Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)chủ đề 1: tốn tính tổng theo quy luật
Bai 1: TÝnh tæng S=
1 2+ 3+
1
3 4+ .+ 999 1000
Gi¶i:
Ta cã k(k+1)=
(k+1)−k k(k+1) =
k+1 k(k+1)−
k k(k+1)=
1
k−
1
k+1 (1)
áp dụng đẳng thức (1) ta có:
1 2=
1 1− ¿ 3=
1 2−
1
3 4= 3− 998 999=
1 998 −
1 999
999 1000= 999 − 1000 ¿ −− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− ¿S=
1 2+ 3+
1
3 4+ +
999 1000=1− 2+ 2− 3+ 3−
4+ 998 − 999+ 999 − 1000 { { { { { ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 2: TÝnh tæng S=1 21 +
2 3+
3 4+ +
n(n+1) Gi¶i:
áp dụng đẳng thức (1) ta có:
1 2=
1 1− ¿ 3=
1 2−
1
3 4= 3−
n.(n+1)=
1
n−
1
n+1 ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −− ¿S=
1 2+ 3+
1
3 4+ +
n.(n+1)=1−
1 2+ 2− 3+ 3−
4+ + n− n+1 { { { {{ ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 3: TÝnh tæng: Q=
3,5+ 7+
4
7 9+ + 97 99
(2)Ta cã:
4 5=2.(
1 3− 5) ¿ 7=2.(
1 5−
1 7)
7 9=2.( 7− 9)
97 99=2.( 97 − 99) ¿
¿Q=
3,5+ 7+
4
7 9+ .+
97 99=2( 3− 5+ 5− 7+ 7−
9+ + 97− 99) { { { { ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 4: TÝnh tỉng S=
2 5+ 8+
1
8 11+ .+ 97 100
Gi¶i:
Ta cã:
1 5=
1 3( 2− 5) ¿ 8=
1 3( 5− 8)
8 11= 3( 8− 11) 97 100=
1 3( 97 − 100) ¿ −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− ¿S=
2 5+ 8+
1
8 11+ .+ 97 100=
1 3( 2− 5+ 5− 8+ 8−
11+ + 97 − 100) { { { { ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 5: TÝnh tỉng S=1 31 +
2 4+
3 5+ .+
1
(n −1).n.(n+1)
Gi¶i:
Ta cã:
(n −1).n.(n+1)=
(n+1)−(n −1) (n −1).n.(n+1)=
n+1
(n −1).n.(n+1)−
n+1
(n −1).n.(n+1)=
1
(n −1).n−
1 n.(n+1)
Suy ra:
(n −1).n.(n+1)=
1 2(
1
(n−1).n−
1
(3)
1 3=
1 2(
1 2−
1 3)
¿
1 4=
1 2(
1 3−
1 4)
3 5= 2(
1 4−
1 5)
1
(n −1).n.(n+1)=
1 2(
1
(n −1).n.−
1
n.(n+1)) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− ¿{ { { {
¿ ¿ ¿
¿
Ta cã:
1 2=
1 1−
1
¿
1 3=
1 2−
1
3 4= 3−
1
1
(n −1).n=
1
n −1−
n ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −− ¿S1=
1 2+ 3+
1
3 4+ +
n.(n+1)=1−
1 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1
4+ +
n −1−
n { { { {{
¿ ¿ ¿
¿
1 2=
1 1−
1
¿
1 3=
1 2−
1
3 4= 3−
1
1
n.(n+1)=
1
n−
1
n+1
¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −− ¿S2=
1 2+ 3+
1
3 4+ .+
n.(n+1)=1−
1 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1
4+ +
n−
1
n+1
{ { { {{ ¿ ¿ ¿
(4)VËy S =
2 (S1 - S2)=
2(
n −1
n − n n+1)=
1 2(
n2−1−n2 n(n+1) )=−
1 2n(n+1) Bµi 6: TÝnh tỉng S=1 31 +
2,3,4+ +
1
n(n+1)(n+2) Gi¶i:
Ta cã:
1 3=
1 2(
1 2−
1 3)
¿
1 4=
1 2(
1 3−
1 4)
1
n(n+1)(n+2)=
1 2(
1
n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− ¿S=1
2( 1 2+
1
2 3+
n(n+1))−
1 2(
1 3+
1
3 4+ +
1
(n+1)(n+2)) ¿S1=1
2( 1 2+
1
2 3+
n(n+1))=
1
n n+1=
n
2(n+1) { { {
¿ ¿ ¿
¿
(2)
Bµi 7: TÝnh tỉng S=
1 4+
2 5+ +
1
n(n+1)(n+2)(n+3) Gi¶i:
Ta cã
k(k+1)(k+2)(k+3)=
1
(k+3)− k
k(k+1)(k+2)(k+3)=
1 3(
1
k(k+1)(k+2)−
1
(k+1)(k+2)(k+3))(1) áp dụng đẳng thức (1) ta có:
1 4=
1 3(
1 3−
1 4)
¿
1 5=
1 3(
1 4−
1 5)
1
n(n+1)(n+2)(n+3)=
1 3(
1 3−
1 4+
1 4−
1
3 5+ −
1
n(n+1)(n+2)(n+3)) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −− ¿{ { {
Bài 8: Dạng tổng theo quy luËt
S = a1 + a2 + a3 + + an
Víi d = a2 – a1 = a4 – a3 = =an – an-1 Th× an = a1 + (n - 1).d
S=(a1+an).n
2
(5)Giải Cách 1:Ta cã: S = 1+ 2+ 3+ 4+ +n
+ S = n + (n-1) + (n - 2) + (n - 3) +
2S = ⏟(n +1 )+(n + 1)+(n+ 1)+ +(n +1)
❑
= (n +1).n n lÇn
S=(n+1).n
2
Cách 2: Chọn hàm số g(x) = x
Ta xác định hàm số f(x) bậc có dạng f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> x = ax2 + bx + c – a(x-1)2 – b(x-1) - c <=> x = ax2 + bx + c – ax2 + 2ax - a – bx + b - c
<=> x = 2ax – a + b
⇔
2a=1
b − a=0
⇔
¿a=1
2
b=1
2
¿{ f(x)=1
2x
2 +1
2 x+c (c tuỳ ý)
Mặt khác:
g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n −1) ¿
−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −− ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
{ { { { { ¿ ¿ ¿
¿
Bµi 10: TÝnh tỉng: S = + + + + (2n - 1) Giải: Đặt g(x) = 2x
Ta chọn hàm f(x) bậc có dạng: f(x) = ax2 + bx + c cho g(x) = f(x) – f(x - 1)
<=> 2x - = ax2 + bx + c – a(x-1)2 – b(x-1) - c <=> 2x - = ax2 + bx + c – ax2 + 2ax - a – bx + b - c <=> 2x – = 2ax – a + b
⇔
2a=2
b − a=−1
⇔
¿a=1 b=0
¿{
(6)Ta cã
g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n −1) ¿
−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −− ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
{ { { { { ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 11: TÝnh tæng S = + + + + 2n
Giải: Đặt g(x) = 2x
Chọn hàm số f(x) có bậc có dạng f(x) = ax2 + bx +c cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> 2x = ax2 + bx + c – a(x-1)2 – b(x-1) - c <=> 2x = ax2 + bx + c – ax2 + 2ax - a – bx + b - c <=> 2x = 2ax – a + b
⇔
2a=2
b − a=0
⇔
¿a=1 b=1
¿{
suy ra: f(x) = x2 + x + c (c tuú ý) g(1)=f(1)− f(0)
¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
{ { {{ { ¿ ¿ ¿
¿
Bµi 12: TÝnh tỉng S = 12 + 32 + 52 + + (2n - 1)2 Giải: Đặt g(x) = (2x -1)2
Chọn hàm số f(x) cã bËc cã d¹ng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho: g(x) = f(x) – f(x-1)
<=> (2x -1)2 = ax3 + bx2 + cx + d – a(x-1)3 – b(x-1)2 – c(x-1) - d
(7)⇔
3a=4 2b −3a=−4
a −b+c=1
¿{ {
⇔
a=4
3
b=0
c=−1
3
¿{ { nªn f(x) =
3 x
3 −1
3x+d (d tuú ý)
g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
{ { {{ { ¿ ¿ ¿
¿
Bµi 13: TÝnh tỉng: S = 12 + 22 + 32 + n2
Giải: Đặt g(x) = x2
Chọn hàm số f(x) có bậc có dạng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho: g(x) = f(x) – f(x-1)
<=> x2 = ax3 + bx2 + cx + d – a(x-1)3 – b(x-1)2 – c(x-1) - d
<=> x2 = ax3 + bx2 + cx + d – ax3 + 3ax2 – 3ax + a – bx2 + 2bx – b – cx + c - d <=> x2 = 3ax2 + (2b – 3a)x + a – b + c
⇔
3a=1 2b −3a=0
a − b+c=0
⇔
¿a=1
3
b=1
2
c=1
6
¿{ { f(x)=
3 x
3 +1
2x
2 +1
(8)g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
¿{ { { { { ¿ ¿ ¿
¿
Bµi 14: TÝnh tæng S = 22 + 42 + 62 + + (2n)3 Giải: Đặt g(x) = (2x)2
Chọn hàm số f(x) cã bËc cã d¹ng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho: g(x) = f(x) – f(x-1)
<=> 4x2 = ax3 + bx2 + cx + d – a(x-1)3 – b(x-1)2 – c(x-1) - d
<=> 4x2 = ax3 + bx2 + cx + d – ax3 + 3ax2 – 3ax + a – bx2 + 2bx – b – cx + c - d <=> 4x2 = 3ax2 + (2b – 3a)x + a – b + c
⇔
3a=4 2b −3a=0
a − b+c=0
⇔
¿a=4
3
b=2
c=2
3
¿{ { f(x)=
3 x
3
+2x2+2
3x+d (d tuú ý)
g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − ¿g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
¿{ { { { { ¿ ¿ ¿
¿
Bµi 15: TÝnh tỉng: S = 13 + 23 + 33 + + n3
(9)Chän hàm số f(x) có bậc có dạng: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e cho g(x) = f(x) – f(x-1)
<=> x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x-1)4 - b(x-1)3 – c(x -1)2 – d(x -1) – e
<=> x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1) – b(x3 – 3x2 + 3x - 1) - c(x2 – 2x + 1) – dx + d – e
<=> x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – ax4 + 4ax3 – 6ax2 + 4ax – a – bx3 + 3bx2 – 3bx + b
- cx2 + 2cx – c – dx + d - e
<=> x3 = 4ax3 + (3b – 6a)x2 + (4a – 3b + 2c)x – a + b – c + d
⇔
4a=1 3b−6a=0 4a −3b+2c=0
−a+b −c+d=0
⇔
¿a=1
4
b=1
2
c=1
4
d=0
¿{ { { f(x) =
4x
4 +1
2x
3 +1
4 x
2
+e (e tuú ý) g(1)=f(1)− f(0)
¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ {
¿ ¿ ¿
¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0) S=13
