TÀI LIỆU ôn tập môn TOÁN THEO TỪNG CHỦ đề ôn tập THI lớp 9 vào 10 lý THUYẾT và bài tập có HƯỚNG dẫn

- Nếu A là nhị thức bậc nhất thì ta phải giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.. + Nếu A phân tích được thành nhân tử ta giải bất phương trình bằng xét dấu các nhị thức bậc nhất.. Tìm gi

TÀI LIỆU ÔN TẬP MÔN TOÁN THEO TỪNG CHỦ ĐỀ ÔN TẬP THI LỚP 9 VÀO 10

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN

CĂN BẬC HAI

A Kiến thức:

1 Định nghĩa căn bậc hai:

- CBH của số a không âm là số x sao cho x2 = a

- Số dương a có đúng hai CBH là hai số đối nhau:

+ Số dương : a ; + Số âm:  a

- Số 0 có CBH là chính số 0, 0 0

2 Định nghĩa căn bậc hai số học

- Với số dương a, số a gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0

1 25 , 0

e) 17 10 và 7 f) 26 17 và 9 g) 8  24 và 65 h) 117 7 

và 4

i) 4 5 và 12 k) 8 và 34 2 l) -3 7 và -9 m) -2 5 và-6

Bài 4: So sánh hai số sau:

I DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH

Phương pháp tìm điều kiện: xác định khi A  0 Cần lưu ý xác định khi B 

0.

- Nếu A là nhị thức bậc nhất thì ta phải giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Nếu A là đa thức bậc hai, Ta phải giải bất phương trình bậc hai

+ Nếu A phân tích được thành nhân tử ta giải bất phương trình bằng xét dấu các nhị thức bậc nhất

Trường hợp bất phương trình có dạng: x2  a , hoặc x2  a trong đó a là hằng số dương, ta có thể giải thích bằng cách:

+ Nếu A không phân tích được thành nhân tử, ta sẽ chứng tỏ rằng A:

Luôn có giá trị dương (khi đó A có nghĩa với mọi x)

Hoặc luôn có giá trị âm (khi đó A không có nghĩa với mọi x)

Ví dụ : Xác định giá trị của biến để biểu thức sau xác định:

a) 2 x 4 có nghĩa ? Giải : Ta có 2 x 4 có nghĩa khi 2x 4  0  x 2b) 2 5

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH = B

Phương pháp giải phương trình = B 

Ví dụ: Tìm x biết x 1  2

5

1 4

1

0 1

x x

x

III RÚT GỌN CĂN BẬC HAI THEO HẰNG ĐẲNG THỨC

Phương pháp rút gọn đưa về dạng : = | A |

B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A

B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại

B3: đưa về dạng = | A | B4: so sánh 2 số a và b và bỏ trị tuyệt đối sao cho biểu thức A > 0

Bài 14: Giải các phương trình: a, 2x  1 x b, 4x 3  x 2

Bài 15: Giải các phương trình: a, 2 2

B Ví dụ:

I RÚT GỌN CĂN BẬC HAI

Phương pháp rút gọn đưa về dạng : sử dụng A.B  A B với A0, B 0; =A

B1: Xác định 2ab thuộc biểu thức của A

B2: phân tích thành hằng đẳng thức với a + b = hệ số còn lại

II RÚT GỌN CĂN BẬC HAI

Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là

hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục căn ở mẫu

+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 - 8

để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:

→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )

→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )

→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của lớp

9 )

→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)

13 3

3 6 3 2 1

3 6

II.RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN CÓ PHÂN SỐ Ở DẠNG CHỨA CHỮ

Phương pháp rút gọn: sử dụng phương pháp liên hợp ( A + B và A – B là

hai biểu thức lien hợp của nhau) (A + B)(A – B) = A2 – B2 để trục căn ở mẫu

+ Để có được kỹ năng rút gọn trên ta cần nhắc lại 1 số kiến thức của toán 6 - 7 -

