Bài tập trắc nghiệm lượng giác vận dụng cao

CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    cos 1  sin 1    cos 2  sin 2   cos 1 sin  1  45  cos 2 sin  2  45    cos 45  sin 45  cos 45 sin  45  45    cos 2 cos 45 45 cos 44.cos 43 cos 2.cos 1 sin 90  cos 1.cos 2 cos 43.cos 44 cos 45 cos 1       2 45        2      2 45  23  n  23 Chọn C Câu Tëm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn 1     0 0 0 sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135 sin n A n  B n  45 C n  46 D n  91 Lời giải 1    sin 45.sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135 sin 1 sin 1 sin 1  sin 1.P     sin 45.sin 46 sin 46.sin 47 sin 134.sin 135 Đặt P   sin 1.P  cot 45  cot 46  cot 46  cot 47   cot 134  cot 135  sin 1.P  cot 45  cot 135   P   n  sin 1 Chọn A Câu Cho góc  thỏa    A P  B P   sin   cos   Tính P  sin   cos   C P    D P   Lời giải Ta có  sin   cos     sin   cos     sin   cos    2 Suy  sin   cos      sin   cos     Do     4  suy sin   cos  nên sin   cos   Vậy P   Chọn D Câu Cho góc  thỏa mãn tan    A P  B P      3     ;   Tính P  sin  cos 2   C P   D P  Lời giải | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  3    3  Ta có P   sin  Với    ;     ;        0  sin    2 Khi đỵ  , suy P  sin  cos  2  1  cos     2 Từ hệ thức sin   cos   , suy sin    cos    16   tan  25  3  Vì    ;   nên ta chọn sin      Thay sin    vào P , ta P  Suy P   5 Chọn C       Câu Cho phương trënh cos  x    cos   x   Nếu đặt t  cos   x  3  6  6  phương trënh cho trở thành phương trënh đây? A 4t  8t   B 4t  8t   C 4t  8t    2  x   k D   x     k2   Lời giải       Ta có cos  x     sin  x     cos   x  3 3   6      Do đỵ phương trënh tương đương với 2 cos   x   cos   x    6  6       4 cos   x   cos   x    6  6    Nếu đặt t  cos   x  thë phương trënh trở thành 4t  8t    4t  8t   6  Chọn A Câu Biểu diễn tập nghiệm phương trënh cos x  cos 2x  cos 3x  đường trín lượng giác ta số điểm cuối A B C D Lời giải Ta có cos x  cos 2x  cos 3x   cos 2x cos x  cos 2x   k2    cos 2x  x     k   cos x    x     k2     điểm không trùng nên tập nghiệm phương trënh cho cỵ điểm biểu diễn đường trín lượng giác Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chọn D Câu Cỵ giá trị  thuộc  0; 2 để ba phần tử S  sin  , sin  , sin 3 trùng với ba phần tử T  cos  , cos  , cos 3 A B C D Lời giải Vì S  T  sin   sin   sin 3  cos   cos   cos 3  sin 2 cos   sin   cos  cos   cos   sin   cos     cos   cos       sin   cos 2    k   k   cos         k2      Thử lại ta thấy có    k  k   thỏa S  T   15 Vì    0;     k      k   k  0; 1; 2; 3 4  Chọn D Câu Phương trënh n  cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x cos n x  với n  * cỵ tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trënh sau đây? A sin x  B sin x  sin n x C sin x  sin n  x D sin x  sin n  x Lời giải Vì x  k không nghiệm phương trënh nhân hai vế phương trënh cho sin x, ta n 1  sin x cos x  cos 2x.cos 4x.cos 8x cos nx  sin x  n  sin 2x  cos 2x.cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  n  sin 2x.cos 2x  cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  n 1  sin 2 x  cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  sin n  x  sin x Chọn D Câu 10 Tình diện tìch đa giác tạo điểm