Ôn thi đại học mũ và logarit bao gồm 6 chuyên đề trọng tâm của hàm mũ và hàm logarit Tóm tắt lý thuyết và đưa ra ví dụ, bài tập chi tiết. Chuyên đề cuối là nội dung tổng hợp cùng các dạng bài thường xuất hiện trong đề thi đại học
VẤN ĐỀ 1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Với các số thực dương , 0, a b , m n là hai số thực bất kì, ta có các tính chất cơ bản sau: m n m n a a a m m n n a a a ( ) m m m a b ab m m m a a b b ( ) ( ) m n n m mn a a a * ( , ) m mn n a a m n N II. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 0,75 2 0,5 3 1 27 25 16 C Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 9 4 3 2 3 a a a a C a a a a Dạng 2: So sánh hai số thực Ví dụ 3: So sánh hai số 3 3 30 và 3 63 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lũy thừa Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau: 3 2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2 a a b b a b a b III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1. Không dùng máy tính, hãy thực hiện các phép tính sau a) 1 3 3 5 0,75 1 1 81 125 32 A b) 1 2 1 1 2 0 2 3 3 3 0,001 ( 2) .64 8 (9 ) B c) 0,75 2 0,5 3 1 27 25 16 C 2. Rút gọn biểu thức a) 2 1 2 1 . , 0 A a a a b) 2 3 ( 3 1) : , 0. B b b b c) 4 ( 5) C a d) 4 2 81 , 0. D a b b e) (4 ) , 4. 4 x E x x x 3. Rút gọn các biểu thức sau: c) 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 9 4 3 2 3 a a a a C a a a a d) 0; n n n n n n n n a b a b D ab a b a b a b 4. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau: a) 6 3 1 , ( 0, 0) a b a b b) 1 3 2 c) 5 4 11 d) 3 3 1 5 2 5. Tìm các số thực sao cho a) 1 ( ) 1 ( 0). 2 a a a b) 3 27 6. So sánh các số a) 2 và 3 3 b*) 3 3 30 và 3 63 c*) 3 15 7 và 3 10 28 7. Viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau: a) 5 3 2 2 2 b) 11 16 : , 0 a a a a a a c) 2 4 3 , 0 x x x d) 5 3 ( 0) b a ab a b 8. * Chứng minh rằng a) 3 3 7 5 2 7 5 2 2 b) 3 2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2 a a b b a b a b ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC 1a) 80 27 1b) 29 4 1c) 12 2a) a 2b) 3 4 b 2c) (a – 5) 2 2d) 2 9a b 2e) x(x 4) 3a) 9a 3b) n n 2n 2n 4a b b a 4a) 6 3 5 a b ab 4b) 3 2 4c) 4 11 4d) 33 3 1 25 10 4 3 5a) a 1: 0, a 1: 5b) 3;3 6a) < 6b) > 6c) < 7a) 3 10 2 7b) 1 4 a 7c) 7 12 x 7d) 2 15 b a 8a) 3 7 5 2 (1 2) VẤN ĐỀ 2. LÔGARIT VÀ CÁC CÔNG THỨC Dạng 1. Sử dụng định nghĩa để tính lôgarit Với 0 1, 0. a b Ta có: i) log 1 0 a ii) log 1 a a iii) log a b a b iv) log b a a b Các ví dụ: Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa logarit, tính: a). 1 27 1 log 81 b). 2 1 log 8 1 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị của x biết log 8 3. x Luyện tập: 1. Sử dụng định nghĩa lôgarit, tính các giá trị sau: a) 2 log 4 b) 1 4 log 2 c) 5 1 log 25 d) 27 log 9 2. Tìm x biết a) 0,1 log 2 x b) 81 1 log 2 x c) log 7 1 x d) log 8 3. x 3. Tính giá trị các biểu thức sau đây: a) 3 2log 5 3 b) 1 2 log 8 c) 2 1 log 7 4 d) 5 1 log 3 1 25 Dạng 2. Sử dụng các quy tắc để tính lôgarit Với 1 2 0 1, 0, 0. a b b Ta có: a) 1 2 1 2 log ( ) log log a a a bb b b b) 1 1 2 2 log log log . a a a b b b b Với 0 1, 0 a b : , log log a a b b Từ đó có: * 1 , log log n a a n b b n ; 1 log log a a b b Các ví dụ: Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau đây: a) 6 6 log 9 log 4 b) 1 1 1 2 2 2 1 3 log 2 2log log 3 8 Ví dụ 4: Cho 0, 0, 0, 0. a b c d Tính 2 3 7 4 5 log . a b c d e Luyện tập: 4. Cho 3 5 1 2 2 , 2 . b b Tính 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 log log ;log log ;log ( ) b b b b bb và 1 2 2 log . b b Từ đó suy ra các đẳng thức bằng nhau giữa chúng. 