8 để giải các bài toán trên cụ thể ta cần trả lời 1 số kiến thức trước khi giải:

→ Thừa số chung được không? ( xem lại các cách thừa chung của lớp 8 )

→ Có hằng đẳng thức không? ( xem lại 7 hẳng đẳng thức đáng nhớ của lớp 8 )

→ Liên hợp được không? ( xem lại phương pháp rút gọn trong bài toán 7 của

lớp 9 )

→ Quy đồng được không? ( xem lại các giải pt có Ẩn ở mẫu của lớp 8)

Lưu ý: Tìm tập xác định và cách tìm giá trị của ẩn x khi thay biểu thức bằng 1

+ Thu gọn biểu thức (nếu có thể).

+ Thu gọn giá trị của biến (nếu có thể)

+ Thay giá trị thu gọn của biến vào biểu thức đã thu gọn

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: A x 2  3x y 2y tại

x

x x

x

:

2

1 2 2

x x

x x

3 6

x x x x

1 1

x

x x

x

x

1 1

x

x x

x x x

x

x x x x

S =

x x x x

x x





1 :

1 1

1

x

x x

1

1 1

2

x x

x x

x x

x x

Z =

: 4

Bài 3 : Chứng minh đẳng thức căn

Phương pháp chứng minh: thực tế, Bài toán CM cũng chỉ là bài toán rút gọn, ta chọn 1

vế bất kì rồi thu gọn cho thành vế còn lại Vẫn sử dụng hết các tính chất của 8 bài toán đãhọc

3 3

 Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.

a M

a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị của M với 1

x x x

x x

x

P

2

2 2

2 2

1

3 1

1

a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính giá trị của P với x 3  2 2

Bài 5: Cho biểu thức :

9

11 3 3

1 3

x x

x

x x

x B

1

1 1 1

y y x x y x y x y x y x

a/ Rút gọn A;

b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài 8: Cho biểu thức 13 2 3 : 2 2 13

x A

và B =

2

2 2

a) Rút gọn A và B b) Tìm giá trị của x để A = B

2

1 1

2 2

3 9 3

a a

a

x a

a) Rút gọn P b) Tìm a để |P| = 1 c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N

Bài 15 Cho biểu thức:  

1 x

2 x 2 x

3 x 2 x x

3 x x 3 P

1 x 1 xy

x xy 1 1 xy 1

x xy 1 xy

1 x P

a) Rút gọn P b) Cho 1  1  6

y

x Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 17 Cho biểu thức: 

x 1 : 6 x 5 x

2 x x

3

2 x 2 x

3 x P

a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P1 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 18 Cho biểu thức: P =

x x

x x x x

x x x

2a) Rút gọn P b) So sánh P với 5

c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, CMR biểu thức P8 chỉ nhận đúng một giá trị nguyên

x 2 : 3 x

2 x x 2

3 x 6 x 5 x

2 x P

2 1

x x

x

x x

x x x

x

x x

1 1 x

1 x 1 x

1 x

Bài 23 Cho biểu thức: P =

x

x x x

x x x x

Bài 25 Cho biểu thức : B a b 1 a b b b

Bài 29 Cho biểu thức

1 : 1

a a

a Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi a = 3  2 2 c) Tìm a để A < 0

x x

2

1 :

4

8 2

x x

x x

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại x=2 2 3

 c) Tìm x thỏa mãn P. x  6 x 3  x 4

1 2

1 2

2

x

x x

x x x

x

x x x x

x x

a Rút gọn A b) Tìm x  Z để A  Z

1

1 1 1

x

x x

x x

a Rút gọn A b) Chứng minh rằng 0 < A < 2

Bài 39 Cho K = x x x x x x x .x 2009x

1

1 4 1

1 1

y x xy

y x

1

2 1

: 1

1

a Rút gọn P b) Tính P tại x =

3 2

x x

x x x

1 2

1

1 2

: 1 1

1

a Rút gọn P b) Tính P tại x = 7  4 3

Bài 42 Cho M = 11

1

1 1

x

x x

x x

: 1

1 1

1 2

x x

x x

x x x

a Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

1 :

