– Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà không có nhân tử chung thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích... V Ấ N ĐỀ 5: PH [r]
(1)I HỆ THỨC CƠ BẢN 1 Định nghĩa giá trị lượng giác:
OP OQ AT BT
cos sin tan ' cot
a a a a
= = = =
Nhận xét:
· "a, cos- £ a£1; sin- £ a £1
· tana xác định k k Z,
p
a + p ẻ
à cota xỏc nh a ạk k Zp, ẻ
2 Du giá trị lượng giác:
Cung phần tư Giá trị lượng giác
I II II IV
sina + + – –
cosa + – – +
tana + – + –
cota + – + –
3 Hệ thức bản:
sin2a + cos2a = 1; tana.cota =
2
2
1
1 tan ; cot
cos sin
a a
a a
+ = + =
4 Cung liên kết:
Cung đối Cung bù Cung phụ cos( ) cos-a = a sin(p a- ) sin= a sin cos
2 p
a a
ổ
- =
ỗ ữ
ố ø
sin( )-a = -sina cos(p a- )= -cosa cos sin
p
a a
æ
- =
ỗ ữ
ố ứ
tan( )-a = -tana tan(p a- )= -tana tan cot
p a a
ỉ
- =
ỗ ữ
ố ứ
cot(-a)= -cota cot(p a- ) = -cota cot tan
p a a
ỉ
- =
ỗ ữ
ố ứ
CHNG 0
ễN TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC –
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
cosin O
cotang
si
n
tang
p A M
Q B T'
a
(2)5 Bảng giá trị lượng giác góc (cung) đặc biệt
II CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng:
Cung p Cung p sin(p a+ ) = -sina sin cos
2
p a a
ỉ
+ =
ỗ ữ
ố ứ
cos(p a+ )= -cosa cos sin
p a a
ổ
+ =
-ỗ ữ
è ø
tan(p a+ ) tan= a tan cot
p
a a
ỉ
+ =
-ỗ ữ
ố ứ
cot(p a+ ) cot= a cot tan
p
a a
ổ
+ =
-ỗ ÷
è ø
0
6 p
4
p
3
p
2
p
p
p p
2
p 2p
00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
sin
2
2
3
2
3
2
2 –1
cos
2
2
1
2
1
-
2
- –1
tan
3 - –1 0
cot 3
3
3
- –1
sin(a b+ ) sin cos= a b+ sin cosb a sin(a b- ) sin cos= a b-sin cosb a cos(a b+ ) cos cos= a b -sin sina b cos(a b- ) cos cos= a b+sin sina b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =
-tan tan tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
=
+
Hệ quả: tan tan , tan tan
4 tan tan
p a p a
a a
a a
ỉ + = + ổ - =
-ỗ ữ - ỗ ữ +
(3)III CÔNG THỨC NHÂN 1 Công thức nhân đôi:
sin 2a =2sin cosa a
cos2a =cos2a -sin2a =2 cos2a- = -1 2sin2a
tan 2 tan2 ; cot cot2 cot tan a a a a a a -= =
-2 Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan a
: (*) Đặt: t tan ( )k
2 a
a p p
= ¹ + thì: t
t2 sin a = + ; t t 2 cos a =
-+ ; t t2 tan a =
-IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1 Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
cos cos cos( ) cos( )
1
sin sin cos( ) cos( )
1
sin cos sin( ) sin( )
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
é ù = ë - + + û é ù = ë - - + û é ù = ë - + + û
cos cos cos cos
2
a b a b
a+ b = +
-cos cos 2sin sin
2
a b a b
a- b = - +
-sin sin 2sin cos
2
a b a b
a+ b = +
-sin sin cos sin
2
a b a b
a- b = +
-sin( ) tan tan cos cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos cos a b a b a b = sin( ) cot cot sin sin a b a b a b + + = b a a b a b sin( ) cot cot sin sin =
sin cos 2.sin 2.cos
4
p p
a+ a = ổỗa+ ửữ= ổỗa- ö÷
è ø è ø
sin cos sin cos
4
p p
a- a= ổỗa- ửữ= - ổỗa+ ửữ
ố ứ è ø
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2 2 cos2 sin cos2 cos cos2 tan cos2 a a a a a a a -= + = -= + 3
sin 3sin 4sin cos3 cos 3cos
3tan tan tan
1 3tan
a a a
a a a
(4)-TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y =sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm lẻ, chu kỳ T0 =2p * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0
a
= p
* y = sin(f(x)) xác định Û f x( ) xác định
y =cosx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm chẵn, chu kỳ T0 =2p * y = cos(ax + b) có chu kỳ T0
a
= p
* y = cos(f(x)) xác định Û f x( ) xác định
y =tanx: Tập xác định \ ,
D = R ìí +k k ZỴ üý
ợ ỵ
p
p ; giỏ trị T = R, hàm lẻ, chu kỳT0 =p
* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 a
= p
* y = tan(f(x)) xác định Û f x( ) ( ) k k Z
ạ p + p ẻ
y =cotx: Tập xác định D = R k k Z\{ p, Ỵ }; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳT0 =p * y = cot(ax + b) có chu kỳ T0
a
= p
* y = cot(f(x)) xác định Û f x( ) kp (k Zẻ )
* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số y = f x1( ) ± f x2( ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2
(5)1 Phương trình sinx = sina
a) sinx =sin Û é =ê = - +xx +k2 k2 (k ZỴ ) ë
a p
a
p a p
b) sinx = a Điều kieän : 1- £ £a
x a k
x a x arcsin a k2 k Z sin = Û é =ê = -p arcsin+ p 2p ( Î )
+ ë
c) sinu = -sinv Û sinu =sin( )-v d) sin cos sin sin
2 u = v u = ổỗ -vửữ
è ø
p e) sin cos sin sin
2 u = - v u = ổỗv- ửữ
è ø
p Các trường hợp đặc biệt:
sinx = Û x k= p (k ZỴ )
sin ( )
2
x = Û x = p +k p k ZỴ sin ( )
x = - Û x = - +p k p k ZỴ
2
sin sin cos cos ( )
2
x = ± Û x= Û x = Û x = Û x= +p kp k ZỴ
2 Phương trình cosx = cosa
a) cosx = cosa Û = ± +x a k2 (p k ZỴ )
b) cosx = a Điều kiện : 1- £ £a
x a x a k k Z
cos = Û = ±arccos + (p Ỵ ) c) cosu = -cosv Û cosu =cos(p-v)
d) cos sin cos cos u = v u = ổỗ -vửữ
è ø
p e) cos sin cos cos
2 u= - v u= ổỗ +vửữ
è ø
p Các trường hợp đặc biệt:
cos ( )
2
x = Û x = p +kp k ZỴ
cosx =1 Û x k= (p k ZỴ ) cosx = - Û1 x = +p k2 (p k ZỴ )
x 2x x x x k k Z
cos = ± Û1 cos = Û1 sin = Û0 sin =0 Û = p ( Ỵ ) I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
CHƯƠNG I
(6)3 Phương trình tanx = tana
a) tanx =tana Û = +x a kp (k ZỴ )
b) tanx = a Û x =arctana k k Z+ p( Ỵ )
c) tanu = -tanv Û tanu =tan( )-v
d) tan cot tan tan u = v u = ổỗ -vư÷
è ø
p
e) tan cot tan tan
2 u= - v Û u = ổỗ +vửữ
ố ứ
p Cỏc trường hợp đặc biệt:
tanx =0 Û x k= p (k ZỴ ) tan ( )
x = ± Û x = ± +p kp k ZỴ
4 Phương trình cotx = cota
cotx =cota Û = +x a kp (k ZỴ )
cotx = aÛ x = arccota k+ p (k ZỴ ) Các trường hợp đặc biệt:
cot ( )
2
x = Û =x p +kp k ZỴ cot ( )
4
x = ± Û x= ± +p kp k ZỴ
5 Một sốđiều cần ý:
a) Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định
* Phương trình chứa tanx điều kiện: ( )
x¹ +p kp k ZỴ
* Phương trình chứa cotx điều kin: x kạ p (k Zẻ )
* Phng trình chứa tanx cotx điều kiện ( )
x kạ p k Zẻ
* Phương trình có mẫu số:
· sinx ¹0 Û x kạ p (k Zẻ )
à cos ( )
2
x ¹ Û x¹ +p kp k ZỴ
· tan ( )
2
x x kạ p k Zẻ
· cot ( )
2
x ¹ Û ¹x kp k ZỴ
b) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện:
Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác
(7)Bài 1. Giải phương trình: 1) cos
6 x ổ + = ỗ ữ ố ø p
2) cos x æ - = ỗ ữ ố ứ p
3) cos
5 x ỉ - = -ỗ ữ ố ứ p 4) sin
3 x ổ + = ỗ ữ ố ứ p
5) sin
2 x æ - = ỗ ữ ố ứ p
6) sin
6 x ỉ + = -ỗ ữ ố ứ p 7) sin 3( 1)
2
x+ = 8) cos( 150) 2
x- = 9) sin
2
x ổ - = -ỗ ữ ố ứ p
10) cos
6 x
ổ
- =
-ỗ ữ
è ø
p
11) tan 2( x- =1) 12) cot 3( 100) 3 x+ =
13) tan x ỉ + = -ỗ ữ ố ứ p
14) cot x ổ - = ỗ ữ è ø p
15) cos(2x + 250) = 2
-Bài 2. Giải phương trình:
1) sin(3x+ =1) sin(x-2) 2) cos cos
3 x x ỉ ỉ - = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ p p
3) cos3x=sin 2x 4) sin(x-120 ) cos20 + x=0
5) cos cos
3 x x ỉ ỉ + + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø p p
6) sin3 sin
4 x x+ ổỗ - ửữ=
ố ứ
p 7) tan tan
4 x x ỉ ỉ - = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ è ø p p
8) cot cot
4 x x ỉ ỉ - = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ p p 9) tan(2x+ +1) cotx=0 10) cos(x2+x) 0=
11) sin(x2-2 ) 0x = 12) tan(x2+2x+ =3) tan
13) cot2x=1 14) sin2
2 x=
15) cos
x = 16) sin2 cos2
4 x x æ - = ỗ ữ ố ứ p
Baứi 3. Giải phương trình:
1) cos3 tan 5x x=sin 7x 2) tan tan 2x x=1
3) cosx-2 cos2x-cos 4x=1 4) 3sin3x- cos9x= +1 4sin 33 x 5) cos cos33x x sin sin 33x x
4
+ = 6) x
x x
1 8cos cos +sin =
Bài 4. Giải phương trình:
1) cosx-sinx =1 2) sinx +cos3x=0
3) x x
x
2 cos
tan
1 sin
-=
- 4) x x x
1 cot tan
sin
= +
Baøi 5. Giải biện luận phương trình:
1) (m-1)sinx+ - =2 m 2) sin cosm x=1
(8)Cách 1:
· Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta được: (1) Û
2 sin 2 cos 2
a x b x c
a +b + a +b = a +b
· Đặt: ( )
2 2
sin a , cos b 0,
a b a b é ù
= = Ỵ ë û
+ +
a a a p
(1) trở thành:
2
sin sinx cos cosx c a b
+ =
+
a a
2
cos(x ) c cos (2) a b
Û - = =
+
a b
· Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:
2 2
2
c a b c
a +b £ Û + ³
· (2) Û = ± +x a b k2p (k ZỴ )
Cách 2:
a) Xét
2 x
x = +p k p Û = +p kp có nghiệm hay không?
