TH tat nghiép THPT \ va thi vao ~ Pai hoc Bài tốn về SU TUONG GIAO CUAIDOMHIIHAMISO VGITRUCIHOANH NGUYEN TRƯỜNG SƠN (GV THPT Yên Mơ A, Ninh Bình)
B ài toản về sự fwong giao cua dé thi ham s6 voi true hodnh la mét bai todn co ban thường hay xuất hiện trong các ki thi Dai học, Cao đăng Chinh vì vậy, bài viết này hi
vọng sẽ là một tài liệu giúp ích một phần cho
các bạn khi ơn luyện chuẩn bị cho kì thi Đại học, Cao đăng sấp tới
1 Sự tương giao của đơ thị hàm số phân
thức với trục hồnh
Việc tim giao điểm của đỗ thị hàm phân thức,
cụ thể trong chương trình là hàm hữu ti bậc
nhất trên bậc nhất, với trục hồnh là tương
đối đơn giản Chính vì thế, bài tốn về sự
twong giao cua đồ thị hàm số nảy VỚI trục hồnh thường kết hợp với một số câu hỏi phụ khác Sau đây là một số thí dụ
* Thí dụ 1 Cho hàm số je ee
x+m
(m#0) Vor gia tri nao cua m thi tiép tuyển tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hồnh sẽ song song với đường thăng A:y=x+l2 Liết phương trình các tiếp tuyển dy Lời giải Tập xác định của hàm số là D=R\{-—m} Am? Ta cĩ y'= Đo om >0, VX z#—m
Hồnh độ giao điểm của đỗ thị hàm số với
trục hồnh là nghiệm của phương trình (3m +1)x — m` + m =0 x+m —— + =Ũ => x#-m 2 Dé dang suy ra m a e-— 2 3m +1 Hệ số gĩc của tiệp tuyên tại diém cé hoanh % m—m , (3m +1)? độ xạ = là k =y\x¿)=————— ca 3m +] ye) Am? Do tiếp tuyến song song với đường thăng A nén m=—l 2
GREED 24 smh OREO es din? a 1
(thoa man m#0,me#2) Vay me {1-3}
thỏa mãn yêu cầu bài tốn 0
+m
* Thi du 2 Cho ham sé y == x (m #1) cĩ
A es
đồ thị (C} Giá sư k là hệ số gĩc của tiếp thuyền
tại giao điểm của trục hồnh với dé thi (C), klà hệ số gĩc của tiếp tuyển tại điểm cĩ
hồnh độ x = 1 Tìm tất cả các giả trị của tham
Trang 2Đăng thức xây ra khi và chỉ khi ater? o|7 st l—m 4 l—m =-2 m=3 Vay |k + hị đạt giá trị nhỏ nhất băng 1 khi me —1:3 0 2 Sự tương giao của đồ thị hàm đa thức với trục hồnh * Thi du 3 Cho hàm số 3 2)x + 2m —12 y=xz°—meˆ +(m+ cĩ đồ thị (C) Tùm tất cả các giá trị của m biết đỗ thị (C) cất trục hồnh tại ba điểm phần biệt: a) cĩ hồnh độ x\.x;.xa thỏa mãn xP +x3 +23 = 26 b) cĩ hồnh độ dương Gì cĩ hồnh độ nhỏ hơm 3 đ) cĩ hồnh độ lập thành một cấp 3d cong,
Lời giải Hàm số xác định trên TE,
Phương trình hồnh độ giao điểm giữa đồ thị (C} và trục hồnh là
(x—2Xx? +(2—rn)x—rm+6)=0Ơ (1) x=—2
x?+(2-—m)x—m4+6=0 (2)
Đồ thị (C) cắt trục hồnh tại ba điểm phân
biệt khi và chỉ khi PT (1) cĩ ba nghiệm phần
biệt PT (2) cĩ hai nghiệm phân biệt xị, x; khác 2 m? —20>0 lan => | = 4+2(2-—m)—m+6 #0 mem = 2 me (28,25) ANS) i429) G9) Gia su A(2;0), B(4;0) CQs:0) ae các điểm mà đơ thị (C) cắt trục hồnh M4 +2, =m—-2 Theo định li Viéte la cĩ | =6—m ays a) Ta cĩ xj +x3j +xị{ =26<© x +33 =l8 © Œn +x) =3 +X;)X*x =18 ôâ (m— 2) —3(m — 2)⁄(6— m) =18 cC>ứn —5Xm? +2m—2)=D ” = c> m=-l= V3
Kết hợp với điều kiện (*) ta cé m = 5 thỏa
mãn yêu cầu đề bài
b) Hồnh độ các điểm này dương khi và chỉ
khi arte a BD 5 eee
NX, > O 6-m>0
Kết hợp với điều kiện “ suy ra
ome as 5—)U =: 6)
e) Hồnh độ các điểm này a hon 3 khi va chi khi 4 -34+%;-3<0 ps m—2—6<Ũ (%x -3).œ —3)>0 6—m—3(m>—2) +9 > Ũ 21 “` HÌ<“— 4
Kết hợp với điều kiện (*#) suy ra
ome ~œo:—2^/5 {avi} (4.2)
3 3 4 d) Điều kiện cần
Giả sử (C)cắt trục hồnh tại ba điểm phân
Trang 3Với m=6, tim được z = Ú; b =2; c =4
Với mì = -6 tìm được a = —6; b=—2:o= 2 ` W1 3 Với m = tìm được a= Ì; b=—; c =2 Tất cả các giá trị trên đều thoả mãn yêu cầu bài tốn ‘ 9 Như vậy m c|s5:6) O
Lưu ý © thi du 3 bat bude phải thử lại các
giá trị đã tìm được của m sau khi xét điều kiện cần
* Thí dụ 4 Cho hàm số yp =323 +m? +46
dé thi (C,, ) Tim m đề đồ thị hàm số (Œ„) cất trục hồnh tại một điềm duy nhất
Loi giai Cach I
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị (C„) với trục hồnh là + +n” +4—=Ũ ©—m=x+x+ ¬ BS fi (x =0 khong là nghiệm của phương trình) Xét hàm số g(x) =x+— với x€lR`\{0} 3 Z1 5 3 1 Ta cĩ g'(x) =1-— va o(x)=0- Sx = 2 p> Bang bién thién | x oO 0 2 me | 2) - | - & 4 400 || +0 00 - 3 Dựa vào bảng biến thiên, đơ thị (C„„) cắt trục
hồnh tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi
#8 $»m >-1.EH
Cách 2 Đồ thị (C„)cắt trục hồnh tại một
điểm duy nhất trong mỗi trường hợp sau đây