đường trín lượng giác biểu diễn   nghiệm phương trënh tan x  tan  x    4  A 10 10 B 10 C D Lời giải  cos x  x   Điều kiện:     cos x      x  4    | Chinh phục olympic toán   k k    k  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  tan x   Ta có tan x  tan  x     tan x  1 4  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   x  k  tan x  tan x     k   tan x   x  arctan  k   Nghiệm x  k biểu diễn đường trín lượng giác hai điểm A, B (xem hình vẽ)  Nghiệm x  arctan  k biểu diễn đường trín lượng giác hai điểm M, N (xem hình vẽ) Ta có S AMN  1 AO.AT 10 10 MN.AH  MN    S AMBN  2 2 10 AO  AT Chọn B Câu 11 Nghiệm dương nhỏ phương trënh sin 5x  cos x  cỵ dạng a với b a, b số nguyên nguyên tố Tình S  a  b A S  B S  C S  15 D S  17 Lời giải Phương trënh tương đương với sin 5x   cos x  sin 5x   cos 2x  2  x   k     sin 5x  sin  2x     2   x  3  k   14  Nghiệm dương nhỏ  a    S  17 14 b  14 Chọn D Câu 12 Nghiệm âm lớn phương trënh sin x a   cot x  cỵ dạng  cos x  cos x b với a, b số nguyên, a  a, b nguyên tố Tình S  a  b A S  B S  C S  D S  Lời giải cos x  1 Điều kiện:   x  k  k  sin x  Phương trënh   sin x   cos x    cos x cos x  2 sin x sin x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  cos 2x    sin x  cos x   cos x  sin x   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    sin x  cos x   tan x  1  x    k  k     x   k2   N      cos x  sin x   sin  x     k   4   x    k2   L    a  1 S3  Nghiệm âm lớn    b  Chọn A     Câu 13 Cho phương trënh sin x  sin 5x  cos   x   cos   2x  Số vị trì biểu diễn 4  4  nghiệm phương trënh đường trín lượng giác là? A B C D Lời giải     2  cos   x    cos   2x    sin 2x      Ta có         cos   2x    cos   4x    sin 4x  4  2  Do đỵ phương trënh tương đương với sin x  sin 5x  sin 2x  sin 4x  sin 3x cos 2x  sin 3x cos x  sin 3x  cos 2x  cos x   k k    sin 3x   x    x  k2  cos 2x  cos x   cos 2x  cos x   k   x  k2    Hợp hai trường hợp ta nghiệm phương trënh cho x  k k2  = k    Có điểm biểu diễn đường trín lượng giác Chọn D Câu 14 Cho phương trënh sin x  cos x sin 2x  cos 3x   cos 4x  sin x  Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trënh     A  B  C  D 18 20 7 Lời giải sin x  sin 3x  sin 3x  sin x   cos 3x  cos 4x  2    sin 3x  cos 3x  cos 4x  sin  3x    cos 4x 3  Phương trënh  sin x  10 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  k2   x        42 k  sin  3x    sin   4x      3  2   x    k2     Suy nghiệm âm lớn  ; nghiệm dương nhỏ 42  Chọn A Câu 15 Nghiệm dương nhỏ phương trënh cos 3x  cos 2x    a cỵ dạng với b a, b số nguyên nguyên tố Tình S  a  b A S  B S  C S  15 D S  17 Lời giải Phương trënh  cos 3x cos 2x  cos 3x    cos 5x  cos x   cos 3x   cos x  cos 3x  cos 5x   Nhận thấy sin x   x  k  k   không thỏa mãn phương trënh  Nhân hai vế cho sin x ta sin x cos x  sin x cos 3x  sin x cos 5x  sin x  sin 2x   sin 4x  sin 2x    sin 6x  sin 4x   sin x k2   x   sin 6x  sin x   k   x    k2   7 Suy nghiệm dương nhỏ   a   S8 b  Chọn B Câu 16 Cho phương trënh sin 2018 x  cos 2018 x   sin 2020 x  cos 2020 x  Số vị trì biểu diễn nghiệm phương trënh đường trín lượng giác là? A B C D 2020 Lời giải Phương trënh  sin 2018 x   sin x   cos 2018 x   cos x    sin 2018 x.cos 2x  cos 2018 x