5. Tính giá trị các biểu thức sau đây: a) 6 6 log 9 log 4 b) 1 1 1 2 2 2 1 3 log 2 2log log 3 8 c) 7 7 log 49 log 343 6. Khẳng định 2 ''log ( 1) log ( 1) log ( 1), ( , 1), 0 1'' a a a x x x x a đúng hay sai? Vì sao? 7. Tìm x biết rằng: a) 3 log (1 ) 2. x b) 3 9 3 log log . 2 x x 8. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 1 7 2 log 4 b) 5 5 1 log 3 log 15 2 c) 7 7 7 log 16 log 15 log 30 d) 5 5 5 1 log 3 log 12 log 50 2 9. a) Cho 0, 0, 0, 0. a b c d Tính 2 3 7 4 5 log . a b c d e b) Cho 0, 0. b c d e Tính 2 5 3 ( ) log . ( ) a b c d e Dạng 3. Sử dụng công thức đổi cơ số để tính lôgarit Với 0 1, 0. a b Khi đó 0 1, c log log .log . a a c b c b Từ đó có các công thức đổi cơ số sau: a) log log . log a c a b b c b) 1 log , 1. log a b b b a c) 1 log log . a a b b Các ví dụ: Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: 1 9 3 3 1 A log 7 2log 49 log 7 Luyện tập: 10. Áp dụng bài trên, tính giá trị các biểu thức sau: a) 4 log 15 2 b) 1 27 log 2 3 c) 1 3 2 4 log log 4.log 3 11. Rút gọn biểu thức a) 1 9 3 3 1 A log 7 2log 49 log 7 b) 1 125 5 1 log 27 log 81 2 B 25 Dạng 4. So sánh hai lôgarit cùng cơ số Với 0 1, 0, 0: a b c a) Khi 1 a thì log log . a a b c b c b) Khi 0 1 a thì log log . a a b c b c Các ví dụ: Ví dụ 6: So sánh các số sau đây a) 3 log 4 và 4 1 log 3 b) 3 4 2 log 5 và 5 2 3 log 4 Ví dụ 7: Cho 0 1. a Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) log 4 . a a b) log 1 (2 ) . a a Luyện tập: 12. Từ bài trên hãy suy ra rằng: a) Khi 1 a thì log 0 1. a b b b) Khi 0 1 a thì log 0 1. a b b c) log log . a a b c b c 13. Các lôgarit sau đây dương hay âm? a) 2 log 5 b) 5 log 2 c) 0,2 log 0,8 d) 1 5 log 7 14. So sánh các số sau đây a) 3 log 4 và 4 1 log 3 b) 3 0,1 log 2 và 0,2 log 0,34 c) 3 4 2 log 5 và 5 2 3 log 4 d) 6 log 3 2 và 6 1 log 2 3 15. Cho 0 1. a Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) 3 log . a a b) 4 1 3 log . a a c) 7 1 log . a a 16. Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) 2 log 3 4 b) 9 log 2 27 c) 3 log 2 9 d) 8 log 27 4 17. Cho 0 1. a Tìm giá trị bằng số của các biểu thức a) log 4 . a a b) log 1 (2 ) . a a c) 2 4log 5 . a a Dạng 5. Bài tập tổng hợp Ta có: 10 log : lg x x Các ví dụ: Ví dụ 8: Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa. Chứng minh: log log log ( ) . 1 log a a ax a b x bx x Luyện tập: 18. Tìm 49 log 32 , nếu 2 log 14 . a 19. Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa. Chứng minh: a) log log log ( ) . 