e« Hàm số ƒ(x)=x°+mx?+4 khơng cĩ cực trị, trong trường hợp này hàm số đơng biến
trên RE, tức là vVxe R <>m:= 0, ft) =3x +2mw >0 e Ham so f(x) cĩ hai cực trị cùng dau Ta cĩ f(x) =0 3x7 + 2x =0 x=0 c> 2m ,=- Để cho /ệx) cĩ hai cực trị cùng dấu thì 2m ( Sab 4nÈ m0: z0/|-Š*Ì- {Se Esa) 0 © m > —Ä3 và m z Ơ
Kết hợp cá hai trường hợp suy ra ứø> —3
thỏa mãn yêu câu bải tốn E]
Lưu ý Hàm số y=7Œ)=
cĩ đồ thị (C) Dùng tính chất của hàm số liên tục thì (C) luơn cặt trục hồnh
e Dị thị (C} cat truc hoanh tai ba diém phan
biệt khi và chỉ khi hàm số cĩ hai cực trị lrái dau nhau
œx) + bx? +ex+ đ (a £ 0}
e Đơ thị (C) cắt trục hồnh tại đúng hai điểm khi và chỉ khi do thi ham số cĩ hai cực trị và một trong hai điểm cực trị đĩ năm trên trục
hồnh
« Dỗ thi (C) cắt trục hồnh tại đúng một điểm
khi và chỉ khi hàm sỐ khơng cĩ cực trị hoặc
hàm số cĩ hai cực trị cùng dâu nhau
Bây giờ chúng ta xét hàm số
y= f(x) =a +h? +e (240)
cĩ đơ thị (C) Số 8180 điểm của đồ thị (C} với
trục hồnh chính là số nghiệm của phương
trinh act + hx? +c=0 (3) Dat t=x7(t=0) phyong trinh (3) c6 dang
at? +bf+e=0 (4)
Băng cách xét tính chất các nghiệm cua PT (4) ta cĩ thể tim được các yêu câu về tính chất
các nghiệm của (3)
* Thi du ã
v=#
cĩ đồ thị (C„) Tìm m dé dé thi(C,,) edt truc
Trang 4Chuan bi cho ki thi tốt nghiện THPT va thi vao Đại học A MOT SO KIEN THUC CO BAN « Cho hàm sé y= f(r) c6 dé thi la C, và ham s6 = gŒx) cĩ đồ thị là C¡ Tọa độ giao điểm của C, va C, là nghiệm của hệ y=f) v= Bie) Phương trình (PT) hồnh độ giao điểm của GG Wa :¿ là 7ƒ J= 6x} Số giao điểm của C, và C, F(x) = gC)
e Trén mat phang toa dé Oxy, gia sit A xgy, ,
chinh la sé nghiệm cua PT
4
B Nas Ve Khi d64B=y xs-x, pets ¥a Ơa *
ôPhuong trinh ax?+4x+e=0 a@#0 céhai
nghiệm x, thi |xz: [1 Nếu b= 2h’ a 2JA‘ l¿| thi |xz —| = ;
B MOT SO BAI TOAN
1 Bai toan vé giao diém cia dé thi ham sé
vyooat+het+a+d at0 và đường thang = +H * Thí dụ 1 Cho hàm số y =x —3x+2 cĩ đồ thị là CƠ Gọi d là đường thăng đi qua điểm 4 3:20 và cĩ hệ số gĩc m Tùn mì đề đường thẳng dcät C- tại bạ điểm phân biệt cĩ hồnh ad lon hon —2
Lời giải Đường thăng đ cĩ PTy=m x-3 120, PT hồnh độ giao điểm của đ và C la
# -=dàt†t2=m x-3 +20
© x-3 x?+3x+6-m =0
x=3
x*+-3x+6—m=0 (1) Be d cit C tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh
độ lớn hơn —2 thi FT (1} phải cĩ hai nghiệm
phân biệt lớn hơn —2 và khác 3 Đặt f=x+2
thi PT (1}trở thành ƒ(Œ)—=f? -r+dd—m=0 (2)
PT (1) cẻ hai nghiệm phần biệt lớn hơn —2 va
khác 3 khi PT (2) cĩ hai nghiệm dương phan
biệt khác 5
SU TUONG GIAO
cua hai do thi
TRINH XUAN TINH (GV THPT Phú Xuyên B, Hà Nội) A=4m-—-15>0 =l>Ũ 15 => The sex h ey Sree f#(3)=24-m 20 * Thí dụ 2 Cho hàm sốy =x? =1x? + l-m x+m cĩ đồ thị CƠ CC cất trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh vẻ ?n là tham số thực Tim m đề đồ thị
đl Ai xa xạ thủa mãn điều kién xf + xt + xt < 4
Lời giải PT hồnh độ giao điểm của đỗ thị với trục hồnh cĩ dạng xJ—2x?+ l-m x+m=0 => x-l x °-x-ứm =0 ve & x =x—m =Ũ Đơ thị €Œ cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ 3j,x;,x €> g(x)=+x”—-x-m=D cĩ hai nghiệm phần biệt Aị¡ x; khác l A=1l+4m>0 1 e()=—m #0 me ea a bot bad —l+ap +g <4 + ©©l+ xtx: —Z2xx¿ <4 ©=m: = 1 1 gữu j3 Ơn g6 Vậy nee (m #0) la cae gia tri can tim 0
2 Bài tốn về giao điểm của dé thị hàm số
t=ix!+bx?tc œ2 với trục hồnh
*&Thi dy 3 Cho ham séy=x' -Gm+2' +3m+1 cĩ đồ thị la Cụ trực hồnh tại bản điểm phân biệt cĩ hồnh độ nhỏ hon 2 , là tham số thực Tìm m dé C,, cốt Lài giải PT hồnh độ giao điểm giữa C,, va Ov la ax” — Gort 2? + 3n2+-T=—0 = x*-l x*-3m-1 =0 x= +4] oe s —3m—] =0 Ở„ cắt trục hồnh tại bốn điểm phản biệt cĩ hồnh độ nhỏ hon 2 khí và chỉ khí PT
x* —3m—1=O0c6 hai nghiém phan biệt nhỏ hơn 2 và khác +] Điệu này xảy ra khi và chỉ khi
OL BEF oso spi =" tủ
Trang 5*% Thi du 4, Cho ham sé y=x'-2mx* +2m-1 cĩ
dé thila C,, Timmdé C,, cốt trục hồnh tại bon diém phản biệt cĩ hồnh độ lập thành
mot cap sd cong
Lời giải PT hồnh độ giao điểm của C,, với trục hồnh là x2 —=2mrxrˆ+2m—=l—Ũ <> x*-1 x°-2m+l =Ũ Ăn <= x* =2m +] =0 Đề C,, cất trục hồnh tại bổn điểm phần — ws ocho 1
biệt thì ta phải cĩ 2m11 geet
e Néu m>1thi C,, cắt trục hồnh tại bỗn
