Tài liệu học tập môn Toán lớp 11 (Trường THPT Đào Sơn Tây)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 11 Họ tên HS: …………….………… Lớp: ……………… ……… Tài liệu lưu hành nội Mục lục CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ÔN TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ 10 BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM 10 BÀI 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP 11 BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON 13 BÀI 4: BIẾN CỐ 16 BÀI XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 17 CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN 19 BÀI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 19 BÀI DÃY SỐ 20 BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG 22 BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN 24 CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG 26 BÀI PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP TỊNH TIẾN 26 BÀI PHÉP QUAY 28 BÀI KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU 31 BÀI PHÉP VỊ TỰ 34 BÀI PHÉP ĐỒNG DẠNG 36 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG 38 BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 38 BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 41 BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 43 BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 46 BÀI : PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN 49 CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I HÀM SỐ y  sin x VÀ y  cos x Hàm số y  sin x - Tập xác định: 1;1 Tập giá trị: Là hàm số lẻ Hàm số tuần hồn chu kì T  2 Đồng biến khoảng        k 2 ;  k 2    - Nghịch biến khoảng 3     k 2 ;  k 2    - Đồ thị đường hình sin - Hàm số y  cos x - Tập xác định: - - Nghịch biến khoảng  k 2 ;   k 2  - Đồ thị đường hình sin II HÀM SỐ y  tan x VÀ y  cot x Hàm số y  tan x - Tập xác định: -   \   k  2  Tập giá trị: Là hàm số lẻ Hàm số tuần hồn chu kì T   Đồng biến khoảng xác định Đồ thị: 1;1 Tập giá trị: Là hàm số chẵn Hàm số tuần hồn chu kì T  2 Đồng biến khoảng    k 2 ; k 2  Hàm số y  cot x - Tập xác định: - \ k  Tập giá trị: Là hàm số lẻ Hàm số tuần hồn chu kì T   Nghịch biến khoảng xác định Đồ thị: B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Câu Tìm tập xác định hàm số sau:  cos x   b)y = tan  x   a) y = 3 sin x    c) y = cot  x   6    d) y = cot  2x   4    g) y = tan  2x   4  j) y  sin x  cos x 1 x 1 x cot x h) y = cos x  e)y = sin k) y = tan x + cot x 2cos x f) y = i) y  tan2x  cot3x l)y = 3sin x cos x Câu Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau: a) y = – sin x b) y = + cosx c)y= 4sinx +3 d) y= - 3sin( x   ) g) y  3  2sin 3x j)y = sin2x – cos 2x m) y  sin x  cos4 x e) y = 5sin2 x   4cos x k)y= cos x  h)y= 2   n) y  sin x  sin  x    f) y =  2cos2 x i) y= – sin2xcos2x l)y=  sin x o) y  cos2 x  sin x BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH sin x  m + Nếu m  phương trình vơ nghiệm + Nếu m  : gọi  nghiệm phương trình Đặc biệt: sin x   x  k   x    k 2 sin x  m   , k  x      k 2   k 2  sin x  1  x    k 2 2 sin x   x  Nhận xét:    Trên   ;  phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu arcsinm  2 x  arcsin m  k2 sin x  m   , kZ x    arcsin m  k2 Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức  x  a0  k3600 s inx  sina   , kZ 0  x  180  a  k360 Một vài lưu ý sin u   sin v  sin u  sin(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2 II PHƯƠNG TRÌNH cos x  m + Nếu m  phương trình vô nghiệm + Nếu m  : gọi  nghiệm phương trình  x    k 2 cos x  m   , k  x    k 2 Đặc biệt:   k 2 cos x   x  k 2 cosx  1  x    k 2 cosx   x  Nhận xét: Trên 0; , phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu arccosm cosx  m  x   arccosm  k2 , k  Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cosx  cosa0  x  a0  k3600 , k  Z Một vài lưu ý cos u   cos v  cos u  cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2    cos u   sin v  cos u  cos   v  2  II PHƯƠNG TRÌNH tan x  m Điều kiện: x    k , k  Gọi  nghiệm phương trình tan x  m  x    k , k  Nhận xét:     2 Trên   ;  phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu arctan m tanx  m  x  arctanm  k , k  0 Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng cơng thức tanx  tan a  x  a  k180 Một vài lưu ý tan u   tan v  tan u  tan(v) , k Z   tan u  cot v  tan u  tan   v  2    tan u   cot v  tan u  tan   v  2  II PHƯƠNG TRÌNH cot x  m Điều kiện: x  k , k  Gọi  nghiệm phương trình cot x  m  x    k , k  Nhận xét: Trên  0;  phương trình có nghiệm nhất, kí hiệu arc cot m cot x  m  x  arccot m  k , k  Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cotx  cota0  x  a0  k1800 , k  Z B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng tốn liên quan đến giải phương trình lượng giác Câu Giải phương trình sau:  a) sin x  sin(2 x  ) d) cot(3x 1)  cot g) tan x    j) sin(  3x)  5 Câu Giải phương trình sau: a) sin x  ( 180o  x  240o ) c) cos2 x  ( 180o  x  240o )  2 c) tan(2x  )  tan  b) cos( x  )  cos3x e) sin x   2 h) cos3x  f) cot(3x  10o )  i)cos 5x= -3 l) tan(2x+3)=  k) cot x=2  b) sin( x  )  (  x  2 )  3 d)cos 2x = (  x  ) 2 f) tan x   (   x  3 ) e) tan2 x  ( 15o  x  245o )  h) cot (4x  ) =1(  x  2 ) PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN, DẠNG TÍCH Câu Giải phương trình sau: x 1 b) sin 2 x  c) sin x   d) cot  a) cos2 x  4 e) 4cos2 x   f) sin x  g) cos 2x tan x = h) x  x   j) tan (x – 30o) cos (2x – 150o)  cot 1 tan  1  i) sin 3x cot x =    = Câu Giải phương trình sau: g) cot (3x – 45o) = -1 ( 180o  x  180o ) a) sin 3x – cos 5x = b) sin 3x = cos 2x c) sin x + cos 2x = d) cos 4x + cos 3x = e) sin 2x+ cos x = f) tan 3x + tan x =     g) cos  x    cos  x    3 6   Giải phương trình sau: a) sinx + sin3x + sin5x = c) sin x  sin 2x  sin 3x    h) tan 3x + tan  x    i) tan (3x + 2) - cot 2x = 4  e) cos 2x  cos 8x  cos 6x   g) cos x  cos 2x  sin 3x b) cos x  cos 2x  sin x  sin 2x d) sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  f) sin x  sin 3x  sin 5x  h)cos7x + sin8x = cos3x – sin2x Câu BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Phương pháp giải a sin2 u  b sin u  c   a  0 Đặt t  sin u ,điều kiện 1  t  a cos2 u  b cos u  c   a  0 Đặt t  cos u ,điều kiện 1  t  a tan2 u  b tan u  c  Đặt t  tan u , điều kiện cos u  a cot u  b cot u  c   a  0 Đặt t  cot u ,điều kiện sin u  Câu Giải phương trình sau: a) sinx – b) 2cos(2x  500 )   =0   c) 2sin  5x     3    d) 2cos  3x     4  e) cot( x  300 )   f) tan 2x – = Câu Giải phương trình sau: a) 2cos2 x  3cos x 1  b) 2tan2 x  3tan x 1  c) 2sin2 x  sin x 1  d) 8cos2 x  2sin x   e) cos2 x  sin x 1  x x  2cos   2 h) 2cos x  cos2x  j)7 sin x + cos 2x = l)tan x + cot x = n) 5tan x  2cot x   p) 2cos2x  3sin x 1  f) sin g) sin x – cos 2x – = i) cos2x  3sin x   k) tan2 4x  tan4x   m)tan x – cot x + = o) 2sin2 x -3sin x 1  DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Đinh nghĩa: Là phương trình có dạng: a.sin x  b.cos x  c (1) ; với a, b, c  Hoặc a.sin x  b.cos x  c ; a.cos x  b.sin x  c Cách giải: * Điều kiện để phương trình có nghiệm : a2  b2  c2  Chia hai vế phương trình (1) cho a a  b2  Đặt a a  b2  cos  ; sin x  b a  b2 (*)  sin x.cos   cos x.sin   a2  b2 , ta a a  b2 cos x  c a  b2  sin  với  0, 2  c a  b2 (*) a2  b2   sin  x     Hoặc đặt a a b 2  sin  ; c : Phương trình lượng giác a  b2 b a  b2  cos  với  0, 2  c Thì (*)  sin x.sin   cos x.cos   a b 2  cos  x     c a  b2 Câu Giải phương trình sau: b) cos x  sin x  1 d) cos x  sin x  f) cos3x  sin 3x   a) cos x  sin x  c) cos x  sin x  2 e) cos x  sin x  x x g) sin  cos  2 h) 2sin x  5cos x    i) cos(2 x  )  sin(2 x  )  3 k) sin x  cos x  Câu Giải phương trình sau: j) sin x  (3  cos x) l)5 cos 2x + 12 sin 2x – 13 = a) cos 7x  sin 5x  3(cos 5x  sin x) c) b) sin 3x  cos x   sin 3x 3(1  cos 2x)  cos x 2sin x d) sin x  sin x   e) sin(  x)  sin(  x)  f) cos2 x  sin x   sin x g) 4(sin4 x  cos4 x)  3sin 4x  h) sin(  3x)  sin 3x   i) cos x cos5x  sin x   sin 5x sin x PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng : a.sin2 x  b.sin x.cos x  c.cos2 x  d , a2  c2   Cách giải: Cách 1: * Xét cos x   x     k , k   có nghiệm phương