Tải Một số bài toán về quy tắc đếm lớp 11 - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng giữa không chia hết cho 5,chữ số 5 luôn có mặt đúng một lần và chữ số cuối lẻ.. b..[r]

(1)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải:

- Số cách chọ đề tự luận 12 cách

- Số cách chọn đề trắc nghiệm 15 cách

Vì học sinh phải làm đồng thời loại đề nên có tất 12.15 = 180 cách chọn đề thi

Giải:

a Gọi số tự nhiên gồm chữ số là: n = a a a a1

Để có số n ta phải chọn đồng thời a1,a2,a3,a4 đó:

- a1 có cách chọn

Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm

b.Gọi số tự chẵn có chữ số cần tìm n = a a a a a1 - a5 có cách chọn (bằng 2)

Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số

Ví dụ 1:Đề thi cuối khó mơn tốn khối 12 trường trung học gồm hai loại đề tự luận trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hai đề thi gồm tự luận trắc nghiệm,trong tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi học sinh có cách chọn đề thi?

a

Ví dụ 2:Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}

a Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác

b Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm có chữ số đơi khác

I.Quy tắc nhân

Một công việc H thực qua K giai đoạn H1, H2 ,H3 ….Hk ,trong đó:

Giai đoạn H1 có n1 cách thực Giai đoạn H2 có n2 cách thực Giai đoạn H3 có n3 cách thực ……… Giai đoạn Hk có nk cách thực

(2)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải:

Gọi số cần tìm n = a a a a a1 đó: - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0)

Vậy có tất 9.9.8.7.6 = 27216 cách Ví dụ 4:Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

a Từ tập A lập số tự nhiên gịm chữ số đôi khác chữ số lẻ,chia hết cho

b Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng cuối chia hết cho

Giải: a Gọi số cần tìm n = a a a a a1 đó:

số n lẻ,chia hết a5 =

- a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0,≠ 5)

Vậy có tất 5.5.4.3 = 300 số

b.Gọi số cần tìm n = a a a a a a1 đó:

Vì chữ số cuối chia hết a6 = a6 = ta chia làm hai trường hợp

Trường hợp a6 =8

- a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0,≠ 8)

Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số Trường hợp 2: a6 =

 có 6.5.4.3.2 = 720 số

(3)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Vậy có tất cả:600 + 720 = 1320 số

Ví Dụ 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}

a.Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác > 50.000

b Từ tập A lậ số tự nhiên gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng vị trí thứ chia hết cho chữ số cuối lẻ

Giải:

a Gọi số cần tìm n = a a a a a1

Vì n > 50.000 nên a1 chon chữ số {5,6,8,9}

Vậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số cần tìm

b Gọi số cần tìm n = a a a a a a1 theo đề ta có :

- a3 chia hết a3 = 5,chữ số cần tìm số lẻ  a6 = {1,3,9} có cách chọn

vậy có tất cả: 3.6.5.4.3 = 1080 số cần tìm

Ví dụ 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ sô đôi khác cho chữ số ln có mặt

Giải:

Gọi số cần tìm n = a a a a a1 để có số n ta làm hai bước sau : chọn vị trí cho chữ số 2: có vị trí

2 Chọn chữ số lại - Do vai trò số giống nên ta giả sử a1 =2 ta có:

Vậy có tất 5(8.7.6.5) = 8400 số cần tìm Ví dụ 8: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}

a Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho số không bắt đầu 246

b Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số có mặt lần

Giải:

a Gọi số cần tìm n = a a a a a a1 Chọn tùy ý :

- a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0)

(4)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I - a3 có cách chọn

 có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có chữ số đơi khác Chọn số có chữ số 246

 4.3.2 = 24 số bắt đầu 246

Vậy ycbt = tùy ý - phần bù = 4320 - 24 = 4296 số cần tìm b.Gọi số cần tìm n = a a a a a1

Trường hợp 1: a1 = số cần tìm có dạng n = 1a a a a2 - a2 có cách chọn

 có 6.5.4.3= 360 số

Trường hợp 2: Nếu a1 ≠ 1ta có

- a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0)

- có vị trí cho số giả sử a2 =

 có 5.4.5.4.3 = 1200 số cần tìm  1200 + 360 = 1560 kết Ví dụ 9: cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}

Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho chữ số không đứng cạnh

Giải:

1 Tìm Số có chữ số khác đôi tùy ý n = a a a a a1 - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0)

 có 6.6.5.4.3 = 2160 số

2 Tìm số tự nhiên có chữ số khác đôi 2,5 đứng cạnh Giả sử 2,5 chữ số a ta tìm số có chữ số

Trường hợp 1: - a1 = a

- a3 có cách

(5)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I  có 5.4.3 = 60 số

Trường hợp 2:

- a1 ≠ a nên a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5)

- có vị trí cho số a giả sử a2 = a

- a3 có cách

- a4 có cách

 có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 đổi chỗ cho nên ta đc 204.2 = 408 số Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách

-có vị trí cho a

II Qui tắc cộng:

Một công việc H bao gồm K công việc H1, H2 ,H3 ….Hk,trong đó:

Giai đoạn H1 có n1 cách thực

……… Giai đoạn Hk có nk cách thực

Khi để hồn thành cơng việc H phải thực 1trong cơng việc suy có (n1+ n2 + n3 + nk ) cách để hoàn thành cơng việc H

Ví dụ 1: Một nữ sinh trung học đến trường chọn hai trang phục quần trắng áo dài quần xanh áo sơ mi

Nữ sinh có quần trắng, áo dài, quần xanh áo sơ mi có cách chọn trang phục:

Giải:

- Nữ sinh chọn hai trang phục Trường hợp 1: Quần trắng + áo dài

- có cách chọn quần trắng - cách chọn áo dài

 có 5.7 cách chọn trang phục thứ Trường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi

- có cách chọn quần xanh - có cách chọn áo sơ mi

 có 4.6 = 24 cách chọn trang phục thứ

Vậy theo quy tắc cộng nữ sinh có 35 + 24 = 59 cách Ví dụ 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a Từ tập A lập số lẻ có chữ số khác

b Từ tập A lập số có chữ số khác cho số chia hết cho

Giải:

(6)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I - a1 có cách chọn(vì a1 ≠ 0)

Vậy ta 5.8.8.7.6 = 13440 số

b.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 Vì số chia hêt a6 = {0,5}

Trường hợp 1: a6 =

 có 9.8.7.6.5 = 15120 số Trường hợp 2:a6 =

- a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0)

 có 8.8.7.6.5 = 13440 số

Vậy thu 15120 + 13440 = 28560 số cần tìm Ví dụ 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a Từ tập A lập số lẻ gồm chữ số mà ko chia hết cho

b Từ tập A lập số chẵn gồm chữ số mà chữ số thứ ln lẻ Giải:

a.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a a a a a1 Vì số lẻ, không chia hêt a5 = {1,3,7,9}

 số cần tìm 4.8.7.6.5 = 6720 số

b.Tìm Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 - Vì chữ số thứ ln lẻ,a3 = {1,3,5,7,9} a3 có cách chọn

- Chữ số số chẵn nên a6 = {2,4,6,8} có cách chọn

(7)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I a Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác

nhau chữ số có mặt lần

b Từ tập A lập số gồm có chữ số đơi khác cho tổng chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số sau đơn vị

c Từ tập A lập số gồm có chữ số đơi khác cho chữ số đứng cuố lẻ

Giải:

a Tìm Số chẵn có chữ số khác đôi n = a a a a1 - Trường hợp 1: a4 =2

 số cần tìm 5.4.3 = 60 số

Tường hợp : a4 ≠ nên có cách chọn {4,6},số có vị trí giả sử a1 =

 có 2.3.4.3.1 = 72 số

Vậy có 60 + 72 = 132 số cần tìm

b.Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 Theo đề a1 + a2 + a3 + = a4 + a5 + a6

Mà a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 21

Vậy a1 + a2 + a3 = 10

Từ tập A ta chọn ba số a1 ,a2,a3 cho a1 + a2 + a3 = 10

Ta có (1,3,6);(2,3,5);(1,4,5)

Do với a1 có cách chọn,a2 có cách,a3 có cách nên ta đc 3.2.1 = số

Do ba chọn giống nên 18 số cần tìm c.Số có chữ số khác đôi n = a a a a a1 Vì chữ số đứng cuối lẻ nên a3,a5 = {1,3,5}

a3 có cách chọn

a5 có cách

a1 có cách chọn

a2 có cách chọn

a4 có cách chọn

Vậy có 3.2.4.3.2 = 144 số

Ví dụ 5: Từ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập số gồm chữ số hai chữ số liền kề phai khác

