Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Cùng tham gia thử sức với Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp thành phố năm 2021-2022 có đán án - Sở GD&ĐT Quảng Ninh để nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng giải đề và củng cố kiến thức Toán học căn bản. Chúc các em vượt qua kì thi học sinh giỏi thật dễ dàng nhé!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN(BẢNG B) Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] a) Cho hàm số y   x  1  x   m   x  5m    có đồ thị  Cm  , với m tham số đường thẳng  d  : y  x  Tìm m để  d  cắt  Cm  điểm phân biệt A  1;  , B, C cho BC  Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x  1  x   m   x  5m     x    x  1  x   m   x  5m     x  1    x  1  x   m   x  5m  5    x  1 g  x   *  Để  d  cắt  Cm  điểm phân biệt A  1;  , B, C phương trình x   m   x  5m   phải có hai nghiệm phân biệt xB , xC khác 1 Điều kiện tương đương với  1 m  a      1    m  m  1    m     g  1  m    m  1    xB  xC    m    Khi toạ độ giao điểm B, C B  xB ; xB   , C  xC ; xC   với   m  1  xB xC   Theo giả thiết BC   BC  20   xC  xB   20   xC  xB     xC  xB   xC x B    m     m  1  2   21 m   m2  m     thoả mãn điều kiện   21 m   Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] b) Một đại lý xăng dầu cần làm bồn chứa dầu hình trụ 125 tích  m  Tính bán kính đáy bồn chứa cho bồn chứa dầu làm tốn nguyên liệu nhất? Lời giải Gọi r , h  m  bán kính đáy chiều cao bồn r , h  125 125 h 4r Để bồn chứa dầu làm tốn ngun liệu diện tích tồn phần bồn hình trụ phải nhỏ Theo giả thiết ta có: V   r h  Tacó diện tích tồn phần bồn là: Stp  2 r 125  125   2 r  2  r  4r  4r   125  Xét hàm số f  r   2   r  khoảng  0;     4r   125  8r  Ta có f   r   2   ; f   r    r    0;    4r    125  Ta tính giá trị nhỏ hàm số f  r   2   r  ứng với r   m   4r  Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] a) Cho a, b, c số thực dương khác thỏa mãn: log 2022 a  3;log a b  2;log c b  Tính log 2022  abc   tan C Chứng minh ABC có  3tan C góc tù tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC , biết BC  Lời giải b) Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn điều kiện tan B   a  20223 log 2022 a    28 a) l og a b   b  a  202212  log 2022  abc   log 2022  2022 21     c  b  2022 log c b   b) Vì A, B, C ba góc tam giác nên 0  A, B, A  C  180 Với điều kiện ta có:  tan C  tan C tan B    tan  A  C    tan C  tan C  tan   A  C   tan   C  , (với tan   )  tan   A   tan   suy góc A tù hay ABC có góc tù (đpcm) 13 13 tan A    cot A      sin A  2 sin A 13  tan A   Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta có R  BC sin A  Diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: S   R  81 13 13 13 R 13 13 Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] 3n5 a) Cho đa thức P  x    x   biết n thỏa mãn An2  5Cn3  2n , n   Tìm hệ số khai triển P  x  b) Tính giới hạn I  lim x 2  x  3  4x  x2  x  12 x  15  x  Lời giải a) Ta có An2  5Cn3  2n  n! n! 5  2n  n  ! 3! n  3! x  3n  n  1  n  n  1 n    2n  18  n  1   n  1 n    12  5n  33n  40  n   n   Do P  x    x   20  k   k Số hạng tổng quát: C20k x 20  k  2  ,  k  n Theo yêu cầu toán: 20  k   k  13 13 13 Vậy hệ số x khai triển C20  2  b) Ta có  x  3  x  x  x  I  lim x2 12 x  15  x   lim  x  3  12 x  15  x  x2  lim  x  3  I1  lim  x  3  x2  lim     12 x  15  x   12 x  15  x   x   4 x  40 x  64   x  3  x  4   x  3   x2  12 x  15  x   x  12 x  15  x  28 x  49   x2 I  lim   4x   x  3  x  x2  lim x2  x  3  x  1  x2  lim x2  x  12 x  15  x  12 x  15  x  x2  lim   lim  4x 1 12 x  15  x  x2 Ta tính   4x 1  x2  x       x   x   x  8 12 x  15  x     x   x  8   x   x  3 12 x  15  x  x2  x   lim 4 x  40 x  64 12 x  15  x  x 2  x   x  3  12 x  15  x    x  3   lim x 2 x 2 4  x   x    lim   12 x  15  x  4  x    1   4 Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A ,   SCA   90 , AB  a , AC  a , khoảng cách từ C đến  SAB  12a góc SBA a) Tính thể tích khối chóp S ABC b) Gọi O , M trung điểm BC , SC ;  P  mặt