trình hay khơng  k , k  Chia hai vế phương trình (1) cho cos x , ta phương trình a tan x  b tan x  c  d (1  tan x) Cách 2:  cos 2x  cos 2x Sử dụng công thức hạ bậc: sin x  ; cos2 x  2 (1)  b sin 2x  (c  a)cos2x  2d  a  c : phương trình bậc nhât sin x cos x Câu Giải phương trình sau: a) 2sin2 x  7sin x.cos x  cos2 x  b) 3sin2 2x  sin 2x.cos2x  4cos2 2x  * Xét cos x   x  x x  sin x  2cos2  2 Câu Giải phương trình sau: a) 2sin2 x  sin x cos x  3cos2 x  c) cos2 x  3sin x cosx  sin2 x  e) sin2 x  2sin2x  3cos2 x  g) 3sin2 x  4sin x cos x  5cos2 x  i) sin x  sin 2x  cos x  c) sin b) 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x – = d) sin2 x  sin x cosx  cos2 x  f) cos2 x  sin2x  5sin2 x  h) cos2 x  3sin x cosx  3sin2 x  j) 6sin2 x  sin x cos x  cos2 x  cos x 2 m) sin x  3sin x cos x 1  n) 4sin x  3 sin x  2cos2 x  PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX (tham khảo thêm) k) 25sin2 x 15sin 2x  9cos2 x  25 sin x  cos x  l) Giải phương trình sau: a) 2(sinx  cosx)  3sin x cosx  b) 3(cosx  sin x)  sin x cosx   c) sin2x 12(sinx  cosx)  12  d) sin x  cos x  sin x cos x  e) cos x  sin x  3sin 2x   f) sin x  cos x  2 sin x cos x    h) sin2x + sin  x   = 4  k) 2sin2x -3 6(sinx  cosx) + = g) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + = i) + sin2x = sinx – cosx ÔN TẬP CHƯƠNG I Câu Tìm tập xác định D hàm số sin x 2021 a) y b) y cos x sin x e) y tan x cot x sin x c) y cos x d) y sin x p f) y tan 3x sin x cos x cot x Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a) y 3sin x b) y d) y sin x e) y cos x sin x p 2 sin 2020 x c) y sin x cos2 x 2021 Câu Giải phương trình a) sin d) 2x p 2cos2 x sin x g) cos x p 2 i) sin x 21 sin x b) sin x 400 e) sin x sin x p 2 sin x p f) sin 5x cos5x h) 2sin x sin x 0 c) sin x j) sin x sin x 3sin x 3cos x 0 CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM A LÝ THUYẾT: Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét công việc H Giả sử H có k phương án H1 , H , , H k thực cơng việc H Nếu có m1 cách thực phương án H1 , có m2 cách thực phương án H , , có mk cách thực phương án H k cách thực phương án H i khơng trùng với cách thực phương án H j ( i  j; i, j 1, 2, , k ) có m1  m2   mk cách thực công việc H b) Công thức quy tắc cộng Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1  A2   An  A1  A2   An Quy tắc nhân a) Định nghĩa: Giả sử công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H , , H k Cơng đoạn H1 có m1 cách thực hiện, cơng đoạn H có m2 cách thực hiện,…, cơng đoạn H k có mk cách thực Khi cơng việc H thực theo m1.m2 mk cách b) Công thức quy tắc nhân Nếu tập A1 , A2 , , An đôi rời Khi đó: A1  A2   An  A1 A2 An Chú ý: Phương pháp đếm toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng; quy tắc nhân + Để đếm số cách thực cơng việc H theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng việc H có phương án thực hiện? Mỗi phương án có cách chọn? + Để đếm số cách thực công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc H chia làm giai đoạn H1 , H , , H n đếm số cách thực giai đoạn H i ( i  1,2, , n ) + Từ định nghĩa quy tắc cộng quy tắc nhân trên, ta thấy rằng: - Nếu bỏ giai đoạn mà ta khơng thể hồn thành cơng việc (khơng có kết quả) lúc ta cần phải sử dụng quy tắc nhân Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh đường trịn qua phép vị tự Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : x2  y  x  y 12  Tìm phương trình đường trịn (C ') ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I (2;1) tỉ số k   2 Câu Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ):  x  3   y 1  Hãy viết phương trình đường trịn (C ') ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I (1; 2) tỉ số k  2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C  :  x 1   y 1  Tìm ảnh  C C  qua phép vị tự tâm I  1;2 tỉ số k  ? Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình T biến điểm M  x; y  thành  x '  3x  M '  x '; y ' xác định bởi biểu thức tọa độ sau đây:   y '  3y  a) Chứng minh T phép vị tự b) Tìm ảnh (C ') đường trịn C  : x2   y 1  qua phép biến hình T BÀI PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM Định nghĩa: Phép biến hình f gọi phép đồng dạng tỉ số k  k  0 với điểm M , N ảnh M ', N ' chúng ta có: M ' N '  kMN Định lí: Mọi phép đồng dạng f tỉ số k  k  0 hợp thành phép vị tự V tỉ số k phép dời hình D Tính chất: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k ( k tỉ số đồng dạng) - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k - Biến đường tròn bán kính R thành đường trịn có bán kính R '  kR - Biến góc thành góc bằng Hai hình đồng dạng: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình Sơ đồ biểu thị mối quan hệ phép biến hình B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Tìm ảnh điểm, hình qua phép đồng dạng Câu 1: Chứng minh rằng, phép đồng dạng f biến tam giác ABC thành tam giác A' B ' C ' trọng tâm, trực tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm, trực tâm tam giác A' B ' C ' Câu Cho phép đồng dạng f hợp thành phép quay tâm O , góc quay  phép vị tự  OM '  kOM tâm O tỉ số k  k  0 Chứng minh rằng ảnh M ' điểm M xác định bởi:    OM ; OM '   Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  3;  6 Gọi N ảnh M qua phép đồng dạng có từ việc thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số  phép đối xứng trục Oy Tìm tọa độ N ÔN TẬP CHƯƠNG Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm ảnh tam giác AOF a) Qua phép tịnh tiến AB b) Qua phép quay tâm O góc 900 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1,2) đường thẳng d có phương trình 3x  y 1  Tìm ảnh A d a) Qua phép tịnh tiến v  (2,1) b) Qua phép vị tự tâm O tỉ số -2 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) tâm I (3, 2), bán kính a) Viết phương trình đường trịn (C) b) Tìm ảnh (C ) qua phép tịnh tiến v  (2,1) c) Tìm ảnh (C ) qua phép vi tự tâm O tỉ số Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (1,4) đường thẳng d có phương trình 3x  y   Tìm ảnh A d a) Qua phép tịnh tiến v  (2,3) b) Qua phép vị tự tâm I (2, 3) tỉ số  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  2)2  25 a) Viết phương trình đường trịn (C) b) Tìm ảnh (C ) qua phép tịnh tiến v  (2,2) c) Tìm ảnh (C ) qua phép vi tự tâm I (1, 2) tỉ số 37 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng Tính chất 6: Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng đúng Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng hoàn tồn xác định biết:  Nó qua ba điểm khơng thẳng hàng  Nó qua điểm đường thẳng khơng qua điểm  Nó chứa hai đường thẳng cắt Các kí hiệu:   ABC  kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C ( h1)    M , d  kí hiệu mặt phẳng qua d điểm M  d (h2)  d1, d2  kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt d1, d2 (h3) Hình chóp hình tứ diện 3.1 Hình chóp Trong mặt phẳng   cho đa giác lồi A1 A2 An Lấy điểm S nằm S   Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp , kí hiệu S A1 A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1 A2 An đáy , đoạn SA1 , SA2 , , SAn cạnh bên, A1 A2 , A2 A3 , , An A1 cạnh đáy, tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 mặt bên… A6 A1 A5 A2 (P) A3 A4 3.2 Hình Tứ diện: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD  BCD gọi tứ diện ABCD B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết Câu Trong khơng gian cho bốn điểm khơng đồng phẳng, xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ điểm đó? Câu Trong mặt phẳng   , cho điểm A, B, C, D khơng có điểm thẳng hàng Điểm S khơng thuộc mặt phẳng   Có mặt phẳng tạo bởi S điểm nói trên? Câu Thiết diện tứ diện hình gì? Câu Cho điểm A, B, C, D, E khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo bởi điểm cho Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Câu Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD  M AB  CD  N Tìm giao tuyến mặt phẳng a)  SAC   SBD b)  SAB   SCD  Câu Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác BCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  ACD GAB  Câu Cho hình chóp S.ABCD Gọi I trung điểm SD , J điểm SC không trùng trung điểm SC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  