1

x x

x x

1

1 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

a Rút gọn P b) Tìm x để P = 3

1 1

x

x x

x x x

x

x x x x

2 2

3 :

9

3 1

x x

x x

x x

x x

x x

a a a

a

a a

a

a

1

1 :

1 1

1 2

3 6

9 : 9

3 1

x

x x

x x

x

x x

x x B

a) Rót gän biÓu thøc B b) Tìm x để B > 0

c) Với x > 4 ; x  9 , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1).

c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3

1 :

1 1 1

1

ab

a ab ab

a ab

a ab ab

a

a) Rót gän M B) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu a=2  3 vµ b=

3 1

1 3

x x

x x

a Rút gọn A b Tìm x để A =6

5 c Tìm x để A < 1

d T×m GTLN cña A (KQ: A = x(1  x) )

: 2

x x x

x x

x

P

2

2 2

2 2

1

3 1

1

a/ Rút gọn biÓu thức P c/ Tính giá trị của P với x 3  2 2

B i 82 ài 80: : Cho biểu thức

3 6

9 : 9

3 1

x

x x

x x

x

x x

x x B

b) Rút gọn B b) Tìm x để B > 0 c) Với x > 4; x  9, Tìm GTNN B( x+ 1)

I Khỏi niệm chung.

1 Khỏi niệm về hàm số (khỏi niệm chung).

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giỏ trị của x taluụn xỏc định được chỉ một giỏ trị tương ứng của y thỡ y được gọi là hàm số của x và

x được gọi là biến số

- Nếu f(x1) < f(x2) thỡ hàm số đồng biến trờn khoảng (a; b)

- Nếu f(x1) > f(x1) thỡ hàm số nghịch biến trờn khoảng (a; b)

4 Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp cỏc điểm biểu diễn cặp số (x ; y) trờn mặt phẳng

tọa độ

a) Hàm số xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

b) Hàm số đồng biến nếu a > 0, nghịch biến nếu a < 0

c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng

- Cắt trục tung (Oy) tại điểm có tọa độ 0; b 

- Cắt trục hoành (Ox) tại điểm có tọa độ: b; 0

3 Hệ số góc Vị trí tương đối của hai đường thẳng

a) Hệ số góc: Đường thẳng y = ax + b với a,b R, a 0  có hệ số góc là a = tan



b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

* Hai đường thẳng : (d1): y = ax + b (a  0) và (d2): y = a’x + b’ (a '  0)

- d1 và d2 trùng nhau  a = a’, b = b’

- d1 và d2 song song với nhau  a a '; b b' 

- d1 và d2 vuông góc với nhau  a.a’ = -1

* Hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’ với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0

- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a0) khi và chỉ khi yA = axA + b

- Điểm B(xB; yB)  (d): y = ax + b (a0) khi và chỉ khi yB  axB + b

II Dạng xác định hàm số.

1 Xác định hàm số y = ax + b, Biết đồ thị hàm số đi qua A(x A ; y A ); B(x B ; y B ).

- Thay b tìm được vào y = mx + b ta được hàm số cần xác định

3 Xác định hàm số y = ax + b, biết đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ n.

Phương pháp:

- Đường thẳng cắt tung độ tại điểm có tung độ bằng m nên b = m

- Đường thẳng y = ax + m đi qua điểm A(n; 0) nên ta có: 0 = a.n + m a m

Để tìm điểm cố định mà đường thẳng y = ax + b (a  0; a,b có chứa tham số) luôn

đi qua với mọi giá trị của tham số m, ta làm nh sau:

 Bước 1: Gọi điểm cố định là A(x0; y0) mà đường thẳng y = ax + b luôn đi qua vớimọi giá trị của tham số m

