Tài liệu gồm 215 trang, tuyển tập 14 đề ôn tập kiểm tra cuối học kỳ 2 môn Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết; các đề thi được biên soạn theo hình thức 70% trắc nghiệm kết hợp với 30% tự luận, trong đó phần trắc nghiệm gồm 35 câu, phần tự luận gồm 04 câu, thời gian học sinh làm bài thi là 90 phút
ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TỐN 12 ĐỀ ƠN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MƠN: TỐN 12 – ĐỀ SỐ: 01 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm) Câu 1: Cho số phức = z x − + (3 y − 12)i ( x, y ∈ ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức w= x + yi để z số ảo A Đường thẳng y = B Trục tung Câu 2: Số phức liên hợp số phức z= a + bi (a, b ∈ ) A z =−a + bi Câu 3: B z = b − C z= a − bi a + b2 D.= z Cho hai số phức z1 = −1 + 2i, z2 = + 3i Tìm phần thực a số phức w = z1 z2 A a = −2 Câu 4: D Đường thẳng x = C Điểm M (3; 4) Trong B a = khơng gian Oxyz , tìm C a = −8 điều kiện D a = số m tham để phương trình phương trình mặt cầu: x2 + y + z + 2x − y + z + m = A m < Câu 5: B m ≥ 24 3x B − cos x + C ln A − cos x + C 3x C + cos x + C ln D 3x ln + sin x + C C ± 5i D ± −5i Cho số phức z = −5 Căn bậc hai z là: B ± −5 A ± Câu 7: D m < −4 Họ nguyên hàm hàm số f ( x= ) 3x − sin x là: x Câu 6: C m ≥ −4 π π Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm 0; xét I = ∫ f ( x ) cos xdx Khẳng định 2 đúng? π π π A f ( x ) sin x 02 − ∫ f ' ( x ) sin xdx π π π π π C f ( x ) sin x 02 + ∫ f ' ( x ) sin xdx D f ( x ) cos x 02 − ∫ f ' ( x ) cos xdx Câu 8: B f ( x ) cos x 02 + ∫ f ' ( x ) cos xdx Cho hai hàm số f x g x liên tục đoạn a; b Gọi H giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x a, x b a b Khi đó, diện tích hình phẳng H tính cơng thức: A S = b ∫ a C S = b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx B S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a a b ∫ g ( x ) − f ( x ) dx D S = b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a a Câu 9: b Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;3) , B ( 0; −1; ) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB A x + y + z − = B x − y + z = C x + y + z − = D x + y + z = Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 a a Câu 10: Đặt I sin xdx, J cos xdx Tính I + J 0 A B 2a C D a Câu 11: Cho hai số phức z1 =−1 + 2i, z2 =2 − 3i Tìm số phức W= z1 + z2 A W= − 4i B W= − 5i C W = + 2i D W = − i x ) x + Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f (= A x3 + x + C C x3 + C B x + C D x3 + x + C , ( Q ) : x + y + z − 12 = Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Vị trí tương đối hai mặt phẳng gì? A trùng B vng góc với C cắt D song song Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f ( x ) =x − x + 2; g ( x ) =x + A S = 12 C B S = D 16 đường thẳng = y 0;= x 1;= x x Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox Câu 15: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = 3π 3π B C 2π ln −1 4 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z + = (1 − z )i Tính z A A z = Câu 17: Cho số phức z = A b = − B z = + 3i Tìm phần ảo b z 2i B b = Câu 18: Hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) = D ln C z = D z = C b = D b = −3 f (0) = Tính f (2) 2x +1 C ln − D ln + ln + Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1;3); B(0; −1; 2) Tính độ dài đoạn thẳng AB A ln B A B C Câu 20: Cho số phức z 3i Tìm phần ảo b số nghịch đảo z −3 A b = B b = C b = 13 13 13 Câu 21: Tìm điểm biểu diễn số phức z= − 5i mặt phẳng tọa độ A P ( −5;3) B Q ( 5;3) C N ( 3;5 ) D D b = −3 13 D M ( 3; −5 ) Viết Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −3; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = phương trình mặt phẳng qua M song song với ( P ) A x − y + z − = B x + y − z + 14 = D x + y − z + 14 = C x − y − z − 14 = Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 Câu 23: Cho số phức z =−3 + 5i Tính z A z = C z = 14 B z = 14 D z = − Câu 24: Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua M ( −2; −1; ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = x =−2 − t A y =−1 − 2t z= − t x = − 2t B y= − t z = + 2t x =−2 + t C y =−1 + 2t z= − t x =−2 − t D y =−1 + 2t z= − 2t Câu 25: Cho số phức tìm điểm biểu diễn số phức= z i 2021 − mặt phẳng toạ độ B B ( 2;0 ) A C ( −1; −1) C C (1; −1) D D ( −1;1) Câu 26: Tìm tổng bình phương hai nghiệm phức phương trình z − z + 13 = A B -22 C D 30 Câu 27: Cho hai hàm số u u x , v v x có đạo hàm liên tục a; b Tìm khẳng định b b b A ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a b b a a B ∫ udv = uv − ∫ vdu b b b b a a b b C ∫ udv = uv a − ∫ udu D ∫ udv = v a − ∫ vdu a a x −1 y + z − Vectơ Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = −3 vectơ phương đường thẳng d ? A c (1; −2;3) B a (1; 2; −3) C b (1; −3;3) D d ( −1;3; −3) Câu 29: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ song song với hai mặt phẳng ( P ) : x + y = + z − 0, ( Q ) : x= + y + z 10 x = 2t A y = t z = t x = t B y = t z = 3t x = 2t C y = −5t z = t x= + 2t D y =−5 + 5t z = 1+ t Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P ) A B C D Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho ba đường thẳng ( a ) , ( b ) , ( c ) có phương trình sau: x= + 2t x= − 4t x−2 y z +3 ; (c) : = = ( a ) : y = −3t ; ( b ) : y = 6t −3 z =−3 + 5t z =−3 + 10t Phương trình phương trình đường thẳng qua điểm M ( 2; 0; −3) nhận = u ( 2; −3;5 ) làm vectơ phương? A Chỉ có (b) B Chỉ có (a) (c) C Chỉ có (a) Sưu tầm biên soạn D Chỉ có (a) (b) Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( x + 1) B F ( x ) = A F (= x ) ln x ( x + 1) + C C.= F ( x ) ln Câu 33: Xét I = ln ∫ A f ( t ) = x +C x +1 x ln +C x +1 D.= F ( x ) ln x +1 +C x l dx t e x − , ta có I = ∫ f ( t ) dt Tìm khẳng định , đặt = x e −1 t +1 B f ( t ) = t ( t + 1) C f ( t ) = t −1 D f ( t ) = t t −1 Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] có đồ thị hình vẽ bên Gọi S hình x a= , x b Thể tích V vật phẳng giới hạn đồ thị trên, trục hoành đường thẳng= thể tròn xoay tạo thành quay S quanh trục Ox tính cơng thức sau đây? b A V = ∫ f ( x ) dx a b B V = π ∫ f ( x ) dx a b C V = ∫ f ( x ) dx a b D V = π ∫ f ( x ) dx a x 0,= x π, đồ thị hàm số y = cos x trục Câu 35: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng= Ox π A S = ∫ cos x dx π B S = π ∫ cos x dx π C S = ∫ cos xdx π D S = ∫ cos xdx II PHẦN TỰ LUẬN: (3 điểm) Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z − − i =6 a) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ iz Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;0;1) ; B ( −1; −1;0 ) ; C (1; 2;3) a) Tìm hình chiếu C đường thẳng AB b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B cách C khoảng lớn Câu 38: Tìm số phức z thỏa mãn: + (1 − i ) z = ( z − i ) Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn: ∫ f (t )dt =2 x sin (π x ) Tính f ( 36 ) x2 HẾT Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I PHẦN TRẮC NGHIỆM: (35 câu - điểm) Câu 1: Cho số phức = z x − + (3 y − 12)i ( x, y ∈ ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức w= x + yi để z số ảo A Đường thẳng y = B Trục tung D Đường thẳng x = C Điểm M (3; 4) Lời giải Chọn D Số phức z = x − + (3 y − 12)i số ảo x − = ⇔ x = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w= x + yi đường thẳng x = Câu 2: Số phức liên hợp số phức z= a + bi (a, b ∈ ) A z =−a + bi B z = b − Chọn C Câu 3: C z= a − bi Lời giải a + b2 D.= z Cho hai số phức z1 = −1 + 2i, z2 = + 3i Tìm phần thực a số phức w = z1 z2 A a = −2 B a = C a = −8 Lời giải D a = Chọn C Ta có: w =z1 z2 =(−1 + 2i )(2 + 3i ) =−2 − 3i + 4i − =−8 + i Do đó: a = −8 Câu 4: Trong khơng gian Oxyz , tìm điều kiện tham số m để phương trình x2 + y + z + 2x − y + 4z + m = phương trình mặt cầu: A m < B m ≥ 24 Chọn A C m ≥ −4 Lời giải D m < −4 Phương trình phương trình mặt cầu ⇔ ( −1) + 12 + ( −2 ) − m > ⇔ − m > ⇔ m < Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f ( x= ) 3x − sin x là: A 3x − cos x + C B Chọn C Câu 6: 3x 3x C − cos x + C + cos x + C ln ln Lời giải D 3x ln + sin x + C Cho số phức z = −5 Căn bậc hai z là: A ± Chọn C B ± −5 ( ) C ± 5i Lời giải D ± −5i 2 Ta có: z =−5 =5i = 5i nên bậc hai z ± 5i π Câu 7: π Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm 0; xét I = ∫ f ( x ) cos xdx Khẳng định 2 đúng? Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 π π π π 2 B f ( x ) cos x 02 + ∫ f ' ( x ) cos xdx A f ( x ) sin x 02 − ∫ f ' ( x ) sin xdx 0 π π π π C f ( x ) sin x 02 + ∫ f ' ( x ) sin xdx D f ( x ) cos x 02 − ∫ f ' ( x ) cos xdx 0 Lời giải Chọn A = ( x) u f= du f ' ( x ) dx = Đặt nên I ⇒ xdx v sin x = = dv cos Câu 8: π π π 2 f ( x ) cos xdx f ( x ) sin x 02 − ∫ f ' ( x ) sin xdx ∫= 0 Cho hai hàm số f x g x liên tục đoạn a; b Gọi H giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x a, x b a b Khi đó, diện tích hình phẳng H tính cơng thức: A S = b ∫ a C S = b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx B S = b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a a b ∫ g ( x ) − f ( x ) dx D S = b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a a Lời giải Câu 9: Chọn B Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;3) , B ( 0; −1; ) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB A x + y + z − = 0 B x − y + z = C x + y + z − = D x + y + z = Lời giải Chọn A 5 Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua trung điểm M 1;0; nhận BA = ( 2; 2;1) làm 2 vecto phương nên có pt: 5 ( x − 1) + y + z − =0 ⇔ x + y + z − =0 ⇔ x + y + z − =0 2 a a 0 Câu 10: Đặt I sin xdx, J cos xdx Tính I + J A B 2a Chọn D Ta có I + J = a a ∫ sin xdx + ∫ cos 2 xdx = a ∫ ( sin D a C Lời giải x + cos x ) dx = a ∫1dx = x |0a = a Câu 11: Cho hai số phức z1 1 2i, z2 3i Tìm số phức W z1 z2 A W= − 4i B W= − 5i C W = + 2i D W = − i Lời giải Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TỐN 12 Chọn A Ta có W = z1 + z2 = ( −1 + 2i ) + ( − 3i ) = − 4i x ) x + Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f (= x3 + x + C A Chọn D Ta có F ( x ) = C x3 + C B x + C D x3 + x + C Lời giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x + 1) dx = x + x + C , ( Q ) : x + y + z − 12 = Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Vị trí tương đối hai mặt phẳng gì? A trùng B vng góc với C cắt D song song Lời giải Chọn C Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) , ( Q ) là: n( P ) = (1; − 2;3) ; n(Q ) = ( 3;6;9 ) Vì n( P ) ≠ k n(Q ) nên loại đáp án A D Lại có n( P ) n(Q )= 1.3 + ( −2 ) + 3.9 ≠ nên B loại Vậy Chọn C Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số f ( x ) =x − x + 2; g ( x ) =x + A S = 12 C Lời giải B S = Chọn B D 16 x = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: x − x + =x + ⇔ x − x =0 ⇔ x =−2 x = Diện tích hình phẳng cần tìm: = S ∫ (x −2 − x + ) − ( x + ) dx + ∫ ( x − x + ) − ( x + ) d= x đường thẳng = y 0;= x 1;= x x Thể tích V khối trịn xoay sinh cho hình phẳng ( H ) quay quanh trục Ox Câu 15: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = A 3π B 3π −1 C 2π ln Lời giải Chọn A D ln 3π π −π 1 = − ( −π ) = Thể tích cần tìm: V =π ∫ dx =− x x1 4 1 Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z + = (1 − z )i Tính z A z = B z = C z = Sưu tầm biên soạn D z = Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 Lời giải Chọn A i−2 Ta có: z + =(1 − z )i ⇔ z (1 + 2i ) =i − ⇔ z = ⇔ z =i Vậy z = 1 + 2i Câu 17: Cho số phức z = A b = − Chọn D Ta có z= + 3i Tìm phần ảo b z 2i B b = Lời giải C b = D b = −3 + 3i = − 3i Vậy b = −3 2i Câu 18: Hàm số y f ( x) có đạo hàm f '( x) = A ln B Chọn B f (0) Tính f (2) 2x +1 ln + Lời giải C ln − D ln + 1 ln x + + C Mà f (0) = nên C = Suy f= ( x) ln x + + Vậy = f (2) ln + Ta có f= ( x) )dx ∫ = dx ∫ f '( x= 2x +1 Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1;3); B(0; −1; 2) Tính độ dài đoạn thẳng AB A B Chọn B AB = AB= C Lời giải D (0 − 2) + (−1 − 1) + (2 − 3)= Câu 20: Cho số phức z 3i Tìm phần ảo b số nghịch đảo z −3 A b = B b = C