điểm phân biệt cĩ hồnh độ lần lượt (theo thứ thự tử nhỏ đến lớn} là x = =1, Xạ =—l,xa =Ì,x, =xvV2m—Ì Các nghiệm nay lập thành cap số cộng khi J¡ Laa= 2X > —/2m—14+1 =—2? = af2m—1 =3 65 m= 5,
e Néu <m <lthi C, cắt trục hồnh tại
bốn điểm phân biệt cĩ hồnh độ lần lượt là (theo thứ thự tử nhỏ đến lớn} là (= Las = —|2m —1, x; =/2m —l.x, =1 Các nghiệm nảy lập thành cấp số cơng khi # Oồy =2: <©> 1V 2m — = —Jaf2m —1 > 2m - SSS 5 — Ty :
Way voi m=5 hoaic m= * thi C, cắt trục
hồnh tại bốn điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng FT 3 Bài tốn về giao điểm của đã thị hàm số axtb ‘ = = với đường thăng „'= #rx + na cx+d 2x1] *& Thi du 5 Cho ham sé y= cĩ đồ thị XÂY: ae
là C Tim tét ed cde gid tri cua m dé đường
thăng d„:y=m x—~2 +2 cắt đồthị CƠ tại
hai điểm phán biệt 43, B thuốc hai nhanh cuca
đồ thị hàm số sao cho độ dài đoạn 1B nhỏ Hhữt Lởi giải PT hồnh độ giao điểm giữa (C) và Fy OO coe, eect ed x—2 o> pax® — 4x +4m—-5=0 x42? Nhân xét ® Khi x=2thi PT zw? —4zzmz+47m— 5 =0 >> —5 =O(võ H)nên PT mx? — Âm + đn — 5 —Ù khơng nhận x=2 làm nghiệm
s Đường thăng đ,: mm x-2 +2 luén di qua
điểm cĩ định 7ƒ 2:2 là tâm đối xứng của đỗ thị
C nén néu đường thăng d,, cat dé thi C tai hai
điểm phân biệt 4, 8 thi.4 8 thuée hai nhénh cia dé
thi CC và phương trỉnh (2) cĩ hai nghiém phan biét mee <> m>O A'=5m>0 Goi x, x; la hai nghigm cua PT (2) thi AxwMim 4-2 +2 B wim X—2 +2 “ + x;—n =, l+m? |x—x| J lim? 2fAt FH 1+ Hr > 2./I0 as 1 l+zm (Do m > 0 va chi khi # = 1 =2) Đăng thức xảy ra khi và tr
Vậy với m=I1 thì đ„ cắt đỗ thị C tai hai diém
phần biệt <A, BÐ thuậc hai nhánh của
đỗ thị và độ dài đoạn „1# nhỏ nhất bằng 2/10 fT
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Cho hàm số y= x41 ở x—2 Gọi đ là đường thăng đi qua lí 2;0 và cĩ hệ số gĩc & Tìm k để
đường thẳng Z cắt đỗ thị hàm số tại ba điểm phan
biệt
2 Cho ham sé p=-x +x? =m cơ đỗ thị (C)
a) Chứng minh rang đường thăng đ:ụ=mnv+m+l
luơn cắt (C) tại một điểm cổ định,
b) Tim ø để ở cắt (C) tại ba điểm phân biệt
3 Cho hàm số # =x!—2ữn+l)x2 +2m +1 cĩ đồ thị là
Œ„ Tùm m để C„ cắttrụe hồnh tại bến điểm
phân biệt cĩ hồnh độ lập thành một cấp SỐ cộng Datel
a et # ` ®
Trang 6Paw PAN CAC DANG TOAN LIEN QUAN ie NĨC =
s ĐÊN ĐƯỜNG TIỆM CẬN
=| của đơ thị hàm sơ phân thức
LƯU VŨ PHONG
(GV THPT chuyên Nguyễn Bính Khiêm, Vĩnh Long]
Khi khảo sát và vẽ đã thị (C} của hàm số i (c # 0 ad — be # 0),
dụng phần thức 9 — can
ox
ta thấy các đường tiệm cận của (C} cĩ những tính chất như: giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đổi xứng của (C} hai nhành của đồ thị luơn năm về hai phía của đường
tiệm cận dung, hai dwong fiém cận vuơng
gĩc với nhau
Sau ddy chủng tơi xm giới thiệu việc vận dụng các tỉnh chất đĩ trong việc giải một số bài
foan LIỀN quan đền tiệm cận
{DANG 1 Bai toan lién quan đến khoang each
* Thí dụ 1 Cho hàm sé y= sa (C) ‘
a) Chirng minh rang tích các khoang cách từ điểm A4 thuộc (C) đến hai đường tiệm cận
bằng một số khơng đổi
b} Tìm điểm M thude (C) dé tong ede khoảng cách từ À{ đến hai đường tiệm củn đạt giả trị
nhỏ nhất
Lei guải a) Tiệm can ding x = 2; tiệm cận
` sa
Aụ — 2
Gọi dj¡, d, lần lượt là khoảng cách từ AZ đến
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì 1 Ag ngang y= 1, {x 51+ 1+ dys =|% — ~ =1(khơng đỗi) | |xạ =2] min d, +d, =2 fre >| ey b) Ta cd dị + dy =|xo —2 =3 Tụ = L;
Vay cac điêm cân tìm là Ä#,(3:2), A⁄„(:0) Fl
DANG 2 Dựa vào tỉnh chất hai nhằnh của đề thị (C} năm về hai nhía của đường tiệm cận đứng * Thi du 2 Cho ham sd y= : -_ peed giả trị nào của m, đường thăng (dn): 1 cat (C) a) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đã thị
b) Tại hai điểm thuộc hai nhành của để thị
Lời giát Phương trình hồnh độ giao điểm
của đường thăng (đ„) và đồ thị (C)} là 2 ) Hới ¥ = Hix + m— ++3 nest m—Ì =- 2x+l x*—— — ¬ — 2x? + 30m —lx+ m—3=0 (1)
a) Duong thing (d,,) cat (C) tại hai điểm
thuộc cùng một nhánh của đồ thị khi PT (1) — " 1 cĩ hai nghiệm +, x sao cho 4 <2 Sy (hoặc - <x <x) Đặt _ Tir PT (1) ta cĩ (2) Đời hỏi PT (2} cĩ hai nghiệm 4, sao cho i <t, <0 (hoặc 0< <ï;} Do đơ m < Ú và H ¿ —3
b) Đường thăng (đ„) cắt (C) tại hai điểm
thuộc hai nhánh của để thị khi PT (2) cĩ hai nghiệm đ,í; thỏa mãn đ¡ <0 </;.lo đĩ