b) Xét cos
2 x x¹ +p k p Û ¹
Đặt:
2
2
2
tan , sin , cos ,
2 1 1
x t t
t thay x x
t t
-= = =
+ + ta phương trình bậc hai theo t:
(b c t+ ) -2at c b+ - = (3) Vì x¹ +p k2p Û + ¹b c 0, nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2
'= a -(c -b ) 0³ Û a +b ³ c D
Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0 x t
=
Ghi chú:
1) Cách thường dùng để giải biện luận
2) Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2+b2 ³c2
3) Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2
.sin cos sin cos
y = a x b+ x £ a +b x+ x = a +b
2 2 sin cos
miny a b vaø maxy a b x x tanx a
a b b
Û = - + = + Û = Û =
II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
(9)Baøi 1. Giải phương trình sau:
1) cosx+ sinx= 2) sin cos x+ x=
3) cos3x+sin3x= 4) sinx+cosx= sin 5x 5) sin sin
2
x+ ổỗ + xửữ=
ố ứ
p
6) ( sin- ) x-( cos+ ) x+ 0- = Baøi 2. Giải phương trình sau:
1) 2sin2x+ sin 2x=3 2) sin8x-cos6x= sin 6( x+cos8x)
3) 8cos
sin cos x
x x
= + 4) cosx sinx cos x p
ổ
- = ỗ - ữ
è ø
5) sin 5x+cos5x= cos13x 6) cos7x-sin 5x= 3(cos5x-sin )x
7) sin8x-cos6x= 3(sin 6x+cos8 )x Bài 3. Giải phương trình sau:
1) (3cosx-4sinx-6)2+ +2 3(3cosx-4sinx- =6)
2) (4sinx-5cosx)2 -13(4sinx-5cosx)+42=0
3)
14 sin cos 12
5 sin
5 cos
12 + =
+ +
+ +
x x
x x
4) x x
x x
6
3cos 4sin
3cos 4sin
+ + =
+ +
Baøi 4. Giải phương trình sau:
1) 3sinx-2 cosx=2 2) cosx+4sinx- 0=
3) cosx+4sinx= -1 4) 2sinx-5cosx=5 5) 4sinx-3cosx=5 6) 3sin2x+2cos2x=3 7) 2sin2x+3cos2x= 13sin14x 8)
2 sin cos
3 x+ x=
Baøi 5. Giải phương trình sau:
1) 2sin x sin x
4
p p
ỉ ỉ
+ + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ 2) cos2x sin 2x 2sin 2x 2
ổ
+ + ỗ - ữ=
ố ø
p
Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1) (m+2)sinx m+ cosx=2 2) (m+1) cosx m+( -1)sinx=2m+3
3) (m-1)sinx+2 mcosx m= 4) sin2x 1sin 2x m
+ =
Bài 7. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
1) (2 –1)sinm x m+( –1)cosx m= – 2) sinx m+ cosx=1
Baøi 8. Tìm x cho y x x sin cos
+ =
+ số nguyên
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau:
1) y =(2- 3)sin2x+cos2x 2) y =(sinx-cosx)2 +2cos2x+3sinxcosx 3)
4 sin cos
3 sin cos
+
-+ +
=
x x
x x
y 4) y x x
x x
sin cos sin cos
+ +
=
+ +
Bài 10.Tìm giá trị a để phương trình có nghiệm x0 ra:
1) (cosa +3sina - 3)x2 +( 3cosa -3sina -2)x+sina -cosa + 3=0; x
0 =1
(10)Nếu đặt: t=sin2x t= sinx điều kiện: 0£ £t (tương tự cosx)
Baøi 1. Giải phương trình sau:
1) 2sin2x + 5cosx + = 2) 4sin2x – 4cosx – = 3) 3sin22x+7cos2x-3=0 4) 6cos2 x+5sinx-7=0
5) cos2x-5sinx-3=0 6) cos2x+cosx+1=0 7) 6sin23x+cos12x=14 8) 4sin4 x+12cos2 x=7
9) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 10) 4sin2x-2 sin( + ) x+ 3 0=
Bài 2. Giải phương trình sau:
1) tan2x+ -(1 tan) x- 0= 2) cot2 x+( 3-1)cotx- 3=0 3) cot 22 x-4 cot 2x+ =3 4) 7tanx-4cotx=12
5) tan2x + cot2x = 6)
4
tan2 ÷= ø ỗ
ố ổ -p
x
Baứi 3. Giải phương trình sau:
1) 4sin 32 x+2 cos3( + ) x- 4= 2) cos3x+3 sin 2x=8cosx 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 12 (3 tan) 3
cos x- + x- + = 5)
cosx + tan
2x = 6) – 13cosx +
2
4
1 tan+ x = 7) 12
sin x = cotx + 8)
1
cos x + 3cot 2x =
9) cos2x – 3cosx = cos2 x
10) 2cos2x + tanx =
Baøi 4. Cho phương trình sin sin3 cos3 cos2 2sin
x x x
x
x
ỉ + +
+ =
ỗ + ữ
ố ứ Tỡm cỏc nghim phương
trình thuộc(0; 2p)
Bài 5. Cho phương trình: cos5 cosx x=cos cos2x x+3cos2x+1 Tìm nghiệm phương trình thuộc (-p p; )
Bài 6. Giải phương trình : sin4 sin4 sin4
4 4
x+ ổỗx+ ửữ+ ổỗx- ửữ=
è ø è ø
p p
Bài 7. Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với m: sin4 cos4 sin cos
2 x+ x m+ x x=
III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng Đặt Điều kiện
asin2x b+ sinx c+ = t = sinx - £ £1 t
2
cos cos
a x b+ x c+ = t = cosx - £ £1 t
tan tan
a x b+ x c+ = t = tanx ( )
2
x¹ +p kp k ZỴ
cot cot
(11)Cách 1:
· Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay khơng?
Lưu ý: cosx = sin2 sin
x k x x
Û = +p p Û = Û = ±
· Khi cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ¹0 ta được: a.tan2 x b+ tanx c d+ = (1 tan )+ 2x
· Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a d t- ) 2+b t c d + - =0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin cos2
(1)
2 2
x x x
a - b c + d
Û + + =
.sin ( ).cos2
b x c a x d a c
Û + - = - - (đây PT bậc sin2x cos2x)
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) 5sin2x+2 sin cosx x+3cos2x=2 2) 3sin2x+8sin cosx x+4 cos2x=0
3) 3sin2x+8sin cosx x+(8 cos- ) 2x=0 4) cos2x– 3sin cosx x+sin2x=0 5) 4sin2x+3 sin cosx x-2 cos2x=4 6) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0
7) sin2 sin 2 cos2
x+ x- x= 8) cos2x+3sin2x+sin cos –1 0x x = Baøi 2. Giải phương trình sau:
1) 2sin2x+ -(1 sin cos) x x+ -(1 cos) 2x=1 3) 2sin2x- +(3 sin cos) x x+( cos- ) 2x= -1
3) ( sin- ) 2x+sin 2x+( cos+ ) 2x=
4) ( sin+ ) 2x-2 sin cosx x+( cos- ) 2x=0
Bài 3. Giải phương trình sau:
1) sin3x+2sin cosx 2x– 3cos3x=0 2) 3 sin cos sin2
2 x x- x=
-3) sin3x-5sin cos2x x-3sin cosx 2x+3cos3x=0
Baøi 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1) (m+1)sin2x– sin2x+2cos2x=1
2) (3 – 2)sinm 2x– (5 – 2)sin 2m x+3(2m+1) cos2x=0
3) msin2x+sin 2x+3 cosm 2x=1
4) (m2+2) cos2x-2 sin 2m x+ =1
(12)Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c =
· Đặt: t sinx cosx 2.sin x ; t
p
ổ
= = ỗ ữ £
è ø
2 1 2sin cos sin cos 1( 1).
