Ta nhận thấy các đường thẳng x a với a không phải là tiếp tuyến của C và một đường thẳng không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba tại hai điểm phân biệt.?. Vậy có hai g[r]
(1)
cos sin cos sin cos 45 sin 45
cos cos cos 45
2 sin 45 sin 45 sin 45 45
cos cos cos 45
45 cos 44 cos 43 cos cos1 sin 90
2
cos1 cos cos 43 cos 44 cos 45
45 45 23
2 2 n 23
2
Chọn C
Câu Tëm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn
0 0 0 0
1 1
sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135 sin n A n 1. B n 45. C n 46. D n 91.
Lời giải
Đặt P 1
sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135
sin sin sin
sin P
sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135
sin P cot 45 cot 46 cot 46 cot 47 cot 134 cot 135
sin P cot 45 cot 135
P n
sin
Chọn A
Câu Cho góc thỏa
4
sin cos
Tính P sin cos
A P
B P
2
C P
2
D P
2
Lời giải
Ta có 2 2 2 2
sin cos sin cos 2 sin cos 2
Suy 2 2
sin cos sin cos
4
Do
4
suy sin cos nên sin cos 0 Vậy P
Chọn D
Câu Cho góc thỏa mãn tan
; 2
Tính P sin2 cos2
A P B P C P 5
D P
5
(2)Ta có P2 1 sin Với ;2 ;
2
Khi đỵ
2 sin
2 2 cos
2
, suy P sin cos
2
Từ hệ thức sin2 cos2 1, suy 2
2
1 16
sin cos
1 tan 25
Vì ; 2
nên ta chọn
4 sin
5
Thay sin
5
vào P2, ta P2
5
Suy P 5
Chọn C.
Câu Cho phương trënh cos x cos x
3
Nếu đặt t cos x
phương trënh cho trở thành phương trënh đây?
A 4t2 8t 0. B 4t2 8t 0. C 4t2 8t 0. D
2
x k
4
x k2
3
Lời giải
Ta có cos x 1 sin x2 1 cos2 x
3
Do đỵ phương trënh tương đương với 2 cos2 x 4 cos x 0
6
2
4 cos x 8cos x
6
Nếu đặt t cos x
thë phương trënh trở thành
2
4t 8t 4t 8t
Chọn A
Câu Biểu diễn tập nghiệm phương trënh cos x cos 2x cos 3x 0 đường trín
lượng giác ta số điểm cuối
A 2 B 4 C 5 D 6
Lời giải
Ta có cos x cos 2x cos 3x 0 2 cos 2x cos x cos 2x 0
k2 cos 2x x
4 k
1
cos x x k2
2 3
điểm không trùng nên tập nghiệm
(3)Chọn D
Câu Cỵ giá trị thuộc 0; 2 để ba phần tử Ssin ,sin ,sin 3
trùng với ba phần tử Tcos , cos , cos
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Vì S T sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3
2 sin cos sin 2 cos cos cos sin 2 cos cos 2 cos
sin cos k
8 k .
1 2
cos k2
2 3
Thử lại ta thấy có k
8
k thỏa S T.
Vì 0;2 k k 15 k 0;1;2;3
8 4
Chọn D
Câu Phương trënh 2n 1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x cos x 1n với n * cỵ tập nghiệm
trùng với tập nghiệm phương trënh sau đây?
A sin x 0. B sin x sin x. n C sin x sin 2 n 1 x. D sin x sin 2 n 2 x.
Lời giải
Vì x k không nghiệm phương trënh nhân hai vế phương trënh cho sin x, ta 2n 1 sin x cos x cos 2x.cos 4x.cos8x cos x sin x n
n n
n n
n n
2 sin 2x cos 2x.cos 4x.cos 8x cos x sin x sin 2x.cos 2x cos 4x.cos 8x cos x sin x sin x cos 4x.cos 8x cos x sin x
sin 2n 2 x sin x. Chọn D
Câu 10 Tình diện tìch đa giác tạo điểm đường trín lượng giác biểu diễn nghiệm phương trënh tan x tan x
4
A 3 10
10 B
3 10.
5 C D
Lời giải
Điều kiện:
cos x x k
2 k .
cos x x k
4 4
(4)Ta có tan x tan x tan x tan x 1
4 tan x
2
2
tan x tan x tan x 1 tan x
tan x x k
tan x tan x k
tan x x arctan k
Nghiệm x k biểu diễn đường trín lượng giác hai điểm A, B (xem hình vẽ)
Nghiệm x arctan k biểu diễn đường trín lượng giác hai điểm M, N (xem hình vẽ)
Ta có AMN AMBN
2
1 AO.AT 10 10
S MN.AH MN S
2 AO AT 10
Chọn B.
Câu 11 Nghiệm dương nhỏ phương trënh sin 5x cos x 1 cỵ dạng a
b
với a, b số nguyên nguyên tố Tình S a b.
A S 3. B S 7. C S 15. D S 17.
Lời giải
Phương trënh tương đương với sin 5x cos x sin 5x cos 2x
2
x k
6
sin 5x sin 2x
3
2 x k
14
Nghiệm dương nhỏ a S 17 b 14
14
Chọn D
Câu 12 Nghiệm âm lớn phương trënh sin x cot x
1 cos x cos x cỵ dạng
a b
với a, b số nguyên, a 0 a, b nguyên tố Tình S a b.
A S 3. B S 4. C S 5. D S 7.
Lời giải
Điều kiện: cos x x k k sin x
Phương trënh sin x cos x 2 cos x cos x
sin x sin x
2
sin x cos x sin x sin x cos x cos 2x
sin x cos x cos x sin x
(5) sin x cos x tan x x k k
x k2 N
2
1 cos x sin x sin x k
4 x k2 L
Nghiệm âm lớn a S
b 4
Chọn A
Câu 13 Cho phương trënh sin x sin 5x cos2 x 2 cos2 2x
4
Số vị trì biểu diễn
các nghiệm phương trënh đường trín lượng giác là?
A 1. B 2. C 4. D 6.
Lời giải
Ta có
2
2
2 cos x cos 2x sin 2x
4
cos 2x cos 4x sin 4x
4
Do đỵ phương trënh tương đương với sin x sin 5x sin 2x sin 4x
2 sin 3x cos 2x sin 3x cos x sin 3x cos 2x cos x
sin 3x x k k
cos 2x cos x cos 2x cos x x k2k2 k x
3
Hợp hai trường hợp ta nghiệm phương trënh cho x k =k2 k
3
Có điểm biểu diễn đường trín lượng giác Chọn D
Câu 14 Cho phương trënh sin x cos xsin 2x 3 cos 3x cos 4x sin x Tổng nghiệm
âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trënh A
7
B
18
C
20
D
7
Lời giải
Phương trënh sin x 1sin 3x sin x cos 3x cos 4x 3sin x sin 3x
2
sin 3x cos 3x cos 4x sin 3x cos 4x
(6) k2
x
42
sin 3x sin 4x k
3 x k2
6
Suy nghiệm âm lớn ;
nghiệm dương nhỏ 42
Chọn A
Câu 15 Nghiệm dương nhỏ phương trënh cos 3x cos 2x 1
cỵ dạng a b
với
a, b số nguyên nguyên tố Tình S a b.
A S 7. B S 8. C S 15. D S 17.
Lời giải
Phương trënh 4 cos 3x cos 2x cos 3x 1
cos 5x cos x cos 3x cos x cos 3x cos 5x
Nhận thấy sin x 0 x k k không thỏa mãn phương trënh
Nhân hai vế cho sin x ta sin x cos x sin x cos 3x sin x cos 5x sin x
sin 2x sin 4x sin 2x sin 6x sin 4x sin x k2
x
sin 6x sin x k
k2 x
7
Suy nghiệm dương nhỏ a S b
7
Chọn B
Câu 16 Cho phương trënh sin2018x cos 2018x sin 2020x cos 2020x Số vị trì biểu diễn
nghiệm phương trënh đường trín lượng giác là?
A 3. B 4. C 6. D 2020.
Lời giải
Phương trënh sin2018x sin x cos2018x cos x 0
2018 2018
2018 2018
sin x.cos 2x cos x cos 2x cos 2x
sin x cos x
cos 2x x k k
sin2018x cos2018x tan2018x 1 tan x 1 x k k .
4
Hợp hai trường hợp ta nghiệm phương trënh cho x k k
(7)Có điểm biểu diễn đường trín lượng giác Chọn B
Câu 17 Nghiệm âm lớn phương trënh tan2018x cot2018x sin2017 x
4
cỵ dạng
a b
với
a, b số nguyên, a 0 a, b nguyên tố Tình S a b.
A S 3 B S 1 C S 1. D S 3.
Lời giải
Ta có
2018 2018
2017
tan x cot x
2 sin x
4
Do đỵ phương trënh tương đương với:
tan x cot x x k
4 x k2 k .
sin x x k2
4 4
Nghiệm âm lớn a S
b 4
Chọn A
Câu 18 Cho phương trënh 22017sin2018x cos2018x sin x cos x cos x cos 2x .
1 tan x
Nghiệm
dương nhỏ phương trënh cỵ dạng a b
với
a, b số nguyên nguyên tố Tính S a b.
A S 2. B S 3. C S 4. D S 7.
Lời giải
Điều kiện: cos x tan x
Ta có cos 2x cos x sin x2 cos x cos x sin x sin x
1 tan x 1
cos x
Do đỵ phương trënh 22017sin2018x cos 2018x sin x cos x cos x sin x cos x cos x
cos x sin x cos x 2 2017sin2018x cos 2018x10.
cos x L
sin x cos x tan x x k k
(8)1009 1009 1009
2018 2018
1008
a b a b
sin x cos x 2
2 2
với
2
a sin x, b cos x.
