an 1 Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả.. Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc.
Trang 1Dãy số có qui luật
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc
Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 + + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1
S2 = 1 + 3 =22
S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3)
Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có
1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2
theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh vậy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học
1, 1 + 2+3 + + n =
2
) 1 ( n n
2, 12 + 2 2 + + n 2 =
6
) 1 2 )(
1 (n n
n
3, 13+23 + + n3 =
2 2
) 1 (
n n
4, 15 + 25 + + n5 =
12
1 n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 )
II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2
an = bn – bn+ 1 khi đó ta có ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1
Ví dụ 2 : tính tổng : S =
100 99
1
13 12
1 12 11
1 11 10
1
Ta có :
11
1 10
1 11
.
10
1
,
12
1 11
1 12 11
1
,
100
1 99
1 100 99
1
1
Trang 2Do đó : S =
100
9 100
1 10
1 100
1 99
1
12
1 11
1 11
1 10
1
Dạng tổng quát Sn = ( 1 1)
3 2
1 2 1
1
n
n ( n > 1 ) = 1-
1 1
1
n n
Ví dụ 3 : tính tổng Sn = ( 11)( 2)
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
n n n
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1 2
1
4 3
1 3 2
1 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
Sn =
) 2 )(
1 ( 4
) 3 ( )
2 )(
1 (
1 2
1
1 2
1
n n
n n n
n
Ví dụ 4 : tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n )
Ta có : 1! = 2! -1!
2.2! = 3 ! -2!
3.3! = 4! -3!
n.n! = (n + 1) –n!
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng Sn =
2 2
) 1 (
1 2
) 3 2 (
5 )
2 1 (
3
n n n
Ta có :
1 1
) 1 (
1 2
2 2
2
i i i
i
i
i = 1 ; 2 ; 3; ; n
2
) 1 (
1 1
3
1 2
1 ) 2
1
n
) 1 (
) 2 ( ) 1 (
1
n n n
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4)
ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )
S = 1+2 ( 1 +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101 Vậy S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + + pn ( p 1)
Ta viết lại Sn dới dạng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) =>Sn = 1+p ( Sn –pn )
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 =>Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 =>Sn =
1
1 1
p
P n
Ví dụ 8 : Tính tổng Sn = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) pn , ( p 1)
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1
= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1
2
Trang 3= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- 1 ( 1 ) 1
1
n
P n P
Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 -
1
1 1
P
p n
1 1
) 1 (
1 1
) 1 (
P
p p
P
IV > Ph ơng pháp tính qua các tổng đã biết
n
i i
a a
a a
a
3 2 1 1
Các tính chất : 1,
n
i
n
i
n
i i i i
a
)
n
i i
n
a a a a
1 1
.
Ví dụ 9 : Tính tổng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
n
i
n
i
n
i
n
i
i i
i i i
i
1
1 1
2 2
1
) ( ) 1 (
Vì :
6
) 1 2 )(
1 (
2
) 1 (
3 2 1
1
2
1
n n
n i
n n n i
n
i
n
i
(Theo I )
cho nên : Sn =
3
) 2 )(
1 ( 6
) 1 2 )(
1 ( 2
) 1
n n
Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta có : Sn =
n
i
n
i
i i i
i
2 ) 3 ( )
1 3
n
i
n
i
i i
1 1
2
3
2
) 1 ( 6
) 1 2 )(
1 (
n n n
n n
n n
Ví dụ 11 Tính tổng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3
ta có : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3]
= [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )
Sn =
4
) 1 ( 8 4
) 2 2 ( ) 1 2
n ( theo (I) – 3 )=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 )
Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức:
Số số hạng = ( số cuối – số đầu 0) : ( khoảng cách ) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) :2
Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132
Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
Trang 4Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009
số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503
B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh đợc vào làm toán
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )
Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chứng minh : cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) (k 2 ) (k 1 )
= k (k+1) 3 = 3k(k+1) Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1)
3
) 1 ( ) 2 (k k
=
3
) 1 )(
1 ( 3
) 2 )(
1
k k
*
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1)
=> 1.2 = 1.2.3 0.1.2
3 3
2.3.4 1.2.3
2.3
( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n n
n n
S = 1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
n n n n n n
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 3 + 2.3 4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3 ) (k 1 ) = k( k+1) ( k +2 ) 4
Rút ra : k(k+1) (k+2) =
4
) 2 )(
1 ( ) 1 ( 4
) 3 )(
2 )(
1
k k
áp dụng : 1.2.3 =
4
3 2 1 0 4
4 3 2 1
2.3.4 =
4
4 3 2 1 4
5 4 3 2
n(n+1) (n+2) =
4
) 2 )(
1 ( ) 1 ( 4
) 3 )(
2 )(
1
n n
Cộng vế với vế ta đợc S =
4
) 3 n )(
2 n )(
1 n (
* Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202
2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 6 3
b, S = 5 + 52 + 53 + + 5 99 + 5100
c, C = 7 + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + 2 5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 4
Trang 55, S =
100 99
1
4 3
1 3 2
1 2
.