+23+33+43+ +n3=(1
4n
4 +1
2n
3 +1
4n
2
+e)−(1
4
4 +1
2
3 +1
4
2+e )=1
4n
4 +1
2n
3 +1
4n
2
n+1¿2 ¿ ¿ n2¿ S=n4+2n3+n2
4 =
n2
(n2+2n+1)
4 =
(10)Đặt g(x) = (2x - 1)3
Chän f(x) bËc cã d¹ng: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> (2x -1)3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x-1)4 - b(x-1)3 – c(x -1)2 – d(x -1) – e
<=> 8x3 – 12x2 + 6x -1 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1) – b(x3 – 3x2 + 3x - 1) - c(x2 – 2x + 1) – dx + d – e
<=>8x3 – 12x2 + 6x -1 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – ax4 + 4ax3 – 6ax2 + 4ax – a – bx3 +
3bx2 – 3bx + b - cx2 + 2cx – c – dx + d - e
<=> 8x3 – 12x2 + 6x -1 = 4ax3 + (3b – 6a)x2 + (4a – 3b + 2c)x – a + b – c + d
⇔
4a=8 3b −6a=−12 4a −3b+2c=6 −a+b −c+d=−1
⇔
¿a=2 b=0
c=−1
d=0
¿{ { {
f(x) = 2x4 – x2 + e (e tuú ý) g(1)=f(1)− f(0)
¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ {
¿ ¿ ¿
¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ .+g(n)=f(n)− f(0)
2n−1¿3=(2n4− n2+e)−(2 04−02+e)=2n4− n2
¿ ¿
S=13+33+53+73+ +¿
Bµi 17: TÝnh tỉng S = 23 + 43 + 63 + 83 + + (2n)3 Giải Đặt g(x) = (2x)3
Chọn f(x) bậc cã d¹ng: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> 8x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x-1)4 - b(x-1)3 – c(x -1)2 – d(x -1) – e
<=> 8x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – a(x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1) – b(x3 – 3x2 + 3x - 1) - c(x2 – 2x + 1) – dx + d – e
<=>8x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – ax4 + 4ax3 – 6ax2 + 4ax – a – bx3 + 3bx2 – 3bx + b -
cx2 + 2cx – c – dx + d - e
(11)
⇔
4a=8 3b−6a=0
4a −3b+2c=0
−a+b −c+d=0
⇔
¿a=2 b=4
c=2 d=0
¿{ { {
f(x) = 2x4 + 4x3 + 2x2 + e (e tuú ý) g(1)=f(1)− f(0)
¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ {
¿ ¿ ¿
¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ .+g(n)=f(n)−f(0)
2n¿3=(2n4+4n3+2n2+e)−(2 04+4 03+2 02+e)=2n4+4n3+2n2 ¿
¿ n+1¿2
S=23+43+63+83+ +¿ Bµi 18: TÝnh tỉng S = 14 + 24 + 34 + + n4
Giải: Đặt g(x) = x4
Chọn f(x) bậc cã d¹ng: f(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + g cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> x4 = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + g – a(x- 1)5 – b(x-1)4 – c(x-1)3 – d(x-1)2 – e(x-1) – g <=> x4 = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – a(x5 -5x4 + 10x3 -10x2 + 5x -1) – b(x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1) – c(x3 – 3x2 + 3x – 1) – d(x2 -2x +1) – e(x -1)
<=> x4 = ax5+ bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax5 + 5ax4 – 10ax3 +10ax2 -5ax + a – bx4 + 4bx3 - 6bx2 + 6bx – b – cx3 + 3cx2 – 3cx + c – dx2 + 2dx – d – ex + e
(12)⇔
5a=1 4b −10a=0 10a −6b+3c=0 6b −5a −3c+2d=0
a − b+c −d+e=0
⇔
¿a=1
5
b=1
2
c=1
3
d=−1
2
e=
15
¿{ { { { f(x) =
5x
5 +1
2x
4 +1
3x
3 −1
2x
2 +
15 x+g (g tuú ý)
g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ {
¿ ¿ ¿
¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0) S=14
+24+34+44+ +n4=1
5n
5 +1
2n
4 +1
3n
3−1
2n
2 +
15 n+g−(
5 +1
2
4 +1
3
3−1
2
2 +
15 0+g)
S=1
5n
5 +1
2n
4 +1
3n
3 −1
2n
2 +
15n
Bµi
19: TÝnh tỉng S = 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n(3n - 1) Giải: Đặt g(x) = x(3x -1)
Chọn f(x) bậc cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> x(3x-1) = ax3 + bx2 + cx + d – a(x-1)3 – b(x-1)2 – c(x-1) - d
(13)⇔
3a=3
2b −3a=−1
a − b+c=0
⇔
¿a=1 b=1
c=0
¿{ {
f(x) = x3 + x2 + d (d tuú ý) g(1)=f(1)− f(0)
¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ {
¿ ¿ ¿
¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ +g(n)=f(n)− f(0)
S=1 2+2 5+3 8+ .+n(3n −1)=(n3+ n2+ d)− d=n3+n2=n2(n+1)
Bµi 20: TÝnh tỉng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) Giải: Đặt g(x) = x(x +1)
Chän f(x) bËc cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho: g(x) = f(x) – f(x -1)
<=> x(x+1) = ax3 + bx2 + cx + d – a(x-1)3 – b(x-1)2 – c(x-1) - d
<=> x2 + x = ax3 + bx2 + cx + d – ax3 + 3ax2 – 3ax + a – bx2 + 2bx – b – cx + c - d <=> x2 + x = 3ax2 + (2b – 3a)x + a – b + c
⇔
3a=1 2b −3a=1
a −b+c=0
⇔
¿a=1
3
b=1
c=2
3
¿{ { f(x) =
1
3 x3 + x2 + 3
2
(14)g(1)=f(1)− f(0) ¿
g(2)=f(2)− f(1) g(3)=f(3)− f(2) g(4)=f(4)− f(3)
g(n)=f(n)− f(n−1) ¿ −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− − { { {{ { ¿ ¿ ¿ ¿
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+ .+g(n)=f(n)− f(0) S=1 2+2 3+3 4+4 +n(n+1)=(1
3n
3
+n2+2
3n+d)−d
S=1
3n
3 +n2+2
3n=
n3
+3n2+2n
3 =
n3+n2
+2n2+2n
3 =
n2(n+1
)+2n(n+1)
3 =
(n+1)(n2 +2n)
3 =
n(n+1)(n+2)
3
S=n(n+1)(n+2)
3
Bµi
21: TÝnh tæng S = + + 32 + 33 + + 3n
Gi¶i: Ta cã:
S = + + 32 + 33 + + 3n 3S = + 32 + 33 +34 + 3n+ 3n+1 3S – S = 3n+1 – <=> 2S = 3n + 1 – 1
S =
n+1 −1
Bµi 22: TÝnh tỉng S = √
12+ 22+
1 32+√
1 12+
1 32+
1
42+ .+√ 12+
1 20062+
1 20072+√
1 12+
1 20072+
1 20082
Gi¶i:
Ta cã: (
1 a+ b+ c) = a2+
1
b2+
1
c2+
2 ab+ ac+ bc=
a2+
1
b2+
1
c2+2(
a+b+c
abc )
⇒
a2+
1
b2+
1
c2=(
1 a+ b+ c)
−2(a+b+c
abc )
NÕu a + b + c = th× a2+
1
b2+
1
c2=(
1 a+ b+ c)
−2( abc)=(
1 a+ b+ c) √ a2+
1 b2+
1 c2=√(
1 a+ b+ c)
=|1
a+ b+
1
(15)S ¿√1
12+ 22+
1 32+√
1 12+
1 32+
1
42+ .+√ 12+
1 20062 +
1 20072+√
1 12+
1 20072+
1 20082
−3¿2 ¿ −4¿2
¿ −2007¿2
¿ −2008¿2
¿ ¿ ¿
|11+ 2−
1 3|+|
1 1+
1 3−
1
4|+ +| 1+
1 2006−
1 2007|+|
1 1+
1 2007 −
1 2008|
¿
1 12+
1 20072+
1
¿ ¿
1 12+
1 20062+
1
¿ ¿
1 12+
1 32+
1
¿ ¿ ¿
1 12+
1 22+
1
¿ √¿
Bµi 23: TÝnh tæng S = + 15 + 20 + + 2005 Gi¶i: Ta cã:
S = + 10 + 15 + 20 + + 2005 S = 2005 + 2000 + 1995 +1990 + +
2S = 2010 + 2010 + 2010 + 2010 + + 2010 = 401.2010 S = 401 2010
2 =403005
Bµi 24: TÝnh tỉng S =
1 1
(16)
1 1x2=
1 1−
1
¿
1 2x3=
1 2−
1
1
2004x2005= 2004−
1 2005
¿
−− −− −−− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −− ¿S=
1x2+
2x3+ +
1
2004x2005= 1−
1 2+
1 2−
1 3+ +
1 2004 −
1 2005
+{ { { ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 25: TÝnh tỉng Sn =
1 1
1 3 4 2004 2005 2006 . Gi¶i: Ta cã:
1 1x2x3=
1 2(
1 1x2−
1 2x3)
¿
1 2x3x4=
1 2(
1 2x3−
1 3x4)
1
2004x2005x2006= 2(
1
2004x2005−
1 2005x2006)
¿
¿Sn=
1x2x3+
2x3x4+ +
1
2005x2006x2007= 2(
1 1x2−
1 2x3+
1 2x3−
1
3x4+ +
1
2004x2005 −
1 2005x2006 )
+{ { { ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 26: TÝnh tỉng : A = 3+ 32 + 33+ + 330
Gi¶i: Ta cã:
A = + 32 + 33+ +329 + 330 3A = 32 + 33 + 34 + +330+ 331
3A - A = 331 –
<=> 2A = 331 – 3 <=> A =
31 −3
Bµi 27: Chøng minh r»ng A = 3+ 32 + 33+34 +35 + 36 328 + 329 + 330 chia hÕt cho 13 Gi¶i:
(17)
3(1+3+32)=3 13⋮13 ¿
34(1+3+32)=34.13⋮13
328.(1+3+32)=328.13⋮13 ¿
−−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− − ¿{{ {
¿ ¿ ¿
¿
Bµi 28: TÝnh A =
1 1
1 2 3 4 1 4 2010
XÐt biÓu thøc:
1 1
2
1 1
2
n n
n n n n n
v i n N * Víi n = ta cã:
1 1
2
1 2
Víi n = ta cã:
1 1
2
1 3
Víi n = ta cã:
1 1
2
1 4
Víii n = 100 ta cã:
1 1
2
1 2010 2010 2011
VËy A =
1 2009 2009
2
2 2011 2011 2011
Bµi 31: B=
1+√2 + √2+√3 +
1
√3+√4 +…+
1
√2008+√2009 +
1 √2009+√2010
Gi¶i:
B=√2−1
2−1 +√ 3−√2 3−2 +√
4−√3
4−3 + .+√
2009−√2008 2009−2008 +√
2010−√2009 2010−2009
B=√2−1+√3−√2+√4−√3+ +√2009−√2008+√2010−√2009 B=√2010−1
Bµi 32: So sánh A B, số lớn hơn? A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 250 B = 251
Gi¶i: Ta cã:
A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 250 2A = 21 + 22 + 23 + 24 + + 251
2A – A = 251 - 20
<=> A = 251 -1 < 251 = B VËy A < B
Bµi 33: TÝnh tæng: S= x(x+1)+
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+ +
1
(18)Ta cã:
1
x(x+1)=
1
x−
1
x+1 ¿
1
(x+1)(x+2)=
1
x+1−
x+2
1
(x+2)(x+3)=
1
x+2−
x+3
1
(x+99)(x+100)=
1
x+99−
x+100
¿
¿S= x(x+1)+
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+ .+
1
(x+99)(x+100) +{ { { {
¿ ¿ ¿
¿
S=1x−x+1100=100 x(x+100) Bµi 34: TÝnh tỉng
S= x2+x+
1
x2+3x+2+
1
x2+5x+6+
1
x2+7x+12+
1
x2+9x+20 S=
x(x+1)+
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+
1
(x+3)(x+4)+
1
(x+4)(x+5)
1
x(x+1)=
1
x−
1
x+1
¿
1
(x+1)(x+2)=
1
x+1−
x+2
1
(x+4)(x+5)=
1
x+4−
x+5 ¿
_
¿S= x(x+1)+
1
(x+1)(x+2)+
1
(x+2)(x+3)+
1
(x+3)(x+4)+
1
(x+4)(x+5) ¿+{ { {
¿ ¿ ¿
¿ Bµi 35: TÝnh tæng:
A=
2√1+1√2+
1 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
2006√2005+2005√2006 A=2√1−1√2
4−2 +
3√2−2√3 18−12 +
4√3−3√4 48−36 + +
2006√2005−2005√2006 2005 2006
A=2√1−1√2
2 +
3√2−2√3
6 +
4√3−3√4 12 + +
2006√2005−2005√2006 2005 2006
A=1−√2
2 + √2
2 − √3
3 + √3
3 − √4
4 + + √2005 2005 −
√2006 2006
A=1−√2006
2006 =
(19)Bµi 36: Chøng tá A=1 2005 2006(1 1+
1 2+
1 3+ +
1 2005+
1
2006) chia hÕt cho 2007
¿A=1 .2005 2006[(1+
2006)+( 2+
1 2005)+(
1 3+
1
2004)+ ( 1004+
1 1003)]
A=1 2005 2006(2007
1 2006+ 2007
2 2005+ 2007
3 2004+ .+ 2007
1003 1004) 2005+1 .2004 2006+ +¿
¿ ¿
¿2006 2005
2007¿
A=1 2005 2006¿
Bµi 37: TÝnh tỉng S = + 22+ 222+ + ⏟2222222 2222222
n
S=2 1+2 11+2 111+ +2 11111111 11111⏟
n
S
2=1+11+111+ + 11111 11111⏟ n
9S
2 =9+99+999+ 999999 999⏟ n
9S
2 =(10
1−1
)+(102−1)+(103−1)+ (10n−1)
9S
2 =10
1
+102+103+ +10n−(⏟1+1+1+ .+1)
n 9S
2 =10
1
+102+103+ +10n− n
9S
2 +n=10
1
+102+103+ +10n() Đặt S1 = 101 + 102 + 103+ +10n
10S1 = 102 + 10 + 103 + + 10n+1
10S1 – S1 = 10n+1 – 10 <=> 9S1 = 10n+1 -10 => S1 = 10
n+1 −10
9
Thay vào (*) ta đợc: 9S
2 +n=
10n+1−10
9 ⇔
9S =
10n+1−10−9n
9 ⇔S=
2(10n+1−9n −10)
81
Bµi 38: TÝnh tỉng S = 1+ 2x +3x2 + 4x3+ +nxn-1 Gi¶i: Ta cã: S = 1+ 2x +3x2 + 4x3+ +nxn-1 xS = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + + nx n S – xS = + x +x2 + x3 + xn-1 - nxn <=> (1-x)S = + x +x2 + x3 + xn-1 - nxn <=> S = 1+x+x2+x3+ +xn −1−nxn
1− x =
S1−nx
n
1− x (∗) TÝnh: S1 = + x + x2 + x3 + + xn-1
xS = x + x + x2 + x3 + + x4 n xS1 – S1 = xn –
<=> (x -1)S1 = xn – <=> S1 = x
n
−1
x −1
(20)S =
x −1¿2 ¿ xn−1
x −1 −nx n
1− x =
xn−1−nxn+1+nxn x −1
1− x =−
(n+1)xn−nxn+1−1 ¿
Bµi 39: TÝnh N = 75(41993 + 41992 + + 42 +5) +25 Gi¶i: Ta cã: N = 75(41993 + 41992 + + 42 +5) +25
N = 75(41993 + 41992 + + 42 +41 +1) +25 N = 75.S +25 (*)
TÝnh S = 41993 + 41992 + + 42 +41 +1
4S = 41994 +4 1993 + + 43 + 42 + 4S - S = 41994 – 1
3S = 41994 – 1 S = 41994−1
3
Thay vào (*) ta đợc: N = 75
1994 −1
3 +25= 25(4
1994 -1 + 1) = 25.41994
Bµi 40: TÝnh B =
2+( 2)
2 +(1
2)
3
+ .+(1
2)
99
B
2=( 2)
2 +(1
2)
3
+ +(1
2)
99 +(1
2)
100
B
2− B=( 2) 100 −1 2⇔ B 2= 2−(
1 2)
100
⇒B=1−(1
2)
99
Bài 41: Chứng minh bất đẳng thức:
1,71<1+
2!+
1 3!+ +
1
n!<1,72 với n
Chứng minh: Đặt Sn=1+
2!+
1
3!+ +
1
n ! , ta cã víi n th×: Sn>S5 = 143
60 >1,71
Vây, bất đẳng thức thứ đợc chứng minh
Bây ta chứng minh bất đẳng thức lại Hiển nhiên ta có:
1 7!+
1 8!+ +
1
n !<
6 7!+
7 8!+ +
n −1
n ! =
7 7!−
1 7!+
8 8!−
1
8!+ + n n!−
1
n ! ¿
6!−
1 7!+
1 7!−
1
8!+
1
(n−1)!−
1
n!=
1 6!−
1
n !<
1 6! Từ suy ra:
1+
2!+
1 3!+ .+
1
n !<1+
1 2!+
1 3!+
1 4!+
1 5!+
1 6!+
1 6!=
202 120+
2 6!=
204
120<1,72(dfcm)
Bµi 42: Chøng minh r»ng:
23+
1
33+ +
1
n3<
1
Chøng minh: Ta cã:
k3<
1
k3− k=
1
k(k2−1)=
1
(21)
1 23<
1
¿
1 33<
1
43<
1
1
n3<
1
(n −1).n.(n+1) ¿
_
¿+{ { { { ¿ ¿ ¿
Mặt khác:
1 3=
1 2(
1 2−
1 3)
¿
1 4=
1 2(
1 3−
1 4)
3 5= 2(
1 4−
1 5)
1
(n −1).n.(n −1)=
1 2(
1
(n −1).n−
1
n.(n+1)) ¿
¿
1 3+ 4+
1
3 .+
1
(n −1).n.(n+1)<
1 2(
1 2−
1 3+
1 3−
1 4+
1 4−
1
3 5+ +
(n −1).n−
1
n(n+1)) +{ { { {
¿ ¿ ¿
Kết hợp (**) (***) ta có:
1 23+
1
33+ +
1
n3<
1 3+
1 4+
1
3 +
1
(n−1).n.(n+1)<
1
23+
1
33+ +
1
n3<
1
4(dfcm)
Bµi 43: Chøng minh r»ng: 651 <
53+
1
63 .+
1
n3+ +
1 20043<
1 40
Chøng minh: Ta cã:
k3< k3− k=
1 k(k2−1)=
1
(k −1).k.(k+1)(∗)
k3>
1
k3+3k2+2k=
1
k(k2+3k+2)=
1
(22)1 53<
1
¿
1 63<
1
1
n3<
1
(n −1).n.(n+1)
1 20043<
1
2003 2004 2005
¿
_
¿+{ { { { { ¿ ¿ ¿
Mặt khác:
1 6=
1 2(
1 5−
1 6)
¿
1 7=
1 2(
1 6−
1 7)
1
(n −1).n.(n −1)=
1 2(
1
(n −1).n−
1
n.(n+1))
1
2003 2004 2005= 2(
1
2003 2004 − 2004 2005)
¿
¿+{ { { { { ¿ ¿ ¿
¿
KÕt hợp (***) (****) ta có:
53+
1
63 +
1
n3+ .+
1 20043<
1
40 (I)
(23)
1 53>
1 7=
1 2(
1 6−
1 7)
¿
1 63>
1 8=
1 2(
1 7−
1 8)
1
n3>
1
n(n+1)(n+2)=
1 2(
1
n(n+1)(n+2))
1 20043>
1
2004 2005 2006= 2(
1
2004 2005 − 2005 2006)
¿ ¿+{ { { { { ¿ ¿ ¿ Từ (I) Và (II) ta có điều phải chứng minh: 651 <1
53+
63 .+
n3+ +
1 20043<
1 40
Bài 44: Tìm tỉ số A B biÕt r»ng:
A=
1 1981+
2 1980+ .+
n(1980+n)+ +
1 25 2005
B=
1 26+
2 27+ +
m(25+m)+ +
1 1980 2005
Trong đó, A có 25 số hạng B có 1980 số hạng Giải: A=
1 1981+
2 1982+ .+
n(1980+n)+ +
1 25 2005 A= 1980( 1− 1981+ 2− 1982+
1
n−
1
1980+n+ +
1 25−
1 2005)
A=
1980[( 1+
1 2+
1 3+ +
1 25)−(
1 1981+
1 1982+
1
1983+ + 2005)]
B=
1 26+
2 27+ +
m(25+m)+ +
1 1980 2005 B= 25( 1− 26+ 2− 27+ +
1
m−
1
25+m+ +
1 1980−
1 2005)
B=
25[( 1+
1 2+
1
3+ .+ 25+
1 26
1
m−
1 25+m
1 1980)−(
1 26+
1 27+
1 25+m+
1 1980+
1 1981+
1 2005)]
B=
25[( 1+
1 2+
1
3+ .+ 25)−(
1 1981+
1 1982+
1
1983+ + 2005)]
A B=
1 1980 [(
1 1+
1 2+
1 3+ +
1 25)−(
1 1981+
1 1982+
1
1983+ + 2005)]
25[( 1+
1 2+
1
3+ + 25)−(
1 1981+
1 1982+
1
1983+ .+ 2005)]
=25
1980= 396
Bài 45: Chứng minh bất đẳng thức sau với n∈N , n ≥2
2√n −3<
√2+ √3+ +
1
√n<2√n −2
(24)Ta cã:
1 √k=
2 √k+√k>
2 √k+1+√k=
2(√k+1−√k)
k+1−k =2(√k+1−√k)(∗);k>0
1 √k=
2 √k+√k<
2
√k+√k −1=
2(√k −√k −1)
k k+1 =2(k k 1)(**);k>1 áp dụng (*) (**) ta cã:
2(√3−√2)<
√2<2(√2−√1)
¿
2(√4−√3)<
√3<2(√3−√2)
2(√n+1−√n)<
√n<2(√n−√n−1) ¿
_
¿2(√3−√2+√4−√3+ .+√n+1−√n)<
√2+
√3+ +
√n<2(√2−√1+√3−√2+ +√n −√n −1) ¿⇔2(√n+1−√2)<
√2+
√3+ +
√n<2(√n−√1) ¿⇔2√n+1−2√2<
√2+
√3+ +
√n<2√n−2 +{ { {
¿ ¿ ¿
¿
Bµi 46:Chøng minh r»ng
1 1
2 1 (n1) n víi mäi n N*
Chøng minh: Ta cã:
1
(k+1)√k=
√k
(k+1).k=√k(
1
k−
1
k+1)=√k(
1 √k−
1 √k+1)(
1 √k+
1
√k+1)<√k(
1
k−
1 √k+1)(
1 √k+
1
√k)=¿=√k(
1 √k−
1 √k+1)
2 √k=2(
1 √k−
1
√k+1)(∗)
¸p dơng (*) ta cã:
1 2√1<2(
1 √1−
1 √2)
¿
1 3√2<2(
1 √2−
1 √3)
4√3<2( √3−
1 √4)
1
(n+1)√n<2(
1 √n−
1 √n+1)
¿
¿+{ { { { ¿ ¿ ¿
¿
(25)A =
1 1
1 2 2 3 3 n1 n (víi n1)
Gi¶i: A = √2−1
2−1 +√ 3−√2 3−2 +√
4−√3
4−3 + +√
n−√n−1
n − n+1
A = √2−1+√3−√2+√4−√3+ +√n −√n −1 A = √n−1
Bµi 48: Chøng minh với số nguyên ta có:
a
1 1
1.2 2.3 3.4 n n( 1)
Chứng minh: Biến đổi vế trái:
1 2=
1 1−
1
¿
1 3=
1 2−
1
3 4= 3−
1
1
n.(n+1)=
1
n−
1
n+1
¿
VT=1−
n+1<1(dfcm)
+ {{ { { { ¿ ¿ ¿
¿
b
1 1
2 2
1 2 3 n
Gi¶i: Ta cã:
1
k2<
1
k2−k=
1
(26)
1 22<
1 2=
1 1−
1
¿
1 32<
1 3=
1 2−
1
42<
1 4=
1 3−
1
1
n2<
1
n(n −1)=
1
n −1−
n ¿
¿+ {{ { { ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 49:
a H·y tÝnh
+4
44 +4
64 +4
84 +4
184 +4
204 +4 Gi¶i:
T a cã: a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=[(a-1)2+1][(a+1)2+1] (*)
¸p dơng (*) ta cã :
+4
44 +4
64 +4
84
+4
184 +4
204 +4=
(32+1)(12+1)(52+1)(72+1) (172+1)(192+1) (32+1)(52+1)(72+1)(92+1) (192+1)(212+1) ¿
2 +1