ABCD   AIJ  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm AD BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SMN   SAC  Câu Cho hình chóp S.ABCD có AC  BD  M AB  CD  N Tìm giao tuyến mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  SCD  Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AC, CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  MBD   ABN  Dạng 3: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Câu Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M , N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP  2PD Tìm giao điểm đường thẳng CD mặt phẳng  MNP  Do NP không song song CD nên NP cắt CD E Câu Cho tứ giác ABCD có AC BD giao O điểm S không thuộc mặt phẳng  ABCD Trên đoạn SC lấy điểm M khơng trùng với S C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng  ABM  Câu Cho tứ diện ABCD Gọi E F trung điểm AB CD ; G trọng tâm tam giác BCD Giao điểm đường thẳng EG mặt phẳng  ACD Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh đối diện khơng song song với M điểm cạnh SA a) Tìm giao điểm đường thẳng SB với mặt phẳng  MCD  b) Tìm giao điểm đường thẳng MC mặt phẳng  SBD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm AC BC, K  BD cho K không trung điểm BD Xác định CD  (MNK ) , AD  (MNK ) TỔNG HỢP BÀI TẬP TÌM GIAO TUYẾN – GIAO ĐIỂM Câu Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lấy điểm M , N cho MN không song song với BC Gọi O điểm  BCD a) Xác định (OMN )  (BCD) b) Xác định giao điểm BD, DC với mp (OMN ) 39 Câu Cho tứ diện SABC Gọi M  SA, N  (SBC), P  ( ABC) a) Xác định MN  ( ABC) suy giao tuyến (MNP)  ( ABC) b) Tìm giao điểm AB  (MNP), NP  (SAB) Câu Cho tứ diện SABC, M  SA, N  SB cho MN cắt AB, O điểm ( ABC) a) Xác định : ( MNO)  ( ABC),(MNO)  (SBC) b) Định giao điểm ( MNO) với AB, BC, AC, SC c) Tìm MO  (SBC) Câu Cho hình thang ABCD ( AB / /CD), S  ( ABCD), O giao điểm đường chéo hình thang, M  SB a) Xác định giao tuyến : (SAD)  (SBC),(SAC)  (SBD) b) Tìm giao điểm SO với (MDC), SA với (MDC) Câu Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vng Gọi I , J điểm nằm SB SD cho SI  SB , SJ  2JD Xác định a) IJ  ( ABCD) b) IJ  (SAC) c) BJ (IAC) Câu Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành Gọi M điểm SB, N điểm (SCD) a) Xác định MN  ( ABCD) b) SC  ( MAN ) c) SA  (CMN ) Câu Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng ( P ) cho AB CD khơng song song, điểm S nằm ngồi ( P) Gọi M trung điểm SC a) Tìm giao điểm AM (SBD) b) Tìm giao điểm N SD ( ABM ) Dạng 4: Bài tốn thiết diện Câu Cho tứ diện ABCD có M , N trung điểm AB , CD P điểm thuộc cạnh BC ( P khơng trung điểm BC ) Tìm thiết diện tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng  MNP  Câu Cho hình chóp S ABCD , G điểm nằm tam giác SCD E , F trung điểm AB AD Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB AC , E điểm cạnh CD với ED  3EC Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNE  tứ diện ABCD BÀI HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT Định nghĩa Cho hai đường thẳng phân biệt a b khơng gian Khi đó, hai đường thẳng có vị trí tương đối a I a b b a cắt b I a song song b a b b a a b chéo ab Định nghĩa:  Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng  Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng  Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung II TÍNH CHẤT HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lý (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đơi song song a a c c b b  Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng (hoặc trùng với hai đường thẳng đó) B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải :  Cách : Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Ta-let để chứng minh hai đường thẳng song song  Cách : Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba  Cách : Áp dụng định lí giao tuyến mặt phẳng hệ quả 41 Câu Cho tứ diện ABCD có I ; J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh rằng IJ //CD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD Chứng minh MPNQ hình bình