Nghiệm dương nhỏ a S
b 4
Chọn D
Câu 19 Biết phương trënh 1 12018
sin x sin 2x sin 4x sin x cỵ nghiệm dạng
a
k2 x
2 b
với k a, b , b 2018
Tính S a b.
A S 2017. B S 2018. C S 2019. D S 2020. Lời giải
Điều kiện: sin 22018x 0.
Ta có cot a cot 2a cosa cos 2a cos a cos 2a2
sin a sin 2a sin 2a sin 2a
Do đỵ phương trënh cotx cot x cot x cot 2x cot 22017x cot 22018x 0
2
2018
2018 2018
2019
x
cot cot x
2
x x k2
cot x cot x k x k
2 2
a 2019
S a b 2020 b
Chọn D
Câu 20 Phương trình sin x x 18
cỵ nghiệm?
A 1 B 2 C 3 D Vï số
Lời giải
Điều kiện: x 0 Phương trënh sin x sin x x
x 18 18
1
Phương trënh 1 phương trënh hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y sin x (cỵ đồ thị màu xanh hënh vẽ) với đồ thị hàm số y x
18
(9)Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt nên phương trënh 1 có nghiệm phân biệt Đối chiếu điều kiện toán ta loại nghiệm x 0 nên phương trënh cho cỵ nghiệm
Chọn B
Câu 21 Phương trënh 2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x sin 2x 12 có
nghiệm thuộc khoảng 0; 2018?
A 2565 B 2566 C 2567 D 2568
Lời giải
Phương trënh 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos6x 3 cos 4xsin 2x cos 4x
cos6x cos 2x cos 4x sin 2x cos 4x cos 2x cos 4x sin 2x cos 4x cos 2x sin 2x cos 4x x k k
8
(cos 4x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x nên chứa cos 2x sin 2x )
Vì x 0;2018 k 2018 k 2018 0,5 k 2565,39
8
k 0;1; 2; 3; ; 2565
Vậy có 2566 nghiệm
Chọn B
Câu 22 Phương trënh
1 cos x cos x 1 cos x sin x
cỵ nghiệm thuộc khoảng
0; 2018?
A 3025 B 3026 C 3027 D 3028
Lời giải
Điều kiện: 1 cos x sin x 0. Phương trënh 1 cos x cos x sin x sin x cos x
cos 2x cos x sin 2x sin x
3x x 3x x
2 cos cos sin cos
2 2
x 3x 3x
2 cos sin cos
2 2
x cos
3x
2 tan 1 x k k .
3x 3x
sin cos
2
loại
Vì k2 2018 k 2018 k 3027,25
6
x 0;
2 018
4
2
k 1; 2; 3; ;3027
(10)Chọn C.
Câu 23 Phương trënh sin 3x 9x2 16x 80 0
4
cỵ nghiệm nguyên
dương?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Phương trënh 3x 9x2 16x 80 k
4
2
2 2
3x 9x 16x 80 4k 9x 16x 80 3x 4k
3x 4k
9x 16x 80 9x 24kx 16k
Phương trënh
2
2 9k 98
2k 10 98
2 x 9x 3k
3k 3k 3k
Vì x nên ta cần có
k
k x 12
3k 1; 2;7;14; 49;98 k x k 17 x 12
loại
Chọn B
Câu 24 Phương trënh sin x cos x4
4
cỵ nghiệm thuộc khoảng
0; 2017?
A 4032 B 4033 C 4034 D 4035
Lời giải
Ta có
2 cos 2x
sin x
2
cos x sin x cos x
Phương trënh
4
4
1 cos 2x cos x sin x
2
2
1 cos 2x sin 2x
3 cos 2x sin 2x x k
sin 2x k
4 x k
4
Vì x0; 2017 nên
(11) k 2017 k 8067
4 4
Có 2017 nghiệm Vậy có tổng cộng 4033 nghiệm
Chọn B
Câu 25 Tëm số nghiệm phương trënh tan 4x tan 2x tan x tan 4x.tan 2x.tan x đoạn ;
A 2 B 3 C 6 D 7
Lời giải
Điều kiện:
cos x cos 2x cos 4x
Phương trënh tan 4x tan 2x tan x tan 4x.tan 2x
tan 4x tan 2x tan x tan 4x.tan 2x
(vì cos 2x 0 1 tan 4x.tan 2x 0 )
2
tan 2x tan x tan x tan x
4 tan x tan x tan x
tan x tan x
x k tan x
k
2 x arc tan k
tan x 2
2
thỏa mãn thỏa mãn
Vì x ; Có tất nghiệm thỏa mãn Chọn C
Câu 26 Tổng tất nghiệm phương trënh tan 5x tan x 0 0; A B 3
2
C 2 D 5 .
2
Lời giải
Điều kiện: cos 5x cos x
Phương trënh tan 5x tan x 5x x k x k k4
Vì x 0; 0 k 0 k 4 k k 0;1;2;3
4
Suy
k x
k x
4 3
4 k x
2 k x
4
(12)Chọn A
Câu 27 Tổng tất nghiệm phương trënh cos sin x 1 đoạn 0; 2 A 0 B C 2 D 3
Lời giải
Phương trënh tương đương với sin x k2 , k
Vì 1 sin x 1 nên suy k 0 , đỵ phương trënh trở thành sin x 0 x Vì x0; 2 x 0; ; 2 Suy tổng nghiệm 0 2
Chọn D
Câu 28 Cho phương trënh x2 2 cos 3 x cos 3cos 0.
4
Gọi S tập giá
trị tham số thuộc đoạn 0; 4 để phương trënh cỵ nghiệm kép Tổng phần tử tập S
A 20
B
15 C 16 D 17 Lời giải
Yêu cầu toán 2 2
2 cos cos 3cos
0;4
0;4
3 11 13 23
cos ; ; ;
2 6 6
6 cos
3 17 19
cos ; ; ;
2 6 6
Vậy 11 13 23 17 19 16
6 6 6 6
Chọn C
Câu 29 Tình tổng S tất nghiệm phương trënh 2 cos 2x sin x cos x 3 0
trên khoảng 0; A S
6
B S 11
6
C S D S
Lời giải
Phương trënh 2 cos 2x sin x cos x 3 0
2
2 cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x
1 cos 2x
x k k
2
6 cos 2x
loại
Vì x 0; x ;5 7; ;11 S
6 6
(13)Chọn C
Câu 30 Tổng nghiệm phương trënh 3 sin x cos x
khoảng 0;
2
A 11 36
B
3
C 7
18
D
Lời giải
Điều kiện: sin x x k k
cos x
Phương trënh 3cos x 1sin x 3sin x 1cos x sin 2x
2 2
sin x sin x sin 2x
3
2 cos sin x sin 2x
4 12
x k2
12
sin x sin 2x k
11 k2
12 x
36
Vì x 0; x ;11 11
2 12 36 12 36 18
Chọn C
Câu 31 Tổng nghiệm phương trënh sin x cos x sin x cos x 1 0; 2
A B 2 C 3 D 4
Lời giải
Đặt t sin x cos x t 2, suy sin x cos x t2
Phương trënh trở thành: t2 t 1 t2 2t 0 t .
t
2
loại
Với t 1, ta sin x cos x cos x cos x
4
x 0;2
x k2
x k2 x k2 3
4 k x ; ; .
3 x k2 2
x k2
4
x k2
2
(14)Câu 32 Tổng tất nghiệm phương trënh sin 3x 4sin x
2
đoạn 0;
2
bằng A 3
7
B 3
C 37
70
D 36
35
Lời giải
Nhận thấy cos x 0 không nghiệm phương trënh Nhân hai vế phương trënh với cosx ta
2
3
1 sin 3x cos x sin x cos x cos x
2 sin 3x cos x cos x cos x sin 3x cos 3x cos x
k2 x
14
sin 6x sin x k
k2
2 x
10
0 k2 k k x 14.
5
14 k 1 x
14
0 k2 k k x 10.
10 k 1 x
2
Vậy tổng 36
14 14 10 35
Chọn D
Câu 33 Tổng tất nghiệm phương trënh sin 2x sin x 5sin x cos x 22 cos x
đoạn 0;100 A 7375
3
B 7475 .
3
C 14701 .
D 14850 .
Lời giải
Điều kiện: cos x
Phương trënh tương đương với sin 2x sin x 5sin x cos x 0
2
sin 2x cos x sin x 5sin x cos x sin x sin x 2 sin x
2 sin x sin x cos x
(15) x k2 k 0; 49
1
2 sin x sin x
5
2 x k2
6
loại
Vậy tổng nghiệm cần tính 49 49
k k
7375
k2 50 k
6
Chọn A
Câu 34 Tổng tất nghiệm phương trënh sin x3 2 sin x
4
đoạn 0; 2018
A 2018
B 4036
C 412485
D 824967
Lời giải
Phương trënh 3 3 3
sin x cos x sin x sin x cos x 4sin x
Nhận thấy cos x 0 không thỏa mãn phương trënh
Chia hai vế phương trënh cho cos x3 ta tan x 1 3 4 tan x tan x 1
3
3tan x 3tan x tan x tan x x k k
Vì x 0;2018 0 k 2018 k k 1;2;3; ;642
4
Vậy 642 642
k k
412485
S k 642 k
4
Chọn C
Câu 35 Tổng tất nghiệm phương trënh cos x tan x cos 2x2 cos x cos x 13
trên đoạn 0; 43 A 4220
3 B
4225 .
3 C
4230 .
3 D
4235 .
Lời giải
Điều kiện cos x 02 x k k .