212+1=
2 442=
1 221
b> Cho xyz = H·y tÝnh tæng sau:
1+x+xy+
1 1+y+yz+
1 1+z+zx Gi¶i:
Ta cã :
1+y+yz= x
x+xy+xyz= x
1+xy+x (do xyz=1)
1 1+z+zx=
xy
xy+xyz+x2yz=
xy
1+x+xy ( xyz=1) :
1+x+xy+
1 1+y+yz+
1 1+z+zx=
1 1+x+xy+
x
1+x+xy+
xy
1+x=xy=1 Bài 50: Cho số a1, a2, , a2009 đợc xác định công thức sau: an=
2
(2n+1)(√n+√n+1) víi n = 1, 2, 3, , 2009 Chøng minh r»ng:
a1+a2+a3+ +a2009<2008
2010
Chøng minh: Ta cã: an=
(2n+1)(√n+√n+1)=
2(√n+1−√n) (2n+1)(n+1−n)=
2(√n+1−√n) n+1+n <
2(√n+1−√n)
2√n√n+1 = √n−
1 √n+1(∗)
(27)¿ a1+a2+a3+ +an<
√1− √2+
1 √2−
1 √3+
1 √3−
1
√4+ + √2009−
1
√2010=1− √2010(1)
¿ Ta cÇn chøng minh: 1−
√2010< 2008
2010(2)⇔2010−√2010<2008⇔2<√2010⇔√4<√2010(3)
(3) đúng, nên (2) từ suy ra:
a1+a2+a3+ +a2009<2008
2010 (đfcm)
Bài 51: Đề thi học sinh giỏi lớp huyện Tĩnh Gia năm học 2009 – 2010 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥1 ta cã:
n+1¿2 ¿ n2+¿
1 5+
1 13+
1 25+ +
1
¿ Chøng minh:
n+1¿2 ¿ n+1¿2
¿ ¿
20
n2+¿ n2+¿
¿
1 5+
1 13+
1 25+ +
1
¿
Ta cã:
n+1¿2 ¿ n+1−n¿2
+2n.(n+1) ¿
¿ n2
+¿
1
(28)
1 22
+32<
1 2( 2− 3)
32+42<
1 2( 3− 4)
n+1¿2 ¿ ¿1 2( n−
n+1)
¿ ¿ ¿
¿ n+1¿2
¿ ¿ ¿1 2( 2−
n+1)= 4−
1 2(n+1)<
1 n2 +¿ ¿
Bµi 52: TÝnh
1 2003 + 2004 − 2005 2003 + 2004 − 2005 − 2002+ 2003− 2004 2002+ 2003− 2004 = 2003+ 2004− 2005 5(
2003+ 2004 − 2005) −
2( 2002+
1 2003 −
1 2004) 3(
2002+ 2003 − 2004) =¿=1 5− 3=
3−10
15 =−
7 15
Bµi 53: Rót gän:
T = (
14+1
4)(3
4 +1
4) (2005
4 +1
4)
(24 +1
4)(4
4 +1
4) .(2006
4 +1
4)
Ta cã: a4+
4 =a4+a2+
4 -a2=(a2+
2 )2- (a)2= [(a
2− a+1
4)+ 4][(a
2 +a+1
4)+
4]=[(a − 2)
2 +1
4][(a+ 2)
2 +1
4](∗)
¸p dơng (*) ta cã: T
(14+1
4)(3
4 +1
4) (2005
4 +1
4)
(24 +1
4)(4
4 +1
4) .(2006
4 +1
4)
=¿ [(
1−1
2)
2 +1
4][(1+ 2)
2 +1
4][(3− 2)
2 +1
4][(3+ 2)
2 +1
4] [(2005− 2)
2 +1
4][(2005+ 2)
2 +1
4]
[(2−1
2)
2 +1
4][(2+ 2)
2 +1
4][(4− 2)
2 +1
4][(4+ 2)
2 +1
4] .[(2006− 2)
2 +1
4][(2006+ 2) +1 4] 10 26 50
4 40092 +1 40112 +1 10 26 50 82
(29)Bµi 54: : a TÝnh A= (1−
22).(1−
32) (1−
n2) víi n N, n 2 b Cho x, y, z > o tho¶ m·n xy+ yz+ xz = 1, tÝnh tæng
B = x. √(1+y2).(1+z2) 1+x2 +y√
(1+z2).(1+x2)
1+y2 +z√
(1+x2).(1+y2)
1+z2 Bài 55: Cho số a1, a2, , a2003 đợc xác định công thức sau:
n2+n¿3 ¿ an=
3n2
+3n+1 ¿
víi n = 1, 2, 3, , 2003
n+1¿3 ¿ n+1¿3
¿ n+1¿2
¿ n+1¿3
¿ ¿ ¿ n3 ¿ n2¿ n3¿ n3
¿ ¿ an=
3n(n+1) ¿ TÝnh tæng:
S2003=a1+a2+a3+ +a2003
Bài 56: Cho số a1, a2, , a2005 đợc xác định công thức sau:
an = −1¿
nn2+n+1
n ! ¿
TÝnh S2005 = a1 + a2 + + a2005
Bµi 57: Cho a1=12; an+1=(22n−n−12)an víi n = 1, 2, , 2004
(30)Bµi 58: Tìm x (Đề thi HSG huyện Tĩnh Gia Líp 7)
20 20 20 20
11.13 13.15 15.17 53.55 11
x
Bµi 59: TÝnh tỉng: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! Gi¶i: Ta cã: (k +1)! = (k+1).k! = k.k! + K!
<=> k.k! = (k+1)! – k! Cho k lần lợt giá trị 1, 2, 3, ,n Ta cã: 1.1! = 2! – 1!
2.2! = 3! – 2! 3.3! = 4! – 3!
n.n! = (n+1)! – n!
Cộng n đẳng thức vế theo vế ta có:
1.1! + 2.2! + 3.3!+ +n.n! = (n + 1)! – VËy S = (n + 1)! -
chủ đề 2: chng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức
A>B (1) Ph
ơng pháp :
1 Phơng pháp 1: Phơng pháp dựa vào định nghĩa
A>B ⇔A − B>0
LËp hiÖu sè: A- B
Rót gän A – B vµ chøng tá A – B >
KÕt luËn A>B
2 Phơng pháp 2: Phơng pháp biến đổi trực tiếp
Biến đổi A
A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M
Phơng pháp 3: Phơng pháp sử dụng giả thiết bất đẳng thc ó bit
Phơng pháp 4: Phơng pháp so sánh
5. Phơng pháp 5: Phơng pháp
I. Tớnh cht c bn ca bất đẳng thức
a) a < b, b < c a < c b) a < b a +c < b+ c. c) a< b a.c < b.c (víi c > 0) a< b a.c > b.c (víii c < 0) d) a < b víi c < d a+c < b + d.
e) < a < b vµ < c < d a.c < b.d
f)
2n 2n 1 n
a b a b
<
2n 2n n
a b a b
g)
2n 2n n
a b a b
(31)
2
0 a b na nb n
II BĐT Cauchy: (Côsi) a,b a b
ab
đẳng thức
a b ab
xảy chØ a = b
a, b, c
a b c abc
HƯ qu¶:
1
a +
a , a 0
III BĐT giá trị tuyệt đối
a)|x| 0,|x| x, |x| -x
b) |x| a -a x a ( víi a > 0) |x| a x -a hc x a c) |a|-|b| |a+b| |a| + |b|.
II BĐT Bunhinacôpxki
Cho a, b, x, y l số thực ta cã:
)( )
(a2 b2 x2 y2
(ax + by)2
đẳng thức xảy khi: a b x y
Tæng qu¸t: Cho 2n sè thùcc: a a1, , , ; , , ,2 a b bn bn
Ta cã:
1 2
|a b a b a bn n| 2 2 2
1 2
(a a an)(b b bn)
Dấu = xảy khi:
1 2
n
n
a a a
b b b
III. B§T Becnuli
Cho a > -1, n N* : (1+ + a)n + na Đẳng thức xảy a = n =
2 BĐT Côsi mở rộng:
Cho n số không âm: a1; a2; ,,; an Ta có:
1 2
a a
n n
a a n a a a
DÊu “=” x¶y vµ chØ
1
(32)Bài toán áp dụng:
Bài Chứng minh rằng, a>b ab> thì:
1
ab. Chøng minh:
Ta cã:
¿ a>b
ab>0
⇔a ab>b
1 ab ⇔
1
b>
1
a⇔
1
a<
1
b(dfcm) ¿{
¿
Bài 2: Chứng minh nửa chu vi tam giác lớn độ dài cạnh tam giác Chứng minh
Gọi độ dài cạnh tam giác lần lợt a, b, c (a>0; b>0; c>0) Nửa chu vi P =
2(a+b+c)
Cách 1:
Cần chứng minh:
P>a P>b P>c
⇔
¿1
2(a+b+c)>a
2(a+b+c)>b
2(a+b+c)>c
⇔
¿a+b+c>2a a+b+c>2b a+b+c>2c
⇔
¿b+c>a a+c>b a+b>c
¿{ { ¿
(luôn – bất đẳng thức tam giác - đfcm)
(33)¿ b+c>a a+c>b a+b>c
⇔
¿a+b+c>2a a+b+c>2b a+b+c>2c
⇔
¿1
2(a+b+c)>a
2(a+b+c)>b
2(a+b+c)>c
(dfcm) ¿{ {
¿
Bµi 3: Chøng minh r»ng: a2b2c2ab ac bc víi mäi a, b, c Chøng minh:
C¸ch 1: Ta cã:
a −b¿2≥0 ¿ b − c¿2≥0
¿ a − c¿2≥0
¿ ¿{ {
¿ ¿
∀a , b , c
¿ a2+b2≥2 ab b2+c2≥2 bc
a2+c2≥2 ac
¿⇔+{ { ¿
2a2 + 2b2 + 2c2 2(ab+ac+bc)
⇔ a2b2c2 ab ac bc (đfcm)
Cách 2: a2b2c2ab ac bc (1)
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2
a3 b+c+
a(b+c)
4 ≥ a
2
b3 a+c+
b(a+c)
4 ≥ b
2
c3 b+a+
c(b+a)
4 ≥ c
2
_ VT≥(a2
+b2+c2)−ab+bc+ca
2 ≥(a
2+b2
+c2)−1
2[a
2+b2+c2] =a
2+b2 +c2
2 ≥
1
(34)⇔ (a2 - 2ab + b2) + (a2 -2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2) a3
b+c+
a(b+c)
4 ≥ a
2
b3 a+c+
b(a+c)
4 ≥ b
2
c3 b+a+
c(b+a)
4 ≥ c
2
_ VT≥(a2
+b2+c2)−ab+bc+ca
2 ≥(a
2+b2
+c2)−1
2[a
2+b2+c2] =a
2
+b2+c2
2 ≥
1
⇔ (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 a3
b+c+
a(b+c)
4 ≥ a
2
b3 a+c+
b(a+c)
4 ≥ b
2
c3 b+a+
c(b+a)
4 ≥ c
2
_ VT≥(a2
+b2+c2)−ab+bc+ca
2 ≥(a
2+b2
+c2)−1
2[a
2+b2+c2] =a
2+b2 +c2
2 ≥
1
(2) với a, b, c
(2) đúng, nên (1) (đfcm) Bài Hãy so sánh kết sau: a 2000 2005 với 2002 2003
Gi¶i: Ta cã: (√2000+√2005)
2
=4005+2√2000 2005=4005+2√2000.(2000+5)=4005+2√20002+5 2000 (√2002+√2003)2=4005+2√2002 2003=4005+2√(2000+2)(2000+3)=4005+2√20002+5 2000+6 Do √20002
+5 2000<2√20002+5 2000+6
Nªn: (√2000+√2005)2<(√2002+√2003)2⇔√2000+√2005<√2002+√2003
b So sánh: a a4 với a a6;(a0) Giải: (√a+2+√a+4)
2
=2a+6+2√(a+2)(a+4)=2a+6+2√a2+6a+8 (√a+√a+6)2=2a+6+2√a(a+6)=2a+6+2√a2+6a Do: 2√a2
+6a+8>2√a2+6a nªn: (√a+2+√a+4)
2
>(√a+√a+6)2
⇔√a+2+√a+4>√a+√a+6 Bài 5: Chứng minh a> 0, b> thì:
1
a b a b . Chøng minh:
Do a>0; b>0 nªn: ¿
1
a>0
1
b>0
¿{ ¿
(35)1
a+
1
b≥
2 √ab≥
2
a+b
2
=
a+b (®fcm)
Bài 6: Chứng minh rằng, a0,b0 a3b3ab a b( ) đẳng thức xảy nào? Chứng minh:
Ta cã: a3b3ab a b( ) (1)
⇔(a+b)(a2−ab+b2)≥ab(a+b) ¿
⇔(a+b)(a2−ab+b2)−ab(a+b)≥0
⇔(a+b)(a2−2 ab+b2 )≥0 a− b¿2≥0(2)
⇔(a+b)¿
Do: a0,b0 suy ra: a + b Mặt khác: a −b¿2≥0
¿ nªn: a −b¿
2 ≥0(2) (a+b)¿
(2) nên: a3b3ab a b( ) (đfcm) Dấu “=” xảy a = b
Bµi 7: Chøng minh r»ng: a2ab b 0 víi mäi sè thùc a, b
Chøng minh: Ta cã: a2 + ab + b2 0
⇔(a2+2 a.b
2+
b2
4 )+ 3b2
4 ≥0
⇔(a+b
2)
2 +3b
2
4 ≥0(1)
(1) với số thực a, b nên:
a2 + ab + b2 0 (đfcm)
Bài 8: Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc a, b tuú ý ta cã:a4b4 a b b a3 .
