Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Tài liệu học tập môn Toán lớp 12 học kì 2” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Chúc các bạn học tập thật tốt nhé!
TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN Năm học 2022-2023 TỐN 12 TỐN TÀI LIỆU HỌC TẬP HỌC KỲ II Tóm tắt lý thuyết Ví dụ minh họa Bài tập tự luận Bài tập trắc nghiệm Họ tên: Lớp: π π π π π π π π π π π π π π π π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ π π π π Muåc luåc Phần I GIẢI TÍCH Chương NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chủ đề Nguyên hàm A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán Dạng 1.Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm Dạng 2.Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số 11 Dạng 3.Tìm nguyên hàm phương pháp phần 16 C Bài tập trắc nghiệm 19 Chủ đề Tích phân 30 A Tóm tắt lí thuyết 30 B Các dạng toán 31 Dạng 1.Dùng định nghĩa tính tích phân 32 Dạng 2.Tính tích phân bảng nguyên hàm 34 b Dạng 3.Tích phân hàm số chứa trị tuyệt đối | f ( x)| d x 40 a Dạng 4.Phương pháp đổi biến số 42 Dạng 5.Phương pháp phần 49 C Bài tập trắc nghiệm 55 Chủ đề Ứng dụng tích phân 76 A Tóm tắt lí thuyết 76 B Các dạng toán 78 Dạng 1.Diện tích hình giới hạn bởi: đồ thị hàm số - trục hoành hai cận 78 Dạng 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 81 Dạng 3.Thể tích khối trịn xoay 85 Dạng 4.Thể tích vật thể 87 Dạng 5.Bài toán thực tế: Tìm vận tốc, quãng đường 89 C Bài tập trắc nghiệm 92 TÀI LIỆU HỌC TẬP Chương NĂM HỌC 2022-2023 SỐ PHỨC 123 Chủ đề Số phức 123 A Tóm tắt lí thuyết 123 B Các dạng toán 125 Dạng 1.Xác định phần thực - phần ảo số phức 125 Dạng 2.Xác định mô-đun số phức 125 Dạng 3.Hai số phức 126 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm biểu diễn 127 Dạng 5.Số phức liên hợp 128 C Bài tập trắc nghiệm 129 Chủ đề Cộng, trừ nhân số phức 146 A Tóm tắt lí thuyết 146 B Các dạng toán 147 Dạng 1.Cộng trừ hai số phức 147 Dạng 2.Phép nhân hai số phức 149 C Bài tập trắc nghiệm 151 Chủ đề Phép chia số phức 163 A Tóm tắt lí thuyết 163 B Các dạng tập 164 Dạng 1.Phép chia số phức đơn giản 164 Dạng 2.Các tốn tìm phần thực phần ảo số phức 165 Dạng 3.Một số tốn xác định mơđun số phức 167 Dạng 4.Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN 168 C Bài tập trắc nghiệm 171 Chủ đề Phương trình bậc hai với hệ số thực 183 A Tóm tắt lí thuyết 183 B Các dạng toán 184 Dạng 1.Giải phương trình bậc hai hệ số thực 184 Dạng 2.Phương trình bậc cao với hệ số thực 185 Phần II Chương C Bài tập trắc nghiệm 188 HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHƠNG GIAN 200 MỤC LỤC ii TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chủ đề Hệ tọa độ không gian 200 A Tóm tắt lí thuyết 200 B Các dạng toán 206 Dạng 1.Các phép toán tọa độ vectơ điểm 206 Dạng 2.Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học 208 Dạng 3.Mặt cầu 209 C Bài tập trắc nghiệm 212 Chủ đề Phương trình mặt phẳng 232 A Tóm tắt lí thuyết 232 B Các dạng toán 236 Dạng 1.Sự đồng phẳng ba vec-tơ, bốn điểm đồng phẳng 236 Dạng 2.Diện tích tam giác 241 Dạng 3.Thể tích khối chóp 242 Dạng 4.Thể tích khối hộp 243 Dạng 5.Tính khoảng cách 244 Dạng 6.Góc hai mặt phẳng 246 Dạng 7.Vị trí tương đối hai mặt phẳng 247 Dạng 8.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 248 Dạng 9.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm có vectơ pháp tuyến cho trước 249 Dạng 10.Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng 250 Dạng 11.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm có cặp vectơ phương cho trước 250 Dạng 12.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm song song mặt phẳng cho trước 252 Dạng 13.Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng 253 Dạng 14.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng qua hai điểm cho trước 254 Dạng 15.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước 255 Dạng 16.Lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm vng góc với mặt phẳng cắt cho trước 256 Dạng 17.Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm cho trước 257 iii MỤC LỤC TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Dạng 18.Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu khoảng cách 258 C Bài tập trắc nghiệm 261 Chủ đề Phương trình đường thẳng khơng gian 287 A Tóm tắt lí thuyết 287 B Các dạng toán 289 Dạng 1.Viết phương trình đường thẳng biết điểm thuộc véc-tơ phương 289 Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước 291 Dạng 3.Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cho trước vng góc với mặt phẳng (α) cho trước 292 Dạng 4.Viết phương trình đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng cho trước 293 Dạng 5.Đường thẳng d qua điểm M song song với hai mặt phẳng cắt (P ) (Q ) 295 Dạng 6.Đường thẳng d qua M song song với mp(P ) vng góc với d ′ (d ′ khơng vng góc với ∆) 296 Dạng 7.Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng chéo d1 d2 298 Dạng 8.Vị trí tương đối đường thẳng 301 Dạng 9.Vị trí tương đối đường mặt 302 Dạng 10.Khoảng cách 302 Dạng 11.Góc 304 Dạng 12.Tọa độ hình chiếu điểm lên đường-mặt phẳng 305 C Bài tập trắc nghiệm 306 MỤC LỤC iv PHẦN I GIẢI TÍCH TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Chûúng NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ NGUN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Ch àïì A NGUN HÀM Tóm tắt lí thuyết Ą Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F ′ ( x) = f ( x) với x ∈ K Ą Định lí 1.1 Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K với số C , hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm hàm số f ( x) K Ą Định lí 1.2 Nếu F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) K nguyên hàm hàm số f ( x) K có dạng F ( x) + C , với C số Ą Định lí 1.3 Mọi hàm số f ( x) liên tục K có ngun hàm K Tính chất nguyên hàm Ą Tính chất 1.1 f ′ ( x) d x = f ( x) + C Ą Tính chất 1.2 k f ( x) d x = k Ą Tính chất 1.3 [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x) d x ( k số khác 0) f ( x) d x ± g ( x) d x Phương pháp tìm nguyên hàm 2.1 Phương pháp đổi biến số Ą Định lí 1.4 Nếu f ( u) d u = F ( u) + C u = u( x) hàm số có đạo hàm liên tục f ( u( x)) u′ ( x) d x = F ( u( x)) + C 2.2 Phương pháp phần Ą Định lí 1.5 Nếu hai hàm số u = u( x) v = v( x) có đạo hàm liên tục K u( x).v′ x() d x = u( x)v( x) − u′ ( x)v( x) d x TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Lưu ý: Vì u′ ( x) d x = dv, u′ ( x) d x = d u nên đẳng thức viết dạng u d u = uv − Để tính nguyên hàm v d v f ( x) d x phần ta làm sau: ○ Bước Chọn u, v cho f ( x) d x = u dv (chú ý dv = v′ ( x) d x) Sau tính v = dv d u = u ′ · d x ○ Bước Thay vào công thức (∗) tính vd u Lưu ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân dễ tính u d v Ta thường gặp dạng sau: Dạng I = P ( x) sin x cos x d x Với dạng này, ta đặt u = P ( x) sin x dv = cos x Dạng I = dx P ( x) e ax+b d x, P ( x) đa thức Với dạng này, ta đặt u = P ( x) Dạng I = dv = e ax+b d x P ( x) ln ( mx + n) d x, P ( x) đa thức Với dạng này, ta đặt u = ln ( mx + n) Dạng I = sin x cos x x d v = P ( x) d x e d x Với dạng này, ta đặt sin x u= cos x dv = e x d x BẢNG NGUYÊN HÀM dx = x + C xn dx = x n+1 +C n+1 dx = − +C x x2 dx = ln | x| + C x ex d x = ex + C ax +C ln a 11 axdx = 13 cos xd x = sin x + C kd x = kx + C (ax + b)n d x = 10 12 14 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (ax + b)n+1 +C a n+1 dx 1 =− +C a ax + b (ax + b) dx = ln |ax + b| + C ax + b a eax+b d x = eax+b + C a aα x+β aα x+β d x = +C α ln a cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a v du TÀI LIỆU HỌC TẬP sin xd x = − cos x + C 15 16 dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x 17 19 18 20 21 tan xd x = − ln |cos x| + C 22 23 cot xd x = ln |sin x| + C 24 25 B NĂM HỌC 2022-2023 x2 − a2 dx = x−a ln +C 2a x+a 26 sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a dx = tan(ax + b) + C cos (ax + b) a dx = − cot(ax + b) + C a sin (ax + b) tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a x d x = arctan + C 2 a a x +a Các dạng tốn Dạng Tính ngun hàm bảng ngun hàm Phương pháp giải: Phương pháp Tích đa thức lũy thừa −−−−−−−−−−→ khai triển Phương pháp Tích hàm mũ −−−−−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ Phương pháp Chứa −−−−−−−−−−→ chuyển lũy thừa Phương pháp Tích lượng giác bậc sin cos −−−−−−−−−−→ sử dụng cơng thức tích thành tổng ○ sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] ○ cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] ○ sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] Phương pháp Bậc chẵn sin, cos −−−−−−−−−−→ hạ bậc ○ sin2 a = 1 − cos 2a 2 ○ cos2 a = Nguyên hàm hàm số hữu tỷ 1 + cos 2a 2 P ( x) d x với P ( x), Q ( x) đa thức Q ( x) Phương pháp ○ Nếu bậc tử P ( x) ≥ bậc mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ chia đa thức Phương pháp ○ Nếu bậc tử P ( x) < bậc mẫu Q ( x) −−−−−−−−−−→ phân tích mẫu số Q ( x) thành tích số, sử dụng đồng thức đưa tổng phân số Bx + C A + , với ∆ = b2 − 4ac x − m ax + bx + c ( x − m) A B C D ✓ = + + + ( x − a)2 ( x − b)2 x − a ( x − a)2 ( x − b) ( x − b)2 ✓ ax2 + bx + c = NGUYÊN HÀM TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Ví dụ minh họa VÍ DỤ Tính nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x) = x2 + x BÀI GIẢI b) f ( x) = x2 − x ( x + 1) a) Ta có: F ( x) = x2 x2 + x d x = x3 + + C b) Ta có: F ( x) = x2 − x ( x + 1)d x = x3 − x2 − x d x = x4 x3 x2 − − + C Nguyên hàm hữu tỷ Nguyên hàm hàm hữu tỷ P ( x) d x Q ( x) VÍ DỤ Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x) = BÀI GIẢI x2 − x + x b) f ( x) = x2 − x + dx = x 2x + x+1 c) f ( x) = 2x − x2 − x − d x = x2 − x + ln | x| + C x b) Thực chia đa thức x + cho x + ta 2x + 1 f ( x) = = 2− x+1 x+1 F ( x) = d x = x − ln | x + 1| + C 2− x+1 a) F ( x) = 2x − + (Sắp xếp phép chia đa thức hình bên) 2x − A B ( A + B) x − A + B = + = ( x + 1)( x − 2) x + x − ( x − 2)( x + 1) A+B =2 A=1 Đồng thức vế ta được: ⇔ − A + B = −1 B=1 2x − 1 = + Ta viết lại: f ( x) = ( x − x − 2) x + x − 2x − 1 Khi đó: F ( x) = dx = + d x = ln | x + 1| + ln | x − 2| + C x+1 x−2 x − x−2 c) Ta viết f ( x) = 2x − ( x2 − x − 2) = Tìm nguyên hàm Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện F ( x0 ) = k VÍ DỤ Tìm ngun hàm F ( x) hàm số sau: a) f ( x) = − x3 + x2 − x thỏa mãn F (1) = b) f ( x) = f ( x) = c) f ′ ( x) = thỏa mãn F (1) = ln 2x − , biết f (0) = f (2) = Tính giá trị P = f (−2) + f (5) x−1 BÀI GIẢI CHƯƠNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : không thuộc d ? A E (2; −2; 3) B N (1; 0; 1) x−1 y z−1 = = Điểm −2 C F (3; −4; 5) D M (0; 2; 1) Câu 24 Trong khơng gian Ox yz cho M (−1; 2; 3) Hình chiếu vng góc M trục Ox điểm có tọa độ? A P (−1; 0; 0) B Q (0; 2; 3) Câu 25 Đường thẳng ∆ : C K (0; 2; 0) D E (0; 0; 3) x−1 y+2 z = = không qua điểm đây? −1 A A (−1; 2; 0) B (−1; −3; 1) C (3; −1; −1) Câu 26 Trong không gian Ox yz, đường thẳng d : đây? A (−1; 2; −3) B (1; −2; 3) D (1; −2; 0) x−1 y+2 z−3 = = qua điểm sau −4 −5 C (−3; 4; 5) D (3; −4; −5) Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho ba điểm A (3; −1; 2), B(4; −1; −1), C (2; 0; 2) x y+2 z−3 = = Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ABC ) −1 Độ dài đoạn thẳng OM đường thẳng d : A 2 B C D x−1 y+1 z−2 = = −1 mặt phẳng (P ) : x + y + z + = Điểm B thuộc mặt phẳng (P ) thỏa mãn đường thẳng AB vng góc cắt đường thẳng d Tọa độ điểm B Câu 28 Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; 2; −1), đường thẳng d : A (6; −7; 0) B (3; −2; −1) C (−3; 8; −3) D (0; 3; −2) Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm M (1; 0; 1) x y z lên đường thẳng (∆) : = = A (2; 4; 6) B 1 1; ; C (0; 0; 0) D ; ; 7 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm A (3; 2; −1) lên mặt phẳng (α) : x + y + z = A (−2; 1; 1) B ; ;− 3 C (1; 1; −2) D 1 ; ; 4 Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, hình chiếu điểm M (−1; 0; 3) theo phương véc-tơ #» v = (1; −2; 1) mặt phẳng (P ) : x − y + z + = có tọa độ A (2; −2; −2) B (−1; 0; 1) C (−2; 2; 2) D (1; 0; −1) Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz cho đường thẳng d : Điểm sau không thuộc đường thẳng d ? A Q (−2; −4; 7) B N (4; 0; −1) C M (1; −2; 3) x−1 y+2 z−3 = = −4 D P (7; 2; 1) x+1 y z−2 = = , mặt phẳng 1 (P ) : x + y − z + = điểm A (1; −1; 2) Đường thẳng ∆ cắt d (P ) M N cho A trung điểm MN Một véc-tơ phương ∆ Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : u = (2; 3; 2) A #» 323 u = (1; −1; 2) B #» u = (−3; 5; 1) C #» CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN u = (4; 5; −13) D #» TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 x = + t Câu 34 Trong hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (−1; 1; 6) đường thẳng ∆ : y = − t Hình chiếu z = 2t vng góc A ∆ A M (3; −1; 2) B H (11; −17; 18) C K (2; 1; 0) D N (1; 3; −2) Câu 35 Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; −2; 6), B(−3; 1; −2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Ox y) điểm M Tính tỉ số A AM BM B C Câu 36 Điểm sau thuộc đường thẳng (d ) : A (0; 1; 1) B (2; 1; 2) D z x y+3 = = −1 C (2; −1; −2) D (2; −2; −1) x = + t Câu 37 Trong khơng gian Ox yz, tìm tọa độ hình chiếu H A (1; 1; 1) lên đường thẳng d : y = + t z=t A H 4 ; ; 3 B H (1; 1; 1) C H (0; 0; −1) D H (1; 1; 0) Câu 38 Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; 4; 2), B(−1; 2; 4) đường thẳng d : y+2 z = Điểm M (a; b; c) ∈ d cho M A + MB2 = 28 Tính a + b + c A B C Câu 39 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : x−1 = −1 D x+1 y+3 z+2 = = điểm A (3; 2; 0) Tìm 2 tọa độ điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng d A (−1; 0; 4) B (7; 1; −1) C (2; 1; −2) D (0; 2; −5) Câu 40 Trong không gian tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y − z + = điểm A (1; 1; −2) Điểm H (a; b; −1) hình chiếu vng góc A mặt phẳng (P ) Tổng a + b A B −1 C −3 D x−1 y−2 z−1 = = , A (2; 1; 4) 1 3 Gọi H (a; b; c) điểm thuộc d cho AH có độ dài nhỏ Tính T = a + b + c Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : A T = B T = 62 C T = 13 D T = 45 Câu 42 Trong không gian Ox yz, cho A (1; 0; 0), B(0; 2; 0), C (0; 0; 1) Trực tâm tam giác ABC có tọa độ 4 2 ; ; D ; ; 9 9 9 x+1 y z−2 Câu 43 Trong không gian x yz, cho đường thẳng d : = = hai điểm A (−1; 3; 1), −1 B (0; 2; −1) Gọi C ( m; n; p) điểm thuộc d cho diện tích tam giác ABC 2 Giá trị T = m + n + p A (2; 1; 2) B (4; 2; 4) C A T = B T = −1 C T = −2 D T = Câu 44 Trong không gian Ox yz, cho tam giác ABC vuông A , ABC = 30◦ , BC = 2, đường thẳng BC có phương trình x−4 y−5 z+7 = = , đường thẳng AB nằm mặt phẳng (α) : x + 1 −4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 324 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 z − = Biết đỉnh C có cao độ âm Tìm hồnh độ đỉnh A z x−2 y+1 = = mặt phẳng Câu 45 Trong không gian hệ toạ độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : −2 −1 (P ) : x + y + z − = Gọi I giao điểm ∆ (P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho M I vng góc với ∆ M I = 14 A B C A M (4; 7; −11), M (−3; −7; 13) C M (5; 9; −11), M (3; 7; −13) D B M (5; 9; −11), M (−3; −7; 13) D M (5; 9; −11) Góc x = − t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = + t mặt phẳng z = 3+ t (P ) : x − y + = Tính số đo góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) A 60◦ B 30◦ C 120◦ Câu Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng ∆ : Góc gữa đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) A 30◦ B 60◦ D 45◦ x y z = = mặt phẳng (α) : x − y + z = −1 C 150◦ D 120◦ Câu Trong không gian Ox yz cho đường thẳng (d ) giao tuyến hai mặt phẳng (P ) : x − π z sin α + cos α = 0, (Q ) : y − z cos α − sin α = 0, α ∈ 0; Góc ( d ) trục Oz A 30◦ B 45◦ C 60◦ Câu Trong không gian Ox yz, góc tạo đường thẳng d : D 90◦ y−1 z x−1 = = mặt phẳng (P ) : x − y − z + = có số đo A 30◦ B 60◦ C 90◦ D 45◦ Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + = đường thẳng d : x−1 y z+1 = = Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) −1 A 60◦ B 120◦ C 150◦ D 30◦ Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho điểm H (2; −1; −2) hình chiếu vng góc gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P ), số đo góc mặt phẳng (P ) mặt phẳng (Q ) : x− y−11 = bao nhiêu? A 45◦ B 30◦ C 90◦ D 60◦ #» Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho ba véc-tơ #» a = (−1; 1; 0), b = (1; 1; 0), #» c = (1; 1; 1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? #» a #» c = a b phương A #» B #» #» #» #» C cos b , #» c = D #» a + b + #» c = x−1 y+1 z−2 = = mặt phẳng −2 −1 (P ) : x − y − z + = Gọi α góc đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) Khẳng định sau Câu Trong không gian tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : đúng? 325 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN TÀI LIỆU HỌC TẬP A cos α = NĂM HỌC 2022-2023 B cos α = − Câu Trong không gian tọa độ Ox yz, cho đường thẳng ∆ : (α) : x − y − z + = Khẳng định sau đúng? A ∆ song song với (α) C ∆ vng góc với (α) C sin α = D sin α = − x−1 y+1 z−2 = = mặt phẳng −2 B ∆ nằm (α) D ∆ cắt khơng vng góc với (α) x = 5+ t Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : y = −2 + t , ( t ∈ R) mặt z = + 2t phẳng (P ) : x − y + z − = Hãy xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P ) A 90◦ B 45◦ C 30◦ D 60◦ Câu 11 Trong không gian Ox yz, gọi d đường thẳng qua điểm A (1; −1; 2), song song với mặt phẳng (P ) : x − y − z + = 0, đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : Phương trình đường thẳng d x−1 y+1 z−2 = = −4 x−1 y+1 z−2 C = = −3 x+1 y−1 z = = góc lớn −2 x−1 y−1 z−2 = = −2 x−1 y+1 z−2 D = = A B Câu 12 Trong không gian Ox yz, gọi d đường thẳng qua O , nằm mặt phẳng (O yz) cách điểm M (1; −2; 1) khoảng nhỏ Côsin góc d trục tung A B C D Câu 13 Cho hàm số f ( x) xác định R \ {−2} thỏa mãn f ′ ( x) = 3x − , f (0) = 1, f (−4) = Giá x+2 trị biểu thức f (2) + f (−3) A 12 B − 20 ln C ln D 10 + ln ′ x = x = + t Câu 14 Trong không gian Ox yz, cho hai đường thẳng ∆1 : y = + t ∆2 : y = Một ′ z = 1− t z = 1− t véc-tơ phương đường phân giác góc nhọn tạo ∆1 ∆2 #» = (1; −1; 0) A m #» B k = (1; 1; 0) p = (2; −2; −4) C #» q = (1; 1; −2) D #» Câu 15 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng π (P ) : x − z · sin α + cos α = (Q ) : y − z · cos α − sin α = 0, α ∈ 0; Góc d trục Oz A 30◦ B 45◦ C 60◦ D 90◦ Khoảng cách Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (2; 1; 1) đường thẳng d : y−2 z−3 = Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d −2 A B C x−1 = D Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + = điểm A (2; −1; 3) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (P ) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 326 TÀI LIỆU HỌC TẬP A d= 24 30 NĂM HỌC 2022-2023 23 B d= 11 C d= 20 30 D d= 24 14 Câu Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (2; 0; 0), B(0; 3; 1), C (−1; 4; 2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC A B C D B 110 23 C 55 D x = −t x y−4 z+1 Câu Tính khoảng cách hai đường thẳng d1 : = = d2 : y = + t −1 −2 z = −4 + t A 110 55 11 Câu Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z − = đường thẳng ∆ : y+1 z−1 = Khoảng cách ∆ (P ) −1 A B 3 C x−1 = D Câu Trong không gian tọa độ Ox yz, khoảng cách trục Oz mặt phẳng (P ) : x − y − = A B C D 2 Câu Trong không gian Ox yz, khoảng cách đường thẳng d : (P ) : x + y + z + = A 3 B C x−1 y z = = mặt phẳng 1 −2 D Câu Trong không gian Ox yz, khoảng cách từ điểm M (2; −4; −1) tới đường thẳng x = t ∆ : y = − t z = + 2t A B 14 C D 14 Câu Trongkhông gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ có x = −1 + t phương trình y = − t Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) z = −3 − t A − B C D x = + t Câu 10 Trong không gian Ox yz, khoảng cách đường thẳng ∆ : y = + t , ( t ∈ R) mặt z = 2+ t phẳng (P ) : x − y + z = A B C Câu 11 Trong không gian Ox yz, cho hai đường thẳng d : Khoảng cách d d ′ 327 