 Bước 2: Thay x = x0; y = y0 vào hàm số được y0 = ax0 + b, ta biến đổi về dạng <=>

A( x ,y ).m  B( x ,y )  0, đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị của tham số

m hay phương trình có vô số nghiệm m

 Bước 3: Đặt điều kiện để phương trình có vô số nghiệm

IV Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Phương pháp:

Giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2

Là nghiệm của hệ phương trình 1 1

V Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm

Chứng minh đường thẳng y = A(m).x + B(m) luôn đi qua điểm A(xA; yA)

Phương pháp:

- Thay x = xA ; y = yA vào phương trình đường thẳng ta có phương trình:

yA= A(m).xA + B(m)

- Chứng tỏ đẳng thức yA= A(m).xA + B(m) đúng với mọi m

VI Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định

Chứng minh đường thẳng A (m).y = B(m).x + C(m) luôn đi qua điểm cố định

Phương pháp:

- Gọi điểm A(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua vói mọi m

- Thay x = x0 ; y = y0 vào phương trình đường thẳng và biến đổi về dạng:

VII Chứng minh ba đường thẳng đồng qui.

 Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng

 Bước 2: Chứng minh giao điểm đó thuộc đường thẳng còn lại

VII Tìm giá trị của tham số để ba đường thẳng đồng qui.

d1 : y = a1x + b1; d2: y = a2x + b2 d3: y = a3x + b3

 Bước 1: Tỡm giao điểm của hai đường thẳng đơn giản nhất.(giả sử d1 và d2)

Bước 2: Thay toạ độ giao điểm trờn vào phương trỡnh đường thẳng cũn lại (d3).Giải phương trỡnh và tỡm tham số (Kết hợp với điều kiện của tham số để đường thẳngcũn lại phải cắt hai đường thẳng kia là: a3 a2 a1 ) Ta tỡm được giỏ trị của tham số

VIII Xỏc định giỏ trị của tham số m để đường thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa

độ Ox, Oy tạo thành một tam giỏc cú diện tớch bằng c

 Bước 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giỏc thỡ

ta cú điều kiện cần là: a  0,b  0 => điều kiện của m

 Bước 2: Tỡm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lượt là

giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành  A(0 ; b) và B( b ;0

=> m = ? (kiểm tra với điều kiện ở bước 1)

IX Xỏc định giỏ trị của tham số m để đường thẳng y = ax + b cắt hai trục tọa độ

Ox, Oy tạo thành một tam giỏc cõn

Cỏch 1:

 Bước 1: Để đồ thị hàm số y = ax + b cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giỏc thỡ

ta cú điều kiện cần là: a  0,b  0 => điều kiện của m

 Bước 2: Tỡm giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ; giả sử A và B lần lượt là

giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành  A(0 ; b) và B( b ;0

Cỏch 2: Đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giỏc cõn khi và chỉ khi

đ-ường thẳng y = ax + b song song với đđ-ường thẳng y = x hoặc song song với đđ-ườngthẳng y = - x

C Các ví dụ:

Vớ dụ 1:

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.

H ớng dẫn :

4 2

b a

1) Tỡm điều kiện của m để hàm số luụn nghịch biến

2) Tỡm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 3

3) Tỡm m để đồ thị của hàm số trờn và cỏc đồ thị của cỏc hàm số y = -x + 2; y = 2x – 1đồng quy

2

x y

x y

 (x;y) = (1;1)

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần :

(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3 Với (x;y) = (1;1)  m = 21

Vớ dụ 3 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tỡm giỏ trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tỡm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luụn đi qua với mọi m Cho hàm số y = (m – 1)x+ m + 3

Hướng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta được : m = -3

Vậy với m = -3 thỡ đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

1

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2)

Ví dụ 4: Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phương trình đường thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song vớiđường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

b a

2 1

Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3

2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng

thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần :

2 3

2

2

m m

m m

 m = 2

Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng ABđồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

Ví dụ 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cốđịnh ấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

1 



)

C Bài tập.