Chøng minh: a4b4 a b b a3
⇔a4− a3b+b4− b3a ≥0
⇔a3(a −b)−b3(a −b)≥0
⇔(a − b)(a3−b3)≥0 a − b¿2.(a2+ab+b2)≥0
¿ ¿ a −b¿2.[(a2+2 a.b
2+
b2
4)+ 3b2
4 ]≥0
¿ a− b¿2.[(a+b
2)
2 +3b
2
4 ]≥0(∗)
⇔¿
(36)a4b4 a b b a3 (đfcm)
Bài 9: Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác thì: a2 + b2 + c2 < 2(ab +bc + ac) Chøng minh:
Do a, b, c ba cạnh tam giác nên:
¿ a+b>c b+c>a a+c>b
⇔
¿c(a+b)>c2 a(b+c)>a2 b(a+c)>b2
ac+bc>c2
ab+ac>a2
ab+bc>b2 ¿⇔+{ {
{{ ¿
2ab + 2bc + 2ac> a2 + b2 + c2
⇔a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)(dfcm) Bµi 10: Chøng minh r»ng, nÕu a0;b0 th×:
2 3
2 2
a b a b a b
Chøng minh:
2 3
2 2
a b a b a b
⇔a+b
2
a2+b2
2 ≤
a+b
2 (a
2−ab +b2) ¿
⇔a+b
2 (a
2−ab+b2−a2+b2
2 )≥0
⇔a+b
2 (
2a2−2 ab+2b2−a2− b2
2 )≥0
a −b¿2≥0 (∗)
⇔a+b
2
(a2−2ab+b2)
2 ≥0⇔(a+b).¿
(*) với a0;b0 nên:
2 3
2 2
a b a b a b
(đfcm)
Bài 11: Chứng minh rằng, x y 0 th× 1 x y
x y
Chứng minh: Do: x y 0 nên: + x >0 ; + y> đó:
1
x y x y
(37)(*) nên: 1 x y
x y
(đfcm)
Bài 12: Chứng minh rằng:
a Nếu a, b hai số dấu thì: a b b a
b NÕu a, b hai số trái dấu: a b b a
Chøng minh: a) Ta cã: (a - b)2 0⇔a2
+b2≥2 ab >0 ab>0 nªn: a
b+ b a=
a2+b2
ab ≥
2 ab
ab =2(dfcm)
b)
a b b a
a− b¿2≥0;∀a , b
⇔a
b+ b a=
a2+b2
ab ≤2⇔ab(
a2+b2
ab )≥2 ab⇔a
2
+b2≥2 ab⇔a2−2ab+b2≥0⇔¿ Bµi 13: Chøng minh r»ng a, b, c lµ ba số dơng thì:
4 4
3
a b c
abc b c a
Chøng minh: Do a>0 ; b >0 ; c >0 nªn a4
b >0; b4
c >0; c4
a >0 áp dụng bất đẳng thức si ta có:
a4 b +
b4 c +
c4 a ≥3
3
√a4 b
b4 c
c4 a =3
3
√a3b3c3=3 abc(dfcm)
Bµi 14:Cho a, b, c lµ ba sè thùc: (ab bc ca )23abc a b c( ) Chøng minh:
2
(ab bc ca ) 3abc a b c( ) ⇔a2
b2+b2c2+c2a2+2 ab2c+2a2bc+2 abc2≥3 abc(a+b+c) ¿
⇔a2b2+b2c2+c2a2+2 abc(a+b+c)≥3 abc(a+b+c)
⇔a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c)(∗ ) ¿
XÐt a = b = c = (*) = (§óng)
XÐt a2b2c2 0 (*)
1
a2b2c2(a
b2+b2c2+c2a2)≥abc(a+b+c) a2b2c2 ⇔
1
a2+
1
b2+
1
c2≥
1 ab+
1 bc+
1 ac
⇔
a2+
2
b2+
2
c2≥
2 ab+
2 bc+
2 ac ⇔(
1
a2−
2 ab+
1
b2)+(
1
b2−
2 bc+
1
c2)+(
1
a2−
2 ac+
1
c2)≥0
⇔(1
a−
1
b)
+(1 b−
1
c)
+(1 a−
1
c)
≥0(**) (**) nên: (ab bc ca )2 3abc a b c( ) (đfcm)
Bµi 15: Chøng minh r»ng:
2 2 2
(ax+by) (a b )(x y ),x y a b R, , ,
(38)(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)⇔a2x2+b2y2+2 abxy≤ a2x2+a2y2+b2x2+b2y2
ay¿2≥0⇔(bx−ay)2≥0(∗)
¿ bx¿2−2 bx ay+¿
⇔2 abxy≤ a2y2+b2x2⇔¿
(*) với x, y, a, b thuộc R Nên: (ax+by)2 (a2b2)(x2y2),x y a b R, , , (đfcm) Bài 16: Cho a b x , y CMR:
ax+by
2 2
a b x y
Chøng minh:
ax+by
2 2
a b x y
⇔
ax+by
2 ≥
ax+ay+bx+by
4 ⇔2 ax+2 by≥ax+ay+bx+by
⇔ax+by−ay−bx≥0⇔a(x − y)− b(x − y)≥0⇔(x − y)(a −b)≥0
Do
¿ a ≥b x ≥ y
⇔
¿a −b ≥0 x − y ≥0
¿{ ¿
_ (x − y)(a −b)≥0(∗) (*) đúng, nên:
ax+by
2 2
a b x y
(đfcm)
Bài 17: Cho a, b, c ba cạnh tam giác với p nửa chu vi H·y chøng minh:
1
1
p a p b c
2
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Chøng minh: Ta cã: p = a+b+c
(39)Do đó:
¿ p− a=a+b+c
2 − a=
b+c − a
2
p− b=a+b+c
2 − b=
a+c − b
2
p − c=a+b+c
2 − c=
a+b− c
2
⇒
¿ p − a=
2
b+c − a
1
p− b=
2
a+c − b
1
p −c=
2
a+b − c ¿{ {
¿
1
1
p a p b c
⇔
b+c − a+
2
a+c − b≥
4
c ⇔
1
b+c −a+
1
a+c −b≥
2
c⇔
a+c − b+b+c − a (b+c − a)(a+c −b)≥
2
c
⇔ 2c
(b+c − a)(a+c − b)≥
2
c⇔(b+c − a)(a+c − b)≤ c 2⇔
−[(a− b)− c] [(a − b)+c]≤ c2 a− b¿2−c2
¿ a −b¿2≤0(∗)
¿≤c2⇔−¿
⇔−¿
(*) nên:
1
p a p b c (®fcm)
2
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Theo c©u ta cã:
p-a+
1
p −b≥
4
c
¿
1
p − a+
1
p − c≥
4
b
1
p − b+
1
p − c≥
4
a ¿
_
¿2( p − a+
1
p −b+
1
p − c)≥4(
1
a+
1
b+
1
c) +{ {
¿ ¿ ¿
¿ Bµi 18: H·y chøng minh:
(40)b+d¿2 a+c¿2+(¿ ¿)
¿ ¿2
¿ ¿ √¿
¿ ¿
⇔(√a2+b2+√c2+d2)2≥¿ Tr
ờng hợp : ac + bd <0 suy ra: (*) Tr
êng hỵp : ac+bd≥0
(∗)⇔(a2+b2)(c2+d2)≥ a2c2+b2d2+2 abcd
⇔a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥ a2c2
+b2d2+2abcd
⇔a2d2+b2c2−2abcd≥0⇔(ad−bc)≥0(**)
(**) đúng, (*) nên: a2b2 c2d2 (a c )2(b d )2
Bài 19: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác S diện tích Hãy CMR:
2 2
)
)
2 2 2
) ( ) ( ) ( )
a a b c S b ab bc cb S
c a b c S a b b c c a
Bµi 20: Chøng minh r»ng: (xyz) 3(x y z ) , x,y,zR
2 2
Chøng minh
(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)⇔x2+y2+z2+2 xy+2 yz+2 xz≤3x2+2y2+2z2
⇔(x2−2 xy+y2)+(x2−2 xz+z2)+(y2−2 yz+z2)≥0 y − z¿2≥0 ∀x , y , z∈R(∗)
¿ x − z¿2+¿ x − y¿2+¿
⇔¿
(*) đúng, nên: (xyz)2 3(x2 y2 z2) , x,y,zR (đfcm)
Bµi 21: Cho x, y, z lµ ba sè thùc d¬ng cã tỉng ba sè b»ng Chøng minh r»ng:
1 1
1 1
x y z
Chøng minh:
Ta cã:
¿
1
x−1=
x+y+z − x
x =
y+z x
1
y −1=
x+y+z − y
y =
x+z y
1
z −1=
x+y+z − z
z =
x+y z ¿{ {
¿
Nªn:
1 1
1 1
x y z
⇔(
y+z x )(
x+z y )(
x+y
z )≥8⇔(y+z)(x+z)(x+y)≥8 xyz Ta cã: ( √a −√b¿2≥0;∀a , b ≥0⇔a+b ≥2√ab(∗)
(41)áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
y+z ≥2√yz ¿ x+z ≥2√xz x+y ≥2√xy
¿
¿xalignl{ { ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 22: Chøng minh r»ng víi x>1 ta cã x
√x −1
Chøng minh: x −2¿2≥0;∀x>1(dfcm)
x
√x −1≥2⇔x ≥2√x −1⇔x
2
≥4x −4⇔x2−4x+4≥0⇔¿ Bµi 23: Cho a + b + c = vµ abc Chøng minh r»ng:
2 2 2 2 2
1 1
0
b c a c a b a b c
Chøng minh:
Ta cã:
b+c¿2 ¿ b2+c2−¿
1
b2+c2− a2=
1
¿ T¬ng tù:
c2+a2− b2=−
1 ac;
1
a2+b2− c2=−
1 ab
Nªn: 2 2 2 2
1 1
0
b c a c a b a b c
⇔−
2 bc− 2ac−
1 ab=0
⇔a+b+c
abc =0⇔
abc=0⇔0=0(dfcm)
Bµi 24: NÕu a, b, c lµ ba cạnh tam giác thì: a
b+c+ b a+c+
c a+b<2
Do a, b, c lµ ba cạnh tam giác nên: a>0; b>0 ; c>
Chøng minh: Bµi 25: Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n:
a b c > ; abc = vµ a + b+ c > a+
1
b+
1
c Chøng minh a + b > ab +
Chøng minh:
C¸ch 1: a 1 a
1
a , a b c > b
1
b vµ c c
a + b + c a+
1
b+
1
(42)a >