Giải

Số có chữ số n = a a a a1 ( a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ a4 ) a1 có cách chọn (a1 ≠ 0)

a2 có cách chọn (a1 ≠ a2)

a3 có cách chọn (a2 ≠ a3)

a4 có cách chọn (a3 ≠ a4 )

(8)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I

CHỈNH HỢP

1.Định Nghĩa công thức

Cho tập A gồm n phần tử khác đôi một.Từ tập n rút k phần tử khác đôi một xếp chúng theo thứ tự chỉnh hợp chập k n phần tử

Công thức





! !

k n

n A

n k





2.Phương pháp chung để giải toán chỉnh hợp Bước 1:Gọi số cần tìm n = a a1 an

Bước 2: Liệt kê tính chất mà số n cần thỏa mãn

Bước 3:Xử lý tính chật cách chọn chữ số thỏa mãn

Bước 4: Đếm lại số phần tử lại tập hợp A cách lấy số phần tử A ban đầu - phần tử có mặt tính chất tập hợp A’

Bước 5: Chọn chữ số cịn lại ko có tính chất lấy từ tập A’ Bước 6: Áp dụng hai qui tắc để có kết

3 Các dạng toán

Dạng - Tập hợp A khơng chứa số Ví dụ 1:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}

a Có số gồm có chữ số đôi khác lấy từ tập A

b Từ tập A lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác c Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đôi khác

cho tổng hai chữ số đầu cuối chia hết cho 10 Giải:

a.Số có chữ số khác đơi n = a a a a a1

Năm chữ số chọn từ A,đôi khác xếp theo thứ tự định nên số cần tìm chỉnh hợp chập phần tử

7!

2520 (7 5)!

A  

 số

b.Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 n số chẵn nên a6 = {2,4,6} có cách chọn

chọn chữ số cịn lại từ tập có - a6 = phần tử ta có 65

6!

720 (6 5)!

A  



Vậy có tất

A = 2160 số

c.Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 theo giả thiêt a1 + a6 =10 nên số {(3,7);(4,6)

- ứng với a1 có cách chọn,a6 có cách nên số cách 2.2.1

- chọn chữ số lại tập co chữ số ta

5!

120 (5 4)!

A  



Vậy có tất 2.2.1.120 = 480 số cần tìm Ví dụ 2:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(9)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 10 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải:

Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 - Chọn chữ số chẵn tổng chữ số ta

4

4!

24 (4 3)!

A   

- Chọn chữ số lẻ tổng chữ số lẻ ta có

5!

60 (5 3)!

A   

Vậy có 24.60 = 1440 số cần tìm Ví dụ 3Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a Từ tập A lập số lẻ gồm có chữ số đơi khác nhau

b Từ tập A lập số gồm có chữ số đơi khác cho chữ số đầu lẻ, chữ số cuối chẵn

c Từ tập A lập số gồm có chữ số khác đôi chữ số đầu cuối chẵn

Giải:

a Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 Vì n số lẻ nên a6 = {1,3,5,7,9}  a6 có cách chọn,

- Chọn chữ số lại tổng số lại ta

8!

6720 (8 5)!

A   

Vậy có tất 5.6720 = 33600 số

b Số có chữ số khác đôi n = a a a a a a1 Vì số cuối chẵn nên a6 {2,4,6,8} có cách chọn

Số đầu lẻ nên a1 {1,3,5,7,9} có cách chọn

- Chọn chữ số lại tổng - = phần tử ta có

7!

840 (7 4)!

A   

Vậy có 4.5.840 = 16800 số

c Số có chữ số khác đơi n = a a a a a1

Vì a1 , a5 chẵn nên  {2,4,6,8} a1 có cách chọn,a5 có cách chọn

- Chọn chữ số lại tổng - = phần tử ta có

7!

210 (7 3)!

A   

- Vậy có tất 4.3.210 = 2520 số Ví dụ 4: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6}

a Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi không bắt đầu 345

b Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi chữ số ln có mặt lần

c Từ tập A lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số ln có mặt lần

Giải

(10)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 11 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I chọn chữ số tổng chữ số ta

5

6!

