Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Hà Nội

Cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Hà Nội để các em ôn tập lại các kiến thức đã học, làm quen với cấu trúc đề thi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. Tài liệu đi kèm đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được năng lực bản thân, từ đó đề ra phương pháp học tập hiệu quả giúp các em tự tin đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chứng minh với m  hàm số f ( x) = x  mx  có x2  2x  cực trị Lời giải g ( x).g ( x) x  mx  Cách Đặt g ( x) =  y  g ( x )  y  g ( x) x  2x  Số điểm cực trị hàm số y  g ( x ) số nghiệm phương trình: g ( x).g ( x)  Xét g ( x)   x  mx   Ta thấy ac  1  0, m  g ( x)  ln có nghiệm bội lẻ (1) Xét g ( x)   (2 x  m)( x2  x  3)  (2x  2)( x2  mx  1)   (2  m) x  8x  3m   m   Do  2 32  '  16  (2  m)(3m  2)  3m  4m  12  3(m  )   nên g '( x)  có nghiệm bội lẻ (2) Từ (1) (2) ta có hàm số y= Cách Đặt g ( x ) = x  mx  có điểm cực trị (ĐPCM) x2  2x  g ( x).g ( x) x  mx   y  g ( x )  y  g ( x) x  2x  Số điểm cực trị hàm số y  g ( x ) số nghiệm phương trình: g ( x).g '( x)  Xét g ( x)   x  mx   Ta thấy ac  1  0, m  g ( x)  ln có nghiệm bội lẻ (1) Nhận xét: g '( x) bậc 2, g '( x) khơng đổi dấu g ( x)  có tối đa nghiệm (loại) Do đó: g '( x) phải đổi dấu, tức g '( x) phải có nghiệm phân biệt Vậy hàm số ln có cực trị Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] a) Giải phương trình x   x  x   x  Lời giải  x 1   x  1 3 x    Điều kiện:   x   x  2 x    x  2 x     Ta có x   3x  x   x    x   x  x  1  x    x   3x  x   x  1    2x   2x 1 x  x  1    x   x  1 Trang 1/6 - WordToan  x  1  lo¹ i   3x  3x  x  x   x2  x     x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   x  x   x   y  y  y Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] b) Giải hệ phương trình   x  y  25 Lời giải 1  x  Điều kiện:  0  y   Ta có x  x   x   y  y  y  x  x    3x  x   y  y  y   x  1   x  1  x   y  y  y *  Xét hàm số f  t   t  3t  4t với t  Ta có f   t   4t  6t  ; f   t   12t  Khi f   t    12t    t   2 t   f      2  2   Suy f   t   4t  6t   0, t  Vậy hàm số f  t   t  3t  4t đồng biến với t   Ta có *  f    y x 1  f x 1  y  y  x 1 Thay y  x  vào phương trình x  y  25 ta x   y  x   x  1  25  x  x  12     x  3  lo¹ i  Kết luận: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    4;3 Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để chọn số chia hết cho chứa nhiều chữ số Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n     9.107 Gọi biến cố: A :" chọn số chia hết cho chứa nhiều chữ số " Gọi số cần lập có dạng: a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8  a1   TH1:  9, i  1,8 Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 a3 a4 a5 a6 a7 có 96 cách Chọn a8 , có cách chọn Vậy có: 8.9 số TH2: a1  chữ số lại khác Trang 2/6 – Diễn đàn giáo viên Tốn Chọn a1 có cách Chọn a2 a3 a4 a5 a6 a7 có 96 cách Chọn a8 , có cách chọn Vậy có: 96 số TH3: Chữ số khơng vị trí a1 Chọn a1 , có cách Chọn vị trí cho chữ số , có cách chọn Giả sử a2  Chọn a3 a4 a5 a6 a7 , có 95 cách Chọn a8 , có cách chọn Vậy có: 8.7.95 số n  A   8.96  96  56.95 * Xác suất biến cố A P  A   n  A n   898857 107 Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Cho dãy số  un  xác định u1  ; un 1  3un  ; n  1, 2,3, un  1) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm 2) Tính tổng S  1    u1  u2  u100  Lời giải 1) Ta có u1    un  1  un  Theo ngun lí quy nạp un  với số nguyên dương n Giả sử un  , ta có un 1   Xét hiệu un 1  un  3un  1  un  un  0 un  un  Suy un 1  un , n  * Vậy  un  dãy giảm  un  1  un  1 3u  1  un1   n un  un  un  u 1 u 1 u 1 Suy n 1 2 n   2n  2n 1 un 1  un  u1  1 Vì vậy:  2n  un 1  Ta có: 2) Ta có un 1   Tổng hợp: Trần Minh Vũ Trang 3/6 S 1    u1  u  u100  1  1 1     20     21      299   2  2 2   100 100    50   51   900 tia Oz thỏa mãn xOz   300 ; Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Trong mặt phẳng  P  cho góc xOy   600 Trên tia Oz lấy điểm I cho OI  2a Trên đường thẳng d qua O vng góc zOy với  P  lấy điểm S cho OS  a Mặt phẳng  Q  thay đổi qua SI cắt tia Ox, Oy A, B ( A khác O B khác O ) 1) Tính góc  P   Q  I trung điểm AB 2) Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp S OAB Lời giải Đặt OA  x, OB  y ( x, y  0) 1)   300 , OBI   600 Khi I trung điểm AB suy AB  AI  BI  2OI  4a nên OAI Khi x  2a 3, y  2a nên gọi E chân đường vng góc hạ từ O xuống AB ta có góc   P  ,  Q  góc SEO Lại có OE  2) OA.OB   SO   SEO   300  a suy tan SEO AB OE M , N hình chiếu I lên Ox , Oy suy OM  a 3, ON  a    a  a  OI  OM  ON  OA  OB Vì A, I , B thẳng hàng nên ta có x y a a    2a  xy  3a dấu xảy x y xy Suy VS OAB   x  2a   y  2a 3a 3a Vậy thể tích khối chóp S OAB nhỏ Vmin  axy  3 Câu [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1  2 2 a b c abc Lời giải Cách Khơng tính tổng quát giả sử c  max a, b, c ,  c  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 2 P      2 a b c abc ab c abc  1  1  1     1    ab  c  c a  b  c  c2  1  1     c  c  c2 Xét hàm số f  c     1 với c  1; , có: 1     c2  c  c2 f c    3  c  c  c  2c  c3  2   0, c  1;  Do hàm số f  c  đồng biến 1; , suy f  c   f 1  Từ ta có P  , đẳng thức xảy a  b  c  Cách Khơng tính tổng qt giả sử c  max a, b, c , c2  Ta có: 1 2  2 2 1   2 1 a b c abc ab c abc  1  1  1      1     ab  c  c a  b2  c  c2 P 1    c  1  c  1      1    c2  c  c2 c c  c2    c  1 c 1    c  1   2 c  c  c2  c  c      c  c2  c      c  1 c2  c  c  3  3  c  2 Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy P  HẾT Trang 6/6 – Diễn đàn giáo viên Toán ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu [HSG-HÀ NỘI 202 1-2 022] Chứng minh với m  hàm... 1  25  x  x  12     x  3  lo¹ i  Kết luận: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    4;3 Câu [HSG-HÀ NỘI 202 1-2 022] Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có chữ số Tính xác... a3 a4 a5 a6 a7 , có 95 cách Chọn a8 , có cách chọn Vậy có: 8.7.95 số n  A   8.96  96  56.95 * Xác suất biến cố A P  A   n  A n   898857 107 Câu [HSG-HÀ NỘI 202 1-2 022] Cho dãy số