NÕu b 1 a - > -
a ; b - 1 -
1
b (a – 1)(b – 1) (1−1
a)(1−
1
b) ab – a – b + -
a−
1
b+
1 ab
c - a – b -
1
a−
1
b + c
1
a+
1
b+
1
c a + b + c m©u thuÉn
b < (a - 1)(b - 1) < ab - a - b + < a + b > ab +
C¸ch 2: Ta cã:
Do
¿ a≥ b ≥ c≻0 abc=1
=>c<1⇔1− c>0
¿{ ¿ Nªn:
1
a=bc ¿
1
b=ac
1
c=ab ¿
_
¿1 a+
1
b+
1
c=bc+ac+ab=c(a+b)+ab<a+b+c⇔(a+b)(1− c)>ab− c +{ {
¿ ¿ ¿
¿
Bµi 26: Chøng minh r»ng nÕu a = b + th×: (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = a8 – b8
Chøng minh: Ta cã: a = b + hay a - b =
a8 - b8 = (a4)2 - (b4)2 = (a4 - b4)(a4 + b4) = (a2 - b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = (a - b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) a8 - b8 = (a + b) )(a2 + b2)(a4 + b4) (đfcm)
Bài 27: Cho a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Chøng minh: Ta cã: c = - (a + b)
Biến đổi vế trái:
a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2- b3 = -3a2b – 3ab2 = -3ab(a + b) = -3ab.(-c) = 3abc (đfcm) Bài 28: Cho abc = a3>36
Chøng minh r»ng: a
2
3 +b
2
+c2>ab+bc+ca
(43)a
3 +b
2
+c2>ab+bc+ca
⇔a2
3+b
2
+c2−ab−bc−ca>0
⇔a2
4 +b
2+c2−ab−ac
+2 bc−3 bc+a
12>0
⇔(a
2−b − c)
2 +a
2
12 −3 bc>0
⇔(a
2−b − c)
+a
2 12−
3 a>0
⇔(a
2− b −c)
+a
3 −36
12a >0(∗)
Do a3>36 => a>0 ; a3 – 36 >0 nên: (*) đúng,
vËy: a
3 +b
2
+c2>ab+bc+ca (đfcm) Bài 29 :Cho x, y thoả mÃn: x1 y2
+y√1− x2=1
CMR: x2
+y2=1
Chứng minh: Đặt a =x; b = 1 y2 ; c= y ; d =
√1− x2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiakơpski ta có:
:
1=x√1− y2+y√1− x2≤√(x2
+y2).(√1− y2+1− x2)=√(x2
+y2)[2−(x2+y2)] x2
+y2¿2−2(x2+y2)+1≥0 ¿
¿
⇔(x2+y2)[2−(x2+y2)]≥1⇔−(x2+y2)2+2(x2+y2)−1≥0⇔¿
Dấu = xảy khi: x2 + y2 - 1= <=> x2 + y2 = (đfcm)
Bài 30: Cho x, y, z >0 x + y + z = th× : x+
1
y+
1
z≥9 Chøng minh: Ta cã: víi a> 0; b >0 ; c > th×: a+b+c ≥3√3abc(1)
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
1
x+
1
y+
1
z=(x+y+z)(
1
x+
1
y+
1
z)≥3
√xyz 3
√xyz=9(dfcm)
Bµi 31: Cho a c 0,b c 0 CMR: c a c( ) c b c( ) ab
Chứng minh: Đặt a1 = √c ; b1 = √a −c ; a2 = √b −c ; b2 = √c áp dụng bất đẳng thức: a1b1 + a2.b2 √(a12+a22)(b12+b22) ta có:
√c(a − c)+√c(b −c)≤√(c+b − c)(a −c+c)=√ab(dfcm) Bµi 32: Cho a + b = H·y chøng minh:
1/ a2b2 2
(44)1/ a2b2 2
2− a¿2−2≥0⇔a2+4−4a+a2−2≥0⇔2a2−4a+2≥0⇔a2−2a+1≥0
¿ a −1¿2≥0(∗)
¿
⇔a2
+¿ (*) nên a2b2 2
Bài 33: Chứng minh ta có:
x4 + y4 + z2 + 2x(xy2 – x + z +1)
Chøng minh: x4 + y4 + z2 + 2x(xy2 - x + z +1)
⇔ x4 + y4 + z2 + - 2x2y2 + 2x2 - 2xz – 2x 0
⇔ (x4 - 2x2y2 + y4) + (x2 - 2xz + z2) + (x2 - 2x + 1) 0
⇔ (x2 - y2)2 + (x - z)2 + (x - 1)2 với x, y, z (đfcm) Bài 34: Chứng minh bất đẳng thức:
a2
4 +b
2
+c2≥ab−ac+2 bc
Chøng minh:
a2
4 +b
2
+c2≥ab−ac+2 bc⇔a
4 +b
2
+c2−ab+ac−2 bc≥0
⇔(a
2− b+c)
2
≥0;∀a , b , c(dfcm)
Bµi 35: Cho ba sè thùc a, b, c thoả mÃn điều kiện a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
Chøng minh: Ta cã: a + b + c = => c = -(a +b)
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0
⇔a3+b3+a2c+b2c −abc=0
⇔a3
+b3−(a+b)(a2+b2)−abc=0
⇔(a+b)(a2−ab+b2− a2− b2)−abc=0
⇔−ab(a+b)−abc=0
⇔−ab (− c)−abc=0
⇔abc−abc=0
⇔0=0(∗)
(*) nên: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (đfcm)
Bµi 36: Cho a, b, c, d số nguyên dơng Chøng minh r»ng: 1< a
a+b+c+ b a+b+d+
c b+c+d+
(45)
a a+b+c+d<
a a+b+c<
a a+b ¿
b a+b+c+d<
b a+b+d<
b a+b c
a+b+c+d< c b+c+d<
c c+d d
a+b+c+d< d a+c+d<
d c+d ¿
_
¿+{ { { ¿ ¿ ¿
¿ ⇔1< a
a+b+c+ b a+b+d+
c b+c+d+
d
a+c+d<1+1=2(dfcm) Bµi 37 Cho a, b, c > vµ a + b + c =
CMR:
1 1
1 1 64
a b c
Chøng minh: Ta cã: (1+1
a)(1+
1
b)(1+
1
c)=(
a+a+b+c a )(
b+a+b+c b )(
c+a+b+c
c )
áp dụng bất đẳng thức sơ si ta có:
(
a+a+b+c a )(
b+a+b+c b )(
c+a+b+c c )≥
4√4a2bc
a
4√4b2ac
b
4√4c2ab
c (a+a+ab+c)(
b+a+b+c b )(
c+a+b+c c )≥
644√a4b4c4
abc =
64 abc
abc =64(dfcm)
Bài 38: Giải phơng tr×nh:
x y z 4 x 4 y 6 z 5(1) Gi¶i:
§iỊu kiƯn: ¿ x −2≥0
y −3≥0
z −5≥0
⇔
¿x ≥2 y ≥3
z ≥5
(46)(1)
¿√x −2−1=0
√y −3−2=0
√z −5−3=0
⇔
¿√x −2=1
√y −3=2
√z −5=3
⇔
¿x −2=1 y −3=4 z −5=9
⇔
¿x=3 y=7
z=14
¿
⇔(x −2−2√x −2+1)+(y −3−4√y −3+4)+(z −5−6√z −5+9)=0
⇔(√x −2−1)2+(√y −3−2)2+(√z −5−3)2=0
⇔
{ {
Bµi 39: Chøng minh r»ng, nÕu a, b, c, d số không âm thì:
4
a b c d
abcd
Chøng minh: Ta cã: (√x −√y)2≥0;∀x , y ≥0⇔x+y ≥2√xy(∗)
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc:
a+b ≥2√ab
¿ c+d ≥2√cd
¿
_
¿a+b+c+d ≥2(√ab+√cd)≥2 2√√abcd
{ ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 40: Chøng minh r»ng:
a NÕu x2y2 1 th× |x y | b NÕu 4x -3y = 15 th× x2y2 9
Chøng minh:
Víi a1, a2, b1, b2 R Th× (a1.b1 + a2.b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22) (1)
⇔a12b 12+a
22b
22+2a1a2b1b2≤ a1
b1
+a1
b2
+a2
b1
+a2
b2
⇔a12b22+a22b12−2a1a2b1b2≥0⇔(a1b2− a2b1)2≥0;∀a1;;a2;b1; b2∈R(2)
(2) đúng, (1)
a) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
x+y¿2≤2 1=2⇒|x+y|≤√2(dfcm) x+y¿2⇔¿
(12+12)(x2+y2)≥(1 x+1 y)2⇔2(x2+y2)≥¿ b) Chän a1 = 4; a2 = -3; b1 = x; b2 =y
(47)
−3¿3
43
+(¿).(x2+y2)
¿ ¿ (4x −3y)2≤¿
Bµi 41: Cho a, b, c > CMR:
2
ab bc ca a b c a b b c c a
Chứng minh: Ta có: với x , y ≥0 ta ln có: (√x −√y)2≥0⇔x+y ≥2√xy(∗) áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
ab
a+b+
bc
b+c+
ca
c+a≤
ab 2√ab+
bc 2√bc+
ca 2√ca=
1
2(√ab+√bc+√ca)≤ 2(
a+b
2 +
b+c
2 +
c+a
2 )=¿=
4(2a+2b+2c)=
a+b+c
2 (dfcm)
Bµi 42: Cho
3
, ,
x y z x y z
CMR:
a)
3
2 2 2
1 1
x y z
x y z
b)
1 1
1x1y1z 2
Chøng minh: Ta cã: (√x −√y)2≥0;∀x , y ≥0⇔x+y ≥2√xy(∗)
a) ¸p dơng B§T (*) ta cã: x
1+x2+ y
1+y2+ z
1+z2≤ x
2x+ y
2y+ z
2z=
3
2(dfcm) b) ¸p dơng B§T (*) ta cã:
1 1+x+
1 1+y+
1 1+z≥3
3
√(1+x)(1+1y)(1+z)≥
3
1+x+1+y+1+z
3
=
3+x+y+z ≥
9 3+3=