2
Phương trënh sin x cos x cos 2x cos x cos x 12
2 2
4
2
1 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x
x k2
cos x
2 cos x cos x 1 k
x k2
cos x
3
0 k2 43 k 21 k k 0;1;2; ;21
2
(16) Tổng nghiệm S1 22 0 21 2 484
0 k2 43 k 64 k k 0;1; 2; ; 21
3
Tổng nghiệm S2 22 0 21 2 1408
3
0 k2 43 k 65 k k 1;2; ;21
3
Tổng nghiệm S3 21 1 21 2 455
Vậy tổng tất nghiệm phương trënh cho đoạn 0; 43
1
4225
S S S S
3
Chọn B
Câu 36 Cỵ giá trị tham số m thuộc tập E 3; 2; 1;0;1; 2 để phương trình 2m sin x cos x cos x m 5 cỵ nghiệm?
A 2 B 3 C 4 D 5
Lời giải
Phương trënh tương đương với m sin 2x cos 2x m 3.
Phương trënh cỵ nghiệm 2 2 2
m m 6m m
6
Mà m E m 3; 2; Chọn B
Câu 37 Cho phương trình m sin x sin x cos x 3m cos x 1.2 Tëm tất giá trị
tham số thực m để phương trënh cỵ nghiệm A m 0;4
3
B
4 m \ 0;
3
C
4 m 0;
3
D m0;34 Lời giải
Phương trënh m.1 cos 2x sin 2x 3m.1 cos 2x sin 2x m cos 2x 2m
2
Phương trënh cỵ nghiệm 1 m2 1 4m 4m2 3m2 4m 0 0 m 4.
3
Chọn C
Câu 38 Cho phương trënh 2
3 sin x
6 tan
2 .
sin x tan
Gọi S tập hợp tất giá trị
thực thuộc đoạn 0; 2 để phương trënh cỵ nghiệm Tổng phần tử tập S
(17)Điều kiện sin x
cos
Phương trënh tương đương với cos x
3sin 3sin sin x cos x sin x
1
Nếu sin x 0 cos x 1: không thỏa 1 Do đỵ phương trënh có nghiệm ln thỏa mãn điều kiện sin x 0.
Để phương trënh cỵ nghiệm
2
cos
3sin 16 25
2
cos cos k
cos , k :
sin sin
thỏa điều kiện
3
S ; ; ;
4 4
tổng
3 4
4 4
Chọn C
Câu 39 Cho phương trënh 4sin x .cos x m2 3 sin 2x cos 2x.
3
Gọi S a; b
tập tất giá trị tham số m để phương trënh cỵ nghiệm Tình a b.
A a b 2 B a b
C a b 0. D a b 4.
Lời giải
Ta có sin x cos x sin 2x sin
3 6
1 sin 2x cos sin cos 2x 1 3sin 2x 1cos 2x
2 6 2
Phương trënh tương đương với
2
2 m
3 sin 2x cos 2x m sin 2x cos 2x cos 2x
2
Phương trënh cỵ nghiệm 1 m2 1 0 m2 4 2 m 2
2
a
S 2;2 a b
b
Chọn C.
Câu 40 Cho phương trënh sin x cos x 3sin x cos x6 m 2 0.
4
Cỵ giá trị ngun tham số m để phương trënh cỵ nghiệm?
A 7 B 9 C 13 D 15
Lời giải
(18)2
1 3sin x cos x sin 2x
Phương trënh 1 3sin 2x 3sin x cos x2 m 2 0 3sin 2x 6sin 2x 12 m.2
4
Đặt t sin 2x t 1;1 3t2 6t 12 m 3 t 1 2 15 m.
Vì 2
1 t t 12
Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm 0 15 m 12 m 15
m
m 3; 4; 5; ;15
Chọn C.
Câu 41 Cho phương trënh
2
3
3tan tan x cot x m sin x
Cỵ giá trị ngun m nhỏ 2018 để phương trënh cỵ nghiệm?
A 2004 B 2008 C 2011 D 2012
Lời giải
Điều kiện: sin x x k k
cos x
Phương trënh viết lại
2
1
3 tan x tan x cot x m sin x
2
3 tan x cot x tan x cot x m
Đặt t tan x cot x. Điều kiện: t 2.
Phương trënh trở thành 3 t 2 1 t m3t2 t m 3.
Xét hàm f t 3t2 t ; 2 2;.
Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m 10 m 7
m
m 2018 m 7;8;9; ; 2017
Có 2011 giá trị
Chọn C
Câu 42 Tëm tất giá trị tham số m để phương trënh sin 4x m.tan x cỵ nghiệm x k
A m 1;
B
1 m ;
2
C
1 m ;
2
D m 1; Lời giải
Điều kiện cos x 0.
Phương trënh sin 2x.cos 2x m.sin x 4.sin x.cos x.cos 2x m.sin x
cos x cos x
*
Vì x k nên sin x 0 Khi đỵ * 4 cos x cos x 12 m
Đặt t cos x, với x k
cos x
suy t 0;1 Phương trënh trở thành
2
(19)Xét hàm f t 8t2 4t với t 0;1 , ta f t 4.
2
Do đỵ phương trënh cỵ nghiệm m
Chọn A
Câu 43 Cho phương trënh cos 2x2m cos x m 0. Tëm tất giá trị thực tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc khoảng ;3
2
A 1 m 1 B 1 m 0 C 1 m 0 D 1 m 0
Lời giải
Phương trënh
1 cos x cos x 2m cos x m
cos x m
Nhận thấy phương trënh cos x
khơng có nghiệm khoảng ;3 2
(Hình vẽ)
Do đỵ u cầu tốn cosx m có nghiệm thuộc khoảng ;3 m 2
Chọn C
Câu 44 Cho phương trënh cos x m cos x 2m 0.2 Cỵ giá trị ngun
của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trënh cỵ nghiệm?
A 8 B 9 C 10 D 11
Lời giải
Đặt t cos x t
Phương trënh trở thành t22 m t 2m 0 t2 2t 2m t 1
Xét t : 1 trở thành 0 (không thỏa mãn) Xét t : 1 t2 2t 2m.
t
Xét hàm f t t2 2t
t
với t 1;1 , ta có
2
t 2t
f ' t t 1;1
t
cos sin
O
m
(20)Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cỵ nghiệm 2m m
m
m 10;10 m 10; 9; 8; ;0
Có 11 giá trị Chọn D
Câu 45 Tëm tất giá trị tham số m để phương trình cos 4x cos 3x m sin x có
nghiệm thuộc khoảng 0; 12
A m 0;1
B m12; C m 0;1 D m 1;14 Lời giải
Ta có cos 3x2 cos6x cos 2x 3cos 2x3
2
cos 4x cos 2x 1.
Phương trình cho 2 cos 2x 12 cos 2x 3cos 2x cos 2x3 m
2
4 cos 2x cos 2x 3cos 2x2 1 cos 2x m
cos 2x m cos 2x cos 2x cos 2x 3. *
Đặt t cos 2x, với x 0; t 3;1
12
Khi
3
2
4t 4t 3t
* m 4t
t
Xét hàm f t 4t23 đoạn
;1 ,
ta
3;1 ,
3 ;1 ,
min f t max f t
Vậy để phương trình m f t có nghiệm m 0;1 Chọn C
Câu 46 Tëm tất giá trị tham số m để phương trënh sin x m cos x m có nghiệm x thuộc đoạn ;
2
A m
B m
2
C 1 m 3. D 1 m 3. Lời giải
Nếu dùng điều kiện có nghiệm: 2 2
4 m m 2m m
2
(đáp án A) thë
sai hồn tồn x ; 2
sin x quét hết tập giá trị 1;1 với cosx
khơng
Lời giải Đặt t tanx
, với x ; t 1;1 2
(21)Phương trënh trở thành 2
2
2t t
2 m m t 4t 2m
1 t t
Xét hàm f t t2 4t 1 đoạn 1;1 Tëm
1;1
1;1
max f t f t
Do đỵ u cầu tốn 2 2m 6 1 m 3. Chọn C
Câu 47 Cho phương trënh mx2 4 4 cos x.2 Tổng tất giá trị nguyên tham số
m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc khoảng 0;
A 54 B 35 C 35 D 51
Lời giải
Vì x 0;
nên phương trënh
2
4 cos x
m
x
Xét hàm f x cos x 12 x
với x 0; ,
2
ta có 3
2 cos x xsin x
f ' x 0, x 0;
x
Suy f x đồng biến 0;
nên x 0
x
1
lim f x f x lim f x f x
2
Vậy để phương trënh cho cỵ nghiệm 2 m 16
m m 19; 18; 17
Chọn A
Câu 48 Cho hàm số y f x cỵ bảng biến thiên hënh vẽ
x 2 1
f ' x
f x
3
1
Có số nguyên m để phương trënh f 3cos x 1 m
cỵ nghiệm?
A 2 B 3 C 9 D 13
Lời giải
Đặt t cos x 1 t
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t 2; 4 1 f t 3 Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm m m
2
(22)
m m 6; 5; 4; ; 2
Có giá trị Chọn C.
Câu 49 Cho hàm số f x liên tục , thỏa f x 3 với x 5 f x 3 với x 2, cỵ đồ thị hënh bên Cỵ giá trị ngun tham số m để phương trënh f 3sin x 2 f m cỵ nghiệm?
A 6 B 7
C 8 D
Lời giải
Đặt t 3sin x 2 1 t
Dựa vào đồ thị ta thấy f x đồng biến 1; 5 nên
f 3sin x 2 f m 3sin x m.
Mà 3sin x 2 1; 5m 1; 5 có giá trị nguyên Chọn B
Câu 50 Cho phương trënh 2 cos 3x2 3 2m cos 3x m 0. Tëm tất giá trị thực
của tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc khoảng ;
A 1 m 1. B 1 m 2. C 1 m 2. D 1 m 2. Lời giải
Với x ; 3x ;
6
Đặt t cos 3x t 1 Phương trënh trở thành 2t23 2m t m 0.
