Bài tập môn TOÁN 12A2,3 tải về TẠI ĐÂY

VAÁN ÑEÀ 1: Caùc pheùp toaùn veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm – Söû duïng caùc coâng thöùc veà toaï ñoä cuûa vectô vaø cuûa ñieåm trong khoâng gian.. – Söû duïng caùc pheùp toaùn v[r]

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản

u hàm số theo biến x, tức uu x( )

*Trường hợp đặc biệt uax b a , 0 *Nguyên hàm hàm số đơn giản

dx x C

 du u C

k dxk x C

 , k số

k duk u C



1 x

x dx C

      

 u du u 11 C

      

 ( ) ( )

1 ax b

ax b dx C

a           ln dx x C

x  

 1du ln u C

u  

 1ln

(ax b )dxa ax b C



1

2dx x C

x

  

 12

u u

dx  C 

1

2

dx x C

x  

 du u C

u  

 du 1.2 ax b C

a

ax b   



*Nguyên hàm hàm số mũ C

x x

e dxe 

 e duu euC eax bdx 1eax b C

a

   



C

x x

e dx e 

 eudu euC

,

ln C a

x a x

a dx

a   

 ln C

u a u a du a 

 ,

ln m

m

mx n a mx n

a dx C

a 



  



*Nguyên hàm hàm số lượng giác cos x dxsinxC

 cos u dusinuC cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a

   



sin x dx cosx C

 sin u du cosuC sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a       tan cos

dx x C x

 

 tan

2 cos u

du u C

 1tan( )

2

cos ( )

dx ax b C

a ax b      cot sin

dx x C

x

  

 cot

2 sin

du u C

u

  

 1cot ( )

2

sin ( )

dx g ax b C

a ax b

   





Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt uax b Ví dụ

1

cos sin

k

kx dx kx C

 , ( 2)

2

cos x dx sin 2x C k 



1

sin cos

k

kx dx  kx C

 sin x dx 12cos 2x C

1

C k

kx kx

e dx e 

 e2xdx12e2xC

1

1 ( )

( )

1 ax b

ax b dx C

a          

2

.(

2

1 (2 1)

(2x 1) dx x C 2x 1) C

1 ln

(ax b )dxa ax b C

 13ln

3x1dx x C



1

.2

du ax b C

a

ax b   

 31.2 23

3x5du x C x C



1

ax b ax b

e dx e C

a

   

 e2x1dx12e2x1C

,

1

ln m

m

mx n a mx n

a du C

a 



  



5

2

2 1

2

ln x x dx  C



1

cos(ax b dx) sin(ax b) C a

   

 cos(2x1)dx21sin(2x 1) C

1

sin(ax b dx) cos(ax b) C a

    

 sin(3x1)dx 13cos(3x 1) C

1

tan( )

2

cos ( )

dx ax b C

a ax b

  



 12tan(2 1)

2

cos (2 1)

dx x C

x

  





1

cot( )

2

sin ( )

dx ax b C

a ax b

   



 31cot(3 1)

2

sin (3 1)

dx x C

x

   





*Chú ý: Những cơng thức chứng minh cách lấy đạo hàm vế trái tính phương pháp đổi biến số đặt uax b du.?.dxdx.?.du

Ví dụ: Chứng minh cos(ax b dx) 1sin(ax b) C,a

a 

   



Giải: Đặt ( b dx) ' a dx dx 1.du a uax b du ax   

Suy cos(ax b dx) cos u du cos u du 1.sinu C 1sin(ax b) C

a a a a

       

  

I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất A/ Tìm ngun hàm hàm số

Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm tính chất

10

1

9

) ( ) - kq: ( )=

2

x

a f x  x F x  x C

2

) ( ) kq: ( )

ln x x x

b f x   x F x    x C

2

) ( ) +3 kq: ( ) 2ln ) ( ) 2sin kq: ( ) 2cos

cos

) ( )

c f x F x x x C

x

d f x x F x x C

x e f x

   

