµm sè h( x)  16 x  24 x   x  3, x  0;  Ta cã h( )   4 DeThiMau.vn 16  3 Víi x  0;  , ta cã h' ( x)  16 x(4 x  3)   Suy hµm số h(x) nghịch biến đoạn 4x 4  3 0;  vµ h( )  1 Suy h( x)  h( )  x  2  x  Suy  lµ nghiƯm cđa hệ phương trình y x  x  x   y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  y  y  y x Giải: Xét hàm số f (t )  t  2t  3t  Ta cã f ' (t )  3t  4t   0, t  R Suy hµm sè f (t ) ®ång biÕn trªn R Do ®ã:  f ( x)  y NÕu x  y th× f (x)  f ( y ) Mµ  Suy y  x  y  x : Mâu thuẩn với giả thiết f ( y)  x NÕu x  y th× f (x)  f ( y ) Suy y  x  y  x : M©u thuÈn víi gi¶ thiÕt Suy x  y  x  x  x   y x  2x  x   Hay  VËy nghiệm hệ phương trình y  y  y   x x  y (2;2), (1;1), (-1;-1)  x   y  VÝ dô 3: Giải hệ phương trình y x Giải: Với điều kiện x, y  0;2 Ta cã  x   x  y   y HÖ PT    y   x  XÐt hµm sè f (t )  t   t , t  0;2 Víi t  (0;2) ta cã f ' (t )  t  2t  Suy hàm số f (t ) đồng biến khoảng (0;2) Mµ víi x=0 suy y=0 Víi x=2 suy y=2 Suy f ( x)  f ( y )  x  y  x   x  y   y  x  2 x  x  y  Suy  hc     y   x  y  x  x  y  x   y   x VÝ dô 4: Giải hệ phương trình ( x 1) y Giải: Với điều kiện x 1, y  Ta cã  x   ( x  1)   x  x  x  x   x   HÖ PT     y  ( x  1) ( x  1)  y Víi x=1, y=0 nghiệm hệ phương trình XÐt hµm sè f ( x)  x  x  x   x  , víi x  Ta cã f '( x)  x  x    x 1 Suy hàm số f (x) đồng biến khoảng (1;) f (2)  Suy f ( x)   x  VËy nghiƯm cđa hệ phương trình (2;1) DeThiMau.vn 4.Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 1: Cho x số thực tháa m·n  x  sin x  tan x  x   Chøng minh : Giải: Xét hàm số f ( x)  sin x  tan x  x , víi x  0;   2 1 Ta cã f ' ( x)  cos x    (v× cos x  cos x nªn cos x   cos x   2) 2 cos x cos x cos x   Suy hµm số f (x) đồng biến nửa khoảng 0;  2 Suy f ( x)  f (0) hay sin x  tan x  x  VÝ dơ 2: Cho x, y lµ c¸c sè thùc tháa m·n  x  y   Chøng minh r»ng x sin x  y sin y  2(cos y  cos x) Gi¶i: Ta cã x sin x  y sin y  2(cos y  cos x)  x sin x  cos x  y sin y  cos y XÐt hµm sè f (t )  t sin t  cos t , víi  t   Ta cã f ' (t )  t cos t  sin t   Suy hµm sè f (t ) nghịch biến khoảng (0; ) Do ®ã víi  x  y   , suy f ( x)  f ( y ) hay x sin x  cos x  y sin y  cos y Bµi tËp : Câu 4.Giải phương trình sau : a) x   x   ;(HVNH2001D) c) 16 x  24 x   x   0( x 0) ; Câu 5.Giải phương trình sau: a) x   2 x   x  x  ; c) x  x  16  x 77 x 36 ; Câu 6.Giải phương trình sau: a) x x   x   (§H2006D); b) x   x   ; d) x3  x  x   x   ; b) x  13  x    x  x  16 d) x   x  x   x c) (4 x  2)(1  x  x  1)  x(2  x  )  ; b) x   (2 x  5)  x  ; d) x  x    x ; e) x  x   x  x  11   x  x  ; f) 3 x   x  36 x  53 x  25 ; g) x x  x  23  (4  x) x  ; h) x   x  x  ; i)  x  x   x   ; l) x    x  x   ; n) 2( x  2)  k) x  12 x   x  ; m) ( x  1)  33 x    x   2x   3x  (HSG12-NA:2011); H­íng dÉn: n)XÐt hµm sè f (x)  x   2x   3x  5  với x thuộc  ;   2x  Câu 7.Giải phương trình sau: a) (sin x  2)(sin x  sin x  1)  3 3sin x   ; b) 2sin x  12 cos x  30sin x  3 3sin x   22 Câu a)Chứng minh phương trình sau cã ®óng mét nghiƯm x  x  x   b)Chøng minh phương trình x x x có nghiệm nghiệm nhận giá trị dương DeThiMau.vn Hướng dÉn: b)Ta cã x  x  x    x  (2 x  1)  x  XÐt hµm sè f ( x)  x  x  x  1, x  Ta cã f ' ( x)  x  x  , f ' ' ( x)  20 x   0, x   f ' ( x) ®ång biến 1; Mà f ' (1) 7 vµ lim f ( x)   Suy f ' ( x)  cã ®óng mét nghiệm x0 1; x Bảng biÕn