Ta có 2
2m
phương trënh cỵ hai nghiệm
1 t
t m
Ta thấy ứng với nghiệm t1
cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ;
Do đỵ u cầu tốn 1 t2 0 (tham khảo hình vẽ)
sin
O
cos
2
t 1
2
(23) 1 m 0 1 m 2. Chọn B.
Cách 2. Yêu cầu toán tương đương với phương trënh 2t23 2m t m 0 có hai
nghiệm t , t1 thỏa mãn
2
P t t a.f
a.f
Câu 51 Tëm tất giá trị tham số m để phương trënh sin 2x sin x m
cỵ nghiệm thuộc khoảng 0;3
A 3 m 1 B 3 m 1 C 1 m 1 D 1 m 1
Lời giải
Phương trënh viết lại sin 2x sin x cos x m.
Đặt t sin x cos x sin x ,
suy
2
sin 2x t 1 Với x 0;3 x ; t 0;
4 4
Phương trënh trở thành t2 t m. *
Xét hàm f t t2 t 3
0; 2 Ta có f ' t 2t 0, t 0;
Suy f t đồng biến 0; 2 kết luận f 0 m f 2 3 m 1
Thử lại m sin x
4
Có nghiệm x
thuộc 0;3
Lí dẫn đến sai lầm tốn u cầu có hai nghiệm khác với yêu cầu có nghiệm
Dựa vào đường trín lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy u cầu tốn phương trënh * cỵ nghiệm t thuộc 1; 2f 1 m f 2 1 m 1
Chọn D
O
sin
(24)Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 29 Câu 52 Cho phương trënh m sin x 3sin x cos x m 0.2 Gọi S tập tất giá trị
nguyên m thuộc đoạn 5; 5 để phương trënh cỵ nghiệm thuộc 0;3
Tổng
phần tử S
A 15 B 14 C 0 D 15
Lời giải
Phương trënh m sin x 1 3sin x cos x 0 3sin x cos x m cos x 0.
Nhận thấy cos x 0 không thỏa phương trënh Chia hai vế phương trình cho cos x2 ta
được tan x tan x m 0.2
Đặt t tan x , ta phương trënh bậc hai t23t m 0
Để phương trënh cho cỵ ba nghiệm thuộc 0;3
phương trënh
2
t 3t m 0 có
hai nghiệm trái dấu m
m 5;5
m m m 5; 4; 3; S 14
Chọn B
Câu 53 Cho phương trënh cos x cos 2x m cos x m sin x.2 Số giá trị nguyên
tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc đoạn 0;2
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Phương trënh 1 cos x cos 2x m cos x m cos x
1 cos x cos 2x m cos x 1m cos 2x
4
Với x 0;2
phương trënh cos x 1 vô nghiệm
Với x 0;2 2x 0;4
3
Dựa vào đường trín lượng giác, ta thấy yêu cầu
toán m m
4
cos sin
O
(25)Vì m m 3; Chọn B
Câu 54 Có số thực m để phương trënh
sin x cos x 2m cos x m 0 cỵ 4 nghiệm thuộc đoạn 0; 2?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Phương trënh
sin x 1 sin x cos x cos x m cos x
2 cos x m
sin x x k2 k ,
mà x 0;2 x
2
cos x x k2 k ,
2 x k2
3
mà x 0;2 x ,x
3
Do đỵ yêu cầu toán tương đương với phương trënh cosx m cỵ nghiệm 0;2 khác ,
3
(xem hình vẽ)
Từ đường trín lượng giác ta suy có hai giá trị m thỏa mãn m 1 m 0. Bởi vì:
Với m 1, phương rënh cos x 1 có nghiệm x thuộc 0;
Với m 0, phương rënh cos x 0 có hai nghiệm x
(trùng với nghiệm tình) x
2
thuộc 0;
1
cos sin
(26)Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Chọn B
Câu 55 Cho phương trënh sin x cos x cos 4x m.4 Cỵ giá trị nguyên
tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc đoạn ; 4
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Ta có sin x cos x4 1cos 4x.
4
Phương trënh 1cos 4x cos 4x m2 4 cos 4x cos 4x 4m 3.2
4 4
Đặt t cos 4x, với x ; 4x ; 4
nên t 1;1
Khi đỵ phương trënh trở thành 4t2 t 4m 3. *
Ứng với t 1;1 thë phương trënh cos 4x t cho ta hai giá trị
x ;
4
Với t 1 thë phương trënh cos 4x t cho ta giá trị x ; 4
Do đỵ u cầu tốn tương đương với * có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;1 Xét hàm f t 4t2t 1;1 Ta có f ' t 8t 1 f ' t 8t 1 t 1.
8
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán 4m 3 47 m
16 64
m m 1.
Vậy có giá trị nguyên Chọn A
Câu 56 Cho phương trënh sin x cos x cos x m 0. Tëm tất giá trị thực
tham số m để phương trënh cỵ 5nghiệm thuộc đoạn 0;
t
' f t
f t
1
3
1
1 16
0
(27)A 0 m
B m
4
C 0 m
4
D m
4
Lời giải
Phương trënh tương đương với
2
sin x
cos x cos x m
Đặt t cos x , với x0; 2 t 1;1 Phương trënh 1 trở thành t2 t m. 2
Phương trënh sin x 1 cỵ nghiệm x
thuộc đoạn 0;
Do đỵ u cầu tốnPhương trënh 1 có nghiệm phân biệt (khác
) thuộc đoạn
0; 2 phương trënh 2 có nghiệm phân biệt thuộc 1;1 \ 1;0
Xét hàm f t t2 t 1;0 0;1 Ta có f ' t 2t 1 f ' t 0 t 1.
2
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán m m
4
Chọn C.
Câu 57 Biết m m thë phương trënh sin2x5m sin x 2m 2m 0 có
đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3
Mệnh đề sau đúng?
A m0 3 B
1 m
2
C m0 7; 10
D
3
m ;
5
Lời giải
Đặt t sin x t 1
Phương trënh trở thành 2t25m t 2m 22m 0. *
Yêu cầu toán tương đương với:
Trường hợp 1: Phương trënh * có nghiệm t1 1 (cho nghiệm x)
một nghiệm t 1 (cho bốn nghiệm x) (Hình 1)
Do
1
c
t t m m
a
O
cos sin
O
Hình Hình
2 t
sin
(28)Thay t1 1 vào phương trënh * , ta
2
2
m t 0;1
1
m t 0;1
2
loại thỏa
Trường hợp 2: Phương trënh * có nghiệm t1 1 (cho hai nghiệm x)
nghiệm 1 t2 0 (cho ba nghiệm x) (Hình 2)
Do
1
c
t t m m
a
Thay t1 1 vào phương trình * , ta
2
2
m t 1;0
1
m t 1;0
2
loại loại Vậy m
2
thỏa mãn yêu cầu toán Do m 3;
2 5
Chọn D
Câu 58 Cỵ giá trị ngun tham số m thuộc đoạn 10;10 để số vị trì biểu diễn nghiệm phương trënh 1 cos 2x2 3 sin 4x m m sin 2x
3
đường
trín lượng giác 4?
A 8 B 9 C 10 D 12
Lời giải
Phương trënh sin 2x cos 2x2 m m sin 2x
Đặt t sin 2x cos 2x sin 2x sin 2x t
3
(điều kiện 2 t 2) Phương trënh trở thành: t2 m m t 2t2 mt 2m 0.
2
*
Ứng với t 2; 2 thë phương trënh sin 2x t
3
cho ta nghiệm có số vị
trí biểu diễn đường trín lượng giác Với t 2 thë phương trënh sin 2x
3
cho ta nghiệm có số vị trí biểu diễn
trên đường trín lượng giác
Với t 2 thë phương trënh sin 2x
cho ta nghiệm có số vị trí biểu
diễn đường trín lượng giác
Do đỵ u cầu tốn tương đương với phương trënh * có nghiệm t thuộc khoảng 2; 2 phương trënh * có hai nghiệm 2
(29)Với t 2; , ta có * m 2t2 f t t
Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu trường hợp m m
Trường hợp 2: Phương trënh * nhận 2 làm nghiệm
2
2
2 m 2m
: 2.2 2m 2m
vơ lí
Vậy m
m 10;10
m
m 0;3; 4;5; ;10 m
có giá trị
Chọn B
Câu 59 Biết phương trënh ax3bx2cx d 0 với a 0 cỵ hai nghiệm thực Hỏi
đồ thị hàm số y ax 3bx2 cx d cỵ điểm cực trị?
A 3 B 5 C 2 D 4
Lời giải
Vë phương trënh ax3bx2cx d 0 với a 0 cỵ hai nghiệm thực nên đồ thị hàm
số y ax 3bx2cx d cỵ hai điểm cực trị đỵ điểm cực trị nằm trục hoành
Các dạng đồ thị hàm số y ax 3bx2cx d
trường hợp mô tả sau:
Trường hợp 1: a 0
(30)Vậy với a 0 đồ thị hàm số y ax 3bx2cx d luïn cỵ ba điểm cực trị
ChọnA
Câu 60 Cho phương trënh m cos x m sin x 2m 3. Cỵ giá trị tham số m để phương trënh cỵ hai nghiệm x , x1 thỏa mãn
2
x x
3
A 0 B 1 C 2 D Vï số
Lời giải
Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 22 22
m m 2m m
2
Phương trënh
2 2
m cos x m sin x 2m
2m 2m 2m
x k2
cos x cos
x
với 2
m 2m
cos ;cos
2m 2m
Yêu cầu toán: x1 x2 2 k 2
3
2
cos k cos cos 2 cos
3 2
2
2
m 2m
2m 1
2 17
2 2m m
2m
7
thoûa mãn thỏa mãn Chọn C.
Câu 61 Cỵ số nguyên m để phương trình:
m sin m sin 3x sin 3sin x 4 sin x cỵ nghiệm thực?