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN D x y z x y−1 z+1 = = d ′ : = = 1 1 1 TÀI LIỆU HỌC TẬP A NĂM HỌC 2022-2023 B C D Câu 12 Trong không gian Ox yz, gọi M giao điểm đường thẳng d : x−2 y z−3 = = mặt phẳng O yz Tính OM A OM = B OM = C OM = 14 y z x−1 = = điểm A (1; 6; 0) Tìm giá −1 Câu 13 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : trị nhỏ độ dài M A với M ∈ d A B D OM = C D 30 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, khoảng cách h từ điểm A (−4; 3; 2) đến trục Ox A h = B h = 13 C h = D h = Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = điểm A (1; −3; 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) A B 29 C 29 D 29 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho điểm A (3; 2; 1) Tính khoảng cách từ A đến trục O y A B 10 C D 10 x = − t Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d : y = t , t ∈ R z = −t ′ x = 2t y = −1 + t′ , t′ ∈ R Khoảng cách hai đường thẳng d d ′ d′ : A z = t′ 14 B C 14 D Câu 18 Trong không gian với tọa độ Ox yz, cho điểm A (1; 2; 3) Khoảng cách từ A đến trục O y A 10 B 10 C D x y z+1 = = mặt phẳng −1 (P ) : x − y − z + = Điểm A thuộc d thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P ) 3? Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : A A (4; −2; 1) B A (2; −1; 0) C A (−2; 1; −2) Câu 20 Trong khơng gian Ox yz, tính khoảng cách đường thẳng d : trục Ox A B C D A (0; 0; −1) x−1 y+2 z−4 = = −4 D Câu 21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, tính khoảng cách từ điểm M (1; 3; 2) đến x = + t đường thẳng y = + t z = −t A B C 2 D 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 328 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Câu 22 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ có x = −1 + t phương trình tham số y = − t Khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (P ) z = −3 − t A − B C D Câu 23 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + = 0, điểm A (2; 4; 5) đường thẳng d : M A x+1 y−3 z−2 = = Tìm tọa độ điểm M d cho khoảng cách từ M đến (P ) −1 A M (−1; 3; 2) C M (17; −6; 11) B M (1; 2; 3) M (17; 6; 11) D M (1; 2; 3) (17; −6; 11) Câu 24 Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; 2; 3) Khoảng cách từ điểm A đến trục hoành A 13 B C 10 D Câu 25 Trong không gian tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y − z + = hai điểm A (1; −1; 4), B(3; −3; 2) Gọi K giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P ) Tính tỉ số t= KA KB A t = B t= C t = 2 D t= x = + t x−1 y z Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2 : y = + t z=m Gọi S tập tất số m cho d1 d2 chéo khoảng cách chúng 19 Tính tổng phần tử S A −11 B 12 C −12 D 11 Câu 27 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z − = đường thẳng d : x−1 = y+1 z = Biết điểm A (a; b; c), ( c < 0) điểm nằm đường thẳng d cách (P ) khoảng −1 Tính tổng S = a + b + c A S = 2 B S=− C S = D S= 12 Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x − y + z = Trong đường thẳng sau, đường thẳng vng góc với (α) A d1 : x y−1 z = = −1 B d3 : x y+1 z = = −1 −1 C d2 : x y−1 z = = −1 −1 x = 2t D d4 : y = z = −t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, tọa độ giao điểm M đường thẳng d : y−9 z−1 = mặt phẳng (P ) : x + y − z − = A M (0; 2; 3) 329 B M (0; 0; −2) C M (0; 0; 2) CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN x − 12 = D M (0; −2; −3) TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Câu Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d qua điểm M , nhận véc-tơ #» a làm véc-tơ #» ′ ′ ′ phương đường thẳng d qua điểm M , nhận véc-tơ a làm véc-tơ phương Điều kiện để đường thẳng d song song với d ′ #» #» #» #» a = k #» a ′ , ( k ̸= 0) a = k #» a ′ , ( k ̸= 0) a = #» a′ a ̸= k #» a ′ , ( k ̸= 0) A B C D ′ ′ ′ ′ M ̸∈ d M∈d M∈d Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : phẳng mặt phẳng sau vng góc với đường thẳng d A ( T ) : x + y + z + = C (Q ) : x − y − z + = M ̸∈ d x−1 y−2 z+2 = = Mặt −2 B ( P ) : x − y + z + = D ( R ) : x + y + z + = Câu Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x − y = Mệnh đề đúng? A (α) ∥ (Ox y) B (α) ∥ Oz C Oz ⊂ (α) Câu Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : vuông góc với đường thẳng d ? A (Q ) : x − y − z + = C (R ) : x + y + z + = D O y ⊂ (α) y−2 z+2 x−1 = = Mặt phẳng sau −2 B ( P ) : x − y + z + = D ( T ) : x + y + z + = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : z − = Mệnh đề sau sai? A (α) ∥ (Ox y) B (α) ⊥ O y C (α) ∥ Ox D (α) ⊥ Oz Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d có véc-tơ phương #» u mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #» n Mệnh đề đúng? u vng góc với #» n d song song với (P ) A #» #» n d cắt (P ) B u khơng vng góc với #» C d song song với (P ) D d vng góc với (P ) #» u phương với #» n #» u vng góc với #» n Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : mặt phẳng (P ) : x − y + z − = Mệnh đề sau đúng? A d cắt khơng vng góc với (P ) C d song