720 (6 5)!

A   

số số bắt đầu 345 có dạng 345a a4

3! (3 2)!

A   

Vậy số cần tìm 720 - = 714 số

b.Số có chữ số khác đôi n = a a a a1

Chữ số ln có mặt lần nên có vị trí cho số

Coi vị trí số cịn chữ số chọn phần tử lại

5

5!

60 (5 3)!

A   

Vậy có 4.60 = 240 số

c.Số có chữ số khác đơi n = a a a a1 n chẵn nên a4 {2,4,6} Chữ số ln có mặt lần nên xét trường hợp

Trường hợp 1: a4 = ,số cách chọn cho chữ số lại lai

3

5!

60 (5 3)!

A   

Trường hợp 1: a4 ≠ nên a4 có cách chọn

- có vị trí cho số

- chọn vị trí lại tổng phần tử

4!

12 (4 2)!

A  

 (trừ a4 , trừ 2)

Ta 2.3.12 = 72

Vậy có tất 72 + 60 = 132 số Ví dụ 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

a.Từ tập lập số lẻ gồm chữ số đôi khác cho chữ số ln có mặt lần

b Từ tập lập số lẻ gồm chữ số đôi khác cho chữ số ln có mặt lần chữ số đứng đầu lẻ

Giải:

a.Số có chữ số khác đơi n = a a a a a1 TH1: a5 =

Chọn chữ số lại ta

7!

840 (7 4)!

A   

TH2: a5 ≠

- có vị trí cho số - có

6

A cách chọn chữ số cịn lại

Vậy có 3.4

A + A74 = 2280 số

c Số có chữ số khác đơi n = a a a a a1 TH1: Nếu a1 =

(11)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 12 - chọn chữ số lại có

6

A cách

 có

A số

TH2: a1 ≠

1.Nếu a6 = a1 có cách chọn, chọn chữ số cịn lại A64  có

A số

Nếu a6 ≠

- a1 có cách chọn,a6 có cách chọn,có vị trí cho chữ số 3,chọn chữ số lại

3

A

 TH2 = + =

A + 3.2.4.

A

Vậy có tất

A + 3.

A + 3.2.4.

A = 3600 số cần tìm

Ví dụ 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a Từ tập A lập số gồm chữ số đôi khác cho chữ số đứng khơng chia hết cho 5,chữ số ln có mặt lần chữ số cuối lẻ

b Từ tập A lập số gồm có chữ số đơi khác hai chữ số đứng cạnh

Giải

a) Số có chữ số khác đôi n = a a a a a1 Chữ số đứng không chia hết : a3 ≠

Cách : Xét trường hợp sau: TH1 : a5 =5:

+ a3 có cách chọn

+ Chọn chữ số cịn lại có

A cách

 có

A số

TH2: a5 ≠ 5:

+ a3 có cách chọn ( a3 ≠ a3 ≠ a5 )

+ có vị trí có chữ số

+Chọn hai chữ số lại có

A cách

 có 4.7.3

A số

Vậy có tất cả:

A + 4.7.3.

A =4200 số cần tìm

Cách 2:Dùng phép loại trừ :

B1: tính số số lẻ có năm chữ số chữ số ln có mặt lần :

4

A +4.4.A73

B2 : Tính số số lẻ có năm chữ số a3 = là: 4.A73 Vậy có tất cả:

8

A + 4.4.

A - 4.

b) Gọi số cần tìm là: n = a a a a a a1 Cách : Chia trường hợp :

TH1 : a1 =1  a2 =3:

Chọn chữ số cịn lại có

A cách

TH2: a2 =1  có hai vị trí cho chữ số

A cách

 có

(12)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 13 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH3: a3 =1: giống TH2: có 2.A74 số

TH4: a4 =1:giống TH2: có 2.A74 số TH5: a5 =1:giống TH2 : có 2.A74 số TH6: a6 =1:giống TH1

A + 4.2.

