Tài liệu tự học Môn Toán 11(GDPT)_Tuần 22

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q.. Số q đgl công bội của cấp s[r]

Tuần 22 Tiết 42

CHƯƠNG III: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §3 CẤP SỐ CỘNG

I Định nghĩa

Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng đều số hạng đứng trước cộng với số không đổi d

Số d đgl công sai cấp số cộng

un+1=un+d với n∈N¿ Đặc biệt d = cấp số cộng dãy số không đổi II Số hạng tổng quát

Định lí 1:

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công

thức:

un  u1 n 1d n2

III Tính chất số hạng cấp số cộng Định lí 2:

1

k k

k

u u

u   



với k2.

Chú ý: a, b, c CSC 



   2

2 a c

b a c b

IV Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Định lí 3:

I DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG 1 Phương pháp

* Dãy số  un cấp số cộng  un1 un d  n 2, d số * Dãy số  un cấp số cộng

1 1, 2

k k

k

u u

u    k

   

2 Các ví dụ.

     

   

 



1

1

( )

2

2 ( 1)

n

n n

n u u

S u u u

n u n d

A LÝ THUYẾT.

CÁC DẠNG BÀI TẬP B

Lời giải Ta có un un1 6n 5 6n15 6

Vậy  un cấp số cộng với công sai số hạng đầu u111 II DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG 1 Phương pháp

Cho cấp số cộng  un với công sai d Để xác định yếu tố : u1(số hạng cấp số cộng),

d, un(số hạng thứ n cấp số cộng), Sn(tổng n số hạng đầu cấp số cộng), n ta áp dụng

công thức sau :

a) un1und với n* c) un u1n1d với n2

b)

1

2

k k

k

u u

u    

với k2 d)

 

n n

n u u S  

Lời giải

Ta có :

4 1

1

14 1

3 12

21

13 13 18

u u d u d d

u

u u d u d

    

  

 

  



    

  .

9

u u d

   21 8.3 3 Vậy u9 3

Lời giải

Ta có :

2

5 20

29

  



  

u u

u u

1

1

41 20

2

2 10 29 7



  

 

   

 

  



u d u

u d d

Cho dãy số có số hạng tổng quát Chứng minh cấp số cộng

Ví dụ 1

Cho cấp số cộng có Tìm

Ví dụ 2

Cho cấp số cộng có , Tìm

12 11

u u d

    

41 11 7 113

2

   

Vậy 12

113 u 

Lời giải Ta có un  u1 n1d, suy 41 4 n1 3    n16. Với điều kiện n *, n16thỏa mãn.

Lời giải Ta có un  u1 n1d, suy 83 3 n1 4  n21. Vậy số 83 số hạng thứ 21

Lời giải Gọi u1 số hạng đầu cấp số cộng  un .

Vì un 5n nên u15.1 7 2 Áp dụng công thức

 

n n

n u u

S  

, suy

 

2 817

2

n  n  

Hay

19

5 1634 86

5 n

n n

n   

   

 

 .

Với điều kiện n *, ta tìm n19.

III DẠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG

Cho dãy số cấp số cộng có , cơng sai Tìm ?

Ví dụ 4

Cho dãy số cấp số cộng có công sai Hỏi số 83 số hạng thứ mấy?

Ví dụ 5

Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát , biết tổng số hạng đầu cấp số cộng Tìm

1 Phương pháp:

Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a c 2b b a c b   .

Ba số lập thành cấp số cộng chúng có dạng a d a a d , ,  với d cơng sai cấp số cộng

Bốn số lập thành cấp số cộng chúng có dạng a ,d a d a d a ,  , 3d với 2d công sai cấp số cộng

Lời giải

Ba số: 2 x, 2x21, 2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi

2x21 1 2 x  2x 2x21

2

4

2

x x

   

Vậy

3 x

IV DẠNG 4: ỨNG DỤNG CỦA CẤP SỐ CỘNG 1 Phương pháp

B1: Phân tích tốn để xem thử giả thiết cho có tạo thành cấp số cộng ? B2: Xác định yếu tố cấp số cộng u u S d n1, , , , n n 

B3: Tính yếu tố mà tốn yêu câu theo công thức cho B4: Kết luận

Lời giải Gọi un (triệu) số tiền thi cơng tầng thứ n

Khi đó, ta có u12 un1 un 0,5,n1

Dãy số  un cấp số cộng với u12 công sai d 0,5 nên có Vậy tổng số tiền thành phố X phải trả là:

   

1 81

81 81 81 2.2 80.0,5

1782

2

u d

S        

(triệu)

Xác định để số: , , theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Ví dụ 7

Thành phố X muốn thi công xây dựng thông noel đặt trung tâm thành phố Giá thi công tầng thứ triệu đồng, tầng tăng ngàn đồng tiếp tục tầng Hỏi thành phố X phải trả chi phí thi cơng bao nhiêu?