cos 2x    cos 2x    2018 2018 sin x  cos x  k cos 2x   x   k     k  k    k Hợp hai trường hợp ta nghiệm phương trënh cho x   k   Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 11  sin 2018 x  cos 2018 x  tan 2018 x   tan x  1  x   CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Có điểm biểu diễn đường trín lượng giác Chọn B   Câu 17 Nghiệm âm lớn phương trënh tan 2018 x  cot 2018 x  sin 2017  x   cỵ dạng 4  a với a, b số nguyên, a  a, b nguyên tố Tình S  a  b b A S  3 B S  1 C S  D S  Lời giải tan 2018 x  cot 2018 x   Ta có   2017  2 sin  x       Do đỵ phương trënh tương đương với:  tan x  cot x x        sin  x    x       Nghiệm âm lớn    k   x   k2   k    k2    a  7   S  3 b  Chọn A Câu 18 Cho phương trënh 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x  dương nhỏ phương trënh cỵ dạng cos 2x Nghiệm  tan x a với a, b số nguyên nguyên tố b Tính S  a  b A S  B S  C S  D S  Lời giải cos x  Điều kiện:  tan x  Ta có cos 2x cos x  sin x   cos x  cos x  sin x  sin x  tan x 1 cos x Do đỵ phương trënh  2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x  cos x  sin x  cos x   2017  sin 2018 x  cos 2018 x   1   cos x   L    sin x  cos x   tan x  1  x    k  k    2017  sin 2018 x  cos 2018 x     2017  sin 2018 x  cos 2018 x   : Vô nghiệm 12 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN sin 2018 x  cos  a1009  b1009  ab x     2      2018  Nghiệm dương nhỏ 1009  1008 với a  sin x, b  cos x  a   S7 b  Chọn D 1    sin x sin 2x sin 4x Câu 19 Biết phương trënh x k2  với k  2a  b a, b  A S  2017    cỵ nghiệm dạng sin 2018 x , b  2018 Tính S  a  b B S  2018 C S  2019 D S  2020 Lời giải Điều kiện: sin 2018 x  cos a cos 2a cos a  cos 2a Ta có cot a  cot 2a     sin a sin 2a sin 2a sin 2a x   Do đỵ phương trënh   cot  cot x    cot x  cot 2x     cot 2017 x  cot 2018 x     x  cot  cot 2018 x  x x k2   cot 2018 x  cot  2018 x   k  x  2019 k  2 1  a  2019   S  a  b  2020 b  Chọn D Câu 20 Phương trình A sin x  cỵ nghiệm?  x 18 B C D Vï số Lời giải Điều kiện: x  Phương trënh sin x     sin x  x   x 18 18 Phương trënh   phương trënh hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  sin x (cỵ đồ thị màu xanh hënh vẽ) với đồ thị hàm số y  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học  x (cỵ đồ thị màu đỏ hënh vẽ) 18 Chinh phục olympic toán | 13 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt nên phương trënh  1 có nghiệm phân biệt  Đối chiếu điều kiện toán ta loại nghiệm x  nên phương trënh cho cỵ nghiệm Chọn B Câu 21 Phương trënh cos x  cos 2x  cos 3x   cos 4x  sin 2x   có nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  ? A 2565 B 2566 C 2567 D 2568 Lời giải Phương trënh    cos 2x     cos 4x     cos 6x    cos 4x sin 2x  cos 4x  cos 6x  cos 2x  cos 4x sin 2x  cos 4x cos 2x  cos 4x sin 2x   cos 4x  cos 2x  sin 2x    cos 4x   x     k k   ( cos 4x  cos 2x  sin 2x   cos 2x  sin 2x  cos 2x  sin 2x  nên chứa cos 2x  sin 2x ) Vì x   0; 2018         k  2018    k   2018    0,  k  2565, 39 8   k  0; 1; 2; 3; ; 2565 Vậy có 2566 nghiệm Chọn B Câu 22 Phương trënh   cos x   cos x     cos x  sin x cỵ nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  ? A 3025 B 3026 C 3027 D 3028 Lời giải Điều kiện:   cos x  sin