   

 kq: ( ) 1sin

3

F x  x C Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số

a f(x) = x2 – 3x +

x

ĐS F(x) =

3 3 ln

3 x

x x

C

b f(x) = 4 2 3 2 x x 

ĐS F(x) = C x x 3

2

c f(x) =

2 x

x 

ĐS F(x) = ln x xC  d f(x) =

2 ( 1) x x 

ĐS F(x) =

3 1 x x C x   

e f(x) = x3x4x ĐS F(x) =

4

3

3

2

2

3

x x x

C

  

f f(x) =

x  x ĐS F(x) =

3 2 x3 x C g f(x) =

2 ( x 1)

x 

ĐS F(x) = x4 xln x C h f(x) =

3 x

x 

ĐS F(x) =

5

3

x x C

2

6

5

) ( ) : ( )

3 1 5

2

) ( ) : ( )

8

2

) ( ) 3

x

i f x x x kq F x x x C

x

j f x x x kq F x x x x x C

k f x x x x

      

        

     : ( ) 2

21

1

2

) ( ) (2 )( ) : ( )

kq F x x x x x C

l f x x x x x kq F x x x C

x

     

 

      

* HD: gặp đẳng thức khai triễn đẳng thức, ví dụ: (a b )2a22ab b Bài : Tìm

1 ) ( 2)( 4) kq: ( )

3

1

2 2

) ( 3)( 1) kq: ( )

3 2

2

) 3( 3)

a x x dx F x x x x C

b x x dx F x x x x x C

c x dx

     



      

 

 kq: ( ) 27

2 1 2

) kq: ( )

3

2

)

F x x x x C

x x

g dx F x x x C

x x x h dx x            

2 3 2

kq: ( ) ln

3

3

2 2

) kq: ( )

2

( 2) 2

) kq: ( ) ln

2 ( 4) )

2

x

F x x x x C

x x

g dx F x x x C

x x

x

h dx F x x x C

x x i dx x                  

 kq: ( ) ln x 16

x

Bài Tìm

3

4

4

) ( 5) kq: ( )

1

3 2

) ( 1) kq: ( ) 2

2 ) ( )( 1)

a x x dx F x x x x C

b x x x dx F x x x C

x x c x x x x dx



     



          



  kq: ( ) 3

1 2

) (2 1)(1 ) kq: ( ) ln x

F x x C

x

d x dx F x x x x C

x

    

     



Bài 5: Tìm

2.3

) (2.3 ) kq: ( )

ln ln

2

) (2 ) kq: ( )

ln ln

) (3 5sin )

x x

x x

a dx F x C

x x

a x x

b a dx F x C

a x

c e x dx

x            

 kq: ( ) 5cos ln ) (2 ) kq: ( ) tan

2 os

) kq:

x

F x e x x C

x e

x x

d e dx F x e x C

c x x x

e dx F

   



   



 ( )

ln 90

) kq: ( )

ln 90 ) (2 ) kq:

)

x

x C

x x x x

f dx F x C

x x x

g e e e x C

x e h x dx

         

 kq: (1 ln 2)2

x e

C x  

Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết

2

) '( ) 1; (1) kq: f ( ) 3

2

) '( ) ; (2) kq: f ( )

3

1

) '( ) 2; (1) kq: f ( )

a f x x f x x x

x

b f x x f x x

x

c f x x f x

x

     

     

     2

2

2

8 40

) '( ) ; (4) kq: f ( )

3

3

) '( ) 2; ( 1) kq: f ( ) 3

3

) '( ) 1; (1) kq:

x x x x x

d f x x x f x

e f x x x f x x x x

f f x x x f

                      4 3 f ( )

4

3 ) '( ) ( 1)( 1) 1; (0) kq: f ( )

3

2

) '( ) 3( 2) ; (0) kq: f ( ) ( 2) x

x x x

x

g f x x x f x

h f x x f x x

  

      

Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết

2 1 5 ) '( ) ; ( 1) 2, (1) kq: f ( )

2 2 2

3

15 23

) '( ) ; (1) 4, (4) kq: f ( )

14 7

b x

a f x ax f f x

x x

x x

b f x f f x

       