Cách 2:

Khi hai chữ số (1 3) đứng cạnh ta xem hai chữ số (1,3) chữ số a Khi ta lập số có năm chữ số cho chữ số a ln có mặt lần ; hốn đổi vị trí hai chữ số 1,3 số cần tìm theo u cầu tốn

+ Chữ số a có vị trí

+ Chọn chữ số lại:

A cách

 có

A số

+ Hốn đổi vị trí hai chữ số ta số số cần tìm là: 2.5

A =8400 số

Ví dụ Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a) Từ tập A lập số gồm có sáu chữ số đơi khác cho hai chữ số không đứng cạnh ?

b) Từ tập A lập chữ số gồm có sáu chữ số đôi khác cho hai chữ số lẻ không đứng cạnh ?

Giải

a) Gọi số cần tìm là:: n = a a a a a a1

Bài toán giải cách loại trừ theo hai bước sau :

B1 : Tính số số có sáu chữ số hai chữ số 1,3 ln có mặt :

+Chữ số có vị trí +Chữ sơ có vị trí

+ Chọn bốn chữ số cịn lại có

A cách

 có 6.5

A số

B2 : Tính số số có sáu chữ số hai chữ số đứng cạnh :

+ Xem hai chữ số (1,3) chữ số a Ta lặp số có năm chữ số mà chữ số a ln có mặt lần :

- có vị trí cho chữ số a - Chọn chữ số cịn lại có

7

A cách

 có

A số mà chữ số a có mặt lần

+ Hốn đổi vị trí số chữ số a ta 2.5

A số mà hai chữ số

đứng cạnh Vậy có tất cả: 6.5

7

A - 2.5.A74 = 16800 số cần tìm theo yêu cầu toán

b) Bài toán giải theo bước sau : B1 : Chọn hai chữ số lẻ năm chữ số lẻ

B2 : Lấy cặp số lẻ giải câu a

+ Chọn hai chữ số năm chữ số lẻ :

C

+ Lấy cặp số lẻ điển (1,3) ( giải câu a) Vậy có:

5

(13)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 14 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Ví dụ 10.chọn tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a) Từ tập A lập số chẵn gồm có sáu chữ số đôi khác cho chữ số đứng cạnh nhau?

b) Từ tập A lập số chẵn gồm có sáu chữ số đơi khác nhai cho hai chữ số đứng chanh nhau?

Giải a) Gọi số cần tìm : n = a a a a a a1

Số n số chẵn nên a6 = { 2,4,6,8}  a6 có cách chọn

Để đơn giản hơn, lúc ta qui toán yêu cầu : Tìm số có năm chữ số cho chữ số đứng cạnh đem ghép với chữ số a6

được chữ số n cần tìm

Khi hai chữ số đứng cạnh nhau, ta xem (1,5) chữ số a.Ta lập số có bốn chữ số cho chữ số a ln có mặt :

-Chữ số a có vị trí

- Chọn ba chữ số cịn lại có

A cách

 có

A số

- Hoán đổi vị trí hai chữ số ta được: 2.4

A số có năm chữ số mà ( 1,5 )

luôn đứng cạnh

- Các chữ số đem ghép với chữ số a6 ta số cần tìm là: 2.4.A63.4 = 3840 số n

b)Gọi số cần tìm : n = a a a a a a1 Xét trường hợp sau :

TH1 : a6 =4 a5 = :

Chọn bốn chữ số lạo có A cách TH2: a6 = a5 = 4:

Chọn bốn chữ số lại có A cách TH3: a6 ≠ a6 ≠ :

+ a có cách chọn

+ xem hai chữ số ( 2,6 ) chữ số a, ta lập số có bốn chữ số cho chữ số a ln có mặt lần

-Chữ số a có vị trí

-Chọn ba chữ số cịn lại có

A cách

 có

A số

+ Hoán đổi vị trí hai chữ số a có 2.4

A số

Vây có tất cả:

A + 2.4.A63 = 2640 số cần tìm

Ví dụ 11 cho tập hợp A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Từ tập A lập số lẻ gồm có sáu chữ số cho chữ số ln có mặt lần Các chữ số cịn lại có mặt lần,

(14)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 15 Gọi số cần tìm : n = a a a a a a1

Cách 1: Xét hai trường hợp: TH1: a6 =5:

+ Do chữ số ln có mặt lần nên vị trí cịn lại chữ số có vị trí + Chọn chữ số cịn lại có

8

A cách

 có số có sau chữ sơ mà a6 =5

I TH2 : a6 ≠ : a4 có cách

Tha : a1 =  a2 ≠

+ a2 có cách chọn ( a2 ≠ a1 a2 ≠ a6 )