Bài 1: a) Xác định các hệ số a và b để đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm A

có hoành độ bằng – 4 và cắt trục tung tại điểm B có tung độ bằng 3

b) Vẽ đồ thị hàm số trên và tính khoảng cách OH từ gốc tọa độ O đến AB

Bài 2: Xác định hàm số y = -2x + b biết đồ thị của nố đi qua điểm M(3; -5).

Bài 3: Xác định hệ số a để đường thẳng y = ax + 6 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

bằng 2

Bài 4: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng sau luôn đi qua với mọi giá trị của m.

a) y = (m – 2)x + 3 b) y = mx + (m + 2) c) y = (m – 1)x + (2m – 1)

Bài 5: Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng 2x + (m – 1)y = 1 luôn đi qua một

điểm cố định

Bài 6: Cho hàm số: y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:

a) Đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(3; -4)

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1- 2và cắt trục hoành tại điểm có hoành

độ bằng 2+ 2

c) Cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0

d) Song song vối đường thẳng 3x + 2y = 1

Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng: (d) y  (m 1 )x 2 và (d') y  3 x 1

a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau

Bài 8: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng: (d )y 2x 5; (d ) : y x 2; (d ) : y ax-12 1   2   3 

Đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài 9: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định

Bài 10: Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau :

y = 6 x

4

 ; y = 4x 5

3



và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Bài 11 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua

hai điểm

A(1; 3) và B(-3; -1)

Bài 12: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đường thẳng x – y + 3 = 0.

Bài 13 : Cho ba đường thẳng : d1: y = x + 2 ;d2 : y = 2x + 1 ; d3 : y = (m2 + 1)x + m a) Tìm giá trị của m để d3//d2

b) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại tại một điểm

Bài 14 : Cho đường thẳng d : y = mx + 2

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 1.c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn nhất

Bài 15 : Cho đường thẳng d1 : y = 2x + 4 ; d2 : y 1x 1

a) Chứng minh tam giác MAC vuông tại M

b) Tính diện tích tam giác MAC

Bài 16: Cho ba điểm A(0; 2), B(-3; -1), C(2; 4).

a) Xác định hệ số a, b biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b qua A, B

b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

 Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ có thể có chứa tham số.

2 Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số

- Hệ vô số nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) trùng với đường thẳng (2)

Hay a b c

a ' b' c' 

* Trong trường hợp các hệ số a, a’, b, b’ có thể bằng 0, ta có:

+ ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm duy nhất

+ ab’ – a’b = 0 hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

B Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

1 Phương pháp cộng đại số.

 Bước1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho

các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

 Bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có

một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình mộtẩn)

 Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu đợc, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

 Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương

trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn

 Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

- Dựa vào đồ thị, xét vị trí tơng đối của hai đường thẳng

+ Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì hệ có nghiệm duy nhất, dựa vào đồ thị đoánnhận nghiệm duy nhất đó, sau đó thử lại và kết luận nghiệm của hệ

+ Nếu hai đường thẳng song song thì hệ vô nghiệm

+ Nếu hai đường thẳng trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp giải hệ: (áp dụng cho

các hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu, dưới dấu căn bậc hai.)

 Bước 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phương trình

 Bước 2: Giải hệ phương trình không chứa tham số vừa thu được

Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số

- Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm x theo tham số m (hoặc y theo tham số m),

làm xuất hiện phương trình có dạng : Ax = B (1) (hoặc Ay = B)

 Nếu A = 0 thì phương trình (1) có dạng 0x = B

+) Khi B = 0 thì phương trình (1) có dạng 0x = 0

 phương trình có vô số nghiệm

=> hệ phương trình có vô số nghiệm+) Khi B 0 phương trình (1) vô nghiệm

=> hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu A  0 thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất B

A

=> hệ phương trình có nghiệm duy nhất

B x A