Lời giải Gọi un số cầu tầng thứ n

Khi đó, ta có u1 1 un1 un3,n1

Dãy số  un cấp số cộng với u11 cơng sai d 3 nên có

 

1

2 3

2

n

n u n d n n

S       

Theo giả thiết, ta có

2

10045

n  n



82 n

  .

Vậy có thơng có 82 tầng.

Câu Cho cấp số cộng  un , biết: un 3,un15 Lựa chọn đáp án

A d 8.B d 2 C d 9. D  d 8.

Câu Cho cấp số cộng  un có u1 5;u8 30 Công sai cấp số cộng

A B C 5. D 6.

Câu 3.Cho cấp số cộng  un có u12 công sai d 3 Số hạng tổng quát un

A un 3n B un 3n C un 2n3 D un 3n2

Câu Cho cấp số cộng  un có số hạng đầu u18, cơng sai d 5 Biết un 12 Tìm n

A 2 B 3.C D 5

Câu Cho Cho cấp số cộng  un có số hạng đầu u13, cơng sai d 7 Tính tổng 12 số hạng đầu tiên. A 426 B 852.C 996. D 948.

Câu Cho cấp số cộng  un có số hạng đầu u12, công

Ở thành phố X muốn thiết kế thông khổng lồ để chào mừng ngày lễ Giáng sinh năm Cứ tầng người ta treo pha lê theo quy tắc tầng đặt tầng nhiều tầng tiếp tục cho hết cầu Hỏi thơng thiết kế tầng?

Ví dụ 9

sai d 10 Số hạng thứ 20 cấp số cộng là: A 198 B 188. C 202 D 192.

Câu Cho cấp số cộng  un với

2

3

10 17

u u u

u u

  

 

 

 Tìm số

hạng đầu công sai cấp số cộng

A 3. B 3.

C 1. D 2.

Câu Số hạng đầu u1 công sai d Cấp số cộng thỏa

mãn: 12 14 129 u u S     

 là:

A u d          .B u d        

 . C

1 u d          .D u d         

Câu Một tam giác vng có chu vi 3 độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài cạnh tam giác là:

A

;1;

3 3. B

1 ;1; 4. C

3 ;1;

4 4. D

1 ;1; 2.

Câu 10 Cho cấp số cộng có u5 + u31 = 24 Tổng 35 số

hạng cấp số cộng là:

A 240 B 480

C 420 D 840

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.A 4.D 5.A

6.B 7.A 8.D 9.C 10.C

LUYỆN TẬP - CẤP SỐ CỘNG I DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG 1 Phương pháp

* Dãy số  un cấp số cộng  un1 un d  n 2, d số * Dãy số  un cấp số cộng

1 1, 2

k k

k

u u

u    k

   

Câu 1. Trong dãy số sau, dãy số cấp số

cộng?

A ; 3; 7;11; 15 B ; 2; 4; 6; 8. C ; 3; 5; 7; 9 D ; 3; 6; 9; 12.

Câu Trong dãy số sau, dãy cấp số cộng? A 1;2;4;7;11; B

1 ; ;1; ; ; 3 3 . C 5; 3; 1;3;5;   D 1;2;4;8;16;

Câu Cho cấp số cộng  un có số hạng tổng quát là

n

u  n Tìm cơng sai d cấp số cộng.

A d 3. B d2.

C d 2. D d3.

II DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG 1 Phương pháp

Cho cấp số cộng  un với công sai d Để xác định yếu tố : u1(số hạng cấp số cộng),

d, un(số hạng thứ n cấp số cộng), Sn(tổng n số hạng đầu cấp số cộng), n ta áp dụng

công thức sau :

c) un1und với n* c) un u1n1d với n2

d)

1

2

k k

k

u u

u    

với k2 d)

 

n n

n u u S  

Câu Cho cấp số cộng  un có u1 32 cơng sai d 8 Tổng 10 số hạng cấp số cộng A 80 B S10 40 C S10 200 D S10 40 Câu Cho cấp số cộng có u12 u9 14 Tổng 2019

số hạng đầu cấp số cộng bằng: A. 3059794,5 B. 3029

C. 359794,5 D. 3000

Câu Cho cấp số cộng có u1 1 S23 483 Công sai cấp số cộng là:

Câu Người ta cần trồng 10000 theo hình tam giác cân sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ trồng cây, hàng thứ tư trồng cây,… (xem hình vẽ) Hỏi có hàng trồng?