b = 13 13 13 Lời giải Chọn A Gọi số nghịch đảo z z '= a + bi Ta có: D b = −3 13 a= 2a − 3b = 13 z.z ' =1 ⇔ ( + 3i ) ( a + bi ) =1 ⇔ 2a − 3b + ( 3a + 2b ) i =1 ⇔ ⇔ a = + b b = −3 13 Vậy b = −3 13 Câu 21: Tìm điểm biểu diễn số phức z= − 5i mặt phẳng tọa độ Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 B Q ( 5;3) A P ( −5;3) C N ( 3;5 ) D M ( 3; −5 ) Lời giải Chọn D Viết Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; −3; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = phương trình mặt phẳng qua M song song với ( P ) A x − y + z − = B x + y − z + 14 = C x − y − z − 14 = D x + y − z + 14 = Lời giải Chọn A ⇒ có vectơ pháp tuyến = Mặt phẳng cần viết song song với ( P ) : x − y + z − = n ( 3; −2;1) Phương trình mặt phẳng : ( x − 1) − ( y + 3) + ( z + ) = ⇔ x − y + z − = Câu 23: Cho số phức z =−3 + 5i Tính z A z = C z = 14 B z = 14 Lời giải Chọn B z = ( −3) D z = − + ( 5) = 14 Câu 24: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua M ( −2; −1; ) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = x =−2 − t A y =−1 − 2t z= − t x = − 2t B y= − t z = + 2t x =−2 + t C y =−1 + 2t z= − t x =−2 − t D y =−1 + 2t z= − 2t Lời giải Chọn D suy có vectơ phương Đường thẳng cần viết vng góc với ( P ) : x − y + z + = u= (1; −2; ) hay u = ( −1; 2; −2 ) , qua M ( −2; −1; ) ⇒ phương trình tham số đường thẳng x =−2 − t : y =−1 + 2t z= − 2t Câu 25: Cho số phức tìm điểm biểu diễn số phức= z i 2021 − mặt phẳng toạ độ A C ( −1; −1) B B ( 2;0 ) C C (1; −1) D D ( −1;1) Lời giải Chọn D z =i 2021 − =i 2020 i − =( i ) 1010 i − =−1 + i Câu 26: Tìm tổng bình phương hai nghiệm phức phương trình z − z + 13 = A B -22 C D 30 Lời giải Sưu tầm biên soạn Page ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II – TOÁN 12 Chọn B Áp dụng định lý Vi-et ta có z12 + z2 = 22 2.13 = −22 ( z1 + z2 ) − z1.z2 =− Câu 27: Cho hai hàm số u u x , v v x có đạo hàm liên tục a; b Tìm khẳng định b b b A ∫ udv = uv a − ∫ vdu a a b b b C ∫ udv = uv a − ∫ udu a a b b a a B ∫ udv = uv − ∫ vdu b b b D ∫ udv = v a − ∫ vdu a a Lời giải Chọn A x −1 y + z − Vectơ Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = −3 vectơ phương đường thẳng d ? A c (1; −2;3) B a (1; 2; −3) C b (1; −3;3) D d ( −1;3; −3) Lời giải Chọn B Nhìn vào phương trình tắc đường thẳng d , ta thấy đường thẳng d có vectơ phương a (1; 2; −3) Vậy, chọn đáp án B Câu 29: Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ song song với hai mặt phẳng ( P ) : x + y = + z − 0, ( Q ) : x= + y + z 10 x = 2t A y = t z = t x = t B y = t z = 3t x = 2t C y = −5t z = t x= + 2t D y =−5 + 5t z = 1+ t Lời giải Chọn C có vectơ pháp tuyến n1 = (1;1;3) , ( Q ) có vectơ pháp tuyến n2 = ( 2;1;1) Gọi u vectơ phương đường thẳng d cần tìm Vì d song song với hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) nên u ⊥ n1 , u ⊥ n2 n1 , n2 = u = ( −2;5; −1) Suy ra: Phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O ( 0;0;0 ) có vectơ phương u ′ ( 2; −5;1) ( P) x = 2t y = −5t Vậy, chọn đáp án z = t C Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P ) A B C Lời giải Sưu tầm biên soạn D Page 10 ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II MÔN: TOÁN 12 – ĐỀ SỐ: 14 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm) Câu 1: Biết F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) Giá trị ∫ ( + f ( x) ) dx A Câu 2: 23 B C D 15 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [ a; b ] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng= x a= , x b tính theo cơng thức B S = ∫ f ( x ) dx a C S = − ∫ f ( x ) dx D S = ∫ f ( x ) dx a a a Câu 3: b b b A S = ∫ f ( x ) dx b Cho hàm số f ( x ) liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f ( x), y = 0, x = −1, x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = ∫ −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 1 −1 −1 C S = − ∫ f ( x ) dx+ ∫ f ( x ) dx Câu 4: B S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx D S = 1 −1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng= x