2m? + m~3:~ =0
Trang 7# Thí dụ 3 Cho ham sé y= ete cE el
a) Tim cde diém thude hai nhanh của (C} sao cho khoang cách của chúng lá ngĩn nhất, b) Goi (@) là đường thăng qua 4(1 ; 0) cĩ hệ số
goo k.Tim k dé (d) cdt (C) tai hai diém M, N
fhude hat nhanh cua (C) sao cho AM =-2.AN
Léi giai a) Goi P va O lan lwot 1a cdc diém thuộc nhánh phải và nhánh trái của (C) thi pirat) a>0 :Ø[1—: 1-3) b>Ũ, ad xã Pot = av? af 2st) saan x2 a đ th a=đh 4, 28 8 b= “fi ab Vay P1+¥3:14+8, 01-8;1-48 b} PT cua (d): y=Ax-1 PT hoanh dé giao x2 minPO = 246 = điểm của (đ) và (C) là =# x—]l a= xi *? lạ? — 2k+1x+k—2=0 (1) Đặt 7= x—1 Thay vào PT (l}ta được kf*—†—3=0 (2)
Để đ cắt (C) tại hai nhánh của (C) thi PT (1)
GỖ hai nghiệm thỏa mãn xị < Ì < x; «© PT (2) cĩ hai nghiệm thỏa mãn 1 <XŨ<ï oS <0ek>0 Ta co Af xy3yy oN x37 nén 4M = 4 —-L¥ 3 AN = va —b Vrs AM =—2AN <> 4, -l=-2x,-1 2k +1 lÙỔ seyg= — (3) (5)
Từ @) và (4) tim được +¡, +; sau đĩ thay vào
(5)tim được & = < (thoa man diéu kién(*)) 0 Ky + Xs = DANG 3 Tính chất của tiếp tuyén tai diém M tay y trén (C) 2x-] — `;
* Thi dy 4 Cho ham sé y=
Gọi I la giao điểm cua hat tigm eda, M la mot diem trén (C) Tiép tuyên tại Mf của đồ thị (C}
cắt hai đƯỜng tiệm cặn tại P và ©
a) Chứng tị rằng Àd là frung điểm của PO và
diện tích tam giác IPO khơng đải
b) Tim trên đỗ thị (C) điềm À# sao cho
IP +1) -
— — Z3 —1
Loa sunt, Taco JO ;—2), MW Xu —|S(C):
tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang = — 2
Phương trinh tiếp tuyển (A) tại AZ là 1 2ân —] xX —Xq + v= 3 1— x) (A) cit tiệm cận đứng và tiệm cận ngang theo l—xụ thứ tự iP (1 —¥, va O 2x, -1,-2
a) Ta 06 X2+%, =2x,, Vay Af la trong điểm của ?Q, 8 ma = 2IP19= ` 2|xa -1|=2 2 Fal b} Theo két qua a) thi Ad la a điểm PO niên iP +7 = pat => Ad = (1) () ree eae _T=2 Ay +1° 2 “- mtl =I@©| ”9— =e xụ =—2 Tim được hai điểm ÀZ,(0;—1} và AZ,(—2;5) f] BÀI TẬP ` ` sẽ 1 Cho ham sé y= (C) Goi! la giao điểm l+x
của hai tiệm can Tim trên đỗ thị C3: điểm Ad sao cho tiép tuyén tai Ad vei dé thi (C) cat hai đường tiém can tal.4 va # thoa man l4 +?|= = = 2/10 :
2 Cho ham sé y= oc
* a _
tai Mf la diam bat ki tren (C) cất hai tiệm cận tại 44 va B Go fla giao diém cua hai tiệm can Tim toa
dé diém M sao cho hinh trồn ngoại tiếp tam giác
L4B cĩ diện tích nhỏ nhất —2x—4
Œ_ Tiếp tuyển của (C)
C Tim điểm Ä# thuộc
3 Cho hàm số y= x+1
(C) để tiếp tuyển với đỗ thị (C) tai Ad tao với hai
Trang 8Chuan bi cho ki thi tot nghiép THPT va thi vao Đại học =ễ f 72.0 Ha, TINHiCHATIH
hị giải các bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số nhiều học sinh đã khơng đề ý đến
tính chất hình học của nĩ, trong khi sử dụng những
tính chất đĩ giúp ta giải bài tốn nhanh hơn và đơn
giản hơn
đẳng cĩ hiệu quả, chúng tơi xin đưa ra một số thí
dụ đề minh hoa cho các dạng tồn mà khi gặp các bạn cĩ thê giải quyết dễ dàng
INHIHỌC
giúp các bạn Ơn thị Đại học, Cao
trong các hài tốn liên quan tiến khảo sát hàm số
* Thí dụ 1 ⁄i6t phương trình tiếp tuyển của
dé thi ham sé y= biết răng tiếp tuyỆn
HH
ao cat trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai
điềm phản biệt A, B sao cho tam giác OAB
edn tar O
kời giải Từ giả thiết bài ra, vì tam giác O4B
cân tại 2 nên đường thing 4# phải song song với một trong hai đường thắng cĩ FTÿy-=x hoặc #—-+
Ta cớ y`= [x+l1}Ƒ >0,Wx# -l Gọi Ä#a(Xu;tn}
là tiếp điểm của tiếp tuyến với đỗ thị hàm số
I (xp +17
« Với xụ =0 thì wụ =0 PT tiếp tuyến là
y=1.(xz-0)+0<©> =x (loại vi khi đơ 41 = PB)
vía¿)=l© =l #*Xi=- Z2 wẨ£,
e Với xụ =—2 thì yụ =2 PT tiếp tuyển là
+ =l.(x+2)+2© v=x+4 (thộ mãn)
Kết huận Tiếp tuyên cần tìm cĩ PT y=x+4 F]
* Thí đụ 2 Giá sử A là tiép tuyén tai diém Äf(0;1) của đã thị hàm số 2e+1 y= ) l—x
Hãy tìm trên (C} những điểm cĩ hồnh độ lớn
hơn Ì mà khoảng cách tie do dén A là ngẵn
nhất
KIỂU ĐÌNH MINH
(GV THPT chuyén Hang Viong, Phu Tho)
Lời giải Khoảng cách từ một diém trén (C)
tới đường thăng À là ngăn nhất khi và chỉ khi điểm đĩ là tiếp điểm cua dé thy (C) với tiếp tuyến song song với A
r 3 Fer! af A
Ta cO y= „1(0)=3 PT Hiếp tuyển
của (C} là Á:w=3x +1
Gợi W(Xu;to)GS(C Ha >Ù) cĩ khoảng cách