song với (P ) x−1 y+1 z−5 = = −3 B d vng góc với (P ) D d nằm (P ) x = −1 + t Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d : y = − t , t ∈ R z = − 2t x − y − z − d′ : = = Vị trí tương đối d d ′ −3 A song song B trùng C chéo Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng (d ) : phẳng (P ) qua điểm M (2; 0; −1) vng góc với d có phương trình A ( P ) : x − y + z = B ( P ) : x − y − = C (P ) : x + y + z = D cắt x−1 y+2 z = = Mặt −1 D ( P ) : x − y − z = Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A (1; 2; 0) vng góc với đường thẳng d : x−1 y z+1 = = −1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 330 TÀI LIỆU HỌC TẬP A x + y − = Câu 13 Đường thẳng d : NĂM HỌC 2022-2023 B x + y − z + = C −2 x − y + z − = D −2 x − y + z + = x y−2 z+3 = = vng góc với mặt phẳng sau đây? A (α1 ) : x + y + z − 2018 = C (α3 ) : x + y + z − 2017 = B (α2 ) : x + y − z − 2017 = D (α4 ) : x − y + z − 2018 = x = −3 + t x+4 y+2 ∆′ : Câu 14 Trong không gian Ox yz, cho hai đường thẳng ∆ : y = − t = = z = −1 + t z−4 Khẳng định sau đúng? −1 A ∆ trùng với ∆′ C ∆ ∆′ song song với B ∆ ∆′ chéo D ∆ cắt ∆′ Câu 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x+2 y−1 z = = Xét vị trí tương đối hai đường thẳng cho −2 −1 A Chéo B Trùng C Song song x−1 y z+2 = = −2 D Cắt x = Câu 16 Trong không gian Ox yz cho đường thẳng d : y = + t ( t ∈ R) hai mặt phẳng (P ) : x− z = −1 + t y + z + = 0, (Q ) : x + y − z − = Khẳng định sau đúng? A d ∥ ( P ) B d ∥ (Q ) C (P ) ∩ (Q ) = d D d ⊥ ( P ) x = + t x−1 y−m z+2 Câu 17 Cho hai đường thẳng d1 : y = − t d2 : = = (với m tham số) Tìm −1 z = + 2t m để hai đường thẳng d , d cắt A m = B m = C m = D m = 2 Câu 18 Trong không gian Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x + y + z + x − y − z + = Mặt phẳng tiếp xúc với (S ) song song với mặt phẳng (P ) : x − y + z − 11 = có phương trình A x − y + z + = B x − y + z − = C x − y + z + = D x − y + z − = Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, gọi (α) mặt phẳng chứa đường thẳng d : x−2 = y−3 z = vng góc với mặt phẳng (β) : x + y − z + = Hỏi giao tuyến (α) (β) qua điểm đây? A (2; 3; 3) B (5; 6; 8) C (0; 1; 3) D (1; −2; 0) Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho hai đường thẳng (d1 ) : (d2 ) : x−1 y−2 z−1 = = Mặt phẳng cách hai đường thẳng (d1 ) (d2 ) có phương trình −1 A 14 x − y − z + = C 14 x − y − z − = B 14 x − y − z + = D 14 x − y − z − = Câu 21 Gọi M (a; b; c) giao điểm đường thẳng d : (P ) : x − y + z − = Khi tổng T = a + b + c 331 x−2 y−2 z−3 = = CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN x+1 y−1 z−3 = = mặt phẳng −2 TÀI LIỆU HỌC TẬP A NĂM HỌC 2022-2023 B C D Câu 22 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x − y − z + = Phương trình phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (α)? x+1 y+1 z x+1 y−1 z D = = = = −1 −1 −1 −1 x−1 y−1 z−2 = = mặt Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : −3 phẳng (P ) : x + y + z − = Khẳng định đúng? A x+1 y+1 z = = −2 A d cắt (P ) B x+1 y−1 z = = −2 B d ∥ (P ) C C d ⊂ (P ) D d ⊥ ( P ) Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, khoảng cách đường thẳng (d ) : z+3 mặt phẳng (P ) : x − y + z + = A B 14 C x−1 y−2 = = D x = −3 + t Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng ∆1 : y = − t z = −1 + t x+4 y+2 z−4 ∆2 : = = Khẳng định sau đúng? −1 A ∆1 cắt vng góc với ∆2 C ∆1 ∆2 song song với B ∆1 , ∆2 chéo vng góc với D ∆1 cắt khơng vng góc với ∆2 Câu 26 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (α) : − x + m2 y + mz + = đường thẳng d: x−1 y+1 z−1 = = Tìm tất giá trị thực tham số m để d song song với (α) −1 A m = m = − B m = C m=− D Không tồn m Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho đường thẳng có phương trình d : x−2 = y−1 z−1 = Xét mặt phẳng (P ) : x + m y + m2 − z − = 0, với m tham số thực Tìm tất −1 giá trị tham số m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) A m = B m = −1 C m = −1 m=2 D m = x = −1 + t Câu 28 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x−3 y+2 z−5 = đường thẳng d : y = + t ( t z = 3t R) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A d cắt (P ) B d ⊂ (P ) C d ∥ (P ) Câu 29 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : y + z + = Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A d song song với (P ) C d cắt khơng vng góc với (P ) D d ⊥ ( P ) x+1 y z−1 = = mặt phẳng (P ) : x − −1 −3 B d nằm (P ) D d vuông góc với (P ) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 332 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 x+2 y−1 z = = mặt phẳng (α) 1 có phương trình x + (2m − 1) y − m2 z − = với m tham số Tập hợp giá trị m thỏa mãn d ∥ (α) Câu 30 Trong không gian tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : A {−1; 3} B {−1} C {3} D ∅ Câu 31 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho điểm M (1; 2; −1) đường thẳng (d ) có x−1 y+3 z phương trình = = Mặt phẳng (P ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ( d ) −1 có phương trình A x − y + z + = B x + y − z − = C x + y − z + = D x − y + z − = Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai mặt phẳng (P ) : x + y − z + = (Q ) : x + y − z + = cắt theo giao tuyến đường thẳng (∆) Một véc-tơ phương (∆) có tọa độ A #» B #» C #» D #» u = (0; −3; 3) u = (1; 1; −1) u = (0; 1; 1) u = (2; −1; 1) Câu 33 Trong không gian tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : y−1 z−2 = Chọn khẳng định −1 A d1 d2 song song C d1 d2 trùng x−1 y+1 z−2 x−2 = = , d2 : = B d1 d2 cắt D d1 d2 chéo Câu 34 Trong không gian hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng ∆1 : x = −3 + t ∆2 : y = − t Khẳng định sau đúng? z = −1 + t A ∆1 cắt khơng vng góc với ∆2 C ∆1 ∆2 song song với x+4 y+2 z−4 = = −1 B ∆1 cắt vng góc với ∆2 D ∆1 , ∆2 chéo vng góc với Câu 35 Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + z − = đường thẳng d : y z+1 = Trong mệnh đề đây, mệnh đề đúng? −1 A d ⊥(P ) C d ⊂ (P ) x−1 = B d ∥ (P ) D d hợp với P góc 30◦ Câu 36 Trong không gian Ox yz, cho hai đường thẳng d1 : y−3 z−9 x−3 x−7 = = d2 : = −1 −1 y−1 z−1 = Chọn khẳng định khẳng định sau A d1 d2 chéo C d1 d2 cắt B d1 d2 vng góc với D d1 d2 trùng z x+1 y−1 = = mặt phẳng (P ) : x + −2 ( m + 3) y + (4 m + 3) z + = Tìm giá trị m cho d ∥ (P ) Câu 37 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : A m = B m = −1 C m ̸= −2 D m ∈ ∅ Câu 38 Trong không gian Ox yz cho ba điểm A (2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0; 1) M (2; 1; 2) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) A 333 15 B C CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN 13 D TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Bài toán liên quan đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu Câu Trong không gian Ox yz, cho mặt phẳng (P ) qua điểm A (1; 0; 2) vng góc với đường thẳng (d ) : x y−1 z+2 = = có phương trình −1 A x − y + z + = B x + y − z + = C x − y + z − = D x + y − z − = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ x y z vng góc với đường thẳng (d ) : = = A x + y + z + = 1 B x − y − z = C x + y + z = D x + y + z = x+1 y−1 z−3 = = điểm A (0; −3; 1) −2 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d Câu Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : A x − y + z + = B x − y + z − = C x − y + z − 10 = Câu Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d : phẳng (P ) qua điểm M (2; 0; −1) vng góc với d A (P ) : x − y − z = B (P ) : x − y − = D x − y + z − = x+3 y−2 z−1 = = Viết phương trình mặt −1 C ( P ) : x + y + z = D ( P ) : x − y + z = Câu Trong không gian Ox yz, tọa độ giao điểm M đường thẳng d : mặt phẳng (α) : x + y + z − = A M (1; −1; 0) B M (−1; 0; 1) C M (−1; 1; 0) y+1 z x−1 = = −2 D M (1; 0; −1) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A (1; 2; 0) vuông góc với đường thẳng d : x−1 y z+1 = = −1 A (P ) : x + y − = C ( P ) : − x − y + z − = B ( P ) : x + y − z + = D (P ) : − x − y + z + = Câu Trong không gian tọa độ Ox yz, mặt phẳng qua điểm A (0; 1; 0) chứa đường thẳng (∆) : x−2 y−1 z−3 = = có phương trình −1 A x − y + z + = B x − y + z + = C x + y + z − = D x + y − z − = Câu Trong hệ tọa độ Ox yz, cho hai đường thẳng chéo d1 : d2 : x−2 y+2 z−6 = = −2 x−4 y+2 z+1 = = Phương trình mặt phẳng (P ) chứa d1 song song với d2 −2 A (P ) : x + y + z − 12 = C (P ) : x + y + z − 16 = B (P ) : x + y + z + 16 = D (P ) : x + y − = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : qua điểm M (2; 0; −1) vng góc với d có phương trình A ( P ) : x − y + z = B ( P ) : x − y − = x−1 y+2 z = = Mặt phẳng −1 C (P ) : x − y − z = Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho đường thẳng d : A (−2; 1; 3) Phương trình mặt phẳng qua A d A x + y − z + = B x − y + z + = C x + y − z − = D ( P ) : x + y + z = x−1 y+2 z−3 = = điểm −1 D x + y + z − = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 334 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai mặt phẳng (P ) : x − y − z + = (Q ) : x + y + z − = Mặt phẳng (R ) qua điểm M (1; 1; 1) chứa giao tuyến (P ) (Q ) Phương trình (R ) : m( x − y − z + 3) + (2 x + y + z − 1) = Khi giá trị m A B 3 C − D −3 x−1 y+2 = = 1 Câu 12 Trong không gian Ox yz, gọi (P ) mặt phẳng qua hai đường thẳng d1 : x = −1 + t z−3 d2 : y = + t ( t ∈ R) Khoảng cách từ A (−1; 1; 1) đến mặt phẳng (P ) z = 2t A 13 107 B 107 C 15 D 13 15 Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Ox yz, cho hai đường thẳng d1 , d2 có phương x y−2 z−2 x−1 y z+2 = = , d2 : = = Phương trình mặt phẳng cách hai đường −3 thẳng d1 , d2 trình d1 : A x − y + z + = B x − y + z − = C x − y + z + = D x − y + z = Câu 14 Trong không gian Ox yz, mặt phẳng qua điểm A (1; 2; −2) vng góc với đường thẳng ∆ : x+1 y−2 z+3 = = có phương trình A x + y + z − = B x + y + z + = C x + y + z + = D x + y + z − = y+4 z−2 x−3 = = 3 Phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm P vng góc với đường thẳng d ? Câu 15 Trong không gian Ox yz, cho điểm P (3; 1; 3) đường