Lời nói đầu ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Định nghĩa Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng hoặc Đường thẳng là đường tiệm cận ngang củ[.]
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Định nghĩa Cho hàm số xác định khoảng vô hạn ( khoảng dạng Đường thẳng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) điều kiện sau thỏa mãn: II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa Đường thẳng gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số điều kiện sau thỏa mãn: hoặc III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Định nghĩa Đường thẳng ,được gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số điều kiện sau thỏa mãn: Trong B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Vấn đề Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Phương pháp Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng đồ thị hàm Thực theo bước sau B1 Tìm tập xác định hàm số B2 Tìm giới hạn x dần tới biên miền xác định dựa vào định nghĩa đường tiệm cận để kết luận Chú ý Đồ thị hàm số f có tiệm cận ngang tập xác định khoảng vơ hạn hay nửa khoảng vơ hạn (nghĩa biến x tiến đến http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 120 Đồ thị hàm số f có tiệm cận đứng tập xác định có dạng sau: (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; ) ;( a) hợp tập hợp tập xác định dạng sau: R , [c; ), ( c], [c;d] Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm Thực theo bước sau B1 Tìm tập xác định hàm số (đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên tập xác định là khoảng vơ hạn hay nửa khoảng vô hạn) B2 Sử dụng định nghĩa Hoặc sử dụng định lí : Nếu đường thẳng tiệm cận xiên đồ thị hàm số f CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : P(x), Q(x) hai đa thức x ta thường dùng phương pháp sau để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số i) Tiệm cận đứng Nếu đường thẳng : tiệm cận đứng đồ thị hàm số ii) Tiệm cận ngang Nếu bậc P(x) bé bậc Q(x) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang trục hoành độ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) đồ thị hàm có tiệm cận ngang đường thẳng : A, B hệ số số hạng có số mũ lớn P(x) Q(x) Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang iii) Tiệm cận xiên Nếu bậc P(x) bé hay bậc Q(x) lớn bậc Q(x) từ hai bậc trở lên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận xiên Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) bậc P(x) không chia hết cho Q(x) đồ thị hàm có tiệm cận xiên ta tìm tiệm cận xiên cách chia P(x) cho Q(x) viết , Suy đường thẳng : Chú ý: Xét hàm số * Nếu 121 tiệm cận xiên đồ thị hàm số đồ thị hàm số khơng có tiệm cận http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận xiên khi Đồ thị hàm số có tiệm cận đường thẳng : Các ví dụ Ví dụ Tìm tiệm cận hàm số: Lời giải Giới hạn , tiệm cận , suy đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị (C) , suy đường thẳng x = đường tiệm cận đứng đồ thị (C) Giới hạn , tiệm cận , suy đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị (C) , suy đường thẳng x = đường tiệm cận đứng đồ thị (C) Giới hạn , tiệm cận Đường thẳng : x = -2 tiệm cận đứng (C) Đường thẳng y = tiệm cận xiên (C) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 122 Giới hạn , tiệm cận Đường thẳng : x = tiệm cận đứng (C) Đường thẳng y = tiệm cận xiên (C) Ví dụ Tìm tiệm cận hàm số: Lời giải Hàm số cho xác định liên tục tiệm cận ngang đồ thị hàm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số hàm số hàm số Hàm số cho xác định liên tục khơng có tiệm cận xiên khơng có tiệm cận xiên Ta có: 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word tiệm cận xiên đồ thị hàm số tiệm cận xiên đồ thị hàm số Hàm số cho xác định liên tục tiệm cận xiên đồ thị hàm số tiệm cận ngang đồ thị hàm số CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : Bài 2: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : Bài 3: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 124 Bài 4: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : Bài 5: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : Bài 6: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : Vấn đề Một số dạng toán khác Các ví dụ Ví dụ 1 Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) , qua M vẽ hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận (C) , hai đường thẳng tạo với hai đường tiệm cận hình bình hành , chứng minh hình bình hành có diện tích khơng đổi Tìm để hàm số có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu hàm số đường tiệm cận xiên Lời giải Hàm số cho xác định liên tục Gọi MNIP hình bình hành tạo bời hai tiệm cận (C) hai đường thẳng vẽ từ M song song với hai tiệm cận Đường thẳng MN qua M song song với TCĐ nên có phương trình : Diện tích hình bình hành MNIP: (hằng số) Hàm số cho xác định liên tục 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có : Để hàm số cho có cực trị