tới A ngăn nhất, thể thì x¿ là nghiệm của PT a! =36 %,2 2 x, = 0 coat): v(x }=3S xa} Với xụ =2 thỉyạ =—5 Vậy N(Œ—5) là điểm cần tìm, FT
* Thí dụ 3 Lớp nhương trình đường thơng d đi gua điểm 4(—2:0) sao cho khoảng cách từ diem cục đại cia đổ thi hàm số
„=-x#+3x—2 đến d là lớn nhất,
Tấn giải Ta cĩ tí =—3A? +3—= -3(x? —l), y =Ú
<> x=+1, Diém cực đại của đỏ thị hàm số là
Trang 9hồnh độ và tung độ của điểm đĩ trai dau
nhu
kời giải Những điểm cách đều hai trục tọa độ
cĩ hồnh độ và tung độ trái đầu nhau sẽ năm trên
đường thắng y=—x Giả sử AZ(%x;+) là điểm
thoả mãn để bài thi ta cĩ phương trình x?—x-m=0(*) x #2 X—m _ x—2 —xYx= Phương trình (*) cĩ ít nhất một nghiệm khác 2 khi và chỉ khi A=l+d4m20 2-mz * Thi du Š Tim các giả trị của mì dé ham số v=x*“-2nn?+m—1 cĩ ba điểm cực tri,
đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác cĩ bản kính đường tron
ngoại tiệp bane 1
Lời giải Ta cơ y=4x+°—4mx=4x(%X =m), v =0
2 x=Ú,x? =m Hàm số cĩ ba điểm cực trị khi va chi khi zz; > Ư
Goi A(—Jm:— m2? + m1), BOsm —D:
C(Nm;— mề +im—1) là các điểm cực trị của
đồ thị hàm số Dễ thấy tam giác LBC cân tại
8 và tâm 7 của đường trên ngoại hiếp thuộc trục tung Ca sử /(Ù;°), ta cĩ | mn? + —m?+m—1—b ”=l L1=IBEB=l‹> 5 | m—Ì]—-b = ee ee *=1-m — (m—l—đ}° =] aad : =m°+l =Ì—m m4 —2e?+l=l—m > = , yt ea m* +2m? +1=l—m | mi re -?m+1 =0 m we t2mtl —0 <n —2m+1=0 (do m>0) ae, m âđ m-=è; m # Thí dụ 6 Tìm m dé ham sd v= =e —2x* + (10m -?z~
co cuv dat, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị
năm về hai pha của đường thăng À:y =—x—] Tới giải Ta cơ vì = x? —4x+T0m — TT,
Hàm số đã cho cĩ cực đại, cực tiêu khi và chỉ khi v{x)=0 cĩ hai nghiệm phần biệtx;, x;
SA =11~100>0@ m <1” Goi
A 5:7 os s+} als pms 2 vy +)
là hai điểm cực trị của đồ thị ham sé
4 và B năm khác phía nhau đổi với đường
Trang 10tiếp tuyển với (C}) tại AZ cĩ PT là
2a
aap AE:
= 4x- a+2 “pte =Ù:
Ta thay Af là khoảng cách của hai nhánh
(CA) (Ở;) khi và chỉ khi tiếp tuyển tai M,N
với (C¡} và (C+;}) song song với nhau và chủng vuơng gĩc với đường thăng chứa A#W Điều đĩ tương đương với 4 4 (a+2)2 (b+2) q) 2b 2 »o Be (Hal ato” + b+2 a@+2 Tr (1) suy ra 5=—4—a, thay vào (2) ta co -8-2a 2 -~4-2a a+2 *+4f i we atZ =ũ c>-2 a+2”+32=0 Sa=0 (do a>—2) Suy ra b=—4 va MN = 4:4 Do đĩ MN =4Ÿ/2, f1 * Thí dụ 8 Gọi A, B là giao điểm của đường 2 l —— ws gh 4 +—l thăng w=—x với đồ thị hàm số y= : ũ x+l
Tìm điêm AI thuộc đường phân giác gĩc phân
tự thứ nhật sao cho tơng À4 + A(B nhỏ nhất Lei giat Toa d6.4 va B là nghiệm của hệ PT 1 vo=—x 6 2:2 }:#[s:z} Hak 3 2à x+l
Dé thay A va 8 năm về cùng phía đối với
đường phân giác À:x— =0 Gọi A'(a;4) la
điểm đổi xứng của A qua A:x—y=0, thé thi - (a-2,14(b-z}1=0 i eg b+— ‘ =) bo tad | at? = 2 eZ =4(3:2)= = AB = lễ: -2)- > 169-8 3 3S 2) 6 ; x=3+16t PT tham số của 4 là Hộ 1— oF ( c R}) h 7
Khi ay Af la giao điểm của A’B véi A, toa dé cua Av langhiém của hệ x¬yp=0 — [x=y=3+l@ = Na = lạ+let=2-w b- =—-Ũf ee a, 4 71 7 Vậy điểm cần tìm là MỆT: 2) Oo BAI TAP
1 Viết phương trình tiếp tuyển của đỗ thị hàm
so y= pes biết tiếp tuyến cắt trục hồnh,
“seks
truc tung lan luet tai hai diém phân biệt „4 va
sao cho tam giác (245 cân tại @
3 Viết phương trình tiếp tuyến của đỗ thị hàm
80 ;=— biết tiếp tuyên cất tiệm can đứng,
x+
tiệm cận ngang lần lượt tại 4,8 sao cho tam
giac 4E cân, với / là giao điểm của hai đường tiệm cận 3 Tỉnh khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị 2x +1 5 1-2 4 Cho ham số —x°— 2m2 + 2m +
Tim tất cả các giả trỊ của 7 để hàm số cĩ cực đại, cực tiêu, đồng thời các điểm Cực đại, cực tiên của đỏ thị lập thành một tam giác đều
` +
hamso y=
Doc lai cho dung
Trên Tạp chỉ TH&TT số 406 (4.2011) trang 5 để bài
ở Thị dụ ] chưa chỉnh xác, Nha giáo Trân Trọng Thuyết (Bắc Ninh) đã đề nghị sửa lại đề bài như sau:
Mật tễ học sinh gốm 9 em, ong đĩ cĩ 3 nữ được chia thành 3 nhằm đều nhau, nhằm học hắt, nhĩm học đàn, nhằm học múa Tính xác suất để mỗi nhằm cd | nik
Xin cam „ữn nhà giảo Trần Trọng Thuyết vả thành thật xin lỗi bạn đọc
Trang 11MNPHÉ-*%+ PART
‘ruc doi xứng và tâm doi xứng của đồ thị ham 86 la nhiing tinh chất hình học hay của hàm số, nhiều bài tốn mà khi giải sử dụng tới nĩ thì đạt được kết quả nhanh chĩng Van
đề đặt ra là đơi với một ham số cho trước làm