3
2(dfcm) Bµi 43: Cho abc0 CMR:
2 2
a b c a b c b c a b c a
(1)
Chøng minh: (12
+12+12)[(a b)
2 +(b
c)
+(c a)
2
]≥(a
b+ b c+
c a)
2 ≥(a
b+ b c+
c a)
3
√abcabc=3(
a b+
b c+
c a)
⇔ a b c a b c
b c a b c a
(đfcm)
Bài 44: Cho a, b> vµ a + b = CMR:
1
6
2
ab a b
(48)=a + b 2√ab⇔1≥4 ab⇔2 ab≤1
2⇔ ab≥2 Ta cã:
1 ab+
1
a2 +b2=
1 ab+
1 2ab+
1 1−2 ab≥
1 ab+2√
1
2 ab(1−2 ab)≥2+2
√(2 ab+11−2 ab
2 )
2=2+2 2=6(dfcm) Bµi 45: Cho a, b, c >0 CMR:
1 1
2 2
a b c abc a bc b ca c ab
Chứng minh: Biến đổi vế trái (VT)
VT
2(
a√bc+
b√ac+
c√ab)= 2(√
bc abc +√
ac abc +√
ab abc )≤
1 abc(
b+c
2 +
a+c
2 +
a+b
2 )=
a+b+c
2 abc (dfcm) Bµi 46: Cho a, b, c > CMR:
3 3 2
a b c a bc b ac c ca
Chøng minh: Ta cã: a3 + a3 6+ a3 + a3 + b3 + c3
6 ≥6
6
√a12.b3c3
66 =a
2 √bc ¿ a3 + b3 + b3 + b3 + b3 + c3
6 ≥6
6
√a3.b12c3
66 =b √ac a3 + b3 6+ c3 + c3 + c3 6+ c3
6 ≥6
6
√a3.b3c12
66 =c √ab ¿ ¿+{ { ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 47: Chøng minh r»ng:
1 1
)( )( )
, ,
1 1
) 9;
2 2 2 2
a x y z
x y z
a b c b
a b c a bc b ca c ab
Chøng minh:
a) VT 3√3xyz 3
√xyz=9(dfcm)
b) VT
a2+b2+c2+2 bc+2 ca+2 ab¿3 ¿
¿33 ¿ a+b+c¿6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 33
√(a2+2 bc)(b2+12ca)(c2+2 ab)≥3
(49)Bµi 48: Cho 0≤ a , b≤1 Chøng minh r»ng:
1
a b b a ab
Chøng minh:
Ta cã:
a√(b−1) 1≤ a(b −1+1)
2 =
ab
¿
b√(a −1).1≤ b.a −1+1
2 =
ab
¿
_
¿+{ ¿ ¿ ¿
¿ Bµi 49: Cho a, b, c, d > CMR:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
Chøng minh: ` Ta cã: VT= a
a+b−1+ b b+c−1+
c
c+a−1+3= −b a+b+
−c b+c+
− a c+a+3 b
a+b> b a+b+c ¿ c b+c>
c a+b+c a
c+a> a a+b+c ¿
¿ b a+b+
c b+c+
a c+a>
a+b+c
a+b+c=1⇔−( b a+v+
c b+c+
a
c+a)<−1⇔−( b a+v+
c b+c+
a
c+a)+3<−1+3=2 { {
¿ ¿ ¿
¿
VP =
√b+ac+√ b c+a+√
c a+b=√
a.a (b+c).a+√
b.b (c+a).b+√
c.c (a+b).c=
a
√a(b+c)+
b
√b(a+c)+ c
√c(a+b)≥
a a+b+c
2
+ b
a+b+c
2
+ c
a+b+c
2
= 2a a+b+c+
2b a+b+c+
2c a+b+c=
2(a+b+c) a+b+c =2
⇔√ a
b+c+√ b c+a+√
c
a+b≥2(**) Tõ (*) vµ (**) ta cã:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b (dfcm) Bµi 50: Cho a, b, c > CMR:
1 a b c
b c a
Chøng minh: Ta cã: (√x −√y)2≥0;∀x , y ≥0⇔x+y ≥2√xy(∗)
(50)VT=(1+a b)(1+
b c)(1+
c a)≥2√
a b 2√
b c.2√
c a=8√
abc
abc=8(dfcm)
Bµi 51: Cho a b c, , 0 vµ a + b + c = CMR:
8
( )( )( )
729
P abc a b b c c a
Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
P≤(a+b+c
3 )
3
.(a+b+b+c+c+a
3 )
3 =(1
3)
3
(23)
3 =
729(dfcm) Bµi 52:Cho a2
+b2=1 CMR: a√b+1+b√a+1≤√2+√2 Chøng minh:
Víi a1, a2, b1, b2 R Th× (a1.b1 + a2.b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22) (1)
⇔a12b 12+a
22b
22+2a1a2b1b2≤ a1
b12+a12b22+a22b12+a22b22
⇔a12b22+a22b21−2a1a2b1b2≥0⇔(a1b2− a2b1)2≥0;∀a1;;a2;b1;b2∈R(2) (2) đúng, (1)
áp dụng bất đẳng thức (1) cho vế trái ta đợc:
a√b+1+b√a+1≤√(a2+b2)(a+b+2)=√1 a+.1b+2.≤√2+√(12+12)(a2+b2)=√2+√2(dfcm) Bµi 53: Cho sè thùc a, b, c cho: a2 + b2 + c2 =1 Chøng minh r»ng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) Chøng minh: Ta cã: a2 + b2 + c2 =1
⇒a2, b2, c2≤1
⇒a , b , c∈[−1;1]
⇒1+a;1+b ;1+c ≥0
⇒1+a+b+c+ab+ac+bc+abc≥0(1) MỈt kh¸c: a
2
+b2+c2+a+b+c+ab+ac+bc=1
2(1+a+b+c)
2 ≥0
⇒1+a+b+c+ab+ac+bc≥0(2)
Cộng (1) (2) ta đợc: abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) (dfcm) Bài 54: Chứng minh rằng:
a) a
+b2
2 ≥(
a+b
2 )
2
b) a
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
Chứng minh: a) Cách 1: áp dụng bất đẳng thức bunhikôpski cho vế trái: (1
2
+12)(a2+b2)
4 ≥
(1.a+1.b)2
4 =(
a+b
2 )
2
(dfcm) C¸ch 2:
a2+b2
2 ≥(
a+b
2 )
2
⇔a2+b2
2 ≥
a2+2 ab+b2
4 ⇔2a
2
+2b2−a2−2 ab− b2≥0
⇔(a− b)2≥0⇔a
+b2
2 ≥(
a+b
2 )
2
(dfcm) b) Cách 1: áp dụng bất đẳng thức bunhikôpski cho vế trái: (1
2
+12+12) (a2+b2+c2)
9 ≥
(1 a+1.b+1 c)2
9 =(
a+b+c
3 )
2
(dfcm) C¸ch 2:
(51)a
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
⇔a2+b2+c2
3 ≥
a2+b2+c2+2 ab+2 ac+2 bc
9
⇔3a2+3b2+3c2−a2− b2− c2−2ab−2 ac−2 bc≥0⇔2a2+2b2+2c2−2 ab−2 ac−2 bc≥0 ¿
a − b¿2+(a −c)2+(b − c)2≥0⇔a
+b2+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
(dfcm)
⇔¿ C¸ch 3: Ta cã: a −b¿2≥0⇔a2+b2≥2 ab
¿
T¬ng tù: + a2 + c2 2ac
b2 + c2 2bc
_ 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac + 2bc
<=> 3a2 + 3b2 + 3c2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
<=> 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2⇔a 2+b2
+c2
3 ≥(
a+b+c
3 )
2
(dfcm) Bµi 55: Cho a, b, c cạnh tam giác
Chứng minh r»ng:
(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)<abc
Chøng minh: Trong tam giác ta có:
|b − c|<a
|c −a|<b
|a − b|<c
⇔
b − c¿2<a2 ¿ c − a¿2<b2
¿ a −b¿2<c2
¿
⇔
¿ b − c¿2≤ a2
¿ c − a¿2≤ b2
¿ a− b¿2≤ c2
¿ ¿
0<(a+b − c)(a+c −b)≤ a2 ¿
0<(a+b − c)(b+c −a)≤b2 ¿
¿ ¿
b+c − a¿2≤ a2b2c2 (∗) a+c −b¿2¿ a+b − c¿2¿
⇔¿
(52)
¿ a; b ;c>0
a+b>c a+c>b b+c>a
⇔
¿a ;b ;c>0 a+b − c>0
a+c −b>0
b+c − a>0
¿{{ { ¿
Do (*) ⇔(a+b − c)(b+c −a)(c+a − b)≤abc (dfcm) Bài 56: Chứng minh nếu: a2 + b2 = c2 + d2 =1995 thì
|ac+bd|≤1995
Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức bunhiakopsky
Ta cã: (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=19952⇔|ac+bd|≤1995(dfcm)
Bài 57: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ac a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)
Chøng minh: ta cã:
b − c¿2≥0⇔ab+bc+ac≤ a2+b2+c2(∗) a− c¿2
+¿ a − b¿2+¿
ab+bc+ac≤ a2+b2+c2⇔¿
Trong tam gi¸c ta cã:
a<b+c ¿ b<a+c c<a+b a ;b ;c>0 a2<a(b+c
)=ab+ac b2<b(a+c)=ab+bc c2<c(a+b)=ac+bc
¿
¿⇔+{ { { { {
¿ ¿ ¿
¿
Từ (*) (**) ta đợc: ab + bc + ac a2+b2+c2<2(ab+bc+ac) (đfcm) Bài 58: Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2 +b2+ c2 + d2 + 1 a + b + c + d
Đẳng thức xảy nào?