phẳng chứa BM song song với Vậy I  AO Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  P  c) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M ABC Lời giải a) Dựng hình chữ nhật ABDC  SD   ABCD  Do AC  CD AC  SC  AC   SCD   SD  AC 1 Tương tự: SD  AB   Từ (1) (2) suy SD   ABCD  Đặt SD  x, x  Kẻ DH  SB,  H  SB   DH   SAB  Suy d  D ,  SAB    DH  BD.SD BD  SD 2  a 3.x 3a  x Do CD / / AB  d  C ,  SAB    d  D,  SAB    12a a 3.x   12 3a  x  3.x 2 3a  x  12 3a  x  3.x  144  3a  x   147 x  144 a  x  x  12a Suy SD  12a 1 Vậy thể tích khối chóp S ABC V  SD.S ABC  12a .a 6.a  2a (đvtt) 3 b) Gọi BM  SO  I Khi I trọng tâm SBC Kẻ đường thẳng qua I song song với AD , cắt SA SD N Q Do IQ / / OD  SI SQ   IO QD Mặt khác VS MQB VS CDB  SM SQ 1 1    VS MQB  VS CDB  SD.DB.DC  12a.a 3.a  2a3 SC SD 3 3 18 1  Ta có BQ  QD  BD   12a   3a  19a  BK  a 19 3  2 Mặt khác SB  SD  DB  144a  3a  147 a2  SB  a 147 ; SC  SD  DC  144a  6a2  150 a2  SC  6a ; BC  AB  AC  6a  3a  3a Áp dụng công thức đường trung tuyến vào SBC ta có MB  SB  BC SC 147 a  9a 150 81a      MB  a 4 2 Áp dụng định lý cosin vào SMQ ta có   SM  SQ2  2.SM SQ.cos MSQ  MQ  SM  SQ  2.SM SQ.cos MSQ  SM  SQ  2.SM SQ  SD SD  SC  SH  .SC .SD SC SC 4 2 2 11a a 22 SC  SD  SD2  SC  SD2  150a2  144a2   MQ  9 2 Áp dụng hệ định lý cosin vào MBQ ta có 81a 11a  19a   38  sin MBQ   MB  BQ  MQ    19 cos MBQ 2.MB.BQ 19 19 2 a.a 19 2 2   2a a 19 19  a (đvdt) Diện tích MBQ S MBQ  MB.BQ.sin MBQ 2 19 Vậy d  S ,  P    d  S ,  MBK    3VS MBQ SMBQ  3.2 2a3 8a  2 a c) Dựng đường thẳng d qua O song song với SD Khi d trục đường tròn ngoại tiếp ABC Suy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp M ABC điểm G  d Gọi N hình chiếu vng góc M CD Suy GO / / MN MN  SD  6a      Ta có R  GB  GM  GO  OB  GO  ON  NM          GO2  OB2  2.GO.OB  GO2  ON  NM  GO.ON  GO.NM  ON NM    GO  OB  GO  ON  NM  2.GO.NM Do GO  OB , GO  ON , ON  NM         a 3 1 69a2  2 Suy 2.GO.NM  OB  ON  NM  9a      12a       2  2.GO.6a.cos180   Câu 69a 23a a 673  GO   R  GO  OB  8  x   y 8  x  y  [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] Giải hệ phương trình   x  13  y  24   x  Lời giải  2  x   Điều kiện  y    Ta có x 2 y 8  x  3y   x2 x22 y 8  y   f  x    f  y  8 , với f  t   t  t Do f   t   t t ln t   0, t  suy hàm số hàm số f  t   t  t đồng biến  0;   Khi f  x    f  y    x   y   y  x  Thay y  x  vào phương trình x  13  y  24   x  ta x  13  x  12   x   x  13   x  12   x   x  13   x  12   x   x  12 x  13   x  12    x  x  12   x 0   3x  6   x  2   0 2 x  12   x   3x  13  x   3x  6    0(vn) 2 x  12   x  x  13  Với x   y   x   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   y   Câu [HSG-QUẢNG NINH-B 2021-2022] Cho a, b, c  thỏa mãn ab  1, c(a  b  c)  Tìm giá trị nhỏ P b  2c a  2c  a  b  c    1 a 1 b Lời giải b  c a  c     Ta có: P     1       a  b  2c   a  b      a  b  2c  a  b  2c     a  b  2c  a 1 b 1     a  b  2c  1      a  b  2c   1 a 1 b    1   Ta lại có:         a  ab    b  ab   ab  a 1  a  1  ab   ab  b 1  b  1  ab   b a a b       ab   a  b   b  a a  b  ab a  b 1  a 1  b   ab    a  b   ab  1  0,  a, b  0; ab  1  1  ab  1  a 1  b  1 2 4       ab  1  a  b  ab  ab  ab  c  a  b  c   a  c  b  c  16   2  a  b  2c   acbc     16  a  b  2c  1 Suy ra: P     a  b  2c  2  a  b  2c   Đặt t  a  b  2c  t   Do ab  1, c (a  b  c)   ab  c  a  b  c     a  c  b  c    acbc t    a  c  b  c      t  4   16  t  1  16   16 t t  Khi đó: P   t 2   t   2 t2 4  t  t 16 16 t t t    t t 4 Vậy: P  a  b  c  2 HẾT ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN(BẢNG B) Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu [HSG-QUẢNG NINH- B 202 1-2 022] ... x  64 12 x  15  x  x 2  x   x  3  12 x  15  x    x  3   lim x 2 x 2 4  x   x    lim   12 x  15  x  4  x    1   4 Câu [HSG-QUẢNG NINH- B 202 1-2 022] ...  Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta có R  BC sin A  Diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: S   R  81 13 13 13 R 13 13 Câu [HSG-QUẢNG NINH- B 202 1-2 022] 3n5