a= , x b ( a < b ) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo công thức: A V = π b ∫ f ( x )dx a Câu 5: B V = π ∫ f ( x )dx a b C V = 2π ∫ f ( x )dx D V = π b ∫ f ( x )dx a a ∫ 6x dx A 6x + C Câu 6: b B x + C C x +C D 30x + C Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x A ∫= x dx x ln + C B ∫ x= dx 7x +C ln C ∫ x= dx x +1 + C x D ∫ 7= dx x +1 +C x +1 Câu 7: Nếu ∫ f ( x ) dx = −2 3 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx A −3 B −1 C D Câu 8: Số phức −3 + 7i có phần ảo bằng: A B −7 C −3 D Câu 9: Số phức liên hợp số phức z =−2 + 5i A z= − 5i B z= + 5i C z =−2 + 5i D z =−2 − 5i Câu 10: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z =−1 + 2i điểm đây? A Q (1; ) B P ( −1; ) C N (1; −2 ) D M ( −1; −2 ) Câu 11: Cho hai số phức z1 =−3 + i z2 = − i Phần ảo số phức z1 + z2 A −2 B 2i C D −2i Câu 12: Cho hai số phức z1= − i z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ A ( 0; ) B ( 5; −1) C ( −1; ) D ( 5; ) Câu 13: Cho số phức z thỏamãn z (1 + i ) =3 − 5i Tính môđun z A z = 17 B z = 16 C z = 17 D z = Câu 14: Phương trình bậc hai sau có nghiệm − 2i ? A z − z + = B z + z + = C z − z + = 0 D z + z + = Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 3; −2;0 ) Một vectơ phương đường thẳng AB B.= A u = ( −1; 2;1) u (1; 2; −1) C = u ( 2; −4; ) D = u ( 2; 4; −2 ) Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; −2;3) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( Oyz ) điểm M Tọa độ điểm M A M (1; −2;0 ) B M ( 0; −2;3) C M (1;0;0 ) D M (1;0;3) Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , vectơ sau vectơ pháp tuyến 0? mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A n =− ( 3; − 9; 15) B n =( −1; −3; 5) = C n ( 2; 6; − 10 ) D n =− ( 2; − 6; − 10 ) Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; −3) đến mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 A B 11 C D Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , vectơ sau vectơ phương đường thẳng x =−1 + 2t ? y =1 z= − t u2 A.= B u4 = ( 2;1; ) ( 2;0; − 1) C u3 = ( 2;0; ) D u1 = ( −1;1; ) − y +1 z − Câu 20: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng ( d ) có phương trình tắc x= = Vectơ vectơ phương đường thẳng ( d ) ? u ( 3; −4; ) u ( 5; −1;6 ) B = C = A u = ( 3; 4; ) −4 D u = ( −5;1; −6 ) Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sin x B ∫ cos= xdx +C A ∫ cos= xdx 3sin x + C C ∫ cos 3= xdx sin x + C Câu 22: Tìm nguyên hàm A Câu 23: ∫ x(x 16 x + 7) + C ( dx ∫ 2x + + ) dx ? sin x D ∫ cos xdx = − +C 15 B − 16 16 2 x + ) + C C x + 7) + C ( ( 32 16 D 16 x + 7) + C ( 32 A ln 35 B ln C ln D ln π Câu 24: Tính tích phân I = ∫ x cos x dx A π −1 B π +1 C 2 Câu 25: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ sau: A 10 B C 13 D D π 11 Câu 26: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − + i =2 đường trịn có tâm bán kính là: 4 A I ( −1;1) , R = B I ( −1;1) , R = C I (1; − 1) , R = D I (1; − 1) , R = Câu 27: Cho số phức z =−2 + 3i , số phức (1 + i ) z A −5 − i B −1 + 5i C − 5i D − i A z = 17 B z = 16 C z = 17 D z = Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) =3 − 5i Tính mơđun z Câu 29: Trên tập số phức, gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = Biết A, B hai điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng AB A 2 B C D Tính Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = bán kính r mặt cầu A r = 2 B r = 26 C r = D r = Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ phương a= (1; −2; ) ? x= + t A y =−3 − 2t z =−1 + 2t x = + 2t B y =−2 − 3t z= − t x = − 2t C y =−2 + 3t z= + t x =−2 + t D y= − 2t z = + 2t Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất giá trị m để phương trình x2 + y + z − 2x − y − 4z + m = phương trình mặt cầu A m > B m ≥ C m ≤ D m < Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + ( m + 1) y − z + m = ( Q ) : x − y + =0 , với m tham số thực Để ( P ) ( Q ) vuông góc giá trị m bao nhiêu? A m = −5 B m = C m = D m = −1 Câu 34: Trong khơng gian Oxyz , tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng 0? ( P) : x + y − 3z + = (Q) : x − y + z + = A (1;1;1) B ( 2;1;1) C (1; −1;1) D (1;1; −1) Câu 35: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) chứa trục Oy qua điểm M (1; −1;1) là: A (1;0; −1) C (1; −1;0 ) B (1;0;1) D (1;1;0 ) II PHẦN TỰ LUẬN Câu 36: (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = e2 ∫x Câu 37: ln x dx + ln x (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −1; ) mặt Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến phẳng ( P ) : x + y + z + = đường tròn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( S ) Câu 38: (0,5 điểm) Cho số phức z= a + bi ( a, b ∈ ) ( thực Tính a + b Câu 39: (0,5 điểm) Cho số phức A 5−2 z Số phức z − i có mơđun nhỏ là: thỏa mãn z − − 2i = B − ) thỏa mãn z − = z − ( z + ) z − i số C + HẾT D +2 HƯƠNS DẪN GIẢI CHI TIẾT I PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu – 7,0 điểm) Câu 1: Biết F ( x ) = x nguyên hàm hàm số f ( x ) Giá trị ∫ ( + f ( x) ) dx A 23 B C D Lời giải 15 Chọn C Ta có Câu 2: 2 1 ∫ ( + f ( x) ) dx = ∫ 2dx + ∫ f ( x)dx = x 2 2 + F ( x) = x + x3 = 1 1 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [ a; b ] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng= x a= , x b tính theo công thức b b A S = ∫ f ( x ) dx B S = ∫ f ( x ) dx a a b a C S = − ∫ f ( x ) dx D S = ∫ f ( x ) dx a b Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng b = x a= , x b tính cơng thức: S = ∫ f ( x ) dx a Câu 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f ( x), y = 0, x = −1, x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = −1 ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx −1 C S = − ∫ f ( x ) dx+ ∫ f ( x ) dx B S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 D S = Lời giải Chọn D = S 2 −1 −1 ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 1 −1 ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Nhìn hình ta thấy hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [ −1;1] nên ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ ∫ f ( x )dx ; hàm số f ( x ) liên tục nhận giá trị âm đoạn [1; 2] nên −1 f ( x ) dx = − ∫ f ( x )dx Vậy S = ∫ −1 Câu 4: f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng= x a= , x b ( a < b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức: A V = π b b ∫ f ( x )dx B V = π ∫ f ( x )dx a a b C V = 2π ∫ f ( x )dx D V = π a b ∫ f ( x )dx a Lời giải Chọn B Câu 5: ∫ 6x dx A 6x + C B x + C C Lời giải x +C D 30x + C Chọn B Ta có: ∫ 6x5 dx = x6 + C Câu 6: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x A ∫= dx ln + C 7x B ∫ = dx +C ln C ∫ x= dx x +1 + C x D ∫ 7= dx x x x x +1 +C x +1 Lời giải ax Áp dụng công thức ∫ a dx= + C , ( < a ≠ 1) ta đáp án B ln a x Câu 7: ∫ Nếu A −3 f ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) dx = B −1 ∫ f ( x ) dx C Lời giải Chọn B Ta có 3 1 ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =−2 + =−1 D Câu 8: Số phức −3 + 7i có phần ảo bằng: B −7 A Chọn A Câu 9: C −3 Lời giải D Số phức liên hợp số phức z =−2 + 5i A z= − 5i B z= + 5i C z =−2 + 5i Lời giải D z =−2 − 5i Chọn D Số phức liên hợp số phức z =−2 + 5i z =−2 − 5i Câu 10: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z =−1 + 2i điểm đây? A Q (1; ) B P ( −1; ) C N (1; −2 ) D M ( −1; −2 ) Lời giải Chọn B Điểm biểu diễn số phức z =−1 + 2i điểm P ( −1; ) Câu 11: Cho hai số phức z1 =−3 + i z2 = − i Phần ảo số phức z1 + z2 A −2 B 2i C D −2i Lờigiải Chọn C Ta có: z2 = + i Do z1 + z2 =(−3 + i ) + (1 + i ) =−2 + 2i Vậy phần ảo số phức z1 + z2 Câu 12: Cho hai số phức z1= − i z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ A ( 0; ) B ( 5; −1) C ( −1; ) D ( 5; ) Lờigiải ChọnB Ta có z1 + z2 =5 − i Câu 13: Cho số phức z thỏamãn z (1 + i ) =3 − 5i Tính mơđun z A z = 17 B z = 16 − 5i z (1 + i ) =3 − 5i ⇔ z = =−1 − 4i ⇒ z = 1+ i C z = 17 D z = Lờigiải ( −1) + ( −4 ) 2 = 17 Câu 14: Phương trình bậc hai sau có nghiệm − 2i ? A z − z + = B z + z + = C z − z + = 0 D z + z + = Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 3; −2;0 ) Một vectơ phương đường thẳng AB A u = ( −1; 2;1) B.