thé nao nhanh chong biét được đỗ thị của nĩ cĩ trục đối xứng hay tâm đối xứng khơng ? Và hãy tìm trục đối xứng tâm đối xứng đĩ nếu cĩ
Bài viết nay xin giới thiệu một phương pháp
sử dụng đạo hàm đề giải quyết yêu câu trên
đối với đề thị các hảm đa thức
Ta viết f()=aq+axt t+ax" (a, £0,422) đưới dang f(x)= hạ +h(x—xu)+ +h,(x—xu}P (2) Lẫy đạo hàm của /{x} theo x từ cấp 1 đến cap a #Œ)=b +2 (x—xu}+ th, (xen f X\x)= 1.2h¿+ tn(H—])b,(x—xp}"” h mm es h h mm h h mB hB h B hãm h mm h m5 h B h h hB ằhB R Ƒ{x)=Etb, + +n(m—IH—2) (n=E+1Xx—xu} tt #)(x)=nh, Thay x=xụ vào các hệ thức trên ta được x, (x aa fO xy); b= = = op bạ = “— ry (2) 4 vụ "itn ke ”” nl
DẤU HIỆU VỀ TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG
cua do thi ham da thic
NGUYEN VAN NHIEM
(GV trfdng THPT chuyén Lam Son, Thanh Hoa}
I KIEN THUC CAN NHG
Cho f(xy=a, +axt tax (a,#0) (1)
là một đa thức với các hệ số thực, đối số
xel Gọi đề thị hàm số #= ƒ(+} (1) là (C} Ta để dàng chứng minh được các nhận xét SAU:
« Nếu f(x) 1a hang số hoặc nhị thức bậc nhất thì mọi đường thăng vuơng gĩc với đỗ
thị hàm số (1) đều là trục đối xứng của nĩ và mọi điểm năm trên đồ thị (C) đều là tâm đổi
xứng của nĩ
Hãy giờ giả sử deg ƒ = n => 2
* Néu dé thi ham số (1) cĩ tâm đổi xứng thì r
là số tự nhiên lẻ và tâm đối xứng thuộc đề thị,
“ Nếu dé thi ham SỐ q) cĩ trục đối xứng thi #
là số tự nhiên chăn và trục đối xứng cùng phương với trục €1, Do đĩ ƒ@)=70)+799 SN) ali i) C——— o4} xe — cà xa} G)
Xét phép tinh tién hé truc toa dé Oxy theo
veeto OF = (a9: mu), ta cĩ cơng thức chuyển x=EX4+X% hệ trục toạ độ | y=l¥ + fa) | Trong hệ trục /XT đồ thị (C) cĩ phương trình Vana V Wr ee (ey 4 ya LO) y LOW yr, c C9) và (Ấy I! 2 i!
Tir (4) suy ra:
Đỏ thị (C} nhận đường thăng x=, lam truc
đối xứng khi và chỉ khi hàm số (4) là hàm
Trang 12Đồ thị (C) nhận điểm I(x.) 1am tam Adi
xứng khi và chỉ khi hàm số (4) là hàm số lẻ
Vậy ta cĩ các kết quả sau đây
Mệnh đề 1
Đồ thị hàm da tite y= f(x) deg f 22
nhận đường thẳng x—xạ làm truc déi xine khi và chỉ khi xạ là nghiệm của các phương trình ƒGF1)(x)=0,VkœẹN,
Mệnh đề 2
Đồ thị hàm da thie y= f(x) dea f22
nhận điểm ï Œa:/ƒŒ&)) làm tâm đổi xứng khi
và Chỉ khi xạ la nghiệm cua các phương trình fe) (x) =0, Ve e N’
He qua Phuong trinh
f(Y) =dux”” +aaa-jx””” + 4Ð dạ =0,
(4, #0, Đ”) chuyển vẻ dạng
tu + Án la + wet Ay — ()
khi và chỉ khi đỗ thị của hàm 86 y= f(x) 0d trục đổi xứng cùng phương với trục Ĩ ÿ
Il MOT SO THI DU AP DUNG
*& Thi du 1 Gia? phuweng trinh ee ren = (),
4
Phan tich Dat vé trai cua phirong trinh là
Fic), ta thay f#'q) và ƒ “(x) nhận reo lam nghiém nén theo Ménh dé 1 dé thi : harm
so y= f(x) nhén đường thắng x =5 làm trục đơi xứng
Low gia Dit x= 24, PT da cho tro thanh
wt Srpteoe = 16 xan selt 4 ¥2 ] 3, HH v xe, ' 2 {4 Yz wkThí du 2 Tim a dé đơ thị hàm số +=x! + đáy! — 2x? —l2ax cĩ trục đơi xứng, Lời giải, Tạ cỗ y= 4x? + 12ax* —4x—-l2a, y" = 12x* + 24ax—4, y" = 24x + 24a Theo Mệnh dé 1, dé thị hảm số trên cĩ trục đơi xứng khi và chỉ khi hệ phương trình fe 0 —- - +12ax? =4x—12ø =0 "=O 24x + 24a =0 cĩ nghiệm Tim được ae —1;,0;1 * Thí dụ 3 Chứng mình rằng nêu phương trình f(x)= ax! + bệ + ox? ai +e —=Ú (a#+ 0) co cde nghiém dang xX, — PX) —Of Xp + es
wo +P (a B) thi dd thi ham sé y= f(x)
gĩ trục đổi xứng là đường thăng x = xụ Loi gigi Do f(x) nhận các nghiệm dang xt fix Ea nén fx)=a (wm -a? (x-mP - =a(x— xy ale? + £ Wx — xy)? + ace? 8 Suy ra P(X) = 4a(x— x4) —2aa? + PP YX - x) \x)=1l2a(x—xu} - 2a(#° + 8°} f™x) = 24a(x— x) Xét hệ 7 ae es f(xy =0 Vay đường thắng x=x¿ là trục đối xứng của dé thi ham sé y= f(x)
> Nhận xét Thí dụ 3 cho ta một điều kiện ean đề một đa thức Ix) bậc bốn (tơng quát một đa thức bậc chăn, lớn hơn Ú) cĩ các nghiệm lập thành cấp số cộng là đồ thị hàm SỐ 1= ƒ#(x)cĩ trục đơi xứng * Thí dụ 4 Chứng mình rằng nêu phương trình f(x)= ax! +hx! +cx? bit +ax+ ƒ =0 (az# 0) Cĩ các nghiệm dụng 3ụ — 3q —Œ) 3u) X0:
x +8 (af) thi dd thi ham 6 y= f(x) cĩ tâm đổi xửng là điểm Ta; 0)
Loi gidi, Ta cd
Trang 13(x) =0 xét hệ f ( ) “4=: ƒ*5j=U Suy ra điểm Ï{xạ;0) là tâm đối xứng của đỗ thi ham sé v= f(x)
>.Nhận xét Thí dụ 4 cho ta một điều kiện