thẳng d : A x − y + z + = B x + y + z − = C x + y + z − 15 = D x + y + z − 15 = Câu 16 Trong không gian Ox yz, phương trình phương trình đường thẳng qua điểm M (1; 2; −3) vuông góc với mặt phẳng (P ) : x − y + z + = 0? x+1 = x−3 = C A y+2 z−3 = −1 y−1 z+5 = −2 x−3 y−1 z+5 = = −1 −3 x−1 y−2 z+3 = = D −3 −5 B Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho mặt phẳng (α) : x + y − z − = đường thẳng x+1 y−1 z−2 = = Phương trình phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 ( d ) vng góc với mặt phẳng (α)? d: A x − y − z − = B x + y − z + = C x + y + z − = D x − y − z + = Câu 18 Trong không gian Ox yz, mặt cầu (S ) có tâm thuộc đường thẳng qua hai điểm A (−1; 2; 1), B(1; 3; 0) Bán kính mặt cầu (S ) A R= 146 B R= C R= 326 x−1 y+1 z = = −1 D R= 66 Câu 19 Trong không gian Ox yz cho mặt cầu (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = tiếp xúc với hai mặt phẳng (P ) : x + y + z + = 0, (Q ) : x − y + z − = điểm A , B Độ dài đoạn thẳng AB A 335 B C CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN D TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 Câu 20 Trong không gian Ox yz, cho mặt cầu x2 + y2 + z2 = điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc đường x = + t thẳng d : y = + t Ba điểm A , B, C phân biệt thuộc mặt cầu cho M A , MB, MC z = − 3t tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng ( ABC ) qua D (1; 1; 2) Tổng T = x02 + y02 + z02 A 30 B 26 C 20 D 21 Câu 21 Trong không gian Ox y, cho mặt phẳng (α) : x + y + z + = đường thẳng d : x y+1 = = z−2 Gọi ∆ hình chiếu d (α) #» u (1; a; b) vectơ phương ∆ với a, b ∈ Z −1 Tính tổng a + b A B C −1 D −2 x y−2 z+1 = = mặt phẳng (P ) : x − y − z − = Phương trình −3 hình chiếu vng góc d (P ) x = − t x = − t x = − t x = − t y = + 2t A y = + 2t B C y = − 2t D y = + 2t z = −2 − t z = −2 + t z = −2 − t z = − 3t Câu 22 Cho đường thẳng d : x−1 y−2 z−2 = = điểm A (1; 2; 1) Tìm bán kính mặt cầu −2 có tâm I nằm d , qua A tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − y + z + = Câu 23 Cho đường thẳng d : A R = B R = C R = D R = x+1 y−2 z−2 = = Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; −1) cắt −2 d điểm A , B cho AB = Câu 24 Cho đường thẳng d : A ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = 25 C ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = B ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = D ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = 16 Câu 25 Trong không gian Ox yz, cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 −2ax−2 b y−2 cz + d = với a, b, c ∈ R+ Biết mặt cầu (S ) cắt mặt phẳng tọa độ (Ox y), (Oxz), (O yz) theo giao tuyến đường trịn có bán kính 13 mặt cầu (S ) qua M (2; 0; 1) Tính a + b + c A B 15 C Câu 26 Trong không gian Ox yz, cho đường thẳng d1 : D 12 x−1 y+2 z−1 x−1 y−1 = = d2 : = = 1 2 z+2 Mặt phẳng (P ) : x + a y + bz + c = ( c > 0) song song với d1 , d2 khoảng cách từ d1 đến (P ) lần khoảng cách từ d2 đến (P ) Giá trị a + b + c A 14 B C −4 D −6 Câu 27 Trong không gian Ox yz, cho hai điểm A (1; −1; 0), B(0; 1; 1) Gọi (α) mặt phẳng chứa đường thẳng d : mặt phẳng (α)? x y−1 z−2 = = song song với đường thẳng AB Điểm thuộc −1 A M (6; −4; −1) B N (6; −4; 2) C P (6; −4; 3) D Q = (6; −4; 1) Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, mặt cầu (S ) tâm I (2; 5; 3) cắt đường thẳng x−1 y z−2 = = hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác I AB 10 + Phương 2 trình sau phương trình mặt cầu (S )? d: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 336 TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 2022-2023 A ( x − 2)2 + ( y − 5)2 + ( z − 3)2 = 100 C ( x − 2)2 + ( y − 5)2 + ( z − 3)2 = 25 B ( x − 2)2 + ( y − 5)2 + ( z − 2)2 = D ( x − 2)2 + ( y − 5)2 + ( z − 3)2 = 28 Câu 29 Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A (−3; 0; 0), B(0; 0; 3), C (0; −3; 0) mặt phẳng # » # » # » (P ) : x + y+ z −3 = Gọi M (a; b; c) ∈ (P ) cho M A + MB + MC nhỏ Khi tổng a +10 b +100 c A 300 B −267 C 237 D −270 x+1 y z−2 = = mặt phẳng (P ) : x + y − z + = Đường thẳng ∆ qua A cắt đường thẳng d mặt phẳng (P ) M , N cho A trung điểm MN , biết ∆ có véc-tơ phương #» u = (a; b; 2) Khi tổng a + b Câu 30 Trong không gian Ox yz, cho điểm A (1; −1; 2), đường thẳng d : A 337 B 10 C CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA TỌA TRONG KHÔNG GIAN D −5 ... d t −1 I= t 21 +t 20 t 22 t21 dt = + 22 21 −1 = −1 − x2 x d x = − J= = t3 2 = 1 t −1 Đổi cận x t2 d t t.t d t = 0 (−1 )22 (−1 )21 + − + = 22 21 22 21 4 62 b) Đặt t = − x2 ⇒ t2 = − x2 ⇒ t d t = −... DỤNG 52x + C ln 25 x+1 D 52x d x = + C x+1 20 18e− x 20 17 − x5 20 18 f ( x) d x = 20 17e x + + C B x 504, x f ( x) d x = 20 17e − + C D x4 B 52x d x = · TÀI LIỆU HỌC TẬP NĂM HỌC 20 22- 2 023 Câu 27 Tìm... x )20 23 (1 − x )20 22 − +C 20 23 20 22 dt b) Đặt t = x2 + ⇒ d t = xd x ⇒ = xd x = t5 B= = c) Đặt t = dt = 2 x2 + t.td t = t6 +C 12 +C 12 x2 + ⇒ t2 = x2 + ⇒ td t = xd x I= t5 d t = t2 d t = t +C = x2