x  Phương trënh   cos x  cos x  sin x  sin x cos x  cos 2x  cos x  sin 2x  sin x  3x x 3x x cos  sin cos  2 2 x 3x 3x   cos  sin  cos   2 2  x   cos   loaïi  3x  2   tan  1  x    k k  3x 3x sin  cos 0  2  cos   2 1  Vì x   0; 2018      k  2018   k   2018     k  3027, 25 6   k  1; 2; 3; ; 3027 Vậy có 3027 nghiệm 14 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Chọn C     Câu 23 Phương trënh sin  3x  9x  16x  80   cỵ nghiệm ngun 4  dương? A B Phương trënh  C   D Lời giải  3x  9x  16x  80  k  3x  9x  16x  80  4k  9x  16x  80  3x  4k 3x  4k  2 9x  16x  80  9x  24kx  16k  1 2   9k    98 2k  10 98 Phương trënh    x   9x    3k    3k  3k  3k  Vì x   k   x  12  nên ta cần có 3k   1; 2;7; 14; 49; 98   k   x  k  17  x  12  loaïi   k Chọn B   Câu 24 Phương trënh sin x  cos  x    cỵ nghiệm thuộc khoảng 4   0; 2017  ? A 4032 B 4033 C 4034 D 4035 Lời giải  cos 2x  sin x  Ta có  cos x  sin x  cos  x    4   4   cos 2x    Phương trënh    cos x  sin x         2    cos 2x     sin 2x   2    cos 2x  sin 2x    x  k    sin  2x     k   x    k     Vì x   0; 2017   nên   k  2017    k  2017  Có 2016 nghiệm Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 15 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Tập xác định: D  \0 Phương trënh tương đương với sin x  x   Số nghiệm phương trënh   số giao điểm đồ thị hai hàm số y  sin x y  x Trên hệ trục Oxy vẽ đồ thị hàm số y  sin x y  x y yx y  2sin x x O Từ đồ thị ta thấy, đồ thị hai hàm số cắt ba điểm đỵ cỵ điểm có hồnh độ x  không thỏa mãn phương trënh Do vậy, phương trënh cỵ hai nghiệm phân biệt Chọn D Câu 86 Hàm số f  x   sin x x  tan cỵ chu kỳ tuần hồn nhỏ bao nhiêu? Biết sï T  gọi chu kỳ tuần hoàn f  x  f  x   f  x  T  , x  A 10 B 24 C 8 D 14 Lời giải Ta biết chu kỳ sin x 2  , chu kỳ tan x với  ,   Do đỵ, chu   x x T T kỳ sin , tan 8 ,  Gọi T chu kỳ cần tìm ta cần có số , 8  ngun dương Do đỵ giá trị nhỏ cần tìm T  24  Chọn B Câu 87 Cho phương trënh m  3 m  sin x  sin x Có giá trị nguyên tham số m để phương trënh cỵ nghiệm? A B C D Lời giải Phương trënh  m  3 m  sin x  sin x  m  sin x  3 m  sin x  sin x  sin x Xét hàm f  t   t  3t , t  Hàm đồng biến nên suy f   m  sin x  f  sin x   m  sin x  sin x  m  sin x  sin x Đặt u  sin x  1  u  1 , phương trënh trở thành m  u  3u Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 51 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC max g  u    1;1 Xét hàm g  u   u  3u , u   1; 1 Ta tìm  g  u   2 min  1;1 Do đỵ, để phương trënh cho cỵ nghiệm  g  u   m  maxg  u   2  m  1;1  1;1   m  2; 1; 0; 1; 2 m Chọn C Câu 88 Tập tất giá trị tham số m để phương trënh m  m    sin x  sin x có nghiệm  a; b  Giá trị a  b A B  2 D   C Lời giải   Phương trënh  m    sin x  m    sin x    sin x    sin x Xét hàm số f  t   t  t với t   0;   Hàm đồng biến  0;   nên suy f   m    sin x  f   sin x   m    sin x   sin x  m    sin x   sin x  m  sin x   sin x Đặt u   sin x , sin x   1; 1  u  0;  Phương trënh trở thành: m  u  u  1 Xét hàm g  u   u  u  với u  0;  Ta có g '  u   2u  1; g '  u    u  Bảng biến thiên u g' u 0 g u Dựa vào bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm  a    a  b       m  1   4 b    Chọn D 52 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 89 Cỵ giá trị ngun tham số m để phương trënh sin x   cos 2x    cos x  m   cos x  m   cos x  m   2  cỵ nghiệm thuộc 0;  ?   