cin đề một đa thức 7x} bậc năm (tơng quát
một đa thức bậc lẻ, lớn hơn l) cĩ các nghiệm lập thành một câp so cộng là đơ thị hàm số
y= f(x) cĩ tim đỗi xứng thuộc trục 2x
*& Thi du § Tim mm để phương trình iw=x —2nvd + 2x? +9x-—45=0 co 3 nghigm phan biét lap thanh cap sơ cộng —7nw* Lời giải ® Điều kiện cẩn, Ta cĩ FS = 5x1 — 4° —Omx* + 4? x+9 f(x) = 2009 —12eux* —12mx +4? ƒWx)= 60x? —24mx—12m (+) =120x — 24m mi P(y=0 pp Xét hệ ⁄ ()=0 ce ƒ(x)=0 E -2 zH =|” =9 mm=ã: e Điều kiện đủ — Với m = 0, ta được phương trình #+9x— 45 =Ú (1}
Cách 1 Dễ thay phương trinh ( 1) cĩ nghiệm
duy nhất, suy ra với zz—0, yêu câu bài tốn khong thoa mãn Cách 2 Đơ thị hàm số y—x) +9x—45, cĩ tầm đối xứng là điểm 7(0—45) £ 2+ Suy ra với m=0, yêu câu bài tốn khơng thoa mãn — Voi mm =5, ta được phương trình xS —5x1—1022 +503ˆ +9x—45=0 (2) Phương trình (2) cơ tập nghiệm —3;—1; l; 3;5 lập thành cấp số cộng Vậy ứ = 5 DON DOC AN PHAM MOT: :
TẠP €HÍ TỐN HỌ€ VÀ TUơI TRE
$ SO BAC BIET THANG 10 NAM 2011
s/ Chaomung nam hoc moi 2011 2012, Tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ xuất bản và phát hành thêm SỐ ĐẶC BIẾT vào tháng 10
2 Biún hạn on tap mon Toan lop 10, lop 11, lop 12
3 Phuong phan giai toan
4 Chuan by cho ki thi tot nghién THPT
5, Dien dan day hoc toan va thi vao Dai hoc, Cao dang cac mon Toan, Li, Hoa
ro nam 2011 dé phuc vu cho các thấy cơ giáo, các em học sinh phổ
thơng Ấn phẩm bao gồm các chuyên mục sau:
1 Danh cho Trung hoc co sd 7 Giaitoan vdi may tinh 8 Donvuontoan 9 Vuihoctoan
10 Kê chuyệnvêlịch sửt0ảnhụt
11 Bancanbiét - 12 Toanhoc va ddi sang
6 Nhiéu cach giai cho matbai toan
Những chuyên mục trên được các nhà giáo, các nhà sư phạm cĩ kinh nghiệm hiện soạn, giúp các thay ca giao trong việc giảng dạy, giúp các em học sinh ơn tap,
hệ thống kiến thức đạt kết quả cao trong các kì kiểm tra chương, học kì, thi tốt nghiệp THPT, thi vao các trường Đại học, Cao dang
Tịa soan rất mong cĩ sư hưởng ứng đọc, viết bài của các thay cơ giáo và các em học sinh trên tồn quốc
Các bạn cĩ thể đặt mua tại các Cơ sở bưu điện trên củ nước, các cơng ty Sách và
Thiết bị trưởng họcở địa phương Mọi chỉ tiết xin liên hệ:
TẠP CHITOAN HOG vA TUƠI TRẺ, 1878 GIANG Vũ, HÀ NI
BT Biên lập : (04)35121607 ; BT - FAX Phái hành, Trị sự : (0435121606
Email: tapchitoanhoc_tuoitre@yahoo.com.vn
Trang 14Chuan bi cho ki thi tot nghiép THPT va thi vao 2 === : TS
Sd DUNG DEO HAM
Dé GIAI MOT SO LOAI TOAN
LÊ HỒ QUÝ
(GV THPT Duy Tan, Kon Tum)
hỉ giải các bài tốn xét sự tơn tại nghiệm
của phương trình (PT), bái phương trình
(BP1), hệ phương tinh (HPT); tim giả trị lon
nhật và nhỏ nhất của hàm so; tim giới hạn của hàm số; chứng mình, bát đăng thức
chung ta co thé ap dung phép tinh dao ham
như là một cơng cụ hữu hiệu
1 Giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Đối với các bài tốn về nghiệm của PT, BPT
mà tham số độc lập với ân hoặc biến đơi PT,
BPT, dat ân phụ đề được điều đĩ thì ta cĩ thê sử dụng phương pháp đạo hàm đề giải Lược đỗ chung của phương pháp nảy như sau:
* Biến đổi PT (BPT) về dang ƒ#{x)= gứ”)
(hoặc ƒ(x)> gứn), hoặc ƒ(x) < gứn))
* Khảo sát sự biến thiên của hàm s6 y= f(x)
trên tập xác định !2 của nĩ *® Xác định max fe: min F(x)
¢ Tw bang bién thiên, ta suy ra các giá trị của
m can tim
* Thi du 1 (Khoi A-2008) Tim các giả trị
của tham số mì đề phương trinh sau co dung
hai nghiệm thực phản biệt:
Y2x +^Í2x +2Ä6— x ~2Al6— x =m (m e IE}
Lời giải Diều kiện 0 < x < 6
Gọi về trái của PT la f(x), x e[0;6] Ta cĩ roy — 2\d@s? #q@-x#) \V2x vĩ-x ie nF _ } x €(0;6) ee '' j@? 6Í dx $6 ta thấy ¿(2)=v(2)=0 nên ƒ{2)=0 Patu(x)=
Mặt khác x(x), v(x) cing duong trén khoang (0:2) và cùng âm trên khoảng (2:6) Ta cĩ x 0 2 6 I) + 0 ger ie 2/6 + 24/6 412 + 24/3 Do đĩ PT cĩ đúng hai nghiệm khi và chỉ khi 26 +246 <m<3V2+6.0 Luu ý Cho hàm số yp = f(x) lién tuc trén tập 7 #Œœ) *®PI ƒ(x)=m cĩ nghiệm xe / ` min f(x)<Sm < max 6a *® BPT ƒ(x)<ứz cĩ nghiệm xe / = min f(x) < mm *BPT ƒ(x)>m cĩ nghiệm xe/ => max f(x) = 7M,
Thí dụ 2 Tim tat ca cde gid tri của tham
Trang 15Lưu ý Khi gặp hệ PT dạng
os = f(y) (1)
gy) =0 (2)
Ta cĩ thể tìm lời giải theo hai hướng sau:
Hướng 1 Biến đổi (1) vé dang f(x)-/(y)=0,
sau đĩ tìm cách đưa về PT tích