1 log a a ax a b x bx x b) 2 1 1 1 ( 1) . log log log 2log k a a a a k k x x x x 20. Cho biết lg3 = 0,477. Hãy tính: a) lg 9000 b) lg 0,000027 c) 81 1 log 100 ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 2. LÔGARIT 1a) 2 1b) 1 2 1c) 2 1d) 2 3 2a) x = 100 2b) x = 9 2c) 1 x 7 2d) x = 4 3a) 25 3b) 3 3c) 1 49 3d) 9 7a) 2 7b) 1 2 1 2 log 3 7c) 1 9a) 8 x 9b) 3 x 11a) 2 7 11b) 1 2 11c) 4 11d) 2 12a) a a a a 2 3 4 5 log b log c log d log e 7 7 7 7 12b) a a 2 3 log (b c) log (d e) 5 5 14a) 15 14b) 3 1 2 14c) 1 2 15a) 3 log 343 15b) 3 5 9 81 18a) dương 18b) dương 18c) dương 18d) âm 19) lớn hơn 19b) bé hơn 19c) lớn hơn 19d) lớn hơn 20a) 1 3 20b) 1 12 20c) 7 21a) 9 21b) 2 2 21c) 16 21d) 9 22a) 16 22b) 1 22c) 25 23) 5 2(a 1) 25a) 3,954 25b) 4,569 25c) 0,954 biến khi 1, a nghịch biến khi 0 1". a Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó? Vì sao? a) 1 3 2 x y b) 1 3( 3 2) log y x Luyện tập: 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của nó? Vì sao? a) 1 3 2 x y b) 2 log e y x c) x y ) 32 3 ( d) 1 3( 3 2) log y x Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số mũ và lôgarit Phương pháp: Sử dụng các công thức x x x ) 1 1(lim 0 ln(1 ) lim 1 x x x 0 1 lim 1 x x e x Các ví dụ: Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 2 5 0 lim x x x e e x Luyện tập: 2. Tìm các giới hạn sau: a) 2 3 2 0 lim x x e e x b) 2 5 0 lim x x x e e x c) 0 ln(1 3 ) lim x x x d) 2 0 ln(1 ) lim x x x e) 0 1 lim sin x x e x Dạng 3. Tìm đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit Phương pháp: Sử dụng các công thức ' ln x x a a a ' .ln . ' u u a a a u ' x x e e VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Dạng 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Phương pháp: Sử dụng tính chất "Hàm số mũ y a x và hàm số lôgarit y log a x đồng 1 log ' ln a x x a 1 log ' ' ln a u u u a 1 ln ' x x Các ví dụ: Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số: a) 2 2 ( 1) x y x e b) 2 sin sin 2 2 x x e x e x x Luyện tập: 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 2 ( 1) x y x e b) x 2 sin y e x c) 2 ln(2 ) y x x d) 2 4 1 x y x e e) 2 x x e e y g) 2 2 1 ln y x x h) 2 (3 2)ln y x x i) 1 ln 1 y x x k) 2 ln( 1) x y x 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 2 2 1 x x x e b) 2 sin sin 2 2 x x e x e x x c) 2 4 1 2 x x x d) 2 4 4 4 2 2 2 1 x x x x e xe x e e) 2 x x e e g) 2 2 2 ln 2 1 1 x x x x x h) 2 3ln (3 2)ln x x x i) 2 1 ln 1 ( 1) x x x k) 2 2 2 2 2 ( 1)ln( 1) x x x x Dạng 4. Tìm đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit Phương pháp: Sử dụng các công thức 1 ' . x x và 1 ' . . ' u u u Các ví dụ: Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số sau: 37 ln 5 y x Luyện tập: 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây: a) 2 y x a b) 37 ln 5 y x c) 3 3 3 1 1 x y x d) 3 y cosx [...]... Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit Các ví dụ: 2 Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau đây: y ( ) x 3 Luyện tập: 6 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) y 2 x 2 b) y ( ) x 3 c) y log 2 x d) y log 2 x 3 Bài tập tổng hợp Các ví dụ: Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: b) y 101sin a) y ln(2 sin x) 3 x Luyện tâp: 7 (Ôn học kỳ I – Marie... trình: lg 2 x m lg x m 3 0 có nghiệm x 1 12 Tìm m để bất phương trình: m log 2 3x 1 log 2 2.3x 2 1 m có nghiệm thuộc khoảng 0; 2 VẤN ĐỀ 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1: Giải hệ bằng phương pháp biến đổi tương đương Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 3y 2x 2 y 25.2 x x.y 1 a) x b) 2 2 21 y lg x lg y 2 y y... PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ A PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1 Phương trình mũ cơ bản Ta có: m 0, a x m x