+có vị trí cho chữ số + chọn chữ số cịn lại có

6

A cách

 Ta có: 7.3.4

A = 2520 số

Thb:a =  a1 ≠ a3 ≠

+ có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số lại có

5

A cách

 thb: có: 4.7.6.2 -

A = 1680 số

Thc: a3 = 5: giống thb

Thd: a4 =5 : giống thb

The: a5 = 5: giống tha

Vậy có:

A + 2.2520 + 3.1680 = 18480

Ví dụ 12: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Từ tập A lập số có chữ số khác cho 1,2,3 đứng cạnh

Giải:

- 1,2,3 đứng cạnh ta coi số a đó,chữ số a có vị trí - Chọn chữ số cịn lại ta có

6

A cách

- Hốn đổi vị trí 1,2,3 ta có 3! Cách Vậy có 3!.4

6

A = 10800 số cần tìm

Dạng 2: Tập A có chứa số Phương pháp giải tốn:

Bước 1: Gọi số cần tìm n = a a a1 an ( a1 ≠ 0)

Bước 2: Liệt kê tính chất mà số n cần thỏa mãn Bước 3:Xử lý tính chất

- Nếu có nhiều tính chất độc lập ta khơng chia trường hợp

- Nếu chữ số a cụ thể có mặt 1,2,3… lần phải chia trường hợp a = a1

sẽ khác với a ≠ a1

- Nếu hay nhiều chữ số n có tính chất chia trường hợp Bước 4: Dùng qui tắc cộng, nhân giải tốn

Ví dụ 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A lập được a.Bao nhiêu số có chữ số đôi khác

(15)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 16 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải:

a Gọi số cần tìm n = a a a a a1

Số ko có tính chất,có chứa số nên ta làm sau : - a1 có cách chọn (vì a1 ≠ 0)

- Chọn chữ số lại ta

A cách

 có 6

A = 2160 cách

b Gọi số cần tìm n = a a a a a1

vì n số lẻ nên a5 {1,3,5} a5 có cách chọn

- a1 có cách chọn (a1 ≠ a1 ≠ 5)

- Chọn chữ số cịn lại ta có

A

Vậy có 3.5

A =900 số

Ví dụ : Cho tập A = {0,2,4,5,6,9}Từ tập A lập

a Bao nhiêu số có chữ số đơi khác chia hết cho b Bao nhiêu số chẵn có chữ số đơi khác

Giải a.Gọi số cần tìm n = a a a a1

Vì n chia hết a4 = {0,5},ta chia toán làm hai trường hợp

TH1:Nếu a4 = (hiển nhiên a1 ≠ 0) số lại có A53 cách TH2: Nế a4 = 5,thì a1 có cách chọn a1 ≠ ≠

Chọn số cịn lại ta có

A  có 4

A

Vậy có tất

A + 4.A42 = 108 số cần tìm

b Gọi số cần tìm n = a a a a1

Vì n số chẵn nên a4 = {0,2,4,6}, ta chia toán làm hai trường hợp

TH1 : Nếu a4 = chọn số lại ta A53 cách TH2 : Nếu a4 ≠ có cách chọn a4

- có cách chon a1

- chọn số cịn lại ta có

A

 có 4

A

Vậy có tất

A + 4.A42 = 108 số cần tìm

Cách : Dùng phép đếm loại trừ :

- Đếm số có chữ số khác chia hết cho + a4 có cách chọn

+ chọn ba chữ số lại

A  có

A

- Đếm số có chữ số chia hết cho mà a1 = A42 Vậy có

5

A - A42 = 108 số

Ví dụ 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7}.Từ tập A lập số có: a.Năm chữ số đơi khác chia hết cho

b.Sáu chữ số đôi khác cho chữ số ln có mặt lần Giải:

(16)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 17 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I TH1: Nếu a5 = ta chọn chữ số cịn lại A74 cách

TH2: Nếu a5 ≠

- a1 có cách chọn (do a1 ≠ 0, ≠ a5 )

- Chọn chữ số lại ta

A

 3.6

A cách

Vậy ta

A + 3.6.A63 = 3000 số cần tìm Cách dùng phép loại trừ:

1 Tính số có chữ số khác chia hết cho - a5 có cách chọn

- só cịn lại có

A cách chọn

 có 4

A số

2 Tính số có chữ số khác mà chia hết cho a1 =

- chọn chữ số lại ta có

A

 có 4

A - A63 = 3000 số

b Gọi số cần tìm n = a a a a a a1

TH1 : Nếu a1 = 2,chọn chữ số lại ta A75 cách TH2 : Nếu a1 ≠

- a1 có cách chọn (do a1 ≠ 0,2)

- có vị trí cho chữ số - chọn chữ số cịn lại có

6

A

có 6.5

A

Vậy có tất

A + 6.5.A64 = 13320 số

Ví dụ 4: Cho tập A = {0,1,2,4,5,7,8,9}Từ tập A lập số a.Có năm chữ số khác lớn 50.000

b.Có năm chữ số khác số chẵn Giải:

a.Gọi số cần tìm n = a a a a a1 n > 50000 nên a1 {5,7,8,9} a1 có cách chọn , chọn chữ số cịn lại có A74 cách

Vậy có 4

7 3360

A  số

b.Gọi số cần tìm n = a a a a a1 n số chẵn nên a5 = {0,2,4,8} TH1: a5 = 0, chọn số lại ta có A74 cách

TH2: a5 ≠ a5 có cách chọn

- a1 có cách chọn ,ba chữ số cịn lại có A63  có 3.6

6

A

Vậy có

A + 3.6.

A = 3000 số

Ví dụ 4: Cho tập hợp A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ Tập A lập số: a) Có sáu chữ số khác cho chữ số va đứng cạnh nhau?

(17)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 18 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I Giải

a) Gọi số cần tìm n = a a a a a a1 Xét hai trường hợp sau :

TH1 : a a1 2=13 :

Chọn chữ số lại

A cách  có

A số

TH2 :Nếu a a1 2≠13 :

+ a1 có cách chọn ( a1 ≠ 0;a1 ≠ )

+ Có vị trí cho 13

A cách

 có 6.4

A số

Vậy có:

A + 6.4.

A số mà ( 1,3 ) đứng cạnh

Do vai trò 13 giống vai trò 31 nên có tất cả:

2(

A + 6.4A73 ) =13440 số cần tìm

b) Gọi số cần tìm n = a a a a a a1 Giải theo bước sau :

B 1: Tính số tạo thành có sáu chữ số bất kì: +a có cách chọn ( a ≠ )

A cách

 có 9

A số

B2 : Tính số số có 0,7 đứng cạnh nhau:

Tha: hai chữ 70:

+ có vị trí 70

+ chọn chữ số cịn lại có

A cách :

 có

A số có sáu chữ số mà có 70

Thb: hai chữ số 07:

+ có vị trí cho 07

A cách :

 có: 4

A số có sáu chữ số mà

Do có :

A + 4.A84 = 9.A84 số mà ( 0,7) đứng cạnh

B3: số số cần tìm :

9

A - 9.

A = 120960 số

Ví dụ : cho tập hợp A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập hợp A lập số có chữ số khác cho :

a) ln có mặt hai chữ số

b) hai chữ số không đứng cạnh Giải a) gọi số cần tìm : n = a a a a a a a1

TH1 : Hai chữ số 90

+ có sáu vị trí cho cho chữ số 90

+ chọn chữ số cịn lại có :

(18)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 19 TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I

 có

A số có chữ số mà hai chữ số 90

TH2: Hai chữ số 09

+ có vị trí có chữ số 09

A cách

 có 5

A số có chữ số mà hai chữ số 09

A + 5.A75 = 11.A85 số cần tìm

b) gọi số cần tìm : n = a a a a a a a1 Giải theo bước sau :

B1: tính số số có chữ số khác bất kỳ:

+a1 có cách chọn

A cách

 có 9

A số

B2:Tính số số có chữ số khác có chứa hai chữ sơ 1.6 đứng cạnh nhau, xét hai

trường hợp: TH1:a a1 = 16

Có

A cách chọn chữ số lại

TH2:a a1 2≠ 16

+ Có vị trí cho chữ 16

+a1 có cách chọn ( a ≠ 0: a ≠ )

+Chọn chữ số lại:

A cách

 5.7

A cách

Từ hai trường hợp ta có số số có chứa 16 là:

5

A + 5.7.