hành Từ suy ba đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm G đoạn Câu Cho tứ diện ABCD , gọi I J trọng tâm tam giác ABD ABC Đường thẳng IJ song song với đường CD Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I , J trung điểm SA SC Đường thẳng IJ song song với đường thẳng AC Câu Cho tứ diện ABCD Gọi G E trọng tâm tam giác ABD ABC Chứng minh rằng GE //CD Câu Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AD lấy điểm M , N cho AM AN   Gọi P , Q trung điểm cạnh CD , CB Chứng minh tứ giác MNPQ AB AD hình thang Câu Cho tứ diện ABCD Các điểm M , N trung điểm BD , AD Các điểm H , G trọng tâm tam giác BCD ; ACD Chứng minh HG song song MN Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải  Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng  Cách 2: Nếu hai mặt phẳng  P  ;  Q  chứa hai đường thẳng song song a , b có điểm chung M (thuộc a b )  P    Q   Mx với Mx //  a  // b  Câu 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA , điểm E F trung điểm AB BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  SAB   SCD  b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MBC   SAD c) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng  MEF   SAC  Câu Cho hình chóp S.ABCD Mặt đáy hình thang có cạnh đáy lớn AD , AB cắt CD K , điểm M thuộc cạnh SD a) Xác định giao tuyến  d   SAD  SBC  Tìm giao điểm N KM  SBC  b) Chứng minh rằng: AM , BN ,  d  đồng quy Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật Mặt phẳng  P  cắt cạnh SA , SB , SC , SD M , N , P , Q Gọi I giao điểm MQ NP Chứng minh SI //AD Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn CD Gọi M trung điểm cạnh SA , N giao điểm cạnh SB mặt phẳng  MCD  Chứng minh rằng MN CD Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng  SAD  SBC  Câu 6.Cho tứ diện ABCD Gọi I J theo thứ tự trung điểm AD AC , G trọng tâm tam giác BCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  GIJ   BCD BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Đường thẳng d mp ( ) có vị trí tương đối, tùy theo số điểm chung d ( ) :  d ( ) khơng có điểm chung Khi ta nói d song song với ( ) hay ( ) ssong với d Kí hiệu là: d // ( ) , hay ( ) // d  d ( ) có điểm chung M Khi ta nói d ( ) cắt M Kí hiệu là: d     M  , hay d     M  d ( ) có từ hai điểm chung trở lên Khi đó, d nằm ( ) hay ( ) chứa d Kí hiệu d  ( ) hay ( )  d d d M   d  II TÍNH CHẤT Đinh lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng ( ) d song song với đường thẳng d  nằm ( ) d song song với ( )   d d // d  Kí hiệu :   d //    d     d'  Đinh lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Nếu mặt phẳng (  ) chứa a cắt ( ) theo giao tuyến b b song song với a a //     a // b Kí hiệu : a             b  a b  Hệ : Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng  d //     d // d  Kí hiệu : d //    d'  d        d   Đinh lý 3: Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng 43 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định, chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng Phương pháp:  d // d  Cho d    ,   d //      d     d α d' Câu Cho tứ diện ABCD M , N trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh MN //  BCD , MN //  ACD Câu Cho tứ diện ABCD G trọng tâm ABD M điểm cạnh BC cho MB  2MC Chứng minh MG//( ACD) Câu Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi O, O  tâm ABCD ABEF Chứng minh OO song song với mặt phẳng ( ADF ) (BCE) Câu Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Gọi 1 M , N hai điểm cạnh AE, BD cho AM  AE, BN  BD Chứng minh 3 MN song song với CDEF  Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N hai điểm SM SN   Chứng minh MN //  ABCD SA, SB cho SA SB Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi M N trung điểm SA SC Chứng minh MN //  ABCD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB cho AQ  2QB, P trung điểm AB Chứng minh GQ //  BCD Câu Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng Gọi O, O1 tâm ABCD, ABEF M trung điểm OO1 //  BEC  , OO1 //  AFD Phương pháp: Cách 1: Cách 2: Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng   // d          d  , với d      M         P  // a   d // a  Q  // a   P    Q   d d  // d  M  d  CD Chứng minh Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M , N tương ứng AB, AC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  DBC   DMN  Câu 2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Điểm I giao điểm hai đường chéo AC BD Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  P  qua I song song với AB, SC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB , N điểm ạnh BC cho BN  2CN a) Chứng minh rằng: OM //(SCD) b) Xác định giao tuyến (SCD) ( AMN ) Dạng 4: Thiết diện Phương pháp: Tìm đoạn giao tuyến tạo bởi mặt phẳng   mặt (bên, đáy) chóp, lăng trụ  Đa giác tạo bởi tất đoạn giao tuyến thiết diện cần tìm Có dạng: + mặt phẳng   qua điểm song song với hai đường thẳng chéo ; +   chứa đường thẳng song song với đường thẳng Câu Cho tứ diện ABCD , điểm M thuộc AC Mặt phẳng   qua M song song với AB AD Tìm thiết diện   với tứ diện ABCD Câu Cho tứ diện ABCD Giả sử M thuộc đoạn thẳng BC Một mặt phẳng   qua M song song với AB CD Tìm thiết diện   hình tứ diện ABCD Câu Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD M , N hai trung điểm AB CD  P mặt phẳng qua MN cắt mặt bên  SBC  theo giao tuyến Tìm thiết diện  P  hình chóp Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm thuộc cạnh SA (không trùng với S A )  P  mặt phẳng qua OM song song với AD Tìm thiết diện  P  hình chóp Câu Cho tứ diện ABCD Gọi I , J thuộc cạnh AD, BC cho IA  2ID JB  JC Gọi  P  mặt phẳng qua IJ song song với AB Tìm thiết diện  P  tứ diện ABCD 45 BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM Định nghĩa: a / / b a b Định lý, hệ nói cách chứng minh mặtphẳng song song: a a, b a b M Định lý: i) M a // b α a b a // b , b // b β a // g ii) Hệ quả: b // g a a // b b Hệ nói cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: a // b i a a // b a AB / / a ii AC / / a AB AC BC / / a A a // b Định lý nói cách chứng minh đường thẳng song song: g a a g b b a//b Các định lý, hệ khác: a // b i d a d a d //d ii A A, d A, d ! b : AB B b A a B b A' B ' b b // a a α iii Cho điểm A không nằm mặt phẳng  α  Mọi đường A thẳng qua A song song với  α  nằm mặt phẳng qua A song song với  α  A Vậy: A A β b a, a// b a a a , a // b Địnhlí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ d1  α  // β  //  χ   A1B1 A2 B2  d1   α   A1 ,d1  β   B1 ,d1   χ   C1  B1C1 B2C2  d2   α   A2 ,d2  β   B2 ,d2   χ   C2 d2 A2 γ A1 B1 β B2 C2 α Định lí Ta-lét (Thales) đảo: Cho hai đường thẳng d1 , d2 chéo AB A B điểm A1 , B1 , C1 d1 , điểm A2 , B2 , C2 d saocho 1  2 Lúc đường B1C1 B2C2 thẳng A1 A2 , B1B2 , C1C2 song song với mặt phẳng Hình lăng trụ hình hộp a Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai cạnh đáy song song với Trong đó: (Q) A'5  Các mặt khác với hai đáy gọi mặt bên hình A'1 lăng trụ A'2 A'4  Cạnh chung hai mặt bên gọi cạnh bên hình lăng trụ A'3  Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, A1 lăng trụ tứ giác … A5 Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta suy tính A2 A4 chất sau: (P) A3 a Các cạnh bên song song bằng b Các mặt bên mặt chéo hình bình hành c Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song bằng b Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp  Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật  Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vng gọi hình lập phương C1 D1 D1 C1 A1 A1 B1 D A C1 B1 D C A B C B Chú ý: Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường Hình chóp cụt 47 Định nghĩa: Cho hình chóp S A1 A2 An Một mặt phẳng P S song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh SA1 , SA2 , , SAn theo thứ tự A1, A2 , , An Hình tạo bởi A'1 A'5 A'4 thiết diện A1 A2 An đáy A1 A2 An hình chóp với (P) A'2 A'3 mặt bên A1 A2 A2 A1, A2 A3 A3 A2 , , An A1 A1 A n gọi A5 hình chóp cụt A1 A4 Trong đó:  Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, A2 A3 cịn thiết diện gọi đáy nhỏ hình chóp cụt  Các mặt cịn lại gọi mặt bên hình chóp cụt  Cạnh chung hai mặt bên kề