A 200. B 50.

C 100 D 150

Câu Bạn An cần xếp 15 cột đồng xu theo thứ tự cột thứ có đồng xu, cột tăng ba đồng cột so với cột đứng trước Hỏi bạn An cần đồng xu để xếp?

A 543 (đồng xu). B 345 (đồng xu). C 453 (đồng xu). D 435 (đồng xu)

Câu Cho cấp số cộng  un gọi Sn tổng n số hạng Biết S7 168 S12 438 Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng

A un  5 4n B un  3 2n C un  2 3n D un  4 5n

Câu 10 Cho cấp số cộng có u11 cơng sai d 2 Tổng n số hạng cấp số cộng

9800 n

S  Giá trị n là

A 100 B 99

C 101 D 98

Câu 11 Cho cấp số cộng  un có u4 12, u14 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số cộng

C S16 25 D S16 24

Câu 12 Cho cấp số cộng  un có u5 15, u20 60 Tổng 10 số hạng cấp số cộng là: A S10 125 B S10 250

C S10 200 D S10 200

Câu 13 Cho cấp số cộng  un có u1 1 cơng sai d 2 Tổng S10 u1u2u3 u10 bằng:

A S10 110 B S10 100

C S10 21 D S10 19

Câu 14 Cho cấp số cộng  un , n * có số hạng tổng quát

n

u   n Tổng 10 số hạng cấp số

cộng

A 59048. B 59049.

C 155. D 310

Câu 15 Cho cấp số cộng  un , biết u15, d 2 Số 81 số hạng thứ bao nhiêu?

A 100 B 50 C 75 D 44

Câu 16 Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước. Họ thuê đội khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó?

A 4.000.000 đồng B 10.125.000 đồng C 52.500.000 đồng D 52.500.000 đồng

A 4095000 đồng. B 89000 đồng. C 4005000 đồng. D 3960000 đồng.

III DẠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG Câu 18 Giữa số 22 viết thêm ba số nào

sau để thành cấp số cộng có số hạng? A 5;10;15 B 6;10;14

C 7;12;17 D 8;14; 20

Câu 19 Tìm m để phương trình x3 3x2 9x m 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

A.m10 B m11.

C m12. D m9.

Câu 20: Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức 3x2y A 50.B 70

C 30.D 80

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.B 3.A 4.D 5.A

6.D 7.C 8.B 9.D 10.A

11.D 12.A 13.B 14.C 15.D

16.B 17.C 18.C 19.B 20B

Câu Cho cấp số cộng  un : 2, , 6, .a b Tích ab bằng? A 32.B 40.

C 12.D 22

Câu Cho cấp số cộng  un gọi Sn tổng n số hạng Biết S7 77 S12 192 Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng

A un  5 4n B un  3 2n C un  2 3n D un  4 5n

Câu Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng  un có u9 5u2 u13 2u65

A u13 d 4 B u13 d 5 C u1 4 d 5 D u14 d 3

Câu Cho cấp số cộng  un có u1123, u3 u15 84 Số hạng u17

A 235. B 11.

C 96000. D 81000

Câu Cho cấp số cộng  un , biết: u3 7,u4 8 Lựa chọn đáp án

A  d 15. B d 15 C d 3. D d 1

Câu Cho cấp số cộng  un , biết: un 3,un15 Lựa chọn đáp án

A d 8.B d 2 C d9. D  d 8.

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.A

Tuần 22 Tiết 43

§4 CẤP SỐ NHÂN

I Định nghĩa

Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng đều số hạng đứng trước nhân với số khơng đổi q

Số q đgl công bội cấp số nhân *

1 ,

n n

u  u q   n

Đặc biệt:

 d = CSN: u1, 0, 0, …, 0, …

 q = CSN: u1, u1, …, u1, …

 u1 = CSN: 0, 0, …, 0, …

II Số hạng tổng quát

Định lí 1:

Nếu CSN (un) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức:

1

n n

u u q 



với n 

hay 1

k k k

u  u  u 

♣ Chú ý: a, b, c CSN  b2 ac

IV Tổng n số hạng đầu CSN Định lí 3:

Cho cấp số nhân  un với công bội q1. Đặt Sn u1u2 u  n

Khi :

 

 

1

1

n n

u q

S , q

q



 



Chú ý: Nếu q1 cấp số nhân u , u , u ,  , u ,  1 1 Sn nu 1

I DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHAI TRIỂN CẤP SỐ NHÂN Chứng minh dãy  un cấp số nhân.