A

Tương tự ta có:

A + 5.7.

A số số có chứa 61

B3 Vậy số số thỏa mãn toán là:

9

A - 2( A85 + 5.7 A74 ) = 472080 số

Ví dụ 6: Cho tập A ={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A tạo số: a) Có sái chữ số khác cho ln có mặt hai chữ số

b) Có bảy chữ số khác cho ln có mặt hai chữ số Giải

a) Gọi số cần tìm là: n = a a a a a a1 + Có vị trí cho chữ số

+ Có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số cịn lại có

8

A cách

b) Gọi số cần tìm là: n = a a a a a a a1 Cách :Giải theo bước sau :

B1 : Tính số số có chữ số :

A cách

 có 9

(19)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 20 B2 Tính số số có chữ số có mặt chữ số mà khơng có mặt chữ số :

TH1 :a1 = :

A cách ( bỏ chữ số 5)

 có

A số

TH2 : a1 ≠ :

+ a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ )

+ Có vị trí cho chữ số + Chọn chữ số cịn lại có

7

A cách ( bỏ chữ số )

 có 7.6

A số

Từ hai trường hợp  có :

A + 7.6.A75 số

B3 : Tính số số có chữ số; có mặt chữ số mà khơng có mặt chữ số 2: giống

bước 2, ta có:

A + 7.6.A85 số

B4 : Tính số số có chữ sơ mà khơng có chữ số 5:

+ a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ )

+ Chọn chữ số lại có

A cách

 có 7

A số

B5 : số số cần tìm là:

9

A - 2( A86 + 7.6.A75 ) - 7.A76 = 257040 số

Cách 2: xét trường hợp sau TH1: a1 =2:

+ Chữ số có vị trí

A cách

có

A số

TH2: a1 = 3: giống TH2  có 6.A85 số TH3: a1 ≠ a1 ≠ 3:

+ Chữ số có vị trí + Chữ số có vị trí

+ a1 có cách chọn ( a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ )

A cách

 có 6.5.7

A số

Vậy có tất : 2.6

A + 6.5 7.A74 = 257040 số cần tìm

Cách 3: tính theo bước sau:

B1 :Tính số số tạo thành chứa chữ số ln có chữ số

+ có cahcsh chọn cho chữ sơ + có

6

A vị trí cho chữ sơ

+ có

 có 6

A A74số

B2:Tính số số tạo thành khơng có chứa cố ln có chữ số

+ có

A cách chọn vị trí cho hai chữ số

+ có

 có

A .

8

(20)

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I 21 Theo quy tắc cộng ta có tất số là:

6

A .

7

A +

7

A .

7

A = 257040 số cần

Bài 11: Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A lập số a) Có chữ số khác cho ln có mặt chữ số 0,2,4?

b) Có chữ số khác cho ln có mặt chữ số 1,3,5,7? Giải

a) Gọi số cần tìm là: n = a a a a a a1 + Có vị trí cho chữ sơ

+ Có vị trí cho chữ số + Có vị trí có chữ số + Chọn chữ số cịn lại có

7

A cách

 có 5.5.4

A số cần tìm

b) Gọi số cần tìm là: n = a a a a a a a1 7

Nhận xét : Khi số tạo thành ln có từ chữ số cho trước trở lên ta nên sử dụng cách cách sử dụng cách dài

Cách : Xét trường hợp :

Th1 :Khi a1 =1 giống a1 = {3,5,7}

+ có vị trí cho chữ số + Có vị trí cho chữ số + Có vị tí cho chữ số + Chọn chữ số lại

6

A cách

 có : 4.6.5

A số

TH2:a1 ≠ 1;a1 ≠ 3;a1 ≠6 a1 ≠7:

+ a1 có cách chọn

+ Có

A vị trí cho chữ số 1.3.5.7

+ Chọn hai chữ số cịn lại có

A số

Vậy có tất cả: 4.6.5.4

A + 5.A64.A52 = 93600 số cần tìm

Cách 2: Giải theo hai bước sau:

B1:Tính số số có chữ số ln có mặt chữ số 1.3.5.7

+ Có vị trí cho chữ số + Có

6

A cách chọn vị trí cho chữ số 1,3,5,7