A B C D Lời giải Phương trënh tương đương với sin x  sin x   cos x  m   cos x  m   cos x  m   f  t  đồng biến Xét hàm f  t   2t  t với t  Ta có f '  t   6t    Mà f  sin x   f   cos x  m  , suy sin x  sin x  cos x  m    sin x  cos x  m   2   sin x  cos x  m  (vì sin x  0, x  0;  )     cos x  cos x  m   m  2 cos x  cos x   2    Đặt u  cos x , x  0;   u    ; 1 Khi đỵ phương trình trở thành     m  2u  u      u     ; 1   Xét g  u   2u  u  , có g '  u   6u  2u; g '  u         u      ; 1    m  1 Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm   4  m   28  27 m   m  4; 3; 2; 1 Chọn D Câu 90 Cho phương trënh sin 2x  cos 2x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ? A B C D Lời giải Điều kiện: cos x  m  Phương trënh cho tương đương với  sin 2x  sin x  cos x   cos 2x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x  cos x  m  cos x  m Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 53 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   sin x  cos x   sin x  cos x   cos x  m  2 cos x  m Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến Mà f  sin x  cos x   f   cos  m , suy sin x  cos x  cos x  m   sin x  cos x   cos x  m   sin 2x  cos x  m  sin 2x  cos 2x  m   Vì sin 2x  cos 2x  sin  2x      ;   4   m  m  1; 0; 1  Phương trënh cho cỵ nghiệm    m   Chọn B Câu 91 Cho phương trënh sin x  m  sin x  sin x  sin x  m   Cỵ tất giá trị nguyên tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ? A 18 B 19 C 20 D 21 Lời giải  a  sin x  m Đặt  Phương trënh trở thành: a  b  a  b    b  sin x   a  b    a3  b3    a  b    a  b   12  a  b    a  b   a  ab  b     a  b  3ab  6a  6b  12     a  b  a   b     Với b   sin x  vô nghiệm  Với a   sin x  m   sin x  Phương trënh cỵ nghiệm 1  8m 8m m    m  12   m  4; 5; 6; ; 12  sin x  m  sin x   m   sin x  sin x  Với a  b   Đặt t  sin x  1  t  1 , ta m   t  4t Xét hàm f  t   t  4t đoạn  1; 1 , ta 5  f  t   với t   1; 1 m  m  5;  4; ; 4; 5 Suy phương trënh cỵ nghiệm  5  m   Hợp hai trường hợp ta 18 giá trị nguyên m (vì m  4, m  lặp lại) Chọn A 54 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 92 Cho phương trënh tan x   sin x  cos x   m  sin x  cos x  Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2018; 2018 để phương trënh cỵ   nghiệm thuộc  0;  ?  2 A 2015 B 2016 C 2018 D 4036 Lời giải Điều kiện: cos x  Vì cos x  nên phương trënh tương đương với   tan x   tan x   m  tan x     Đặt t  tan x  , x   0;   t   1;    2 Khi đỵ phương trënh trở thành 3t  t    m  t    m  3t  3t t2   t  5t   3t  3t  0, t   1;   Xét hàm f  t   với t   1;   Ta có f '  t   t 2  t2   Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m     m  3, 4, , 2018  Có 2016 giá trị m m 2018;2018 Chọn B Câu 93 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh cos x  cos x  m  m có nghiệm A B C D Lời giải cos2 x  u  m  Đặt u  cos x  m , ta có hệ  u  cos x  m   Trừ vế theo vế ta được:  u   cos x cos2 x  u  u  cos x    u  cos x  cos x  u      u  cos x    u  cos x  1, ta m  cos x  cos x   1  m  cos x   cos x  1  u   cos x, ta 3   m  cos x  cos x   m   ;  4   cos x  m  cos x   cos x   m  cos x  cos