log a m Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: a) 2 x2 x 4 b) 2 3 4 2x 2 3 c) 8 x x 2 36.3 2 x Luyện tập: 1 Giải phương trình a) 2 x 2 x4 b) 5 x 100 4 c) 2 3 2x d) 2.3x 6.3x 1 3x 9 2 3 Dạng 2 Sử dụng phương pháp đưa về cùng một cơ số f x g x Công thức... 2 x 2 y 0 c) log 4 y 2 x 2 0 x 1 3 3x k 0 7 Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 1 1 2 3 log 2 x log 2 ( x 1) 1 2 3 CHUYÊN ĐỀ : ÔN TẬP TỔNG HỢP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Kiểu 1: Đưa về cùng cơ số 1 a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) g ( x) 0 2 log a f ( x ) log a g ( x) f ( x ) g ( x... phương trình mũ 2x 2 2 2 4 22x y 4y 1 VD12: Giải hệ phương trình: 2 2y 2 2 3.22x y 16 Đs: (1;2) và (-1;2) 2 x 1 x 2 3.2 y 2 2 VD13: Giải hệ phương trình: 2y 2 3y 22 x 2 Đs: (0;1), (1;2) và (-1;2) log 3 log2 xy 9 3 2 xy 2 (1) VD14: Giải phương trình: x 1 2 y 1 2 1(2) Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;2) và (2;1)... 4 x2 Luyện tập: 12 Giải các bất phương trình sau: 2 x 1 4 x 16 a) 4 b) 2 x 3 x x2 1t 2 5m 4 0 c) x 4 8e x 1 x x 2 e x1 8 5 Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1 Phương trình lôgarit cơ bản Ta có: log a x m x a m Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: log 4 x 2 3 Luyện tập: 1 Giải phương trình: 3 3 8 2 x... log 2 1 3sin y log3 cos x 2 2008x x 1 20081 x 1 2008 x 2008 5 Tìm giá trị của m để hệ sau có nghiệm thực: 4 2 m 1 x 2mx m 1 0 B HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Các ví dụ: x 1 lg 2 lg 2 x 1 1 lg 7.2 x 12 Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau: log x x 2 2 Luyện tập: 6 Giải các hệ bấp phương trình sau: x2 4 0... nghiệm (2;2) và (-2;-2) 2x 2x 3 y VD16: Giải hệ phương trình: y 2 2y 3 x Vậy hệ đã cho có nghiệm x=y=1 2x 2y y x xy 2 (1) VD17: Giải hệ phương trình: 2 x y 2 2 (2) Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (1;1) và (-1;-1) x 2 2 2 3y 1 2x 2 3y 1 VD18: Giải hệ phương trình: x y2 1 2 3 1 Vậy hệ có 2 căp nghiệm (0;1) và (0;-1) ... 2 x 2) log g) log x 2 2 2 3 2 3 ( x 2 2 x 3) Dạng 5 Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất Các ví dụ: Ví dụ 7: Giải phương trình: log 5 5 x 4 1 x Luyện tập: 8 Giải các phương trình sau: a) lg x 2 x 6 x 2 x 3 lg x 3 3 x b) log 5 5 x 4 1 x B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1: Đưa về cùng cơ số a 1 f ( x ) g ( x) 0 Ta có:... log9 x log10 x 1 f log 3 ( x 1) log 1 (3x 2)4 log 1 ( x 2 1) 2 3 34 g 2 log9 x 2 log3 x log 3 2x 1 1 Ds : x 1 và x 4 h log2 x x 2 1 log3 x x 2 1 log6 x x 2 1 1 log 2 log 2 Ds : x 1 và x 3 6 3 6 2 Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: l o g x 2 ax l o g x a 1 Đs: a > 1 Bài 3: Giải các . cosx Dạng 5. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit Các ví dụ: Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau đây: x y ) 3 2 ( Luyện tập: 6. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm. đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit Phương pháp: Sử dụng các công thức ' ln x x a a a ' .ln . ' u u a a a u ' x x e e VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT. a b) 3 27 6. So sánh các số a) 2 và 3 3 b*) 3 3 30 và 3 63 c*) 3 15 7 và 3 10 28 7. Viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau: a) 5 3 2 2 2 b) 11 16 :