phương trình Với có hai nghiệm phân biệt khác hàm số điểm cực tiểu Vì nên đường cận xiên Ví dụ Cho hàm số (1) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Cho hàm số Tìm để khoảng cách từ gốc đến tiệm cận xiên ngang nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định liên tục Ta có : Vì nên đường thẳng tiệm cận xiên đồ thị hàm số (1) cắt hai trục tọa độ hai điểm Diện tích tam giác Theo giả thiết ta có : Hàm số cho xác định liên tục http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 126 Vì nên đường cận xiên ngang hàm số Ta có : Vậy nhỏ Khi hàm số có tiệm cận ngang Ví dụ Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho Cho hàm số khoảng cách từ ngang , có đồ thị Tìm tất điểm đến tiệm cận đứng Tìm đồ thị điểm đến đường tiệm cận đứng thuộc lần khoảng cách từ tiệm cận cho khoảng cách từ điểm khoảng cách từ điểm đến đường tiệm cận ngang Lời giải Hàm số cho xác định liên tục Ta có: Vậy, điểm cần tìm 2.Hàm số cho xác định liên tục Giả sử điểm thuộc đồ thị Khi khoảng cách từ Khoảng cách từ 127 , đến tiệm cận đứng đến tiệm cận đứng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Theo giả thiết nghiệm hay , phương trình có Vậy, tọa độ cần tìm Hàm số cho xác định liên tục Gọi đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang Ta có Theo ta có Vậy có Chú ý: điểm thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số có đồ thị (C) hai điểm thuộc hai nhánh khác (C) cho khoảng cách hai điểm nhỏ Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm điểm (C) có tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định liên tục thuộc nhánh phải (C) ,suy thuộc nhánh trái (C), suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 128 Vậy hai điểm cần tìm , Hàm số cho xác định liên tục với , Nếu A thuộc nhánh trái (C) (C) với trục Ox , Mặt khác giao điểm ,suy điểm cần tìm thuộc nhánh phải (C) Như ta cần xét điểm Khi T = thuộc nhánh phải (C) ( ) Lập bảng biến thiên hàm số T * Nếu Ta có: với * Nếu Ta có: *Tại Vì với : , nên không tồn Bảng biến thiên hàm số T 129 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x0 - T' + - + T Suy đạt Vậy điểm cần tìm Ví dụ Cho hàm số: để có đồ thị Cho tồn điểm B cho tam giác I tâm đối xứng Tìm m vng cân A Lời giải Xét Ta có Tam giác vng cân * * thay vào (1) ta được: thay vào (1) ta được: Vậy giá trị cần tìm Ví dụ 6.Tùy theo giá trị tham số sau: Lời giải * Hãy tìm tiệm cận đồ thị hàm số đồ thị hàm số khơng có tiệm cận http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word 130 * tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vì * đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng hàm số xác định Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Đường thẳng đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Ví dụ 7.Cho hàm số với Tìm để góc hai tiệm cận đồ thị Tìm để đồ thị cho tam giác Lời giải có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ có diện tích Ta có: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận Phương trình hai đường tiệm cận là: Và Véc tơ pháp tuyến Góc và : Vậy giá trị cần tìm Hàm số có tiệm cận xiên Khi đó: Ta có: Vậy giá trị cần tìm CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 131 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 1: Gọi đồ thị hàm số 1.Chứng minh rẳng tích khoảng cách từ điểm tùy ý đến hai đường tiệm cận số Tìm điểm thuộc tiệm cận Bài 2: Gọi cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai đường nhỏ đồ thị hàm số ,m tham số Khi có tiệm cận xiên , gọi đường tiệm cận xiên Tìm m để qua điểm A(1; 4) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Bài 3: Gọi đồ thị hàm số Tìm m để tích khoảng cách từ điểm đến hai đường tiệm cận 2 Chứng minh giao điểm hai đường tiệm cận ln thuộc parabol (P) : Khi có tiệm cận xiên , tìm m để tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn : Bài 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm điểm nằm (C) cách hai trục tọa độ Tìm điểm M nằm (C), cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Tìm hai điểm A, B nằm hai nhánh (C) cho AB nhỏ Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Bài 5: Tìm giá trị tham số cho trục tọa độ tam giác có diện tích có tiệm cận xiên tạo với hai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 132 Tìm giá trị tham số gốc tọa độ cho khoảng Bài 6: Cho hàm số có tiệm cận xiên cách Tìm để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tiệm cận với hai trục tọa độ tạo thành m ột hình ch ữ nh ật có diện tích Bài 7: 1.Cho đường cong Tìm tham số để xiên tạo với đường thẳng Cho hàm số đường thẳng có điểm cực đại, cực tiểu tiệm cận góc Xác định để hàm số có cực đại, cực tiểu tiệm cận xiên, tiệm cận đứng đồ thị hàm số với trục hoành tạo thành tam giác vng có góc Bài 8:Tìm tham số để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường trịn tâm có tiệm cận xiên , bán kính 133 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word