2
t x x x x t
Þ = ± Þ = ±
-· Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t £ Suy x
Lưu ý: · sinx cosx sin x cos x
4
p p
æ ổ
+ = ỗ + ữ= ỗ - ÷
è ø è ø
· sinx cosx sin x cos x
4
p p
ỉ ỉ
- = ỗ - ữ= - ỗ + ữ
è ø è ø
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c =
· Đặt: t sinx cosx sin x ;Ñk: t
p
ỉ
= ± = ç ± ÷ £ £
è ø
2
1
sin cos ( 1)
x x t
Þ = ±
-· Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang cotang
Đặt t tanx cotx x k ; t 2
p
ổ
= + ỗ ữ
è ø
Bài 1. Giải phương trình:
1) 2sin 2x-3 sin( x+cosx)+ =8 2) sin( x+cosx)+3sin 2x=2
3) sin( x+cosx)+2sin 2x= -3 4) (1- sin)( + x+cosx)=sin 2x
5) sinx+cos – 4sin cos –1 0x x x = 6) (1+ sin)( x+cosx)-sin 2x= +1 Baøi 2. Giải phương trình:
1) sin 2x-4 cos( x-sinx)=4 2) 5sin –12(sin – cos ) 12 0x x x + =
3) (1- sin)( + x-cosx)=sin 2x 4) cos – sinx x+3sin –1 0x =
5) sin 2x sin x p
ổ
+ ỗ - ữ=
è ø 6) x x
1 2 2
cos3 -sin3 =
Baøi 3. Giải phương trình:
1) sin3x+cos3x= +1 ( 2 sin cos- ) x x 2) sin3x cos3x 3sin 2x
+ + =
3) 3tan2x+4 tanx+3cot2x+4 cotx+ =2 4) 2sin 2x-3 sinx+cosx + =8
5) sinx-cosx +4sin 2x=1 6) sin 2- x= cosx+sinx Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1) sin cosx x=6(sinx+cosx m+ ) 2) sin 2x+2 (sinm x-cos ) 4x + - m=0
3) tan2x+cot2x m= (tanx-cot )x 4) x m x x x
2
3 3tan (tan cot ) 0
sin + + + - =
(13)VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Dạng: A B = Û ê =0 é =AB 00
ë
Một phương pháp thường sử dụng để giải phương trình lượng giác khơng mẫu mực biến đổi đưa dạng phương trình tích
Các phép biến đổi thường sử dụng:
– Dùng cơng thức biến đổi từ tổng thành tích
– Dùng công thức hạ bậc, biến đổi từ tổng thành tích
– Nếu phương trình có tổng nhiều biểu thức dạng tích mà khơng có nhân tử chung thì nên biến đổi tích thành tổng để ước lược, biến đổi từ tổng thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: sin cos2x x sin cos3x x 1sin 5x
= - (*)
· (*) Û sin cos2x x 1(sin 5x sin )x 1sin 5x
2
= - - Û sin (2 cos2x x+ =1)
Û x x k x k
x x k
sin
cos2
2
p p
p p
é = é =
ê Ûê Û =
= - = ± +
ê ê
ë ë
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x+cos4x+cos6x=0 (*) · (*) Û 2 cos cos2x x+cos4x= Û0 cos4 (2 cos2x x+ =1)
Û x x k
x x k
cos
8
cos2
2 3
p p
p p
é
é = ê = +
ê Û ê
=
-ê ê = ± +
ë ë
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – = 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = + 2cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sin3x cos3x 1sin 2x
2
+ =
-Baøi 2. Giải phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 4) cos3x-2 cos2x+cosx=0 5) cos10x-cos8x-cos6x+ =1 6) cos+ x+cos2x+cos3x=0
Bài 3. Giải phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinx.sin2x 3) 2sinx.cos2x + + 2cos2x + sinx = 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 5) 4sin sin sin 7x x x=sin 4x 6) cos3 cos 4x x sin sin 5x x 1cos2x cos 4x
2
+ = +
Baøi 4. Giải phương trình sau:
1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x =
3) cos2x + cos22x + cos23x = 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx
(14)Bài 5. Giải phương trình sau: (dùng cơng thức hạ bậc) 1) sin6x cos6x
4
+ = 2) sin8x cos8x
8
+ =
3) sin6x cos6x
+ = 4) cos4x+2sin6x=cos2x
5) x x x
x
4
2
1
sin cos cos
4sin
+ - + - =
Bài 6. Giải phương trình sau:
1) sin3x cos3x sin sinx x cosx sin3x
2
p
ỉ
+ + ỗ + ữ= +
ố ứ
2) sin2+ x+2cos3 (sinx x+cos ) 2sinx = x+2cos3x+cos2x 3) sinx+sin2x+sin3x= 2(cosx+cos2x+cos3 )x
4) sin+ x+cosx+sin 2x+2 cos2x=0
5) sin2x 2sin2 x 2sin sinx x cotx
2
+ - + =
6) sin cos2x x-cos2x+sinx-cos sin2x x-cosx=0
7) (2sinx-1)(2 cos2x+2sinx+ = -1) cos2x 8) sin sin 4x x cos x cos sin 4x x
6 p
ổ
= ỗ - ữ
-è ø
Bài 7. Giải phương trình sau:
1) sin3 sin 6x x=sin 9x 2) sin3x-cos3x=sinx+cosx
3) sin3x+cos3x=sinx-cosx 4) sin (1 cos ) cosx + x = + x+cos2x
5) cotx-tanx=sinx+cosx 6) cos2x-sin 2x=2(sinx+cos )x
7) x x
x
2
1 sin tan
cos
-+ = 8) (1 tan )(1 sin ) tan- x + x = + x Bài 8. Giải phương trình sau:
(15)VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHƠNG ÂM Dạng: íìAA B³0; B0³0ÛìíBA=00
+ = =
ỵ ỵ
Đặc biệt:
· A2+B2 = Û í =0 ì =BA 00
ỵ ·
A
A B A B
B A B1, (1 A1,) (1 1B) 11
ì £ £ Ûì £ £ Ûì =
í + = í - + - = í =
ỵ
ỵ ỵ
Ví dụ: Giải phương trình: cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+ =1) 0 (*)
(*) Û x x xx x k x l
x k
2 cos 2
cos (sin 1) sin3 1 2
2
p p
p p
p p
ì
= + ï
ì =
+ + = Ûí Ûí Û = +
=
-ỵ ï = - +
ỵ Bài 1. Giải phương trình sau:
1) sin2x 1sin 32 x sin sin 3x x