x  cos x    m  cos x  cos x  m  0;  Vậy m  0; 1; 2; 3  Có số nguyên dương thỏa mãn Chọn C Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 55 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 94 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh  cos x   sin x  m cỵ nghiệm A B C D Lời giải 1  cos x   2 Điều kiện:     k2   x   k2  (Hình vẽ)  sin x   m   Phương trënh   m2  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x         1   Đặt t  sin x  cos x  t   ; 2   m2 Phương trënh   trở thành  2t  2t  2t   sin cos  1   Xét hàm f  t    2t  2t  2t  với t   ;    Ta có f '  t     1    0, t   ;  2t  2t    4t    max f  t   f    Suy   1     min f  t   f       m2   4  Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm   m    1 3 1 m 6 1 m   m  5; 6;7; 8; 9 Chọn D 56 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   Câu 95 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   sin  sin x  3  A 1 B C  3 2 D Lời giải Vì  sin x      sin x  3      Trên đoạn 0;  hàm số sin luïn tăng nên suy sin  sin  sin x   sin 3   3   hay  sin  sin x   3  Chọn D Câu 96 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   cos x  cos 2x đoạn      ;  A 3 B C 19 27 D 3 Lời giải Ta có f  x   cos x  cos 2x  cos x  cos x     1  Đặt t  cos x, x    ;   t   ; 1  3 2  1  Khi đỵ hàm số trở thành f  t   2t  2t  với t   ; 1 2  1  Khảo sát hàm số f  t  đoạn  ; 1 , ta tëm 2  19  min f  x   27  max f  x    Chọn C Câu 97 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y    sin x  2018 Giá trị M  m A 2018   4036  B 2018 C 4036 D 6054 Lời giải Ta có 1  sin x    5 sin x  5 hay 5  5 sin x   2   sin x      sin x  2018  2018 Vậy giá trị lớn hàm số M  6054 , giá trị nhỏ hàm số m  Chọn D Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 98 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sin x  sin x  Tính P  M  2m A P  B P  C P  D P  Lời giải Ta có y  sin x  sin x    sin x    Do 1  sin x   3  sin x   1    sin x    M  10    sin x     10    P  M  2m  m   Chọn D  2x   4x  Câu 99 Giá trị nhỏ f  x   sin    cos    gần với số sau  x 1  x 1 đây? B  A 1 C  D  Lời giải 2x  4x   2x  Ta có cos    cos     sin x 1  x 1  x 1 2x 2x Do đỵ f  x   2 sin 2  sin  x 1 x 1 2x Đặt t  sin   1; 1 , ta f  t   2t  t  x 1 Xét hàm f  t   2t  t  đoạn  1; 1 , ta f  t   1  1;1 Lời giải hợp lû xét kỹ khơng ổn 1  Khi đỵ t  sin 2x  (xét hàm) x 1 2x    sin 1; sin 1 x 1 Tương tự trên, xét hàm f  t   2t  t  đoạn   sin 1; sin 1 , ta f t   f   sin   2 sin   sin  2  0, 25  sin1;sin1  Chọn C Nhận xét Bài toán hay tự luận, trắc nghiệm dùng MODE nhanh Câu 100 Gọi m, M y giá trị nhỏ lớn hàm số cos x  sin x  Tính S  11m  M cos x  sin x  A S  10 B S  C S  D S  24 Lời giải Gọi y giá trị hàm số 58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN cos x  sin x  có nghiệm cos x  sin x  cos x  sin x  Ta có y0    2y   cos x   y   sin x   4y cos x  sin x  Khi đỵ phương trënh y0  Phương trënh cỵ nghiệm   2y     y      4y  2 M  2   11y  24y     y0     P  11 m   11 Chọn B Câu 101 Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y  sin x  cos x   sin 2x Khi đỵ, M  3m A 1 B C D  2 Lời giải sin x  cos x  sin x  cos x  Ta có y   2  sin 2x sin x  cos x    Đặt u  sin x  cos x, điều kiện u  Khi đỵ y  u1 