+ Chứng minh un1 u qn , n q số không đổi + Nếu un   0, n ta lập tỉ số

1 n

n

u k

u  

*k số thì un cấp số nhân có cơng bội q k . *k phụ thuộc vào n  un khơng cấp số nhân.

2 Để chứng minh dãy  un cấp số nhân, ta cần ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn

3

2

u u

u u

3 Để chứng minh a ,b ,c theo thứ tự lập thành CSN, ta chứng minh ac b 2 III Tính chất số hạng cấp số nhân

Định lí 2:

2

1

k k k

u u u 

với k 

CÁC DẠNG BÀI TẬP B

Lờigiải ChọnA

Dãy số 2, 2, 2, 2, …, 2, 2, 2, 2, … cấp số nhân với số hạng đầu u12, công bội q1

Dãy số  un xác định cơng thức un 3n1 có 1

u    , u2 32 1 10,

3

3 28

u    Nhận xét:

3

2

u u

u u nên  un không cấp số nhân

Dãy số  un , xác định hệ:  

*

1

2 :

n n

u

u u  n n

   

   



  có u11, u13, u3 5 Nhận xét:

2

u u

u u nên  un không cấp số nhân.

Dãy số số tự nhiên 1, 2, 3, … có u11, u12, u3 3 Nhận xét:

3

2

u u

u u nên không là

cấp số nhân

Lờigiải

Số hạng u2 u2 u q1 6

II DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN

Trong dãy số sau dãy số cấp số nhân?

A Dãy số , , , , …, , , , , …

B. Dãy số , xác định công thức với

C. Dãy số , xác định hệ:

D. Dãy số số tự nhiên , , , … Ví dụ 1

Cho cấp số nhân có công bội Số hạng

Lờigiải

Giả sử 192 số hạng thứ n  un với n * Ta có 192 1

n

u q 

   192  2  n1 64  2n1   26   2n1  6 n 1

7 n

  Do 192 số hạng thứ 7  un

Lờigiải

Gọi q công bội cấp số nhân đề cho q0 Ta có 12 192

u u q

u u q

         192 12 u q u q   16 q   .

Mà q0 q2 12 u q   

Do  

9

10 1536

u u q    .

Lờigiải Theo ta có

1

u 

, u4 32 un 2048

4

u u q

3 32

2 q

  q 4

 

2048 n

u   u q1 n1 2048 4n1 46

   n7

Khi tổng cấp số nhân

 7  7

7

1

1 2 5461

1

u q S q        .

III DẠNG 3: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CẤP SỐ NHÂN

Cho cấp số nhân có , cơng bội Hỏi số hạng thứ

Ví dụ 3

Cấp số nhân có cơng bội âm, biết , Tìm

Ví dụ 4

Tính tổng tất số hạng cấp số nhân có số hạng đầu , số hạng thứ tư số hạng cuối ?

Lời giải

2x 3; x ; 2x3lập thành cấp số nhân  x2 2x 2  x3  x2 4x2  x2 3  x 3.

Vì x dương nên x 3.

Câu Một cấp số nhân có số hạng đầu u13, công bội

q Biết Sn 765 Tìm n?

A n7. B n6.

C n8. D n9.

Câu Cho cấp số nhân  un có u12 cơng bội q3 Số hạng u2

A u2 6 B u26

C u2 1 D u2 18

Câu Dãy số sau cấp số nhân? A 1; 2; 3; 4; B 1; 2; 4; 8; 16

C 1; 1; 1; 1; 1  D 1; 2; 4; 8; 16 

Câu Cho cấp số nhân  un có số hạng đầu u15 cơng bội q2 Số hạng thứ sáu  un là: A u6 160 B u6 320

C u6 160 D u6 320 Câu Khẳng định sai?

A Số hạng tổng quát cấp số nhân un 1 n n

u u q 

 ,

với công bội q số hạng đầu u1

B Số hạng tổng quát cấp số cộng un  

1

n

u u  n d, với công sai d số hạng đầu

Xác định dương để ; ; lập thành cấp số nhân

Ví dụ 6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN C

1

u .

C Số hạng tổng quát cấp số cộng un un u1nd , với công sai d số hạng đầu u1

D Nếu dãy số un cấp số cộng

2

2

n n

n

u u

u 



  *

n

   .

Câu Cho dãy số  un cấp số nhân có số hạng đầu u1 công bội q Đẳng thức sau sai? A un1u qn , n1.B

1

n n

u u q 

 , n2 .

C

n n

u u q , n2.D uk2 u uk1 k1, k2.