    

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số

Tính I =  f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)dt u'(x)dx

I =  f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 (5x1)dx 



)

( x

dx

 52xdx 

1 2x

dx

5 (2x2 1)7xdx (x3 5)4x2dx  x2 1.xdx 

 dx

x x

5

2

9 

 x dx

x

3

2

3

10 



)

( x

x dx

11 dx x

x

ln3 12 x.ex21dx 13 sin4 xcosxdx 14  dx

x x

5

cos sin

15 cotgxdx 16  x tgxdx

2

cos 2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần

Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I

u(x).v'(x)dxu(x).v(x)v(x).u'(x)dx Hay

udvuvvdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 x.sinxdx xcosxdx (x2 5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx xsin2xdx xcos2xdx x.exdx lnxdx

9 xlnxdx 10 ln2 xdx 11  x xdx ln

12 e xdx 13  dx

x x

2

cos 14 xtg xdx

2

15 sin x dx 16 ln(x2 1)dx 17 ex.cosxdx 18 x3ex2dx 19 xln(1x2)dx 20 2xxdx 21 xlgxdx 22 2xln(1x)dx 23   dx

x x

2

) ln(

1 Định nghĩa phép toán

 Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng

 Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: ABBCAC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: ABAD AC

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta coù: ABADAA'AC'

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IB 0; OA OB 2OI

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC  0; OA OB OC  3OG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC GD   0; OA OB OC OD   4OG

+ Điều kiện hai vectơ phương: a b phương a( 0) !k R b: ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý

Ta coù: ;

1 OA kOB

MA k MB OM

k 

 



2 Sự đồng phẳng ba vectơ

 Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , a b khơng

phương Khi đó: a b c, , đồng phẳng ! m, n  R: c manb  Cho ba vectơ a b c, , không đồng phẳng, x tuỳ ý

Khi đó: ! m, n, p  R: xmanb pc

3 Tích vơ hướng hai vectơ

 Góc hai vectơ khơng gian:

0

, ( , ) (0 180 )

ABu AC v u v BAC BAC Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u v, 0 Khi đó: u v  u v .cos( , )u v

+ Với u0 hoặc v0 Qui ước: u v 0

+ u v u v 0

+

u  u

CHƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian:

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đơi chung điểm gốc O Gọi

, ,

i j k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ

tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz. Chú ý: 2

1

i  j k  vaø i j i k  k j 0

2 Tọa độ vectơ:

a) Định nghóa: u x y z; ;  u xiy jzk

b) Tính chất: Cho aa a a1; 2; 3,bb b b1; ;2 3,kR  a b  (a1b a1; 2b a2; 3b3)

 ka  (ka ka1; 2; ka3)

 12 12

3

a b

a b a b

a b  

   

  

 0(0;0;0),i (1;0;0), j(0;1;0), k (0;0;1)  a phương b b( 0)  akb k( R)

1

2 2

1 3

, ( , , 0) a kb

a a a

a kb b b b

b b b

a kb  

      

  

 a b a b1 1a b2 2a b3  a b a b1 1a b2 2a b3 30

 2 2

1

a a a a  a  a12a22a22

 1 2 3

2 2 2 2 3

cos( , )

a b a b a b a b

a b

a b a a a b b b

 

 

    (với a b, 0)

3 Tọa độ điểm:

a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )OM ( ; ; )x y z (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A x( A; yA; zA), B x( B; yB; zB)

 AB(xBxA;yBy zA; BzA)  AB  (xBxA)2(yByA)2(zBzA)2  Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): ; ;

1 1

A B A B A B

x kx y ky z kz

M

k k k

  

 

    

 

 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: ; ;

2 2

A B A B A B

x x y y z z

M    

 

 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:

; ;

3 3

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G       

 

 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:

; ;

4 4

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G          

 

4 Tích có hướng hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a( ,a a1 2,a3), b( ,b b b1 2, 3)

 

2 3 1

2 3 1 2

2 3 1

, a a ; a a ; a a ; ;

a b a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

 