1
1
6, S =
61 59
4
9 7
4 7
.
5
4
7, A =
66 61
5
26 21
5 21 16
5 16
.
11
5
3
1
3
1 3
1 3
1
4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
n n n
10, Sn =
100 99 98
2
4 3 2
2 3
2
.
1
2
11, Sn = ( 1)( 1 2)( 3)
5 4 3 2
1 4
3
2
.
1
1
n n
n n
12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9
50 chữ số 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14
Tính S100 =?
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
) 1 (
2
10
1 6
1 3
1
x x
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2
b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60
3 ; 7; 15
c, C = 3 + 33 +35 + + 31991 13 ; 41
d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 5
Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật phân số viết theo quy luật
(1) Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
n a
1 a
1 n) a.(a
n
Chứng minh
-5
Trang 6n a a n a a
a n
a a
n a n
a a
a n a n a a
n
1 1 ) (
) (
) (
) ( ) (
Bài 1.1 : Tính
a)
2009 2006
3
14 11
3 11 8
3 8
.
5
3
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10 6
1
B
c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12
.
7
10
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13 8
4
D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509 252
1
19 7
1 7 9
1 9
.
2
1
405 802
1
17 26
1 13 18
1 9 10
1
B
c)
405 401
3 304
301
2
13 9
3 10 7
2 9 5
3 7
.
4
2
C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5 120
1
21
1 15
1 10
1
x
b)
45
29 45 41
4
17 13
4 13 9
4 9 5
4 7
x
c)
93
15 ) 3 2 )(
1 2 (
1
9 7
1 7
.
5
1
5
.
3
1
x x
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
4 6 ) 2 3 )(
1 3 (
1
11 8
1 8 5
1 5
.
2
1
n
n n
n
b)
3 4
5 ) 3 4 )(
1 4 (
5
15 11
5 11 7
5 7
.
3
5
n
n n
n
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi nN; n 2 ta có:
15
1 ) 4 5 )(
1 5 (
3
24 19
3 19 14
3 14 9
3
n n
Bài 1.6 : Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
4
80
16 81
16
A
25 18
2
; 18 11
2
; 11 4 2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S
Bài 1.8 : Cho 2 2 2 2
9
1
4
1 3
1 2
1
9
8 5
2
A
2007
2
7
2 5
2 3
2
2008
1003
A
2006
1
8
1 6
1 4
1
2007
334
B
Bài 1.11 : Cho 2 2 2
409
1
9
1 5
1
12
1
S
305
9
17
9 11
9 5
9
4
3
A
201
202 200
49
48 25
24 9
8
6
Trang 7Bµi 1.14 : Cho
1764
1766
25
27 16
18 9
11
21
20 40 43
20
40 A
Bµi 1.15 : Cho
100 98
99
6 4
5 5 3
4 4 2
3 3 1
Bµi 1.16 : Cho
2500
2499
16
15 9
8 4
3
Bµi 1.17 : Cho
59
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1
3
2
M
Bµi1.18 : Cho
100 99
101 98
5 4
6 3 4 3
5 2 3 2
4 1
Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: a(a n2)(n a 2n) a(a1 n) (a n)(1a 2n)
Chøng minh:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
( ) 2 )(
(
2 )
2 )(
(
) 2 ( ) 2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
a n
a n a a
n a n
a n a a
a n a n
a n
a
a
n
) 3 )(
2 )(
(
1 )
2 )(
(
1 )
3 )(
2 )(
(
3
n a n a n a n a n a a n a n a n a a
n
Bµi 1.19 : TÝnh
39 38 37
2
4 3 2
2 3 2 1
2
S
Bµi 1.20 : Cho
20 19 18
1
4 3 2
1 3 2 1
1
4
1
A
Bµi 1.21 : Cho
29 27 25
36
7 5 3
36 5 3 1
36
Bµi 1.22 : Cho
308 305 302
5
14 11 8
5 11
8 5
5
48
1
C
Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n N; n > 1 ta cã:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
3
n A
Bµi 1.24 : TÝnh
30 29 28 27
1
5 4 3 2
1 4
3 2 1
1
M
Bµi 1.25 : TÝnh
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
52
1 51 1
P
Bµi 1.26: TÝnh:
2007 2005
1004 1002
) 1 2 )(
1 2 (
) 1 )(
1 (
9 7
5 3 7 5
4 2 5 3
3 1
n n
n n Q
Bµi 1 27: TÝnh:
2007 2005
2006
5 3
4 4 2
3 3 1
R
Bµi 1.28: Cho
1 2005
2
1 2005
2
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2005
2006 2
1 2
3 2
2
n
n
S
7
Trang 8So s¸nh S víi
1002 1
Hướng dẫn:
1 k
m 2 1 k
m 1 k
m 1 k
m 2 )
1 k )(
1 k (
m mk m mk 1 k
m 1 k
m
2
Áp dụng vào bài toán với m {2; 2 , …., 2 } và
k { 2005, 2005 , …2005 2 2006} ta có:
1 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2
2
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2
2
3 2
2 2
2
………
(2) D·y 2: D·y luü thõa
n
a
1
víi n tù nhiªn.