Chứng minh: Ta có: (a −1
2)
2
≥0⇔a2−a+1
4≥0⇔a
2 +1
4≥ a(1)
t¬ng tù ta cã: b2
+1
4≥ b(2)
c2 +1
4≥ c(3)
d2+1
(53)Cộng đẳng thức (1); (2); (3) (4) ta đợc: a2 +b2+ c2 + d2 + 1 a + b + c + d (dfcm)
DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: a=b=c=d=1
2 Bµi 59: Chøng minh r»ng nÕu: a
b+c+ b c+a+
c
a+b=1 th× a b+c+
b2 c+a+
c2 a+b=0 Chøng minh:
Ta cã: ab1 c a c
b c b
a ⇔ a2
b+c+a+ b2 c+a+b+
c2
a+b=a+b+c⇔ a2 b+c+
b2 c+a+
c2
a+b=0(dfcm) Bài 60: Giả sử x, y, z số thực thoả mÃn điều kiện:
x + y +z + xy + yz + xz = Chøng minh r»ng: x2 + y2 + z2 3
Chøng minh: Ta cã: (x - 1)2 <=> x2 + 2x (1)
y2 + 1 2y (2)
z2 + 2z (3)
(x - y)2 + (y - z)2 + (x- z)2 <=> 2(x2 + y2 + z2 ) 2(xy + yz + xz) (4)
Cộng (1); (2); (3) (4) ta đợc: 3(x2 + y2 +z 2 )+ 2(x + y + z + xy + yz + xz)
<=> (x2 + y2 +z 2 ) 2.6 – =9
<=> x2 + y2 + z2 (dfcm)
Bµi 61:
a) Chøng minh r»ng biĨu thøc: A = a2 + b2 -2ab + a – b + dơng với a b
b) Cho ba sè d¬ng x, y, z cã tæng b»ng Chøng minh r»ng: √x+yz+√y+zx+√z+xy≥1+√xy+√yz+√zx
Chøng minh: a) A=(a2−2 ab
+b2)+(a − b)+1=(a −b)2+2.(a− b).1
2+ 4+
3
4=(a −b+ 2)
2 +3
4≥
4>0;∀a , b∈R(dfcm) b) Ta cã:
¿ x ; y ; z>0
x+y+z=1
¿{ ¿ Ta cÇn chøng minh:
√x+yz≥ x+√yz(1)⇔x+yz≥ x2+yz+2x√yz⇔2x√yz≤ x(1− x)⇔2√yz≤1− x⇔ y −2√yz+z ≥0 ¿
√y −√z¿2≥0⇔√x+yz≥ x+√yz(1);∀x , y , z>0
⇔¿
Chøng minh t¬ng tù ta cã: √y+zx≥ y+√zx(2)
√z+xy≥ z+√xy(3) Cộng (1); (2) (3) ta đợc:
√x+yz+√y+zx+√z+xy≥ x+y+z+√xy+√yz+√zx=1+√xy+√yz+√zx(dfcm) Bµi 62:
a) Cho a>c; b>c; c>0 Chøng minh r»ng: √c(a − c)+√c(b −c)≤√ab
b) Cho a>0; b>0 Chøng minh r»ng: 2√ab
√a+√b≤√√ab Chøng minh:
a) Víi a1, a2, b1, b2 R Th× (a1.b1 + a2.b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22) (1)
⇔a12b 12+a
22b
22+2a1a2b1b2≤ a1
b1
+a12b22+a22b12+a22b22
⇔a12b22+a22b12−2a1a2b1b2≥0⇔(a1b2− a2b1)2≥0;∀a1;;a2;b1; b2∈R(2)
(2) đúng, (1)
(54)Chän a1 = √c ; b1 = √a −c ; a2 = √b −c ; b2 = √c
√c(a − c)+√c(b −c)≤√(c+b − c)(a −c+c)=√ab (dfcm) b) Ta có: (√x −√y)2≥0⇔x+y ≥2√xy;∀x , y>0(∗) áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc:
VT= 2√ab
√a+√b≤
2√ab 2√√ab=
√√ab √√ab
√√ab =√√ab(dfcm)
Bµi 63: Cho số dơng x, y, z thoả mÃn: x + y + z = Chøng minh r»ng: √2x2
+xy+2y2+√2y2+yz+2z2+√2z2+zx+2x2≥√5 Chøng minh: Ta cã: 4(2x2 + xy + 2y2) = 5(x + y)2 + 3(x - y)2 5(x + y)2
Hay: √2x2
+xy+2y2≥√5
2 (x+y)(1)
√2y2
+yz+2z2≥√5
2 (y+z)(2)
√2z2+xz+2x2≥√5
2 (x+z)(3)
Cộng đẳng thức (1);(2) (3) ta đợc:
√2x2+xy+2y2+√2y2+yz+2z2+√2z2+zx+2x2≥√5
2 (2x+2y+2z)=√5(dfcm)
Bài 64: Chứng minh bất đẳng thức cô si trờng hợp số a, b, c không âm : a+b+c
3 ≥
3
√abc(∗)
Chứng minh: Đặt a = x3; b = y3 ; c = z3 Bất đẳng thức (*) tơng đơng với:
x3+y3+z3
3 ≥xyz
C¸ch 1:
z − x¿2 y − z¿2+¿≥0(**)
x − y¿2+¿ ¿
⇔x3
+y3+z3−3 xyz≥0⇔(x+y+z)¿
Do a ≥0;b ≥0; c ≥0⇒x ≥0; y ≥0; z ≥0⇒x+y+z ≥0 nên (**) Do đó: a+b+c
3 ≥
3
√abc(∗) (®fcm)
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức si cho hai số ta có:
(x3+y3)+(z3+xyz)≥2 xy√xy+2z2√xy=2√xy(xy+z2)≥4√xy z√xy=4 xyz
⇔x3+y3+z3+xyz≥4 xyz⇔x3+y3+z3≥3 xyz⇔a+b+c
3 ≥
3
√abc(dfcm) Bµi 65: Cho hai bé n sè: (a1, a2, , an) vµ (b1, b2, ,bn) Chøng minh:
(a12 + a22 + an2).(b12 + b22 + + bn2) (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 (*) Chứng minh:
Đặt A = a12 + a22 + an2; B = b12 + b22 + + bn2 ; C = a1b1 + a2b2 + + anbn (*) <=> A.B C2
a) Xét A = <=> a12 + a22 + an2 =0 <=> a1 = a2 = = an = (*) <=> = (đúng) Xét B = <=> b12 + b22 + + bn2 = <=> b1 = b2 = =bn = (*) <=> = (đúng)
b) XÐt ¿ A ≠0
B ≠0
¿{ ¿
Ta lu«n cã:
(55)
(anx - bn)2 <=> an2x2 - 2anbnx + bn2 Cộng n bất đẳng thức với ta đợc:
(a12 + a22 + + an2)x2 – 2(a1b1 + a2b2 + + anbn)x + b12 + b22 + + bn2 <=> Ax2 – 2Cx + B (**)
Thay x = C
A (**)
⇔A.C2
A2−2C C
A+B ≥0⇔C 2−2C2
+AB≥0⇔AB≥ C2
⇔(a12+a22+ .+a2n)(b12+b22+ +b2n)≥(a1b1+a2b2+ +anbn)2(dfcm) Bài 66: Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức:
a b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c
2
Chứng minh: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức si ta có:
a2 b+c+
b+c
4 ≥2√
a2(b+c)
4 (b+c)=a ¿
b2 c+a+
c+a
4 ≥2√
b2(c+a)
4(c+a)=b c2
a+b+ a+b
4 ≥2√
c2(a+b)
4(a+b)=c
⇔
¿ a b+c≥ a −
b+c
4 =
4a− b − c
4
b2 c+a≥ b −
c+a
4 =
4b − c − a
4
c2 a+b≥ c −
a+b
4 =
4c −a − b
4
¿
_
¿{ { ¿ ¿ ¿
¿
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki:
(a12 + a22 + a32 )(b12 + b22 + b32) (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 Ta cã:
[(√b+a c)
+( b
√a+c)
+( c
√a+b)
][(√b+c)2+(√a+c)2+(√a+b)2]≥ a+b+c¿2⇔2( a
2 b+c+
b2 c+a+
c2
a+b)(a+b+c)≥(a+b+c)
¿ ¿ ¿ Bài 67: Chứng minh bất đẳng thức sau: a
2 a+b+
b2 b+c+
c2 c+a≥
a+b+c
2 với số dơng a, b, c (Cách chứng minh tơng tự 66)
Bài 68: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chøng minh r»ng: a
2 a+b+
b2 b+c+
c2 c+d+
d2 d+a
a+b+c+d
2 (Cách chứng minh tơng tự bµi 66)
(56)Chøng minh:
Víi a1, a2, b1, b2 R Th× (a1.b1 + a2.b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22) (1)
⇔a12b 12+a
22b
22+2a1a2b1b2≤ a1
b12+a12b22+a22b12+a22b22
⇔a12b22+a22b21−2a1a2b1b2≥0⇔(a1b2− a2b1)2≥0;∀a1;;a2;b1;b2∈R(2) (2) đúng, (1)
Đặt: a1=√a; b1=√c ;a2=√b ;b2=√d áp dụng bất đẳng thức (1) ta đợc:
√b¿2
√d¿2
√c¿2+¿ ¿
√a¿2+¿.¿ ¿ ¿
√(a+b)(c+d)=√¿
√(√a.√c+√b.√d)2=√(√ac+√bd)2=√ac+√bd(dfcm)
Bµi 70: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 2(a+b+c)a2+b2+b2+c2+c2+a2<3(a+b+c)
Chứng minh: Ta cần chøng minh:
√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c) (*) √a2+b2+√b2+c2+√c2+a2<√3(a+b+c) (**) áp dụng bất đẳng thức bunhia ta có:
¿ ¿√a2+b2=√(1
+12)(a2+b2)
√2 1.a+1 b
√2 =
√2(a+b)
2 (1)
¿{ ¿ T¬ng tù:
√b2+c2≥√2(b+c)
2 (2)
√c2+a2≥√2(c+a)
2 (3)
Cộng vế bất đẳng thức (1) ; (2) (3) ta đợc: √a2
+b2+b2+c2+c2+a22(a+b+c) (*) Do a, b, c ba cạnh tam giác nên:
(a b)2<c2a2+b2<c2+2 ab⇔√a2+b2<√c2+2 ab(4) T¬ng tù: √b
2+c2
<√a2+2 bc(5) √c2+a2
<√b2+2 ac(6) Cộng vế bất đẳng thức (4) ; (5) (6) ta đợc:
a+b+c¿2 ¿ ¿√3(a+b+c)
¿
3¿ ¿ ¿
√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2<√c2+2 ab+√a2+2 bc+√b2+2 ac<¿√(12+12+12)(a2+b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca)=√¿ Tõ (*) vµ (**) ta cã:
(57)Bµi 71: Cho |x|,|y| <1 CMR:
1
2 1
1 x 1 x xy
Chøng minh:
NÕu a> 0; b>0 th×:
a+b¿2≥4 ab⇔a2+2 ab+b2−4 ab≥0 ¿
a− b¿2≥0⇔1 a+
1
b≥
4
a+b(1) ¿ a+ b≥
a+b(1)⇔ a+b
ab ≥
a+b⇔¿ Do: |x|,|y| <1 => a = -x2 >0; b = - y2>0.
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
x − y¿2 ¿
2−2 xy−¿
1 1− x2+
1 1− y2≥
4 1− x2
+1− y2=
4
¿ Bµi 72: Cho a, b, c >0 Chøng minh r»ng:
1 1
3 3 3 abc
a b abc b c abc c a abc Chøng minh:
Ta cã:
a − b¿2≥0;∀a , b>0 ¿
¿
a3+b3≥ab(a+b)⇔(a+b)(a2−ab+b2−ab)≥0⇔(a+b)¿ T¬ng tù:
1
b3+c3+abc≤
1
bc(a+b+c)(2)
1
c3+a3+abc≤
1
ca(a+b+c)(3) Cộng vế cho vế bất đẳng thức (1); (2) (3) ta đợc:
1
a3+b3+abc+
1
b3+c3+abc+
1
c3+a3+abc≤
1
a+b+c(
1 bc+
1 ca+
1 ab)=¿
1
a+b+c( a
abc +
b
abc+
c
abc)=
a+b+c
a+b+c
abc =
1
abc(dfcm)
Bµi 73:
Chøng minh r»ng, nÕu x y 0 th× 1 x y
x y
Chøng minh:
Cách 1: Giả sử: x
1+x y
1+y
1+x
1+x−
1 1+x≥
1+y
1+y−
1
1+y⇔1−
1 1+x≥1−
1 1+y⇔−
1 1+x≥ −
1 1+y
⇔
1+x≤
1
1+y ⇔1+y ≤1+x⇔x ≥ y(dfcm) C¸ch 2: Ta cã:
x ≥ y⇔x+1≥ y+1⇔
x+1≤
1 y+1⇔
1 x+1−1≤
1
y+1−1⇔
1− x −1 x+1 ≤
1− y −1 y+1
⇔ − x
1+x≤
− y 1+y⇔
x 1+x≥
y
1+y(dfcm)(∗)
Ta cã: a b≤1⇒
a b≤
a+m
b+m;(m ≥0) ¸p dơng:
1 1+a2+
1 1+b2≥
2 1+ab Bµi 74: Cho a, b, c số dơng a2
(58)S= a b+c+
b3 c+a+
c3 a+b≥
1
Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức cosi
a3 b+c+
a(b+c)
4 ≥ a
2
b3 a+c+
b(a+c)
4 ≥ b
2
c3 b+a+
c(b+a)
4 ≥ c
2
_ VT≥(a2
+b2+c2)−ab+bc+ca
2 ≥(a
2+b2
+c2)−1
2[a
2+b2+c2] =a
2+b2 +c2
2 ≥
1
Bµi 75: Cho a, b, c > CMR:
1 1 1
4a4b4c 2a b c 2b c a 2c a b
Chứng minh áp bất đẳng thức cô si
VT=
16( a+ b+
c)=
1 16 [(
1 a+ a+ b+
c)+(
1 a+ b+ b+
c)+(
1 a+ b+ c+
c)]≥
1 16(
4
4
√a abc+
4
√abbc+
4
√abcc)≥ 16 (
16
2a+b+c+
16
2b+a+c+
16
2c+a+b)=¿
1 2a+b+c+
1 2b+a+c+
1
2c+a+b(dfcm)
Bµi 76: Cho a, b, c, d > CMR:
2
2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
Chøng minh:
VT= a
b+2c+3d+ b c+2d+3a+
c d+2a+3b+
d a+2b+3c
Taco :
a b+2c+3d+
b+2c+3d
36a ≥2√
a(b+2c+3d)
36a =
1
b c+2d+3a+
c+2d+3a
36b ≥2√
b(c+2d+3a)
36b =
1
c d+2a+3b+
d+2a+3b
36c ≥2√
c(d+2a+3b)
36d =
1
d a+2b+3c+
a+2b+3c
36d ≥2√
d(a+2b+3c)
36d =
1 VT≥4
3− 36(
b+2c+3d
a +
c+2d+3a
b +
d+2a+3b
c +
a+2b+3c
(59)