+ = 2) sin2x 1sin 32 x sin sin 3x x
+ =
3) cos2x+3tan2x-4 cosx+2 tanx+ =4
4) cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+ =1)
Bài 2. Giải phương trình sau: 1) sin 2x sin2x
5
+ - = 2) sin5x-cos2x=1
3) sin (cos2x x+cos 4x+cos6 ) 1x = 4) sin cos8x x=1
5) sin 7x+cos2x= -2 6) sin3x+cos3x=1
7) sinx+2sin 2x+3sin3x+4sin 4x=10
(16)VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Dạng:
A M A M
B M
B M A B
ì ³
ï ì =
£ Û
í í =
ỵ ï =
ỵ
Để sử dụng phương pháp ta cần chứng minh bất đẳng thức: A ³ M B £ M Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:
· Bất đẳng thức lượng giác bản: - £1 sin , cosx x£1; sin , cos£ 2x 2x£1 · Bất đẳng thức Cô–si: Với a, b ³ 0, ta có: a b+ ³2 ab
· Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với cặp số (a, b) (x, y) ta có: (ax by+ )2 £(a2+b x2)( 2+y2)
Đặc biệt: (a b+ )2 £2(a2+b2)
Ví dụ: Giải phương trình: sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x (*) · Ta có: sinx cosx sin x
4 p
ổ
+ = ỗ + ữÊ
è ø
2(2 sin )- x = (1 sin3 )[ + - x ]³
Do đó: (*) Û x x k
x l
x
2
sin 4
4 2
sin3
6 p
p p
p p
ì
ì ỉ ï = +
ï ỗ + ữ=
ớ ố ứ
ï = ï = +
ỵ ỵ
(vơ nghiệm)
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x 2) (cos 4x-cos2 )x 2= +5 sin 3x
3) sin 3+ x =sinx+2 cosx 4) cos 2+ x =sin 3x-cos3x
Baøi 2. Giải phương trình sau:
1) sinx+ sin- 2x = +2 cos 4+ x 2) cos3x+ cos 3- x =2(1 sin )+ x 3) psin x = cosx 4) 3sin x = cosx
5) 2x =sinx2 6) cosx 2x x 3= +
-7) x x x x
2
2 cos 2
6
-+ = +
(17)VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Dạng: ìíA M B NA B M N£ , £ ÛìíB NA M=
+ = + =
ỵ ỵ
Ví dụ: Giải phương trình: cos7x+sin4x=1 (*) · Ta có: x x
x x
7
4
cos cos sin sin
ìï £
í
£
ïỵ Suy ra: (*) Û
x x
x x
7
4
cos cos (1) sin sin (2)
ìï =
í
= ïỵ
Phương trình (1) cho ta éêcoscosxx==10
ë
– Khi cosx=0 sinx= ±1: nghiệm phương trình (2) – Khi cosx=1 sinx=0: nghiệm phương trình (2)
Vậy (*) Û x x k
x x k
cos
2
cos 2
p p p
é
é = Ûê = +
ê = ê
ë ë =
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) sin4x+cos15x=1 2) sin3x+cos3x= -2 sin4x 3) cos13x+sin14x=1
(18)VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
· Dự đốn nghiệm sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
· Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) Khi đó, với a, b Î (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b
Chú ý: Trong số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét
Bài 1. Giải phương trình sau:
1) cosx= +1 x 2) sinx x=
3) cosx x2
= - 4) 2sinx cos ,x x 0; p
é ù
= Ỵ ê ú
ë û
5) sinx tanx 2x 0, x p
+ - = £ <
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1) cos2x+ -(1 m)cosx m+ -1, xỴ(0; )p
2) x x x x m x
x x
1 1
sin cos tan cot , 0;
2 sin cos
p
ỉ ỉ
+ + + ỗố + + + ữứ= ẻỗố ữứ
3) sin 2x+4(cosx-sin )x =m
4) sin6x+cos6x m= (sin4x+cos )4x
(19)Baøi 1. Giải phương trình sau:
1) tan+ x = tan (1 tan )x - x 2) x x x x x sin 8.cos cos2 cos
sin
=
3) cos cos2 cos 4x x x + =1 4) sinx-2sinx-sin3x =2
5) cos4x-cos2x+2sin6x =0 6) cos2x-4 cosx-2 sinx x x+ 2+ =3
ĐS: 1) x k
p p
= + 2) x k
14
p p
= + 3) x k2 ; x k
2 p
p p p
= + = +
4) vô nghiệm 5) x kp= 6) x =
Bài 2. Giải phương trình sau:
1) tan tan 7x x =1 2) sin3x cos3x 2
+ =
3) cos cos cosx x 3x sin sin sinx x 3x
2 - 2 = 4)
x x x
x x
2
3 cos sin 1 1tan 3cos sin 2
+
= +
-5)
x
x x
x
4
5cos sin tan
cos
- + = 6) log 2 sinx(1 cos ) 2+ x =
ĐS: 1) x k 18
p p
= + 2) x k2 ; x k2 , cos
4 4
p p
p a p a
-= + = + + =
3) x k ; x k2 ; x k2 ; x k2
4 6
p p p p p p p p
= - + = - + = + = +
4) x k= ;p x=2a +k2 (tanp a = 1);- x= -2b+k2 (p tgb = 1)+
5) vô nghiệm 6) x k2
p p
= + Bài 3. Giải phương trình sau:
1) tanx+tan 4x =2 tan3x 2) 9cos3 cos5x x+ =7 9cos3 cosx x+12 cos 4x 3) sin3x+cos3x = -2 sin 4x 4) sinx cosx sinx thoûa x
2 2
p p
- = - - £
5) x x
1 log cos log sin
2
3 + + 9= + 6) sin1994x+cos1994x =1
ĐS: 1) x k ; x k 12
p p
p
= = ± + 2) x k2 ; x l2 , cos 2
p p a p a
= + = ± + =
3) x k2 p
p
= + 4) x , , ,
2
p p
p p
= 5) x k2
12 p
p
= - + 6) x k
2 p
= Bài 4. Giải phương trình sau:
1) sin 3x-2sin2x = sin cos2x x
2) cos13x+3(cos5x+cos3 ) 8cos cos 4x = x x
3) x x x x
x x
2
1 cos2 cos5 cos3 2 sin cos cos
+ + + =
-+
-4) x x x x thoûa 1 x
2
sin tan + 3(sin - 3.tan ) 3= log+ £
5) 3cot2x+4 cos2x-2 cotx-4 cosx+ =2
(20)ĐS: 1) x k ; x k2 ; x k2
3
p p
p p p
= = + = + 2) x k
12 p
= 3) x k2p=
4) x k ,k
p p
= - + ³ 5) x k2
3 p
p
= + Bài 5. Tìm m để phương trình:
1) sin 5x m= sinx có nghim x kạ p (k Zẻ )
2) x x x x m
x x
1 1