A 4 B 5 C 8 D 9
Lời giải
Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trënh ta được:
(31)m sin 3x sin m sin 3x 3sin x sin 3sin x
Xét hàm f t t sin t Ta có f ' t 1 cost 0, t Hàm số f t đồng biến Suy m sin 3x 3sin x m sin x 4;
Chọn D.
Câu 62 Cho phương trënh 8sin x m3 3 162 sin x 27m. Cỵ giá trị ngun
tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thuộc khoảng 0;
?
A 1 B 2 C 3 D Vï số
Lời giải
Đặt u sin x, x 0; sin x 0; 3
nên u0;
Phương trënh trở thành: u3m3 81u 27m
3 3 3 3
u m 27 u m 3u 27 3u
*
Xét hàm f t t3 27t . Ta có f t 3t227 0, t hàm số f t đồng biến
Nhận thấy * có dạng f u 3mf 3u u3m 3u u33u m.
Xét hàm g u u33u, u 0; Khảo sát ta 2 g u 0.
Vậy phương trënh cho có nghiệm 2 m 0
m m 2;
Chọn B
Câu 63 Cho phương trënh 1 cos x cos 4x m cos x m sin x2 Tëm tất giá trị
m để phương trënh cỵ nghiệm phân biệt thuộc ;2
A m 1; 2
B m ; 1 1 ;
C m ;1 D m 1;1
2
Lời giải
Ta có:
1 cos x cos 4x m cos x m sin x2 1 cos x cos 4x m cos x m cos x 0
1 cos x cos 4x m cos x m cos x
cos x
cos 4x m
Xét phương trënh cos x 1 x k2 k Phương trënh cos x 1 nghiệm đoạn ;2
3
(32)Cách1
Xét phương trënh cos 4x m Đặt f x cos 4x Ta có: f ' x 4 sin 4x Xét f ' x sin 4x 4x k x k
4
k
Xét đoạn ;2
ta có: x ; ;4
Lập bảng biến thiên, ta thấy phương trënh cos 4x m cỵ nghiệm phân biệt đoạn ;2
3
m
Cách
Xét cos 4x m Ta có x ;2 4x 0;8
3
Với 4x0 ; \ m ;1 phương trënh cos 4x m có nghiệm Với 4x ;8
3
1
m ;1
2
phương trënh cos 4x m có nghiệm
Vậy phương trënh cỵ nghiệm phân biệt thuộc ;2
1
m ;1
2
ChọnD
Câu 64 Khẳng định sau phương trënh sau:
2
x 80
sin cos
x x 32x 332
?
A Số nghiệm phương trënh 8 B Tổng nghiệm phương trënh
C Tổng nghiệm phương trënh 48 D Phương trënh cỵ vï số nghiệm thuộc
Lời giải
Phương trënh cho tương đương với sin 2x sin 2 80
x x 32x 332
Ta biết hàm số y sin x đồng biến khoảng ; 2
Ta hàm số
2x f x
x
80 g x
x 32x 332
nhận giá trị khoảng
Thật vậy, ta có 2
2
x x
x 6 6x 2
80 80 80
0
x 32x 332 x 16 76 76
Từ đánh giá trên, xảy
2
x 80
x 6 x 32x 332
3
x 48x 332x 480
x x x 40
(33)Tổng nghiệm phương trënh cho 40 48 ChọnC
Câu 65 Có giá trị nguyên m để phương trënh sin x 2 3m sin x 2 có
nghiệm
A 2 B 3 C 1 D 0
Lời giải
Ta có sin x 2 3m sin x 2 Đặt
u sin x
1 u
v m sin x
Khi đỵ u23 sin x v m sin x
2
u v m
(*)
Ta lại có u v 2 v u * trở thành
3
2
u u 2 m 1
m u 5u 12u 10 f u
, 1 u 3
Trên , ta có f u 3u214u 12 , f ' u 0 u 13 1; 3
3
Để phương trënh cho cỵ nghiệm 1 có nghiệm u Hay f 13 m f 3
3
m 0;1 ) Vì m ngun Vậy có giá trị nguyên m thỏa đề
ChọnA
Câu 66 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh sin 2x sin x m
có
đúng nghiệm thực thuộc khoảng ;3
?
A 3 B 2 C 0 D 1
Lời giải
Ta có x ;3
4 x 4 0 sin x 41 0 sin x 4
Mặt khác sin x sin x cos x
(34)Phương trënh cho trở thành t2 1 t mt2 t m *
Xét f t t2 t 3 với t0 ; 2
Ta có f t 2t 1 Do đỵ f ' t 0 t 12 (loại)
Lập bảng biến thiên ta cỵ phương trënh * có nhiều nghiệm t Do đỵ để phương trënh cho cỵ nghiệm thực x thuộc khoảng ;3
4
t t
Với t thay vào phương trënh * : 2 m m 1
Với t 1 lập bảng biến thiên 3 m 1 có 2giá trị nguyên m 2 1 ChọnB.
Câu 67 Cho hàm số y x 33x2 cỵ đồ thị C điểm M m ; 4 Hỏi cỵ số
ngun m thuộc đoạn 10 ;10 cho qua điểm M cỵ thể kẻ ba tiếp tuyến đến C
A 20 B 15 C 17 D 12
Lời giải
Tập xác định: D Đạo hàm: y 3x2 6x
Ta nhận thấy đường thẳng x a với a tiếp tuyến C đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số bậc ba hai điểm phân biệt
Giả sử phương trënh đường thẳng qua M m ; 4 d : y k x m 4 với k hệ số góc đường thẳng
Qua M kẻ ba tiếp tuyến đến C hệ phương trënh
2
3
k 3x 6x
k x m x 3x
có ba nghiệm phân biệt
3x2 6x x m x3 3x2
có ba nghiệm phân biệt
3
2x m x 6mx
có ba nghiệm phân biệt
2
x 2x m x 6m
có ba nghiệm phân biệt
2
2x m x 6m
có hai nghiệm phân biệt khác
2
1 m
9m 30m
9 m 48m
m m
m
m
Với điều kiện với m 10 ;10 m
ta có m 10 ; ; ; ; ; ; ;10 Vậy có 17 số thỏa mãn u cầu tốn
(35)Câu 68 Cho phương trënh tan x sin x cos x m sin x cos x Cỵ tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trënh cỵ nghiệm x 0;
2
?
A 2018 B 2015 C 4036 D 2016
Lời giải
Với x 0;
cos x 0 , chia hai vế cho cosx, ta được:
3 tan x sin x cos x m sin x cos x
3 tan x tan x m tan x
tan x tan x 2 m
tan x
1
Đặt t tan x 1 , x 0; t 0;
Khi đỵ 1
2
3t t
g t m
t
2
Xét hàm
2
3t t g t
t
0;
4
2
3t 15t
g t 0, t
t
Suy để thỏa yêu cầu toán m g 0 0 Mà
m
m 2018;2018
Suy m1; 2; 3; ; 2018 ChọnA
Câu 69 Cỵ giá trị nguyên âm m để hàm số y x m x
đồng biến
5 ; ?
A 10 B 8 C 9 D 11
Lời giải
Tập xác định: D \ 2 Đạo hàm:
2
2
m x 4x m
y
x x
Xét hàm số f x x2 4x 3 5 ;
Đạo hàm: f x 2x 4 Xét f x 0 x y Ta có: f 5 8 Do 2
x 2 0 với x5 ; nên y 0, x 5 ; f x m,
x ;
Lập bảng biến thiên ta có m m 8
Mà m nguyên âm nên ta có: m ; ; ; ; ; ; ; 1 Vậy có giá trị nguyên âm m để hàm số y x m
x
đồng biến 5 ;
(36)Câu 70 Có giá trị nguyên m để phương trënh 8sin x m3 3 162 sin x 27m có
nghiệm thỏa mãn x
?