Xét hàm y   u 1  Tính y   u1 u2  đoạn   ;  Ta có y  1 ,y     , y  1  u 1u  1 u  ; y   u  M  max y      M  3m  m  y   Chọn B Câu 102 Biết giá trị nhỏ hàm số y  cỵ dạng a  b với a, b   cos x cos x số nguyên Tình S  a  b A S  B S  C S  D S  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta y  1  2     2  cos x cos x  cos x  cos x a  Suy   S  b  Chọn C Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 59 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 103 Cho hàm số y   sin x   cos x  Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi đỵ giá trị M  m gần với số sau đây? 11 A B C D 2 2 Lời giải  Xét t   sin x   cos x  t    sin x     cos x     sin x   cos x    2  sin 2x  t    sin 2x      y   sin x   cos x   Dấu ''  '' xảy sin 2x   Lại có 1  sin x   cos x   12   sin x   cos x   2  y   sin x   cos x   2  Dấu ''  '' xảy sin x  cos x m   Mm  2 1 Vậy  M  2  3, 56 Chọn B Câu 104 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   sin 2018 x  cos 2018 x A 1008 B 1009 C D 1008 Lời giải Đặt a  sin x, b  cos x Ta có   sin 2018 x  cos 2018 x  sin x  cos x  Dấu "  " xảy  x  k 1009  a1009  b1009  ab  sin x  cos x    1008   2  2       Dấu "  " xảy  x   k Vậy giá trị nhỏ 1008 ; giá trị lớn 2018 2018 Chọn D Câu 105 Cỵ giá trị tham số thực a để hàm số y  cos x  a sin x  cỵ giá trị cos x  lớn ? A B C D Lời giải 60 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Ta có y  cos x  a sin x   y  cos x    cos x  a sin x  cos x   a sin x    y  cos x  2y  Phương trënh cỵ nghiệm  a    y    2y    3y  2y  a     3a   3a y 3 a  1   3a Yêu cầu toán     3a    3a    a  1 Chọn C Câu 106 Cỵ giá trị nguyên tham số m thuộc y  0; 10  để hàm số  m sin x cỵ giá trị nhỏ nhỏ 2 ? cos x  A B C 11 D 12 Lời giải Ta có y   m sin x  y  cos x     m sin x  m sin x  y cos x   2y cos x  Phương trënh cỵ nghiệm y  m   2y    3y  4y   m  2  3m   3m   y 3 Yêu cầu toán   m  21  3m   2  3m    m  21    m   21 m   m  5; 6;7; 8; 9; 10 m0 ;10  Chọn B   x Câu 107 Cho hàm số y  sin  x    cos    sin x  a (với tham số) Gọi 6  2   2  m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đoạn  ;  Có bao 6  321 nhiêu giá trị nguyên a để m  M  ? A B C D Lời giải  x  Ta có cos2    sin x  cos x  sin x    sin  x   6 2      Do đỵ y  sin  x    sin  x    a  6 6       2  Đặt t  sin  x   , x   ;   t  0; 1 6 6   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 61 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  1 Hàm số trở thành y  2t  2t  a    t    a   2 Vì  t    Suy a  2 1 1  1  t    0  t    2  2 1  1   t    a   a  2  2  2 321 321 m  a   1    a     a2  1   3  a   m M  2  M  a   Suy có giá trị nguyên thỏa Chọn D Câu 108 Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos 2x  m Hỏi tập S cỵ phần tử? A B C D Lời giải Ta có sin x  cos 2x  sin x  sin x     sin x   cos x  y  cos x  m Vì  cos x   m  cos x  m   m Suy y   m , m     m  m    m    m  3   Vậy S  3; 2 Yêu cầu toán   m2    m   m    m  Chọn B Câu 109 Cho x, y số thực thỏa mãn cos 2x  cos 2y  Giá trị nhỏ biểu thức P  tan x  tan y A B D C Lời giải    1    Ta có P              2  cos x   cos y    cos 2x  cos 2y     1  2     Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta P     cos 2x  cos 2y  21   Chọn B 62 