sin cos tan cot
2 sin cos
ổ
+ + + ỗ + + + ÷ =
è ø có nghiệm x 0;
p
ổ
ẻ ỗ ÷
è ø
3) 2sinx-1)(2 cos2x+2sinx m+ ) cos= - 2x có nghiệm thuộc [ ]0;p 4) cos4x+ -(1 cos )x = m vô nghiệm
5) cos3x+sin3x m= sin cosx x có nghiệm 6) sin2x+sin 32 x m- cos 22 x = có nghiệm ĐS: 1) m
4
- £ < 2) m ³2( 1)+ 3) m < -1 hay m > hay m =0
4) m m 17 18
< Ú > 5) " Ỵm R 6) m ³ Bài 6. Tìm m để phương trình:
1) 3cos2x+2 sinx = m có nghiệm thuộc đoạn ; 4 p p
é ù
-ê ú
ë û
2) sinx-cosx + 4sin 2x m= có nghiệm 3) cos+ x+ 2sin+ x = m có nghiệm ĐS: 1) 2) m 65
16
- £ £ 3) 1+ £ m£ 1+
(21)ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) phương trình:
x x x x
x cos3 sin
5 sin cos2
1 2sin
æ +
+ = +
ỗ + ữ
è ø
HD: Điều kiện: x m
x n
12 12
p p
p p
ì
¹ - +
ù
ù +
ợ
PT Û 5cosx=2 cos2x+3 Û cosx
= Û x
x p
p
é = ê ê ê = ë
Baøi 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 32 x-cos 42 x=sin 52 x-cos 62 x
HD: PT Û cos sin sin 2x x x=0 Û sin sin 9x x=0 Û x k x k
9 p p
é = ê ê ê = êë
Bài 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình: cos3x-4 cos2x+3cosx- =4
HD: PT Û 4 cos (cos2x x- =2) 0 Û cosx=0 Û x ;x ;x ;x
2 2
p p p p
= = = =
Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x a
x x
2sin cos sin cos
+ +
=
- + (a tham số)
1 Giải phương trình a
= Tìm a để phương trình có nghiệm HD: 1) x k
4
p p
= - + 2) a
2
- £ £ (Đưa PT bậc sinx cosx)
Bài 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tanx cosx cos2x sin tan tanx x x
ỉ
+ - = ỗ + ữ
ố ứ
HD: x k= 2p Chú ý: Điều kiện: ỡớcoscosxxạ01
ạ
-ợ v
x x
x 1 tan tan
2 cos
+ =
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: x ( x) x x
2
4
2 sin sin3 tan
cos
-+ =
HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û sin3x x k2 ; x k2
2 18 18
p p p p
= Û = + = +
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x x
x x
4
sin cos 1cot 2 5sin 2 8sin
+
= -
HD: Điều kiện: sin2x ¹ PT Û cos 22 x 5cos2x x k
4
p p
- + = Û = ± +
Bài 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x x
2
1 sin 8cos = HD: Điều kiện: x
x cos sin
ỡ
ớ > ợ
PT Û x k2 ; x k2 ; x k2 ; x k2
8 8
p p p p
p p p p
= + = + = + = +
(22)sin( 4x+cos4x)+cos 4x+2sin 2x m- =0 (*) có nghiệm thuộc đoạn 0;
2 p
é ù
ê ú
ë û
HD: 10 m
- £ £ -
Đặt t = sin2x (*) có nghiệm thuộc 0; p
é ù
ê ú
ë û Û f t t t m
2
( ) 3= - = +2 3 có nghiệm tỴ[0;1]
Bài 10.(ĐH 2003A) Giải phương trình: x x x x
x
2
cos2
cot sin sin
1 tan
- = +
-+
HD: Điều kiện: sinx¹0, cosx¹0, tanx¹ -1
PT Û (cosx-sin )(1 sin cosx - x x+sin ) 02x = Û x k p
p
= +
Bài 11.(ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x
x cot tan 4sin
sin
- + =
HD: Điều kiện: ìísincosxx¹00
ạ
ợ PT x x
2
2 cos -cos2 - =1 0 Û x k p
p
= ± +
Bài 12.(ĐH 2003D) Giải phương trình: sin2 x tan2x cos2 x
2
p
ổ
- - =
ỗ ÷
è ø
HD: Điều kiện: cosx¹0
PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0x = Û x k
x k
2
p p
p p
é = + ê
= - + ê
ë
Bài 13.(ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x+cos tanx( x- =1) HD: Điều kiện: cosx ¹
PT Û (1 cos )(2 cos+ x 2x-5cosx+2) 0= Û x (2k 1) , x k2 p
p p
= + = ± +
Bài 14.(ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: tan tan- x( x+2sinx)+6 cosx=0 HD: Điều kiện: cosx ¹ PT Û (1 cos2 )(3cosx 2x sin ) 02x x k
3 p
p
+ - = Û = ± +
Bài 15.(ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos 4x-8cos6x+2 cos2x+ =3 HD: PT Û cos2 ( cosx 4x 5cos2x 3) x k ,x k
4
p p
p
- + - = Û = + =
Baøi 16.(ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:
( ) x x
x
2
2 cos 2sin
2 1 cos
p
ỉ
- - ỗ - ữ
ố ứ =
-
HD: Điều kiện: cosx
¹ PT Û cosx sinx x (2k 1)
p
p
- + = Û = + +
Baøi 17.(ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: x( x ) x
x x
2
cos cos 2(1 sin ) sin cos
- = +
+
HD: Điều kiện: sin x p
ỉ
+
ỗ ữ
ố ứ
PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0x x x k ,x k2
p
p p p
(23)Baøi 18.(ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x x x x cos cot tan
sin
= +
HD: Điều kiện: sin2x ¹ PT Û 2 cos 22 x cos2x x k p
p
- - = Û = ± +
Bài 19.(ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin ) tan- x 2x
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û 2sin2x+3sinx- =2 0 Û x k
x k
2 2
6 p
p p
p
é
= + ê
ê
ê = +
ë
Baøi 20.(ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx
HD: PT Û (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x = Û x k
x k
2
p p
p p
é
= ± + ê
ê
ê = - + ë
Bài 21.(ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: sin( 3x+cos3x)=cosx+3sinx HD: PT Û tan3x-tan2 x-3tanx+ =3 0 Û x k ; x k