A 2 B 3 C.Vô số D 1
Lời giải
Đặt t sin x , với x
t0; 3
Phương trënh cho trở thành t3m3 81t 27m
Đặt u t 3 m t3 u m
Khi đỵ ta
3
u 27 3t m 3t 27 u m
3
u 3t 27 3t u
u327u 3t 327.3t *
Xét hàm số f v v327v liên tục có nên hàm số đồng biến
Do đỵ * u 3t t3 3t m 1
Xét hàm số f t t3 3t khoảng
0; có f ' t 3t23; f ' t 0 t 1 (vì t 0 )
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh 1 có nghiệm Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán ChọnA
Câu 71 Số nghiệm thuộc đoạn 0; 2017 phương trình cos x cos x cos x sin x
là
A 1283 B 1285 C 1284 D 1287
Lời giải
Điều kiện sinx 0; sin x.cos x0
1 cos x cos x 4 cos x 1 cos x 1 cos x 4sin x cos x sin x
2
2 cos x cos x 16 sin x cos x sin x 8sin x sin x
Trường hợp 1: sin x 0
sin x
sin x 1
sin x
1
1 sin x 8sin x 8sin x sin x
2 sin x
1
sin x
sin x x k2
2 x k2
6
vì sin x.cos x 0 nên x k2
(37)
arcsin
x k2
4
sin x
4 1
arcsi k
x n
Vì sin x.cos x 0 nên x arcsin k2
Trường hợp 2: sin x 0
sin x
sin x 1
sin x
1
1 sin x 8sin x 8sin x sin x
2
sin x
1
sin x x k2 sin x
2 x k2
6
vì sin x.cos x 0 nên x k2 7
arcsi
x k2 sin x 1 n arcs
x i k2
4 n
Vì sin x.cos x 0 nên x k2
arcsin
Xét nghiệm thuộc đoạn 0;2017
Với x k2 k2 20
6 17 k 320
có 321 nghiệm
Với x k2 k2 k2
4 10
arcsin 2017 k
10 20
có 321
nghiệm
Với x k2 k2
6
7 0 7 2017 0 k 320
có 321 nghiệm
Với x k2 13 k2 13 k2
4
arcsin 2017
0 10 k 320
có 321 nghiệm
(38)Câu 72 Gọi M, m giá lớn nhất, giá trị nhỏ m sï
2018 2018
y sin x cos x Khi đỵ: A M 2 , m 10081
2
B M 1 ,m 10091
2
C M 1 ,m 0 D M 1 ,
1008
1 m
2
Lời giải
Ta có: y sin 2018x cos 2018x sin x2 1009 1 sin x2 1009
Đặt t sin x , 0 t 1 hàm số cho trở thành y t 1009 1 t1009
Xét hàm số 1009 1009
f t t 1 t đoạn 0;1 Ta có: 1008 1008
f ' t 1009.t 1009 t ;
f ' t 01009t10081009 t 10080
1008
1 t
1 t
1 t t
t
2
Mà f 1 f 1, f 10081
2
Suy
0;1
max f t f f 1,
0;1 1008
1
min f t f
2
Vậy M 1 , m 10081
ChọnD
Câu 73 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y xyz z Giá trị lớn biểu thức
2
2
2
x yz 2x
P
y z x x
thuộc khoảng khoảng sau:
A 1, 3;1, 4 B 0,8;0,9 C 1,7;1,8 D 1, 4;1, 5
Lời giải
Từ giả thiết x y xyz z x.1 y.1 xy
z z
Đặt x tanA
, y tanB
tanC
z thay vào hệ thức ta
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2
Suy A, B, C ba góc tam giác Từ đỵ ta cỵ
2
2
2x 2 sinAcos A
2
x
2
2
x sin A
2
(39)
2
2 tanC tanB
1 yz 2 2
B C
y z tan tan 1
2
B C B C B C
cos cos tan tan tan tan
2 2 2
B C B C
cos cos tan tan
2 2
B C
sin sin Bsin C B C cos A
cos cos B C cos B C
2 B C cos 2
A B C A
cos cos cos
2 2
B C cos A A
cos 1 cos A
2 2 cos
1
Vậy P sinAcos2 A 2 sin2 AcosA
2 2
sin A sinA cosA
2
A
2 sin A.sin 2
Dấu đạt
B C sin A
A sin A B C x y z
ChọnD
Câu 74 Số giá trị nguyên m để phương trënh cos x2 cos x m m có nghiệm là:
A 4 B 2 C 3 D 5
Lời giải
Ta có: cos x2 cos x m m suy m 0
Đặt cos x m t , t 0 Phương trënh trở thành: cos x t m2
t cos x m
cos x t2 2 t cos x 0
cos x t cos x t 1 0 cos x t cos x t
Trường hợp 1: cos x t cos x m cos x cos x 02
cos x cos x m
Đặt u cosx 1 u 0
Xét f u u2u, ta có f u 2u 1 ;
f ' u u
Do đỵ với 1 u suy f u 0 với u 1;0 Suy f 1 f u f 2 f u 0
Để phương trënh cỵ nghiệm m 0; Vì m nên m0;1; 2
(40)Đặt v cosx , 1 v Ta có m v 2 v g v , g v 2v 0 v
2
Lập bảng biến thiên ta thấy để phương trënh cỵ nghiệm m 3;
Vì m nên
m 1; 2; Vậy có tất số nguyên m thỏa mãn toán ChọnA
Câu 75 Số nghiệm phương trënh: sin2015x cos 2016x sin 2017x cos 2018xcos 2x
10; 30 là:
A 46 B 51 C 50 D 44
Lời giải
Ta có: sin2015x cos 2016x sin 2017x cos 2018xcos 2x
2015 2016
sin x sin x cos x cos x cos 2x
2015 2016
sin x.cos 2x cos x.cos 2x cos 2x
cos 2x 02015 2016
sin x cos x
Với cos 2x 0 x k ,k
4
Vì x 10; 30 10 k 30
4
20 k 60
2
6 k 18
Với sin2015x cos 2016x 1 Ta có sin2015x sin x; cos 2016x cos x
Do đỵ 1 sin 2015x cos 2016x sin x cos x 1 suy sin x 0,cos x
sin x 1,cos x
Nếu sin x 0 x k ,k
Vì x 10; 30 10 k 30 10 30
3 k
Nếu sin x x k2 ,k
Vì x 10; 30 10 k2 30
k 15
4
1 k
Vậy số nghiệm phương trënh cho là: 13 25 44 ChọnD
Câu 76 Tổng nghiệm phương trënh 2 cos 3x cos 2x 1 1 đoạn 4 ;6 là: A 61 B 72 C 50 D 56
Lời giải
Xét sin x 0 x m : Thay vào phương trënh thấy không thỏa mãn Xét sin x 0 x m
2 cos 3x cos 2x 1 1 2 cos 5x cos x 2 cos 3x 1
2 sin x cos 5x sin x cos 3x sin x cos x sin x
(41)sin 6x sin 4x sin 4x sin 2x sin 2x sin x
sin 6x sin x
k2 x
5
l2 k,l x
7 x m
Trước tiên ta cần hai họ nghiệm x k2
x l2
7
khơng có giá trị trùng Thật giả sử l2 k2
7
k,l
14k 10l
Vơ lí 14k số nguyên chẵn 10l số nguyên lẻ Với
k2 x
5 x m x ;6
k 10; 9; 8; 14;15 k 10; 5;0;5,10,15
Các giá trị xcần loại bỏ 4 , 2 , 0, , , 6.Tổng giá trị 6
Với
l2 x
7 x m x ;6
l 14; 13; 12; 19;20 l 4; 11;3;10;17
Các giá trị xcần loại bỏ , 3 ,, , 5 Tổng giá trị 5
Vậy tổng nghiệm 15 20
k 10 l 14
k2 l2
S 50
5 7
ChọnC
Câu 77 Cho phương trënh 3 2 3 2 2 3 2
sin x m sin x m 2 sin x m Gọi S a; b tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trënh cỵ nghiệm thực Tính giá trị P a b2
A P 162 49
B P 49
162
C P 4 D P 2
Lời giải
Trường hơp 1: sin x m ta có 3 2
2m 0 m 0 Khi đỵ phương trënh cỵ nghiệm x k , k
Trường hơp 2: sin x m thë phương trënh cho tương đương
2
3 sin x m sin x m
sin x m sin x m
(42)Giải ta
3
3
sin x m 1 sin x m 1
m sin x m sin x m
sin x m sin x 7m
sin x m 8
2 sin x m sin x m
Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm thực
7m m
9 m
7 m m
7
Kết luận: Hợp hai trường hợp suy tập hợp tất giá trị thực tham số m cần tìm S 7;
9
2
2 9 162
P a b
7 49
ChọnA
Câu 78 Để phương trënh a2 2 sin x a2 2
1 tan x cos 2x
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn
điều kiện:
A a B a
a
C a 4 D a 1
Lời giải
ĐKXĐ: cosx cos2x 2
sin x 1 sin x
Ta có a2 2 sin x a2 2
1 tan x cos 2x
2 2
a cos x sin x a
2 2
a sin x sin x
2 sin x a
Để phương trënh cho cỵ nghiệm điều kiện 2 2 0;1 a 1 a
1 a
2 0;1 a
1 a
2
1 a
1 a
a a ChọnB.
Câu 79 Số cỵ ánh sáng thành phố X vĩ độ 40 bắc ngày thứ t năm khïng nhuận cho hàm số: d t 3sin t 80 12
182
, t t 365
Vào ngày năm thë thành phố X cỵ nhiều ánh sáng nhất?
A 262 B 353 C 80 D 171
(43)Ta có: d t 3sin t 80 12 182
3 12 15 Dấu xảy sin t 80
182
t 80 k2 k
182
t k
Mặt khác t0; 365 nên k 365 171 k 194 364 364
Mà k nên k 0 Vậy t 171
ChọnD
Câu 80 Cho phương trënh 4sin x cos x
3
2
a sin 2x cos 2x
1 Gọi n số giá trị nguyên tham số a để phương trënh 1 có nghiệm Tính n
A n 5 B n 3 C n 2 D n 1
Lời giải
Ta có 1 sin 2x
2
a sin 2x cos 2x
sin 2x
2
a
sin 2x
2
2
a
cos 2x
2
Phương trënh 1 có nghiệm a2 1
2 a 2, Do a nên a 0;a 1;a 2 Vậy n 5
ChọnA
Câu 81 Tổng tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số
3
y x 3mx 4m cỵ điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường phân giác gỵc phần tư thứ
A
2 B
1
2 C 0 D
1
Lời giải
Ta có: y 3x2 6mx, y 0 x
x 2m
Để hàm số có cực đại cực tiểu m 0
Khi đỵ điểm cực trị đồ thị hàm số A ; 4m 3, B 2m ;0
Ta có I m ; 2m 3 trung điểm đoạn thẳng AB
(44)3
2
2m 4m 1 2m 0 m
2
m 2m
Vậy tổng tất giá trị tham số thực m ChọnC.
Câu 82 Tìm m để phương trënh sin x sin x m
cỵ nghiệm
A 1 m
2 B m 1 C 0 m D m
2
Lời giải
Đặt t sin x t
, phương trënh trở thành
1
1 t t m
2
Nhận xét phương trënh ban đầu có nghiệm x phương trënh * có nghiệm
t ;
2
Xét hàm
1
f t t t
2
, với t 1;1
Ta có:
1
1 t t 2t
1 2 2
f ' t
2 t 2 t 2 t t 2 t t 1 t t
2 2
Ta có f ' t t
Lập bảng biến thiên ta thấy phương trënh cho cỵ nghiệm m
ChọnD
Câu 83 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y sin x đoạn 0; Các điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD hënh chữ nhật CD
3
Độ dài cạnh BC
A
2 B 1 C
1
2 D
2
Lời giải
O x
y
D C
(45)Gọi A x ; y A A, B x ; y B B Ta có:
B A
B A
B A B A
2
2 x x 1
x x
3
y y sin x sin x
Thay 1 vào 2 , ta được:
A A A A A
2
sin x sin x x x k2 x k
3
k
Do x 0; nên xA BC AD sin
6
ChọnC
Câu 84 Một vật nặng treo lí xo, chuyển động lên xuống qua vị trì cân (hënh vẽ) Khoảng cách h từ vật đến vị trì cân thời điểm t giây tình theo cïng thức h d đỵ d 5sin 6t cos 6t với d tình centimet
Ta quy ước d 0 vật vị trì cân bằng, d 0 vật vị trì cân Hỏi giây đầu tiên, cỵ thời điểm vật xa vị trì cân nhất?