= u (1; 2; −1) C = u ( 2; −4; ) D = u ( 2; 4; −2 ) Lời giải: Ta có: AB = ( 2; −4; −2 ) =−2 ( −1; 2;1) Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1; −2;3) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( Oyz ) điểm M Tọa độ điểm M A M (1; −2;0 ) B M ( 0; −2;3) C M (1;0;0 ) D M (1;0;3) Lời giải Chọn B Điểm M hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( Oyz ) , hồnh độ điểm A : xA = Do tọa độ điểm M ( 0; −2;3) Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , vectơ sau vectơ pháp tuyến 0? mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A n =− ( 3; − 9; 15) B n =( −1; −3; 5) = C n ( 2; 6; − 10 ) D n =− ( 2; − 6; − 10 ) Lời giải Chọn D Vectơ pháp tuyến mặt phẳng n= ( P ) (1;3; −5 ) Vì vectơ n =− ( 2; − 6; − 10 ) không phương với n( P ) nên vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; −3) đến mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 A B 11 Chọn D d ( M , ( P )) Ta có = C Lời giải D 1+ + − = 1+ + Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , vectơ sau vectơ phương đường thẳng x =−1 + 2t ? y =1 z= − t u2 ( 2;0; − 1) A.= B u4 = ( 2;1; ) C u3 = ( 2;0; ) Lời giải D u1 = ( −1;1; ) Chọn A u2 Vectơ phương đường thẳng là= ( 2;0; − 1) − y +1 z − Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ( d ) có phương trình tắc x= = Vectơ vectơ phương đường thẳng ( d ) ? u ( 5; −1;6 ) u ( 3; −4; ) A u = ( 3; 4; ) B = C = −4 D u = ( −5;1; −6 ) Lời giải Chọn C Câu 21: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x sin x B ∫ cos= +C xdx A ∫ cos= xdx 3sin x + C sin x D ∫ cos xdx = − +C C ∫ cos 3= xdx sin x + C Lời giải Chọn B sin x Ta có: ∫ cos= +C xdx Câu 22: Tìm nguyên hàm A ∫ x(x 16 x + 7) + C ( 2 + ) dx ? 15 B − 16 16 2 x + 7) + C x + ) + C C ( ( 16 32 Lời giải D 16 x + 7) + C ( 32 Chọn D ∫ x(x Câu 23: + ) dx = 15 dx ∫ 2x + A 15 16 1 x2 + ) d ( x2 + = x + 7) + C 7) ( ( ∫ 32 ln 35 B ln C Lời giải ln D ln Chọn C Ta có 2 dx 1 ln x + = ( ln − ln 5=) ln ∫1 x + = 2 π Câu 24: Tính tích phân I = ∫ x cos x dx A π −1 Chọn A B π +1 C Lời giải D π du = dx u = x Đặt: ⇒ v = sin x dv = cos x dx π π = = I x sin x 02 − ∫ sin x dx π ( x sin x + cos x ) 02= π −1 Câu 25: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ sau: A 10 13 Lời giải B C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y= D 11 x , y= x − : x ≥ x ≥ x = x−2⇔ ⇔ x = ⇔ x ( x − 2) = x − 5x + = Diện tích hình phẳng cần tìm = S ∫ x dx − ∫ ( x − ) d= x 10 (đvdt) Câu 26: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − + i =2 đường trịn có tâm bán kính là: 2 A I ( −1;1) , R = B I ( −1;1) , R = C I (1; − 1) , R = D I (1; − 1) , R = Lời giải Gọi z= a + bi , với x, y ∈ , ta có: z − + i =2 ⇔ x + yi − + i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1; − 1) , bán kính R = Câu 27: Cho số phức z =−2 + 3i , số phức (1 + i ) z A −5 − i B −1 + 5i C − 5i Lời giải D − i ChọnC Ta có z =−2 + 3i ⇒ z =−2 − 3i Do (1 + i ) z = (1 + i ) ( −2 − 3i ) = − 5i Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) =3 − 5i Tính mơđun z B z = 16 A z = 17 C z = 17 D z = Lời giải − 5i 2 =−1 − 4i ⇒ z = ( −1) + ( −4 ) = 17 z (1 + i ) =3 − 5i ⇔ z = 1+ i Câu 29: Trên tập số phức, gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = Biết A, B hai điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng AB B A 2 C Lời giải: D z1 = + i ⇒ A (1;1) Ta có: z − z + = ⇔ z2 = − i ⇒ B (1; −1) Ta có: AB = ( 0; −2 ) ⇒ AB = ⇒ Chọn đáp án B Tính Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = bán kính r mặt cầu A r = 2 B r = 26 D r = C r = Lời giải: r Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; − 1; ) bán kính = 12 + ( −1) + 22 − ( −2 ) = 2 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ phương a= (1; −2; ) ? x= + t A y =−3 − 2t z =−1 + 2t x = + 2t B y =−2 − 3t z= − t x = − 2t C y =−2 + 3t z= + t