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 110 Cho hàm số y  f  x  xác định , thỏa mãn f  tan x   sin 2x  cos 2x với    x    ;  Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a  b  1, giá trị nhỏ  2 biểu thức S  f  a  f  b  A 25 B  C 53 D 53 Lời giải Theo giả thiết, ta có f  tan x   tan x  tan x tan x  tan x  t2  t     f t     tan x  tan x  tan x t2  a2  a    a     a     Do đỵ S  f  a  f  b   f  a  f   a   a2  1  a  Chọn C   Câu 111 Cho hai số thực x, y thuộc  0;  thỏa mãn cos 2x  cos 2y  sin  x  y    2 Giá trị nhỏ P  A 3 B cos x cos y  y x  C  D  Lời giải Ta có cos 2x  cos 2y  sin  x  y    sin x  sin y  sin  x  y  a b2  a  b   Suy x  y  Áp dụng BĐT cộng mẫu   , ta m n mn 2  cos P x  cos y  xy Dấu ''  '' xảy  x  y    2  cos x  cos   x    cos x  sin x         xy xy   Chọn C  chứng minh sau:     suy  x,  y thuộc  0;  2  2 Nhận xét Việc suy x  y    Với x, y   0;   2   Trên đoạn 0;  , hàm y  sin x đồng biến  2 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 63 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC     x   y  sin x  sin   y   cos y    2   Nếu x  y     y    x  sin y  sin    x   cos x    2   sin x  sin y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x.cos y  sin y cos x  sin  x  y  Mâu thuẫn   Tương tự cho x  y    Trường hợp x  y  : thỏa mãn Câu 112 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn M   tất hàm số y  a  b sin x  c cos x với x   0;   4 A M   B M    C M    D M   Lời giải  Ta có a  b sin x  c cos x   a 2  b2  c    sin x  cos x       1  sin  x           Suy a  b sin x  c cos x   b c   24 2 a  sin x  cos x a  ;b  c     2 2 Dấu ''  '' xảy  a  b  c        sin  x    1, x   0;  x  4     Chọn C Câu 113 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin   2ab   sin  a  b   2ab  a  b  Giá trị nhỏ biểu thức S  a  2b A 10  B 10  C 10  D 10  Lời giải Ta có sin   2ab   sin  a  b   2ab  a  b   sin   2ab     2ab   sin  a  b    a  b  Xét hàm f  t   sin t  t với t  Ta có f '  t   cos t    Hàm số f  t  đồng biến Mà f   2ab   f  a  b  nên  2ab  a  b  b  2a (vì b   a  ) 2a   2a 10  Khảo sát hàm số  0;  ta S  2a  64 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Khi đỵ S  a  2b  a  TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Chọn A Câu 114 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos  x  y     cos  3xy   9xy  3x  3y Giá trị nhỏ biểu thức S  x  y   A 11  B C 28  21 D 72 21 Lời giải Ta có cos  x  y     cos  3xy   9xy  3x  3y  cos  x  y     x  y    cos  3xy    3xy  Xét hàm f  t   cos t  3t với t  Ta có f '  t    sin t    Hàm số f  t  đồng biến Mà f  x  y    f  3xy  nên x  y   3xy  x  Khi đỵ S  y1 3y   y  1 y    y2  3y  Khảo sát ta tëm S  11  3y  3y  Chọn A Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 65 ... trùng nên tập nghiệm phương trënh cho cỵ điểm biểu diễn đường trín lượng giác Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chọn... CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt điểm phân biệt nên phương trënh  1 có nghiệm phân biệt  Đối chiếu điều kiện toán ta loại nghiệm. .. 2017  Có 2016 nghiệm Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 15 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  0  8067  k  2017     k   Có 2017 nghiệm 4 Vậy có