A 0 B 4 C 1 D 2
Lời giải
Ta có h d 5sin 6t cos6t 41 sin 6t 41, với
5 cos
41 sin
41
Do đỵ vật xa vị trí cân hmax 41 sin 6t cos 6t
6t k t k
2 12
Trong giây đầu tiên, t k 1 k k 0;1
6 12 2
Vậy có lần vật xa vị trí cân ChọnD
Câu 85 Phương trënh sin x
x có nghiệm?
A Vï số nghiệm B Vï nghiệm C 3 nghiệm D 2 nghiệm
Lời giải
Vị trí cân
(46)Tập xác định: D \ 0
Phương trënh tương đương với sin x x 1
Số nghiệm phương trënh 1 số giao điểm đồ thị hai hàm sốy sin x y x Trên hệ trục Oxy vẽ đồ thị hàm số y sin x y x
Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số cắt ba điểm đỵ cỵ điểm có hồnh độ x 0 không thỏa mãn phương trënh Do vậy, phương trënh cỵ hai nghiệm phân biệt
ChọnD
Câu 86 Hàm số f x sinx tanx
4
cỵ chu kỳ tuần hồn nhỏ bao nhiêu? Biết sï T 0 gọi chu kỳ tuần hoàn f x f x f x T , x
A 10 B 24 C 8 D 14
Lời giải
Ta biết chu kỳ sin x 2
, chu kỳ tan x
với , 0.Do đỵ, chu kỳ sin , tanx x
4 ,6 Gọi T chu kỳ cần tìm ta cần có T T
,
8 6 số nguyên dương Do đỵ giá trị nhỏ cần tìm T 24
ChọnB
Câu 87 Cho phương trënh 3m m 3sin x sin x. Có giá trị nguyên
tham số m để phương trënh cỵ nghiệm?
A 2 B 3 C 5 D 7
Lời giải
Phương trënh m m 3sin x sin x 3
3
m 3sin x m 3sin x sin x 3sin x
Xét hàm f t t3 3t , t . Hàm đồng biến nên suy
3 3
f m 3sin x f sin x m 3sin x sin x m sin x 3sin x.
Đặt u sin x u , phương trënh trở thành m u 33u.
y
O
x
yx
2 sin
(47)Xét hàm g u u33u , u 1;1 Ta tìm
1;1
1;1
maxg u g u
Do đỵ, để phương trënh cho cỵ nghiệm
1;1 1;1
min g u m maxg u m
m m 2; 1;0;1;
Chọn C
Câu 88 Tập tất giá trị tham số m để phương trënh m m 1 sin x sin x
có nghiệm a; b Giá trị a b A 4. B 1
2 C 3. D
1 2.
Lời giải
Phương trënh m 1 sin x m 1 sin x 1 sin x sin x.
Xét hàm số
f t t t với t0; Hàm đồng biến 0; nên suy
f m 1 sin x f sin x m 1 sin x sin x m 1 sin x sin x m sin x sin x
Đặt u sin x , sin x 1;1 u 0; 2 Phương trënh trở thành: m u 2 u 1.
Xét hàm
g u u u với u 0; Ta có g' u 2u 1; g' u u
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm
5 m 1 2
4
5
a 1
4 a b
4 b
Chọn D
u
' g u
g u
0
1
5
0
1
(48)Câu 89 Cỵ giá trị ngun tham số m để phương trënh
3
sin x cos 2x 2 cos x m cos x m cos x m 2
cỵ nghiệm thuộc 0;2
?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Phương trënh tương đương với
3 3
2 sin x sin x 2 cos x m 2 cos x m 2 cos x m 2.
Xét hàm
f t 2t t với t 0. Ta có
f ' t 6t 1 f t đồng biến Mà f sin x f 2 cos x m ,3 suy
3
2
sin x
sin x cos x m
sin x cos x m
2
sin x cos x m
(vì sin x 0, x 0;2
3
)
2 3
1 cos x cos x m m cos x cos x
Đặt u cosx , x 0;2 u 1;1
3
Khi đỵ phương trình trở thành
3
m 2u u 1
Xét g u 2u3u21, có
1
u ;1
2
g ' u 6u 2u; g ' u
1
u ;1
3
Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m 28 m
27
m m 4; 3; 2;
Chọn D
Câu 90 Cho phương trënh sin 2x cos 2x sin x cos x 2 cos x m m 0.2 Có bao
nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ?
A 2. B 3. C 5. D 9.
Lời giải
Điều kiện: 2 cos x m 0.2
Phương trënh cho tương đương với
2
1 sin 2x sin x cos x cos 2x m cos x m
sin x cos x2 sin x cos x cos x m2 2 cos x m2
(49) 2 2
2
sin x cos x sin x cos x cos x m cos x m
Xét hàm
f t t t với t 0. Ta có f ' t 2t 0, t 0 Hàm số f t đồng biến Mà f sin x cos x f 2 cos m ,2 suy sin x cos x cos x m2
2 2 2
sin x cos x cos x m sin 2x cos x m sin 2x cos 2x m
Vì sin 2x cos 2x sin 2x ;
4
Phương trënh cho cỵ nghiệm m
2 m m 1;0;1
Chọn B
Câu 91 Cho phương trënh 4sin x m sin x 3sin x 4sin x m 2.3 Cỵ tất bao
nhiêu giá trị ngun tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ? A 18. B 19. C 20. D 21
Lời giải
Đặt a 4sin x m b sin x
Phương trënh trở thành:
3 3
a b a b 8
3 3 3
3 2 2
a b a b
a b a b 12 a b a b a ab b a b 3ab 6a 6b 12
3 a b a b
Với b 2 sin x 2 vô nghiệm
Với a 2 4sin x m 2 sin x m
4
Phương trënh cỵ nghiệm 1 m 1 4 m 12 m m 4;5;6; ;12
4
Với a b 0 3 4 sin x m sin x 0 m sin x sin x.3
Đặt t sin x t , ta m t3 4t.
Xét hàm
f t t 4t đoạn 1;1 , ta 5 f t 5 với t 1;1 Suy phương trënh cỵ nghiệm 5 m 5 m m 5; 4; ; 4;5
(50)Câu 92 Cho phương trënh 3 tan x sin x cos x m sin x 3cos x Có giá trị nguyên tham số m đoạn 2018; 2018 để phương trënh cỵ nghiệm thuộc 0;
2
?
A 2015 B 2016 C 2018 D 4036
Lời giải
Điều kiện: cos x 0.
Vì cos x 0 nên phương trënh tương đương với 3 tan x 2 tan x m tan x Đặt t tan x 1, x 0; t 1;
2
Khi đỵ phương trënh trở thành
3t 3t
3t t m t m
t
Xét hàm f t 3t23 3t
t
với t1; Ta có
4
2
3 t 5t
f ' t 0, t 1;
t
Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m 2
m 2018;2018
m m 3, 4, ,2018
Có 2016 giá trị
Chọn B
Câu 93 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh cos x2 cos x m m có
nghiệm
A 2 B 3 C 4 D 5
Lời giải
Đặt u cos x m , ta có hệ cos x u m2
u cos x m
Trừ vế theo vế ta được:
2 u cos x
cos x u u cos x u cos x cos x u
u cos x
u cos x 1, ta m cos x cos x 1
2 2
1 m cos x cos x m cos x cos x m ;3
u cosx, ta m cos x cos x cos x 2
m cos x cos x
2
cos x
m cos x cos x m 0;2
(51)Câu 94 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh cos x sin x m
cỵ nghiệm
A 2 B 3 C 4 D 5
Lời giải
Điều kiện: cos x k2 x k2
1 sin x
(Hình vẽ)
Phương trënh
m
m 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x
9
Đặt t sin x cos x t 3;
2
Phương trënh 1 trở thành 2 2t 2t2 2t 1 m2.
9
Xét hàm f t 2 2t 2t 22t 1 với t 3;
2
Ta có
2
4t
f ' t 0, t ;
2
2t 2t
Suy
max f t f 4
1
min f t f
2
Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm
2
m
3 3 3 m 6 2 1
9 m
m m 5;6;7;8;9
Chọn D
(52)Câu 95 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x sin sin x
A 1 1. B 0 C
2
2 D 0
Lời giải
Vì sin x sin x
3
Trên đoạn 0;
hàm số sin luïn tăng nên suy sin sin sin x sin3
hay sin sin x
3
Chọn D
Câu 96 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x 2 cos x cos 2x3 đoạn
; 3
A 3 1. B 1
4 C 19
27 1. D 3
Lời giải
Ta có f x 2 cos x cos 2x cos x cos x 1.3
Đặt t cos x, x ; t 1;1
3
Khi đỵ hàm số trở thành f t 2t32t2 1 với
t ;1
Khảo sát hàm số f t đoạn 1;1
, ta tëm
19 f x
27 max f x
Chọn C
Câu 97 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số 2018
y 5sin x Giá trị M m
A 220181 2 4036. B 22018. C 24036. D 26054.
