Gioi han ham so

GiỚI HẠN HÀM SỐ http://e-learning.hcmut.edu.vn/ Khái niệm giới hạn hàm số Hàm số y = f(x) xác định lân cận x0( khơng xác định x0) Nếu giá trị f(x) gần với a x đủ gần x0 a gọi giới hạn f x0 Xem VD số sau đây: sin x / f (x)  , x  x f(x) không xác định 0, x  f(x)  x  0.1000    0.01000    0.001000    0.0001000    0.00001000 f(x) 0.8415  0.9588  0.9816  0.9896  0.9935 sin x , Đồ thị hàm số f ( x )  x không bị đứt x  Lúc coi f(0)  (giới hạn f x = 1)  / f ( x ) sin , x  x f(x) không xác định 0, x  f(x)  SAI   x    2k , k  Z 4k  x x f(x) 0   0.5 0   0  0.1  0.0001     0.000001   f(x) = Có vô số giá trị x gần mà f(x) = 0, f(x)=1 ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ lim f ( x ) a (hữu hạn) x  x0    0,   : x  x0    f ( x )  a    x  D & x  x0  Hạn chế đn: f(x) a Phải chia nhiều trường hợp   x X0 tùy thuộc vào giá trị xo a vô hạn hay hữu hạn ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY lim f ( x ) a   xn   D & xn  x0 , x  x0 lim xn  x0 n  lim f ( xn ) a n  Tiện ích đn: Áp dụng chung cho trường hợp a hay xo  Các tính chất phép tốn giới hạn dãy cho giới hạn hàm số Dễ dàng việc chứng minh hàm số khơng có giới hạn VÍ DỤ ÁP DỤNG f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )  Chứng minh: xlim x x x x x Giả sử: lim f ( x ) a x  x0 lim g ( x ) b (), x  x0 Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm Df Dg) cho: lim xn x0 n  Từ (), theo đn:  Vậy: lim f ( xn ) a & lim g ( xn ) b n  n  lim  f ( xn )  g ( xn )  a  b n  lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 x  x0 Giới hạn cho hàm mũ v (x) Xét hàm số có dạng: f ( x )  u ( x )   lim u ( x ) a   x  x0  v ( x ) b  xlim  x0  lim f ( x ) a b x  x0 Chứng minh: v (x) lim  u ( x )  x  x0  lim ev ( x )ln u ( x ) x  x0 e bln a a b Phương pháp chứng minh hàm khơng có giới hạn Chọn dãy {xn} {x’n} cho:  lim xn  lim xn  x0 n  n   f ( xn )  lim f ( xn ) nlim  n  Ví dụ: Chứng minh f ( x )  khơng có gh x  x n  n  0, f ( xn ) n + Chọn xn  n n  0, f ( xn )  n n  xn   n  lim f ( xn )  lim f ( xn ) n  n  Chứng minh: f ( x ) sin x Khơng có gh x  +  (xo = + ) Chọn xn n n   xn   2n n  f ( xn ) sin(n ) 0   f ( xn ) sin   2n  1 2   lim f ( xn )  lim f ( xn ) n  n  n  n  + + GiỚI HẠN CƠ BẢN Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại HÀM SỐ x / lim 1  x  e x x)x ln(1  x ) / lim x x lim ln(1  ex  / lim 1, x x với phép đặt : ex – = u, ta có x ln e 1 ex  u lim lim lim 1 x u  ln(u  1) u  ln(u  1) x u GiỚI HẠN CƠ BẢN x ln a ax  e  / lim lim ln a x x x  x ln a  ln a (1  x )  e ln(1x )  ln(1  x ) / lim lim   x   ln(1  x ) x x x BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN tanx sin x 1, / lim 1  x x e / lim 1, lim x x x x x  cos x ln(1  x ) lim  2 / lim 1 x x x x x e 1 / lim 1, x x ax  / lim ln a x x (1  x )  / lim  x x arcsin x arctanx / lim 1, lim 1, x x x x ln p x / lim  0,   x   x x lim x 0, a  x   a LƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠN Nhớ kiểm tra dạng vô định trước lấy giới hạn Tùy theo dạng vô định, chọn gh thích hợp Nếu dạng VĐ 0,   , chuyển 0/0 / Nếu dạng VĐ mũ, biến đổi theo cách sau: a lấy lim lnf(x) b [u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x) c Dạng 1, dùng gh (1+x)1/x  e x / lim 1  x  e x ln(1  x ) 1 x x / lim ex  / lim 1, x x ax  / lim ln a x x (1  x )  / lim  x x tanx sin x lim / lim 1, x  x 1, x x  cos x  x x arcsin x arctanx / lim 1, lim 1, x x x x lim ln p x / lim 0,   x   x  x lim 0, a  x   a x VÍ DỤ  cos5 x / lim x   cos x  cos5 x (5 x )  lim x   cos x (2 x ) / 25   1/ Dạng 0/0 (5 x )  (2 x ) 25  x / lim 1  x  e x ln(1  x ) 1 x x / lim ex  / lim 1, x x x a 1 ln a x x / lim (1  x )  / lim  x x tanx sin x lim / lim 1, x  x 1, x x  cos x  x x2 arcsin x arctanx / lim 1, lim 1, x x x x lim ln p x / lim 0,   x   x  x lim 0, x   a x a  cos x / lim A    2x x Đặt: Dạng 0/0  u  x  x0  x    cos   u  2  A  lim x  2u sin u  lim u  2u 