2
1
2
1 2
1 2
1
A
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
B
2
1
2
1 2
1 2
1
C
2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
D
3
1 3
27
26 9
8 3
2
1
n A
98
3
1 3
27
28 9
10 3
4
5
4
5 4
5 4
5
3
5
C
10 9
19
4 3
7 3
2
5 2
1
3
3
100
3
3 3
2 3
1
4
3
E
3
1 3
3
10 3
7 3
4
3 2
4
11
F
3
302
3
11 3
8 3
5
2
1 3 9
5
2 G
8
Trang 9Bµi 2.12: Cho 2 3 100
3
601
3
19 3
13 3
7
9
7
3 H
3
605
3
23 3
17 3
11
3
904
3
22 3
13 3
4
4
17
K
3
403
3
15 3
11 3
7
(3) D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt:
Bµi 3.1: TÝnh:
2500
2499
25
24 16
15 9
8
35
1 1 , 24
1 1 , 15
1 1 , 8
1 1 , 3
1 1 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y
b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y
780
1 1
15
1 1 10
1 1 6
1 1 3
1 1
Bµi 3.4: Cho
200
199
6
5 4
3 2
1
201
1 2
C
Bµi 3.5: Cho
100
99
6
5 4
3 2
1
10
1 15
1
D
99
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
E
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
30
899
4
15 3
8 2
3
Bµi 3.9: TÝnh:
64
31 62
30
10
4 8
3 6
2 4
1
Bµi 3.10: TÝnh: 101 10001 100000001 1 00 000 1
/ 1 2
s c
n
I
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
2 2
2 2
2
1
20
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
21 1
9
Trang 10Bµi 3.13: So s¸nh
100
1 1
16
1 1 9
1 1 4
1 1
19 11
Bµi 3.14: TÝnh:
51 49
50
5 3
4 4 2
3 3 1
N
7
10 1
7
3 1 7
2 1 7
1 1
2007
2 1
7
2 1 5
2 1 3
2 1
Q
99
1 2
1
7
1 2
1 5
1 2
1 3
1 2
1
T
Bµi 3.18: So s¸nh:
40
23 22 21
39
7 5 3 1
1 2
1
20
V
101 99
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1
Bµi 3.20: Cho
199
200
5
6 3
4 1
2
S Chøng minh: 201 S2 400
Bµi 3.21: Cho
210
208
12
10 9
7 6
4 3
1
25
1
A
Bµi 3.22: TÝnh:
101 100
100
4 3
3 3 2
2 2 1
B
Bµi 3.23: TÝnh:
1999
1000 1
3
1000 1
2
1000 1
1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1
1
1999 1
C
) 1 2 (
1 1
25
4 1 9
4 1 1
4 1
n
n
E
3 2 1
1 1
3 2 1
1 1 2 1
1 1
vµ
n
n
F 2 víi n N* TÝnh
F E
2
1 1
256
1 1 16
1 1 4
1 1 2
1 1
2
1
H TÝnh: G + H
n n
I
2
2 2
2
2 ) 1 2 )(
1 2 (
65536
2 257 255 256
2 17 15 16
2 5 3 4
2 3
Chøng minh:
3
4
I
10