Lời giải
Ta có 1 sin x 1 5 5sin x 5
hay 2018 2018
5 5sin x 5sin x 5sin x
Vậy giá trị lớn hàm số M 2 6054, giá trị nhỏ hàm số m 0
(53)Câu 98 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2
y sin x 4sin x 5 Tính P M 2m
A P 1. B P 7. C P 8. D P 2. Lời giải
Ta có y sin x sin x 5 sin x 2 21.
Do 2
1 sin x sin x 1 sin x
2 M 10 2
2 sin x 10 P M 2m
m
Chọn D
Câu 99 Giá trị nhỏ f x sin 22x cos 24x
x x
gần với số sau
đây?
A 1 B
C
4
D
8
Lời giải
Ta có
2 2
4x 2x 2x
cos cos 2 sin
x x x
Do đỵ
2
2x 2x
f x sin sin
x x
Đặt t sin 22x 1;1 , x
ta
2
f t 2t t Xét hàm f t 2t2 t 2 đoạn 1;1 , ta
1;1
min f t
Lời giải hợp lû xét kỹ khơng ổn 22x x
(xét hàm)
Khi đỵ t sin 22x sin 1;sin x
Tương tự trên, xét hàm f t 2t2 t 2 đoạn sin 1;sin , ta
2
sin1;sin1min f t f sin sin sin 0,25
Chọn C
Nhận xét. Bài toán hay tự luận, trắc nghiệm dùng MODE nhanh
Câu 100 Gọi m, M giá trị nhỏ lớn hàm số cos x sin x
y
2 cos x sin x
Tính S 11m M.
A S 10. B S 4. C S 6. D S 24. Lời giải
(54)Khi đỵ phương trënh y0 cos x sin x cos x sin x
có nghiệm
Ta có y0 cos x sin x 2y0 cos x y0 sin x 4y 0 cos x sin x
Phương trënh cỵ nghiệm 2 2 2
0 0
2y y 4y
2
0 0
M 2
11y 24y y 2 P
11 m
11
Chọn B
Câu 101 Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y sin x cos x sin 2x
Khi đỵ, M 3m
A 1 B 1 C 2 D 1 2.
Lời giải
Ta có
2
sin x cos x sin x cos x
y
2 sin 2x sin x cos x 1
Đặt u sin x cos x, điều kiện u Khi đỵ
2
u
y
u
Xét hàm
2
u y
u
đoạn ; Ta có
1 u
y ; y u
u u
Tính y 2 , y 2 , y 1
3
M max y
M 3m 1
m y
3
Chọn B
Câu 102 Biết giá trị nhỏ hàm số y 4 14 cos x cos x
cỵ dạng a b 2 với a, b
là số nguyên Tình S a b.
A S 3. B S 4. C S 5. D S 7. Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta
2
4 4
2
2
y 2
1 cos x cos x cos x cos x
Suy a S b
(55)Câu 103 Cho hàm số y 1 sin x 1 cos x 1. Gọi m, M giá trị nhỏ
nhất giá trị lớn hàm số Khi đỵ giá trị M m gần với số sau đây? A 5
2 B
7.
2 C
9.
2 D
11.
Lời giải
Xét 2
t sin x cos x
2 2 2
2
2
t sin x cos x 2 sin x cos x sin 2x t sin 2x 3
y sin x cos x
Dấu '' '' xảy sin 2x 0.
Lại có 1 sin x 1 cos x 12 121 sin x cos x 2 2
2
y sin x cos x 2
Dấu '' '' xảy sin x cos x.2
Vậy m M m 2 3, 56 M 2
Chọn B
Câu 104 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x sin2018x cos 2018x
A 10081
2 B 1009
1
2 C 0 D 1008
1
2
Lời giải
Đặt a sin x, b cos x. Ta có
sin2018x cos 2018x sin x cos x 1. Dấu " " xảy x k
2
1009 1009 1009
2018 2018
1008
a b a b
sin x cos x 2
2 2
Dấu " " xảy x k
4
Vậy giá trị nhỏ 10081 ;
2 giá trị lớn Chọn D
Câu 105 Cỵ giá trị tham số thực a để hàm số y cos x a sin x cos x
cỵ giá trị
lớn ?
A 0 B 1 C 2 D 3
(56)Ta có y cos x asin x y cos x 2 cos x asin x cos x
a sin x y cos x 2y
Phương trënh cỵ nghiệm 2 2 2 2 2
a y 2y 3y 2y a
1 3a2 y 1 3a2
3
Yêu cầu toán 1 3a2 1 1 3a2 2 1 3a2 4 a .
a
3
Chọn C
Câu 106 Cỵ giá trị nguyên tham số m thuộc 0;10 để hàm số m sin x
y
cos x
cỵ giá trị nhỏ nhỏ 2?
A 5 B 6 C 11 D 12
Lời giải
Ta có y m sin x y cos x 2 m sin x m sin x y cos x 2y cos x
Phương trënh cỵ nghiệm 2 2 2 2 2
y m 2y 1 3y 4y m 0
2
2 3m 3m
y
3
Yêu cầu toán 3m2 2 3m2 1 8 m2 21 m 21 .
3 m 21
m
m 0;10 m 5;6;7;8;9;10
Chọn B
Câu 107 Cho hàm số y sin x2 2 cos2 x 3 sin x a2
6
(với tham số) Gọi
m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đoạn ;2
Có bao
nhiêu giá trị nguyên a để m2 M 321
4
?
A 3 B 4 C 6 D 7
Lời giải
Ta có 2 cos2 x 3 sin x cos x 3 sin x 1 sin x .
2
Do đỵ y sin x2 2 sin x a2 1.
6
Đặt t sin x ,
2
x ; t 0;1
6
(57)Hàm số trở thành y 2t2 2t a2 1 t a2 1.
2
Vì t 1 t 1 t
2 2
Suy a2 2 t a2 a2 1.
2 2
2
2 2
2
1
m a 321 1 321
m M a a a
2
4
M a
Suy có 7giá trị nguyên thỏa Chọn D
Câu 108 Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số
4
y sin x cos 2x m Hỏi tập S cỵ phần tử?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Ta có sin x cos 2x sin x sin x 14 1 sin x 2 cos x4 y cos x m 4
Vì 0 cos x 1 m cos x m m.
Suy y m , m
Yêu cầu toán
m m
m
m
m
m m
m
Vậy S 3;
Chọn B
Câu 109 Cho x, y số thực thỏa mãn cos 2x cos 2y 1. Giá trị nhỏ biểu thức P tan x tan y
A 1
3 B
2.
3 D
8.
3 C 3
Lời giải
Ta có P 12 12 1
cos x cos y cos 2x cos 2y
Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta
2
1
P 2 2
2 cos 2x cos 2y
(58)Câu 110 Cho hàm số y f x xác định , thỏa mãn f tan x 1sin 2x cos 2x
với
mọi x ;
2
Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a b 1, giá trị nhỏ
biểu thức S f a f b A
25 B
1
C 5
2
D 5
Lời giải
Theo giả thiết, ta có f tan x tan x2 tan x tan x tan x 122 2
1 tan x tan x tan x
2
t t
f t
t
Do đỵ
2
2
1 a a
a a 5
S f a f b f a f a
a 1 a 1
Chọn C
Câu 111 Cho hai số thực x, y thuộc 0;
thỏa mãn cos 2x cos 2y sin x y 2
Giá trị nhỏ P cos x4 cos y4
y x
A
3 B
3.
C
2.
D
5.
Lời giải
Ta có cos 2x cos 2y sin x y 2 sin x sin y sin x y 2
Suy x y
Áp dụng BĐT cộng mẫu
2
2 a b
a b ,
m n m n
ta
2
2
2
2 cos x cos x 2
cos x cos y 2 cos x sin x 2
P
x y x y x y
Dấu '' '' xảy x y .
4
Chọn C
Nhận xét. Việc suy x y
chứng minh sau: Với x, y 0;
2
suy 2x, 2y thuộc 0;2 Trên đoạn 0; ,
2
(59) Nếu
x y sin x sin y cos y
2
x y
y x sin y sin x cos x
2
2
sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y sin x.cos y sin y cos x sin x y
Mâu thuẫn
Tương tự cho x y
Trường hợp x y :
thỏa mãn
Câu 112 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2b2c2 4. Tìm giá trị lớn M
tất hàm số y a b sin x c cos x với x 0;
A M 1 B M 1 C M 1 D M 1
Lời giải
Ta có a b sin x c cos x 2 a2 b2c21 sin x cos x
sin x 1
Suy a b sin x c cos x 1
Dấu '' '' xảy
4
2 2
b c
a 2 2 2
sin x cos x a ; b c
2 2
a b c
x
sin x 1, x 0; 4
4
Chọn C
Câu 113 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin 2ab sin a b 2ab a b 2.
Giá trị nhỏ biểu thức S a 2b A 2 10
2
B 3 10
C 2 10
2
D 2 10
2
Lời giải
Ta có sin 2ab sin a b 2ab a b 2
sin 2ab 2ab sin a b a b
Xét hàm f t sin t t với t Ta có f ' t cos t 0 Hàm số f t đồng biến Mà f 2ab f a b nên 2ab a b b a
2a
(vì b 0 a 2)
Khi đỵ S a 2b a 2a 2a
Khảo sát hàm số 0; ta
2 10
min S
2
(60)Chọn A
Câu 114 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos x y 1 cos 3xy 9xy 3x 3y.
Giá trị nhỏ biểu thức S x y 2 A 11
9
B
1 C 28
21
D 7
21
Lời giải
Ta có cos x y 1 cos 3xy 9xy 3x 3y
cos x y x y cos 3xy 3xy
Xét hàm f t cos t 3t với t Ta có f ' t sin t 0 Hàm số f t đồng biến Mà f x y 1 f 3xy nên x y 3xy x y
3y
Khi đỵ S y y 2 y2 3y
3y 3y
Khảo sát ta tëm
11
min S
9