4
p p p p
= + = ± +
Bài 22.(ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: sin- x+ cos- x =1 HD: Đặt u x
v x
1 sin cos
ìï = -í
=
-ïỵ PT Û
u v
u2 v2
(1 ) (1 )
ì + = í
- + - =
ỵ Û
u v 10
ì = í =
ỵ
u v 10
ì = í = ỵ
Û x k2 ; x k2
p
p p
= + =
Baøi 23.(ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
x x
1
2 cos
4 sin cos p
ỉ
+ + =
ỗ ữ
ố ứ
HD: iu kin: ỡớsincosxxạạ00
ợ PT Û (cosx-sin )(1 sin ) 0x + x = Û x k
p p
= ± +
Baøi 24.(ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin sin 7x x=cos3 cos6x x HD: x k ; x k
20 10
p p p
p
= + = +
Bài 25.(ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin cos2x x+sin cosx x=sin cosx x HD: PT Û sin3 (cos2x x- =1) 0 Û x k
3 p
=
Baøi 26.(ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos2 )x HD: PT Û x k2 ; x k2
9
p p
p p
= + = +
Bài 27.(ĐH 2005A) Giải phương trình: cos cos22 x x-cos2x=0 HD: PT Û 2 cos 42 x+cos4x- =3 0 Û x k
2 p
=
Bài 28.(ĐH 2005B) Giải phương trình: sin+ x+cosx+sin 2x+cos2x=0 HD: PT Û (sinx+cos )(2 cosx x+ =1) 0 Û x k ; x k2
4
p p
p p
= - + = ± +
Baøi 29.(ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4x sin4x cos x sin 3x
4
p p
æ ổ
+ + ỗ - ữ ỗ - ÷- =
(24)HD: PT Û sin 22 x+sin 2x- =2 0 Û x k
p p
= +
Baøi 30.(ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; p) phương trình: 4sin2 x cos2x cos2 x
2
p
ỉ
- = + ỗ - ữ
ố ứ
HD: PT Û cos 2x cos( x) p p ổ + = -ỗ ữ
ố ứ Û x x x
5 ; 17 ;
18 18
p p p
= = =
Baøi 31.(ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 cos3 x 3cosx sinx p ổ - - - = ỗ ữ ố ứ
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx=0 Xét trường hợp:
a) Nếu cosx=0 PT Û x
x x
3
cos
sin sin
ì =
í - =
ỵ Û x k
p p
= +
b) Nếu cosx¹0 ta chia vế PT cho cos3x Khi đó: PT Û x
x cos tan
ỡ
ớ =
ợ x k
p p
= +
Vậy: PT có nghiệm: x k p
p
= + x k p
p
= +
Baøi 32.(ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x=0 HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k
x k 2 p p p p é = + ê ê ê = + ë
Baøi 33.(ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : x x x x 2 cos2 tan 3tan cos p æ + ử- = -ỗ ữ ố ứ
HD: iu kin: cosx¹0 PT Û tan3x= -1 Û x k
p p
= - +
Baøi 34.(ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: x x x
3 sin
tan
2 cos p
ổ
- + =
ỗ ữ
è ø +
HD: Điều kiện: sinx¹0 PT Û 2sinx=1 Û x k
x k 2 p p p p é = + ê ê ê = + ë
Bài 35.(ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 Û x x sin 2 sin p ộ = ờ ổ ỗ - ÷= ê è ø ë Û x k x k x k x k 2 2 p p p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ê ê = + ë
Bài 36.(ĐH 2006A) Giải phương trình: ( x x) x x x
6
2 cos sin sin cos 0 2sin
+ - =
(25)HD: Điều kiện: sinx 2
¹ PT Û 3sin 22 x+sin 2x- =4 0 Û x k
p p
= +
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x 2m
p
p
= +
Baøi 37.(ĐH 2006B) Giải phương trình: cotx sin tan tanx x x
ổ
+ ỗ + ÷=
è ø
HD: Điều kiện: sinx 0, cosx 0, cosx
¹ ¹ ¹
PT Û x x
x x
cos sin 4
sin +cos = Û x sin
2
= Û x k
x k 12 12 p p p p é = + ê ê ê = + ë
Baøi 38.(ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx- =1 HD: PT Û sin (2 cos2x x+ =1) 0 Û x k
x k2 p p p é = ê = ± + ê ë
Baøi 39.(ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3 cosx 3x sin3 sinx 3x
+
- =
HD: PT Û cos 4x 2
= Û x k
16
p p
= ± +
Baøi 40.(ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: 2sin 2x 4sinx p ổ - + + = ỗ ữ ố ø
HD: PT Û sinx( cosx+sinx+2)=0 Û x k x k2
6 p p p é = ê = + ê ë
Bài 41.(ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: (2sin2x-1 tan 2) x+3 cos( 2x- =1) HD: Điều kiện: cos2x¹0 PT Û cos2 tan 2x( x-3)=0 Û x k
6
p p
= ± +
Bài 42.(ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x+ +(1 cos )(sinx x-cos ) 0x =
HD: PT Û (sinx-cos )(cosx x-sinx+ =1) 0 Û
x k x k x k 2 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ë
Bài 43.(ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3x+sin3x+2sin2x=1
HD: PT Û (cosx+sin )(1 cos )(sinx - x x+ =1) 0 Û
x k x k x k 2 p p p p p é = - + ê ê = ê ê = - + êë
Baøi 44.(ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3x+4sin2x+3sin 2x+6 cosx=0
HD: PT Û (sinx+ -1)( cos2x+3cosx+2) 0= Û x k
(26)Baøi 45.(ĐH 2007A) Giải phương trình: (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x
HD: PT Û (sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x - x - x = Û
x k x k x k 2 p p p p p é = - + ê ê ê = + ê ê = ë
Bài 46.(ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin 22 x+sin 7x- =1 sinx
HD: PT Û cos 2sin3x( x- =1) 0) Û