Câu Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A  1

n n

u   n B un n2

C un 2n D n 3n

n

u 

Câu Cho cấp số nhân  un thỏa mãn

1

4

13 26

u u u

u u

   



 

 .

Tổng số hạng đầu cấp số nhân  un là A S8 1093 B.S8 3820 C S8 9841 D S8 3280 Câu Viết thêm bốn số vào hai số 160 để

được cấp số nhân Tổng số hạng cấp số nhân

A 215 B.315 C 415 D 515

Câu 10 Xen số 3 số 768 số để cấp số nhân có u13 Khi u5 là:

A 72.B 48. C 48 D 48.

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.A 3.A 4.C 5.C

Tuần 22 Tiết 26

CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

§1 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I Định nghĩa phép toán vectơ KG 1 Định nghĩa

Vectơ KG đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ cịn kí hiệu a b x y, , ,



  

, …

Chú ý: Các khái niệm liên quan định nghĩa tương tự mặt phẳng. 2 Phép cộng phép trừ vectơ KG

Phép cộng phép trừ vectơ KG định nghĩa mặt phẳng

 Qui tắc điểm: AB BC AC    

                                      

 Qui tắc hình bình hành: AB AD AC    

 Qui tắc hình hộp: AB AD AA  'AC'    

3 Phép nhân vectơ với số

Phép nhân vectơ với số thực KG định nghĩa mặt phẳng II Điều kiện đồng phẳng ba vectơ

1 Khái niệm ba vectơ đồng phẳng

Cho a,b,c 0 Từ điểm O vẽ OA a , OB b , OC c .

 Nếu OA, OB, OC khơng nằm mp ta nói a,b,c



 

khơng đồng phẳng

 Nếu OA, OB, OC nằm mp ta nói a,b,c



 

đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định đồng phẳng hay không đồng phẳng ba vectơ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O

2 Định nghĩa

Ba vectơ đgl đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng 3 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Định lí 1: Trong KG, cho hai vectơ a,b khơng phương vectơ c Khi đó, a,b,c   đồng phẳng  ! m, n  R: c ma nb  

Nhận xét:

Nếu ma nb pc 0   số m, n, p  a,b,c  đồng phẳng.

Định lí 2: Trong KG, cho ba vectơ khơng đồng phẳng a,b,c   Khi với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho x ma nb pc   .

Lờigiải Đáp án A CÁC DẠNG BÀI TẬP

B = = = I

Cho ba vectơ không đồng phẳng Xét vectơ Chọn khẳng định đúng?

A. Ba vectơ đồng phẳng.B. Hai vectơ phương

C. Hai vectơ phương.D. Ba vectơ đôi phương

Lờigiải Đáp án C

Lờigiải Đáp án A

Lờigiải Đáp án A Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. Nếu giá ba vectơ cắt đơi ba vectơ đồng phẳng

B. Nếu ba vectơ có vectơ ba vectơ đồng phẳng

C. Nếu giá ba vectơ song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng

D. Nếu ba vectơ có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng

Ví dụ 2

Cho tứ diện ABCD, biết , G trọng tâm tam giác BCD Tìm hệ thức liên hệ với ba vec tơ

A .B

C D

Ví dụ 3

Trong không gian cho điểm O bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng Điều kiện cần đủ để ABCD tạo thành hình bình hành là:

A .B

C D

Lờigiải Đáp án D

Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 Hãy xác định góc cặp vectơ AB vàDD1



? A 450B 900

C 1200 D 600

Câu Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 Giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ

1 1

AB B C DD k AC

                                                        là: A k4 B k1

C.k0 D k2

Câu Vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh của hình lập phương ABC A B C DD    và vectơ AD

là:

A.A D  B DA 

C DC D AB

Câu Cho tứ diện ABCD, biết AB a AC b AD c ,  ,                                                                                      , M trung điểm BC Tìm hệ thức

A

1

( )

2

DM  a c  b

                                                        B

( )

2

DM  b c  a

   

Cho tứ diện “là trọng tâm tứ diện khi” Khẳng định sau sai?

A. trung điểm đoạn (lần lượt trung điểm )

B. trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm

C. trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm

D. trung điểm đoạn thẳng nối với trọng tâm tam giác

Ví dụ 5

BÀI TẬP TỰ LUYỆN C

C

1

( )

2

DM  a b  c

   

D

1

( 2 )

DM  a b c

                                                        Câu Cho hình hộp ABCD A B C D    , biết ACcắt(A BD )

tại E, cắt (CB D ) F Tìm hệ thức sai

A EA  EB ED  0 B FC FB   FD0

C.AB AD AA   2AC D

1

EF  AC

                           

BẢNG ĐÁP ÁN