         

 

 

Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất:

 i j, k; j k, i; k i,  j  [ , ]a b a; [ , ]a b b  [ , ]a b a b .sin a b,  a b, phương  [ , ]a b 

c) Ứng dụng tích có hướng:

Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a b, c đồng phẳng  [ , ].a b c0 Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD  AB AD, 

Diện tích tam giác ABC: ,

ABC

S  AB AC

Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD A B C D ' ' ' '  [AB AD AA, ] ' Thể tích tứ diệnABCD: 1[ , ]

6

ABCD

V  AB AC AD

Chú ý: – Tích vô hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng

góc, tính góc hai đường thẳng

– Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương

   

  

 

 

a b a b

a vaø b phương a b

a b c a b c

,

, , đồng phẳng , 5 Phương trình mặt cầu:

 Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

2 2

(x a ) (y b )  (z c) R  Phương trình 2

2 2

x y z  ax by cz d với a2b2  c2 d phương trình

mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = 2

a b  c d

Bài 1. Viết tọa độ vectơ sau đây:

2

a  i j; b 7i 8k; c  9k ; d 3i 4j5k

Bài 2. Viết dạng xi yjzk vectơ sau đây:

0; ; 2 a  

 ; b (4; 5;0) ;

4

; 0;

3

c  

 ;

1 ; ;

3 d   

 

Bài 3. Cho: a2; 5;3 ,b 0; 2; 1 ,c 1;7; 2 Tìm toạ độ vectơ u với:

a)

2

u a b c b) u a 4b2c c) u  b c

d) u3a b 5c e)

2

u a b c f)

4

u a b c

Bài 4. Tìm tọa độ vectơx, biết rằng:

a) a x với a1; 2;1  b) a x 4a với a0; 2;1 

c) a2xb với a5; 4; 1 , b 2; 5;3 

Baøi 5. Cho a(1; 3; 4)

a) Tìm y z để b(2; ; )y z phương với a

b) Tìm toạ độ vectơ c, biết a ngược hướng c c 2a

Baøi 6. Cho ba vectô a1; 1;1 ,  b 4;0; ,  c3; 2; 1  Tìm:

a)  a b c b) a2 b c c) a b2 b c2 c a2

d)  

3a2 a b b c b e) a cb25c2

Bài 7. Tính góc hai vectơ a b :

a) a4;3;1 , b   1; 2;3 b) a2;5; , b 6;0; 3 

c) a(2;1; 2), b (0; 2; 2) d) a(3; 2; 3),b ( 3; 3; 1)

e) a ( 4; 2; 4), b (2 2; 2;0) f) a(3; 2;1), b(2;1; 1)

Baøi 8. Tìm vectơ u, biết rằng:

a) (2; 1;3), (1; 3; 2), (3; 2; 4)

5, 11, 20

a b c

a u u b u c

      

     

 b)

(2;3; 1), (1; 2;3), (2; 1;1)

, ,

a b c

u a u b u c

      

    



c) (2;3;1), (1; 2; 1), ( 2; 4;3)

3, 4,

a b c

a u b u c u

      

   

 d)

(5; 3; 2), (1; 4; 3), ( 3; 2; 4)

16, 9,

a b c

a u b u c u

      

    



e) (7; 2;3), (4;3; 5), (1;1; 1)

5, 7,

a b c

a u b u c u

     

     



Bài 9. Cho hai vectơ a b, Tìm m để:

a) (2;1; 2), (0; 2; 2)

2

a b

u a mb vaø v ma b vuông góc

    



   



b) (3; 2;1), (2;1; 1)

3

a b

u ma b v a mb vuông goùc

    



   



c) (3; 2;1), (2;1; 1)

3

a b

u ma b v a mb phương

    



   



a) a 4, b

X a b

  

 

 

 b)

(2; 1; 2), 6,

a b a b

Y a b

      

 

  

c) 4, 6,  , 1200

,

a b a b

X a b Y a b

   

 

   

 d)

 

(2; 1; 2), 6, , 60 ,

a b a b

X a b Y a b

     

 

   



Bài 11. Cho ba vectơ a b c, , Tìm m, n để c a b, :

a) a3; 1; ,   b 1; 2;m,c 5;1;7

b) a6; 2; m,b 5; ; ,n   c6;33;10

c) a2;3;1 , b 5;6; , cm n; ;1

VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích.

– Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm khơng gian – Sử dụng phép tốn vectơ không gian

– Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt:

 A, B, C thẳng hàng  AB AC, phương  ABk AC  ABCD hình bình hành  ABDC

Bài 1. Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:

 Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz  Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a)M(1; 2;3) b) M(3; 1; 2)

Bài 2. Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M:

 Qua gốc toạ độ  Qua mp(Oxy)  Qua trục Oy a) M(1; 2;3)

Baøi 3. Xét tính thẳng hàng ba điểm sau:

a) A(1;3;1), (0;1; 2), (0;0;1)B C b) A(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)B  C 

Baøi 4. Cho tam giac ABC

 Tìm toạ độ trọng tâm G ABC

 Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành

a) A(1; 2; 3), (0;3;7), (12;5;0) B C b) A(0;13; 21), (11; 23;17), (1;0;19)B  C

Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm:

a) A(3;1;0), B( 2; 4;1) b) A(1; 2;1), (11;0;7) B c) A(4;1; 4), (0;7; 4)B 

Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm:

a) A(1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1)B  C  b) A( 3; 2; 4), (0;0;7), ( 5;3;3) B C 

Bài 7. Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz) điểm M

 Tìm tọa độ điểm M

a) A2; 1;7 ,   B 4;5; 2  b) A(4;3; 2), (2; 1;1) B  c) A(10;9;12), ( 20;3; 4)B 

Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

 Tìm toạ độ đỉnh cịn lại

a) A1;0;1 , B 2;1; , D 1; 1;1 ,  C' 4;5; 5   b) A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )2 3 B1 0 C 2 A  3

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R:

(S): 2 2

(x a ) (y b )  (z c) R

Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA

Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:

– Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: ; ;

2 2

A B A B A B

I I I

x x y y z z

x   y   z  

– Bán kính R = IA =

2 AB

Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2

2 2

x y z  ax by cz d (*)

– Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước:

Giải tương tự dạng

Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R mặt cầu (T)

– Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi)

Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 2

2 2

x y z  ax by cz d với 2

0

a    b c d

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = 2

a b  c d

Bài 1. Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) 2

8

x y z  x y  b) x2y2z24x8y2z 4

c) 2

2 4

x y z  x y z d) x2y2z26x4y2z860

e) 2

12 24

x y z  x y z  f) x2y2z26x12y12z720

g) 2

8 4

x y z  x y z  h) x2y2z23x4y0

i) 2

3x 3y 3z 6x3y15z 2 k) x2y2z26x2y2z100

Baøi 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R:

a) I(1; 3;5), R b) I(5; 3;7), R2 c) I(1; 3; 2), R5 d) I(2; 4; 3), R3

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A:

a) I(2; 4; 1), A(5; 2;3) b) I(0;3; 2), A(0;0;0) c) I(3; 2;1), A(2;1; 3)

d) I(4; 4; 2),  A(0;0;0) e) I(4; 1; 2), A(1; 2; 4) 

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:

a) A(2; 4; 1), B(5; 2;3) b) A(0;3; 2), B(2; 4; 1) c) A(3; 2;1), B(2;1; 3)

d) A(4; 3; 3),  B(2;1;5) e) A(2; 3;5), B(4;1; 3) f) A(6; 2; 5), B( 4;0;7)

Bài 5. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:

Bài 6. Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với:

a)  (1; 2; 0), ( 1;1;3), (2; 0; 1)

( ) ( )

A B C

P Oxz

 

 b) ( )(2; 0;1), (1;3; 2), (3; 2; 0)( )

A B C

P  Oxy

Bài 7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với:

a) 2

( 5;1;1)

( ) :

I

T x y z x y z

 

       

 b) 2

( 3; 2; 2)

( ) :

I

T x y z x y z

 

       