x =−2 + t D y= − 2t z = + 2t Lời giải Chọn D x =−2 + t Phương trình tham số d y= − 2t z = + 2t Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất giá trị m để phương trình x2 + y + z − 2x − y − z + m = phương trình mặt cầu A m > Chọn D Ta có: B m ≥ C m ≤ Lời giải D m < x2 + y + z − 2x − y − z + m = ⇔ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − )2 =6 − m Để phương trình phương trình mặt cầu − m > ⇔ m < Vậy giá trị cần tìm m m < Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + ( m + 1) y − z + m = ( Q ) : x − y + =0 , với m bao nhiêu? A m = −5 tham số thực Để ( P ) ( Q ) vng góc giá trị B m = C m = Lời giải Chọn B m D m = −1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : n (1; m+1; − ) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( Q ) : m ( 2; −1;0 ) Theo yêu cầu toán: n.m = ⇔ − ( m + 1) = ⇔ − m − = ⇔ m = Câu 34: Trong không gian Oxyz , tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng ( P) : x + y − 3z + = (Q ) : x − y + z + = 0? A (1;1;1) B ( 2;1;1) C (1; −1;1) D (1;1; −1) Lời giải Chọn A Mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng x + y − z + =0 x − y + z + =0 có vectơ pháp tuyến vng góc với hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng n = n1 , n2 =− ( 7; −7; −7 ) =−7 (1;1;1) Do vectơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm (1;1;1) Câu 35: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) chứa trục Oy qua điểm M (1; −1;1) là: A (1;0; −1) B (1;0;1) C (1; −1;0 ) Lời giải Chọn A → → → = n = P O qua có VTPT ( ) j ; OM (1;0; −1) II PHẦN TỰ LUẬN Câu 36: (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = e2 ∫x ln x dx + ln x Lời giải t − dx t ln x = ⇒ = t.dt Đặt + ln x =⇒ x x =1 ⇒ t =1 Đổi cận x = e ⇒ t = D (1;1;0 ) Suy ra: ln x ( t − 1) tdt dx I ∫= = ∫1 t x + ln x e2 3 1 t3 = ∫ ( t − 1) dt = − t 81 8 1 = Câu 37: 1 2 6+ = 8 3 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3; −1;2 ) mặt Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến phẳng ( P ) : x + y + z + = đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( S ) Lời giải: 2.3 − + 2.2 + = 22 + 12 + 22 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng= ( P ) : h d= ( I , ( P )) Gọi R bán kính mặt cầu ( S ) , r bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) , ta có R = r + h2 = 32 + 42 = 2 Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I ( 3; 2; −1) bán kính R = ( x − 3) + ( y + 1) + ( z − ) = 25 Câu 38: (0,5 điểm) Cho số phức z= a + bi ( a, b ∈ ) thực Tính a + b thỏa mãn z − = z − ( z + ) ( z − i ) số Lời giải Ta có ( a, b ∈ ) +) z − = z − ⇔ a − + bi = a − + bi ⇔ ( a − 3) + b2 = ( a − 1) + b2 ⇔ ( a − 3) + b = ( a − 1) + b ⇔ −4a + =0 ⇔ a = 2 +) ( z + ) ( z − i ) = ( a + bi + )( a − bi − i ) = ( a + ) + bi a − ( b + 1) i = a ( a + ) + b ( b + 1) − ( a + 2b + ) i ( z + ) ( z − i ) số thực ⇔ a + 2b + = Thay a = tìm b = −2 Vậy a + b = Câu 39: (0,5 điểm) Cho số phức z Số phức z − i có mơđun nhỏ thỏa mãn z − − 2i = Lời giải Cách 1: Đặt w = z − i ⇒ z = w + i Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn hình học số phức w ta được: Từ giả thiết z − − 2i = 2 w + i − − 2i =1 ⇔ w − − i = ⇔ ( x − ) + ( y − 1) i = ⇔ ( x − ) + ( y − 1) = Suy tập hợp điểm M ( x; y ) biểu diễn cho số phức w đường trịn ( C ) có tâm I ( 2;1) bán kính R = Giả sử OI cắt đường tròn ( C ) hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w = OM Mà OM + MI ≥ OI ⇔ OM + MI ≥ OA + AI ⇔ OM ≥ OA Nên w nhỏ OA = OI − IA = −1 M ≡ A Cách 2: ⇒ ( a − 2) + (b − 2) = a + bi ( a, b ∈ ) Từ z − − 2i = với z = 2 a= − sin x; b= − cos x ⇒ a = + sin x, b = + cos x Khi đó: z − i = + sin x + ( + cos x ) i − i = ( + sin x ) + (1 + cos x ) 2 =+ ( sin x + cos x ) ≥ 6− (4 + 22 )( sin x + cos x ) = − = ( ) −1 = −1 sin x = − 4 cos x = 2sin x ⇒ Nên z − i nhỏ − −2 4sin x + cos x = cos x = − Ta z = − Cách 3: 5 5 + − i Sử dụng bất đẳng thức z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2 z −i = ( z − − 2i ) + ( + i ) ≥ z − − 2i − + i = −1