x k x k x k 18 18 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + êë
Bài 47.(ĐH 2007D) Giải phương trình: x x x
2
sin cos cos
2
ỉ
+ + =
ỗ ữ
ố ứ
HD: PT Û 1 sin+ x+ cosx=2 Û cos x p ổ - = ỗ ữ ố ø Û x k x k 2 p p p p é = + ê ê ê = - + ë
Baøi 48.(ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: x x x
x x
1
sin sin cot 2sin sin
+ - - =
HD: Điều kiện sin 2x¹0 PT Û cos2 cosx( 2x+cosx+ =1) 0 Û x k
p p
= +
Baøi 49.(ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:
cos2x+2 sin cosx x+ =1 3(sinx+ cos )x HD: PT Û 2 cos2 x 3cos x
6
p p
ỉ ỉ
- - - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ Û x k
2
p p
= +
Baøi 50.(ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin cos cos3
2 4
x x x
ỉ ỉ
- - - =
ỗ ữ ỗ ÷
è ø è ø
p p
HD: PT Û cos3x cos x
2 p ỉ ỉ ư + + = ç ç ÷ ÷ è ø è ø Û x k x k x k 3 2 p p p p p p é = + ê ê ê = + ê ê = + ë
Baøi 51.(ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x x x
x x
sin cos2 tan cot cos + sin = - HD: Điều kiện: sin 2x¹0 PT Û cosx= -cos2x Û x k2
3 p
p
= ± +
Bài 52.(ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 sin x cosx 12 p ỉ - = ỗ ữ ố ứ
HD: PT sin 2x cos sin5 12 12 12
p p p
ổ
- = =
ỗ ữ
è ø Û x k hay x k
p p
p p
= + = +
(27)HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û (cosx+sin )(cos2x x- =1) 0 Û x k x k
p p
p
é
= - + ê
ê = ë
Baøi 54.(ĐH 2008A) Giải phương trình: x
x x
1 4sin
sin sin
2
p p
ổ
+ = ỗ - ÷
è ø
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
HD: iu kiện: sinx 0, sin x
p
ổ
ạ ỗ - ữạ
ố ø
PT Û x x
x x
(sin cos ) 2 sin cos
ổ
+ ỗ + ÷=
è ø Û
x k
x k
x k
4
8
p p
p p
p p
é = - + ê
ê
ê = - + ê
ê
= +
êë
Bài 55.(ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3x- cos3x=sin cosx 2x- sin2xcosx HD: PT cos2 sinx( x+ cosx)=0 Û x k ; x k
4
p p p
p
= + = - +
Baøi 56.(ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2x + x + x= +1 cosx HD: PT Û (2 cosx+1)(sin 2x- =1) 0 Û x k2 ; x k
3
p p p p
= ± + = +
Baøi 57.(ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm khoảng (0; p) phương trình: 4sin2 x cos2x cos2 x
2
p
ỉ
- = + ỗ - ữ
ố ứ
HD: PT Û -2 cosx= cos2x-sin 2x Û cos 2x cos( x)
p
p
æ
+ =
-ỗ ữ
ố ứ
Û x k2 hay x h2
18
p p p
p
= + = - +
Do xỴ(0; )p nên chọn x ; x 17 ; x
18 18
p p p
= = =
Baøi 58.(ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 cos3 x 3cosx sinx
p
ỉ
- - - =
ỗ ữ
ố ứ
HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos sin2x x+3cos sinx 2x-3cosx-sinx=0 Xét trường hợp:
a) Nếu cosx=0 PT Û x
x x
3
cos
sin sin
ì =
í - =
ỵ Û x k
p p
= +
b) Nếu cosx¹0 ta chia vế PT cho cos3x Khi đó: PT Û x
x cos tan
ì ¹
í =
ỵ Û x k
p p
= +
Vậy: PT có nghiệm: x k p
p
= + x k p
p
= +
Baøi 59.(ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin cos2x x+cos2x(tan2x- +1 2sin) 3x=0 HD: Điều kiện: cos
2
(28)PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k2 ; x k2
6
p p p p
= + = +
Baøi 60.(ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: x x x x 2 cos2 tan 3tan cos p æ + ử- = -ỗ ữ ố ứ
HD: Điều kiện: cosx¹0 PT Û tan3x= -1 Û x k
p p
= - +
Bài 61.(ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: x x x
3 sin
tan
2 cos p
ỉ
- + =
ỗ ữ
ố ứ +
HD: iu kiện: sinx¹0 PT Û (cosx+1)(2sinx- =1) 0 Û x k
x k 2 p p p p é = + ê ê ê = + ë
Bài 62.(ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2
HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 Û x x sin 2 sin p é = ê ê ỉ ê ỗ - ữ= ố ứ
Û x k2 ; x k2 ; x k2 ; x k2
6
p p p
p p p p p
= + = + = + = +
Bài 63.(ĐH 2009A) Giải phương trình: x x
x x
(1 2sin ) cos 3 (1 2sin )(1 sin )
-=
+ -
HD: Điều kiện: sinx 1, sinx
¹ ¹ -
PT Û cosx- sinx=sin 2x+ cos2x Û cos x cos 2x
3
p p
æ + ử= ổ -
ỗ ữ ỗ ữ
è ø è ø
Û x k2 18
p p
= - +
Bài 64.(ĐH 2009B) Giải phương trình: sinx+cos sin 2x x+ cos3x=2 cos 4( x+sin3x) HD: PT Û sin3x+ cos3x=2 cos4x Û cos 3x cos 4x
6 p ổ - = ỗ ữ ố ø Û x k x k 42 p p p p é = - + ê ê ê = + ë
Bài 65.(ĐH 2009D) Giải phương trình: cos5x-2sin cos2x x-sinx=0
HD: PT Û 3cos5x 1sin 5x sinx
2 -2 = Û sin 5x sinx p ổ - = ỗ ữ ố ứ Û x k x k 18 p p p p é = + ê ê ê = - + ë
Baøi 66.(ĐH 2010A) Giải phương trình:
x x x
x x
(1 sin cos2 )sin 1 cos
1 tan 2
p
ỉ
+ + ỗ + ữ
ố ứ =
+
HD: Điều kiện: cosx¹0; tan+ x¹0
PT Û sinx+cos2x=0 Û x k2 ; x k2
6
p p
p p
= - + = +
(29)HD: PT Û (sinx+cosx+2) cos2x=0 Û x k
p p
= +
Bài 68.(ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x-cos2x+3sinx-cosx- =1 HD: PT Û (2sinx-1)(cosx+sinx+2) 0= Û x k2 ; x k2
6
p p
p p
= + = +