A1 A1, A2 A2 , , An An gọi cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,… Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có tính chất sau: Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng Các mặt bên hình chóp cụt hình thang Các cạnh bên hình chóp cụt đồng quy điểm 10 ĐịnhlíTa-lét( Thales) đảo: Cho hai đường thẳng d1 , d2 chéo điểm A1 , B1 , C1 d1 , AB A B điểm A2 , B2 , C2 d saocho 1  2 Lúc đường thẳng A1 A2 , B1B2 , C1C2 song B1C1 B2C2 song với mặt phẳng B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh mặt phẳng song song Phương pháp giải tự luận: Dựa vào định lý, hệ sau: i a // g a a, b a b I ii a // b a // b , b// b b // g a a // b b Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , gọi M , N trung điểm SA, SD Chứng minh OMN  / / SBC  Câu Cho hai hình vng ABCD ABEF ở hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M , N cho AM  BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD AF M ' N ' Chứng minh: a)  ADF   BCE b)  DEF   MM ' N ' N  Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặtphẳng Phương pháp giải tự luận, dựa vào hệ sau: a // b a a AB / / a a // b AC / / a AB AC BC / / a A Câu Cho hình thang ABCD có AB / /CD S   ABCD  Trên SA, BD lấy hai điểm M , N SM DN   Kẻ NI / / AB  I  AD  Chứng minh MN / /  SCD  SA DB Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, SA cho a) Chứng minh SBN  / /  DPM b) Q điểm thuộc đoạn SP ( Q khác S , P ) Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi   qua Q song song với SBN  Câu Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA CD a) Chứng minh OMN  / / SBC  b)Gọi I trung điểm SD , J điểm  ABCD cách AB CD Chứng minh IJ SAB Câu Hai hình vng ABCD ABEF ở hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM  BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD, AF M ', N ' a) Chứng minh  BCE / /  ADF  b)Chứng minh  DEF / /  MNN ' M '  BÀI : PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM Phép chiếu song song : Cho đường thẳng  mặt phẳng   Lấy điểm M không gian Từ M dựng đường thẳng d  d //  d   Đường thẳng d     M  Ta nói M  hình chiếu M theo phép chiếu song song đường thẳng  Ta kí hiệu Ch   M   M ' Tính chất  Bảo tồn thẳng hàng thứ tự điểm  Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song trùng  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Hình biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng  Hình biểu diễn hình khơng gian chiếu song song hình lên mặt phẳng đồng dạng với hình chiếu  Hình biểu diễn tam giác cân, tam giác vuông, tam giác thường tam giác  Hình biểu diễn hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng hình bình hành  Hình biểu diễn hình thang hình thang  Hình biểu diễn hình trịn hình elip hay hình trịn B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DẠNG : Vẽ hình biểu diễn hình H cho trước Phương pháp - Xác định yếu tố song song hình H - Xác định tỷ số điểm M chia đoạn thẳng AB - Hình H  hình biểu diễn hình H phải có tính chất + Bảo đảm tính song song hình H + Bảo đảm tỷ số điểm M chia đoạn thẳng AB Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Qua phép chiếu song song đường thẳng AA mặt phẳng chiếu  ABC biến G thành G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC 49 Câu Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, O tâm đáy Trên cạnh SB , SD lấy điểm M , N cho SM  2MB , SN  SD Hình chiếu M , N qua phép chiếu OP song song đường thẳng SO mặt phẳng chiếu  ABCD  P , Q Tính tỉ số OQ ... vng góc với bốn đường thẳng song song đó? Câu 23 Một lớp có 25 em học sinh nam 25 học sinh nữ Có cách chọn: a) ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ uỷ viên b) ban văn nghệ gồm em có đúng... sản phẩm lấy có sản phẩm tốt P( A)  Câu 11 Gọi ngẫu nhiên học sinh 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Câu 12 Gọi S tập tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt... hiện phép thử T Biến cố chắn mô tả bởi tập  ký hiệu  Biến cố biến cố không xẩy thực phép thử T Biến cố mô tả bởi tập  Các phép toán biến cố * Tập  \ A gọi biến cố đối biến cố A , kí