ðồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính ñơn ñiệu trong việc chứng minh bất ñẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.. TÓM TẮT GIÁO KHOAI[r]
(1)Bài 1: TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Số tiết: tiết
Trong ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính đơn điệu (tức tính đồng biến nghịch biến) hàm số ðồng thời xét ứng dụng tính đơn điệu việc chứng minh bất ñẳng thức, giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình
A TĨM TẮT GIÁO KHOA
Giả sử K khoảng, ñoạn khoảng f hàm số xác ñịnh K I) ðỊNH NGHĨA
• Hàm số f ñược gọi ñồng biến (tăng) K ∀x , x1 2∈K, x1<x2⇒f x( )1 <f x( )2
• Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K ∀x , x1 2∈K, x1<x2 ⇒f x( )1 >f x( )2
Minh họa:
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -0.5
0.5 1.5 2.5
x y
K=(-1;0) K=(1/2;1) y=f(x)=x4-2x2+2
• Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải
• Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải
• Hàm số đồng biến hay nghịch biến K ñược gọi chung hàm số ñơn ñiệu K II) CÁC ðỊNH LÝ
1) ðịnh lý 1: Cho hàm số y=f (x) có đạo hàm K
a) Nếu hàm số f (x) ñồng biến K f '(x)≥0 với x∈K b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến K f '(x)≤0 với x∈K 2) ðịnh lý 2: Cho hàm số y=f (x) có đạo hàm K
a) Nếu f ' x( )>0 với x∈Kthì hàm số f (x) ñồng biến K b) Nếu f ' x( )<0 với x∈Kthì hàm số f (x) nghịch biến K c) Nếu f ' x( )=0 với x∈Kthì hàm số f (x) khơng đổi K
Chú ý quan trọng:
Khoảng K định lý thay ñoạn khoảng Khi ñó phải bổ sung giả thiết
"Hàm số liên tục ñoạn khoảng đó" Cụ thể
• Nếu hàm số liên tục đọan [ ]a; b có đạo hàm f '(x)>0 khoảng ( )a; b hàm số f ñồng biến ñọan [ ]a; b
(2)3) ðịnh lý 3: (ðịnh lý mở rộng) Cho hàm số y=f (x) có đạo hàm K
a) Nếu f ' x( )≥0 với x∈Kvà f ' x( )=0 số ñiểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) ñồng biến K
b) Nếu f ' x( )≤0 với x∈Kvà f ' x( )=0 số điểm hữu hạn thuộc K hàm số f (x) nghịch biến K
Tính đơn ñiệu hàm số bậc ba
4) ðịnh lý 4: Cho hàm số bậc ba ( ) ( )
y=f x =ax +bx +cx+d a≠0 , ta có ( )
f ' x =3ax +2bx+c a) Hàm số y=f x( )=ax3+bx2+cx+d a( ≠0) ñồng biến ℝ ⇔ f ' x( )=3ax2+2bx+ ≥c x∀ ∈ℝ
b) Hàm số y=f x( )=ax3+bx2+cx+d a( ≠0) nghịch biến ℝ ⇔ f ' x( )=3ax2+2bx+ ≤c x∀ ∈ℝ
B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên hàm số
Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn ñiệu hàm số sau
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
4
2
2
a) y f x x x x b) y f x x 3x 9x 11 x
c) y f x 2x d) y f x x 4x
3x x 2x
e) y f x f ) y f x
x x
= = − − + = = − − + +
= = − + = = − + −
+ + +
= = = =
+ +
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên hàm số sau
2
a) y x x b) y x x
x x
c) y d) y
2
x x
= + − = −
+
= =
+ −
2.Dạng 2: ðịnh tham số ñể hàm số ñơn ñiệu miền K cho trước
Ví dụ 1: Tìm giá trị tham số m ñể hàm số
a) ( ) ( )
y x mx m x 2m
3
= + + + − + ñồng biến ℝ
b) ( ) ( )
y x m x m x
3
= − + − + + − nghịch biến ℝ
Ví dụ 2: Tìm giá trị tham số m cho hàm số f x( )=x3−(m x+ ) 2+(2m x− ) +m2−2 a) ðồng biến ℝ
b) ðồng biến khoảng 3;
+∞
Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số a cho hàm số f x( ) 1x3 1ax2 (2a2 3a x 3a)
3
= − + + + + −
a) Nghịch biến ℝ
(3)II CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO
1.Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất ñẳng thức
a) Ví dụ 1: Chứng minh bất ñẳng thức sau: i) sin x<x với x 0;
2
π ∈
ii)
2 x cos x
2
> − với x 0;
π ∈
b) Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau:
i) 2sin x+tan x >3x với x 0;
π ∈
ii) sin x+tan x>2x với x 0;
π ∈
2.Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Bổ sung tính chất tính đơn điệu
• Tính chất 1: Giả hàm số y=f x( ) ñồng biến (nghịch biến) khoảng ( )a; b u; v∈( )a; b ta có:
( ) ( )
f u =f v ⇔ =u v
• Tính chất 2: Giả hàm số y=f x( ) đồng biến khoảng ( )a; b u; v∈( )a; b ta có:
( ) ( )
f u <f v ⇔ <u v
• Tính chất 3: Giả hàm số y=f x( ) nghịch biến khoảng ( )a; b u; v∈( )a; b ta có: f u( )<f v( )⇔ >u v
• Tính chất 4: Nếu hàm số y=f x( ) ñồng biến ( )a; b y=g x( ) làm hàm hàm
số nghịch biến ( )a; b phương trình f x( )=g x( ) có nhiều nghiệm thuộc khoảng ( )a; b Dựa vào tính chất ta suy ra:
Nếu có x0∈( )a; b cho f x( )0 =g x( )0 phương trình f x( )=g x( ) có nghiệm ( )a; b
a) Ví dụ 1: Giải phương trình x 9+ + 2x+ =4
b) Ví dụ 2: Giải phương trình x cos x
π
− − + =
c) Ví dụ 3: Giải phương trình x2+15 =3x− +2 x2+8
d) Ví dụ 4: Giải bất phương trình x+ −2 x− < 2x−
e) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình {cot x cot y x y 5x 8y
− = −
+ = π với x, y∈(0;π)
f)Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: x y y x
x y
− + − − − = + − =
(4)C BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau
( ) ( )
( ) ( )
3
2
a) y f x x 3x 9x b) y f x x 2x
2x x 2x
c) y f x d) y f x
x x
= = − + + + = = − + +
− − −
= = = =
− −
Bài 2: Lập bảng biến thiên hàm số sau
( )( )
2 a) y x x b) y x x
c) y x x x x
= + − = − + −
= + + − + + −
Bài 3: Cho hàm số y 1(a x) ax2 (3a x)
= − + + − +
Tìm a để hàm số đồng biến ℝ
Bài 4: Tùy theo m xét biến thiên hàm số y=x2(m x− )−m
Bài 5: Giải phương trình sau:
2
3
a) 4x 4x 1 b) sin x cos x 2x
c) 4x 12x cos 3x cos x
− + − = + + − =
+ − − + =
Bài 6: Giải bất phương trình x2+ +x x+ <2 18
Bài 7: Giải hệ phương trình
3 3 2x y y y 2y z z z 2z x x x
+ = + + + = + +
+ = + +
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng:
sin A+sin B sin C+ +tan A+tan B+tan C> π2