Hướng 2 Nét hàm số y= ƒ(Œ) (thường là
hàm số liên tục trên tập xác định của nĩ)
Néu ham s6 y= f(t) đơn điệu thì từ (1), ta
suy ra x= Lito đĩ, bài tốn quy về giải
hoặc biện luận PT (2) theo ân xr
Nếu hàm sơ y= f@ co mot ewe tri tai f =f
thi no thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua íú¿ Từ (l)suyra x= y hoặc x, V năm về
hai phía của fy
#* Thí dụ 3 (Khối A - 2012) Giới hệ phương trình # —3+? -9x+22 = y3 +3? —-0y | I (x, ¥ € 4) b +y*—x+y= Pa Lời giải Hệ đã cho được viết lại dưới dạng (+x-1-12x-D=(Œ+J?-122+) (1) IY 1) coo | a) S| mì sẻ =2) lừng) @ =i “hận 2 < yl Từ (2) suy ra a —— 1 2 3 aie gl = 2 LA | tad bà Xét hàm số ƒŒ) =8 số /Œ)=32- #Œ) là hàm nghịch biến trên 3 —]2 trên ——; 3 lu Ta 2 | 2) Suy ra Do đĩ (l)<>x-l=y+l<©y=x— (3) Thay (3) vao (2) va thu gon, ta được 4) <0,Vre(— tờ [to B— lt P2 | t2) bs „|2 4x7 —8x+3=0 “x2 hoặc x== ~ Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm (x;y) là [5-3] hoặc l3:-2] C) 2 2 a & 2 Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Đê tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một
hàm số xét trên miền 2 băng phương pháp
dao ham, ta tiến hành như sau
* Sử dụng định lí về dâu tam thức bậc hai và
dâu của nhị thức bậc nhất lập bảng biến thiên
của hàm số trên miền 7 đã cho
* Dựa vào báng biến thiên và so sánh các giá trị đặc biệt để suy ra đáp số của bài tốn
* Thi du 4 Tim gia tri lon nhất và nhỏ nhất của hàm số = J2—x+Vx4+1—V2+x—-22 Lei gia Tap xac dinh = [-1,;2] Dat t=V¥2—x+vVx+4+1 V3<tsV6 ta cĩ ——— /?—3 ?=3+22/-xXx+D S2+r-z? = > Khi dé f =3 5 =-sứtHth v:e|x3;v6 | 1 3 Bài tốn quy về tìm giá trị lớn nhât và nhỏ ¬ nhất của hàm số vy=.gŒ)= ip +í LG trên đoạn |x3:V6 |
Ta cĩ ø(f) =lI-f<0, Víec | ¥3:v6 | suy ra ham số øŒ) luơn nghịch biến trên đoạn V3.6 | Do do N0) =8 5 - 5: # seis ft 8 )=g 46 =v6 Vậy max = V3: xe[-L;2]” min y= ` 1 xe[- “1; 2)
Lưu ý Trong bai tốn tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhật của hàm số y = ƒ(x), khi đặt ân phụ t=g(x) ta phải tìm điều kiện của ấn phụ đĩ băng cách tìm tập giá trị của hàm số g(x)
3 Tìm giới hạn của hàm số
Để tìm lim ƒ(x) nhờ định nghĩa đạo hàm, ta
Trang 16* Chon ham s6 ø(x) thích hợp và khảo sát tính cĩ đạo hàm của nĩ
*® Biểu điển hàm ƒ(+) dưới đạng tỉ số giữa số gia của hàm sơ g(x) và số gia của đối số tại diém x =x) Khi đĩ jim 7X) = 2°09) ® lính øx;) và đĩ chính là giới hạn cân tìm * Thí dụ 5 Tỉnh giới hạn V5-x-Äx?'+7 x -] Léi gidi Dat g(x)=V5—x ee 7 =>g2()=0 -] Š Ta cỗ o(x)= => ø({l)= jae ¿j3-x* “3 eT 4J5-x—-Đx2¿ +7 | m£C)-ø@ ——— Do đĩ ¡=lm——L—=>—x—1 xl #HI hm(x +1) xO 2.24 3 Fy 4 Chứng mình bất đẳng thức Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh bất đăng thức dựa trên mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số với đạo hàm của nĩ Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là tương ứng với mỗi bất đắng thức cân chứng minh, ta cần xây đựng một hàm số, rồi
nghiên cứu tính đơn điệu của nĩ lrên các đoạn thích hợp * Thi dụ 6 (Khối A - 2003), Cho x, y,z là ba số đương và x+y+z<1 Chứng HN rằng Lời giải Gọi P là về trái của bất đăng thức ar “3 ip af Dat u =| se] {+} w= (21) thi \ & oy Z7 Fl+P|+Bl>E+»+>| 2 l + 1 3 1 hay P=,lx?+—+,|y°+—+,|z?+— x y z 1 1.1) =e v+z}*+ ta ;]- Mãtkhác 1 1 xb p+z> expr; A2 2 Sản —— a Zz XZ 9 2 Do do Pe Jore, vol t= #xyz , trong 4õ 0<:<|S*2~Z) 3 b.= _ Z # ` x , 9 an l + Xét hàm số A a „ trén 7 , ta cd cứ)= 9T <0, Yf =[s2] nên hàm số a(t) Lia 9 | 66 g(t) > s3) 82 hay P > fg(t) > 82
nghich bién trén (0 | Vậy, với re|0
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= p=z=— 0 gi [cá BÀI TẬP % F RE 8 5 A x ` 1 Tìm các giả trị của tham số m¡ đề phương trình sau cĩ nghiệm: x/x+xx+12=ứn 45“-x+ 4—x*
2 Tìm các giá trị của tham số m để bất phương
trinh sau nghiệm đúng với mọi x c[—3: 6} Alx+3+^2'6—x~— m + m—1<+4I§ +3x—x2 Jy-y =28 3 Cải hệ phương trình : = Laxey 2xy? + =1882 4 Tìm giá trị lớn nhất vả nhỏ nhất của các hàm số a) y=x2x+l+xvVl—-2x+2x1—4x°:; b) y=sinx +cos x— sin 2x — 2 5 Tim các giới hạn +2x*-—ä sš Em vI+2+ Se b) x30 xe x0 ng _-# l+x? lũ —————— In(1+ x)
6 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn các
điều kiện x+y+z=4 vả xyz =3 Chứng minh