thiªn x x0 y' - + + -7 + y f(x0 ) Dựa vào bảng biến thiên suy f ( x)  cã nhÊt nghiệm nghiệm nhận giá trị dương Câu 9.Cho a, b, c số thực dương thỏa m·n a>b>c Chøng minh r»ng x  a  x  b  x  c cã nhÊt nghiÖm H­íng dÉn: xa xb xa xb pt     XÐt hµm sè f ( x)    1, x  a xc xc xc xc Ta có hàm số f (x) đồng biến a; Mà f (a ) Suy f ( x)  cã nghiÖm nhÊt Câu 9.1 Chứng minh phương trình Câu 10 Gii bt phương tr×nh: a) x  3x   x  2 ab   vµ lim f ( x)  ac x   x   x   x  cã nhÊt nghiÖm  6x   x  ฀  (HSG12-NA:2011); b) x   x  x   x (ĐH2012B) Câu 11.Xét tính đơn điệu hµm sè y   x  x  21   x  x  10 (ĐH2010D) Câu 12.Giải hệ phương trình: y  y  x  x  x  a)  (HSG TØnh NA2010A)   x  y   y   x  3x  x   y  x   2( x  x  y )  b)  y  y  y   z ; c)  ;  y y y x   (   )  z  3z  z   x    x3  x  x  22  y  y  y  d)  ; (§H2012A) x  y  x  y   (17  x)  x  (3 y  14)  y  e)  2 x  y   3 x  y  11  x  x  13  x  xy y 10 y Câu 13.Giải hệ phương trình: x y (HSG Bình Định 2009-2010) H­íng dÉn: DeThiMau.vn  x  x x  x  xy  y  y     y  y y  y y y        x   y     4x   y    x   y     x    x  y x  y y      x   x   x   x    y  1 C©u 14.Giải hệ phương trình: x y  y    y  ( x  1)  x (2  y )   a) 2 y  z  z   ; b)  ; c)   x( y  2)   x   y   x 2 z  x  x    H­íng dÉn: a)XÐt hµm sè f (t )   2t  3t  27(2  y ) 81(8 y  y  2) c)XÐt hµm sè f ( y )   ; ; ' ( )   f y ( y  2) ( y  2) 10 Trªn (; ), f ( y )  cã nhÊt nghiƯm y=-1; Trªn (3 ;), f ( y )  cã nhÊt nghiÖm y=2  f ( x; y )  Giải hệ phương trình dạng: , f(x;y) đẳng cấp x y g ( x; y ) Câu 15 Giải hệ phương trình: x x x  xy  y 2 x  x y  xy  y  a)  ; b)  ;  xy  x  y    x  y  y   x  y  2 x  x x  xy  y c)  2  xy  ( x  y )   x cot x  cot y  x  y d)Tìm số (x;y) thuộc khoảng (0;  ) thỏa mãn  5 x y Câu 16.Cho x số thùc tháa m·n  x   Chøng minh r»ng sin x  tan x  x Câu 17.Cho x số thùc tháa m·n  x Chøng minh r»ng : x3 x3 x5 a)  x  sin x  ; b) sin x  x  6 120 Câu 18.Cho x, y sè thùc tháa m·n  x  y   Chøng minh r»ng x tan y  y tan x Câu 19.Cho số thùc x, y tháa m·n  x  y   Chøng minh r»ng ( x  x) sin y  ( y  y ) sin x (HSG TØnh NA 2006) H­íng dÉn: Ta cã ( x  x) sin y  ( y  y ) sin x  x3  6x y  y  sin x sin y t  6t (3 x  6) sin t  (t  6t ) cos t , víi  t   , ta cã : f ' (t )  sin t sin t XÐt hµm sè g (t )  (3t  6) sin t  (t  6t ) cos t , víi  t   g ' (t )  t sin t  Suy hàm số g (t ) đồng biến g (0)  Suy g (t )  XÐt hµm sè f (t )  DeThiMau.vn 10 Suy f ' (t )  Suy hàm số f (t ) đồng biến khoảng (0;  ) Mµ  x  y   Suy f ( x)  f ( y ) hay x3  6x y  y  sin x sin y C©u 20.(HSG NA-2007)   sin x  Cho x lµ sè thùc tháa m·n  x  Chøng minh r»ng :    cos x  x    H­íng dÉn: XÐt hµm sè f ( x)  tan x.sin x  x3 trªn 0;  ;  2 DeThiMau.vn 11 ... víi m  3 hàm số đà cho nghịch biến khoảng (0;3) Bài tập: Câu 1.Tìm khoảng đơn điệu hµm sè x  3x  a) y  f ( x)  ; b) y  f ( x)  x   x  x  23 x  x Câu 2.Chứng minh hàm số a) y ... Giải phương trình f ( x) Xét hàm số f ( x) tập D Trên khoảng (nửa khoảng, đoạn ) K D ta có Nếu f (a ) x a nghiệm phương trình đà cho Và hàm số f ( x) đơn điệu x a nghiệm Chú ý : Những phương... x1 , x2 hai nghiệm phương trình f '( x) ) Suy hàm số đồng biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; ) , hàm số nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) Khi đó: Để hàm số nghịch biến khoảng (0;3) x1 0;3 x2 m  m