Đang tải... (xem toàn văn)
Lấy một bi từ mỗi túi một. cách ng ẫ u nhiên.[r]
(1)MỤC LỤC
CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT
(2)CHƯƠNG II
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT -o0o -
§1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NẮM
Một số kí hiệu
Số phần tử tập hợp hữu hạn A, kí hiệu n(A) A Chẳng hạn: Nếu A={a b c; ; } thí ta nói số phần tử tập A 3, ta viết n A( ) 3= hay A =3
1 Qui tắc cộng
Giả sử cơng việc có thểđược thực theo phương án A phương án B Có n cách chọn phương án A m cách chọn phương án B ( cách chọn phương án A không trùng với cách chọn
phương án B) Khi cơng việc có thểđược thực n + m cách
Tổng qt:
Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, ,Ak Có n1 thực phương
án A1, n2 thực phương án A2,… nk thực phương án Ak Khi cơng việc thực
bởi n1 + n2 + …+ nk cách
Giả sửA B tập hợp hữu hạn, khơng giao Khi đó: n A( ∪B) ( ) ( )=n A +n B (1) Công thức (1) mở rộng theo hai hướng:
a) Nếu A B hai tập hữu hạn n A( ∪B) ( ) ( ) (=n A +n B −n A∩B) (2) b) Nếu A A1, , ,2 Am tập hợp tuỳ ý, đôi khơng giao
n A( 1∪A2∪ ∪ Am) ( ) ( )=n A1 +n A2 + + n A( )m
2 Qui tắc nhân
Giả sử công việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với
mỗi cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực
hiện theo n.m cách
Tổng qt:
Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn Công đoạn A1 thể thực theo n1 cách, cơng đoạn
A2 thực theo n2 cách, ,công đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc
được thực n1 n2 … nk cách
B BÀI TẬP
Bài 1.1 Trong lớp có 18 học sinh nam 12 học sinh nữ Hỏi có cách chọn a) Một bạn phụ trách lớp trưởng ?
b) Hai bạn, có nam nữ ?
HD Giải
a) Theo quy tắc cộng, ta có 18 + 12 = 30 cách chọn bạn phụ trách lớp trưởng ( nam nữ ) b) Muốn có hai bạn gồm nam nữ, ta phải thực hai hành động lựa chọn:
Chọn nam có 18 cách chọn, có bạn nam rồi, có 12 cách chọn bạn nữ
Vậy theo qui tắc nhân, ta có 18.12 = 216 cách chọn thoả ycbt
Bài 1.2. Trên giá sách có 10 sách tiếng Việt khác nhau, sách tiếng Anh khác sách tiếng Pháp khác Hỏi có cách chọn
a) Một sách ?
b) Ba sách tiếng khác ? c) Hai sách tiếng khác ?
HD Giải
(3)b) Theo qui tắc nhân, ta có 10.8.6 = 480 cách chọn ba sách tiếng khác
c) Theo qui tắc nhân, có 10.8 = 80 cách chọn sách tiếng Việt tiếng Anh, có 10.6 = 60 cách chọn sách tiếng Việt tiếng Pháp có 8.6 = 48 cách chọn sách tiếng Anh tiếng Pháp Vậy có 80 + 60 + 48 = 188 cách chọn thoả ycbt
Bài 1.3. Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số
nguyên tố ?
HD Giải
Kí hiệu A={2,4,6,8} tập số chẵn tập B={2,3,5,7,}là số nguyên tố
Khi đó, số cách chọn số số chẵn số nguyên tố A∪B
Mặt khác, theo đề ta có n A( )=4,n B( )=4 A∩ =B { }2 hay n A( ∩B)=1 Theo qui tắc cộng mở
rộng, ta có n A( ∪B) ( ) ( ) (=n A +n B −n A∩B)= + − =4
Vậy có cách chọn số thoả ycbt
Bài 1.4. Trong trường THPT, khối 11 có: 260 học sinh tham gia câu lạc Tin học, 240 học sinh tham gia câu lạc Toán học, 50 học sinh tham gia hai câu lạc 100 học sinh không tham gia câu lạc bô hai câu lạc bô nêu Hỏi khối 11 trường có học sinh
HD Giải
Gọi tập hợp học sinh khối 11 trường THPT tham gia câu lạc Tinh học câu lạc Toán học A B
Khi tập hợp học sinh khối 11 trường tham gia câu lạc (Tin học Toán học) A∪B
Theo toán, ta có n A( ) 260, ( ) 240,= n B = n A( ∩B)=50
Theo qui tắc cộng mở rộng, số học sinh khối 11 tham gia câu lạc (Tin học Toán học) ( ) ( ) ( ) ( ) 260 240 50 450
n A∪B =n A +n B −n A∩B = + − =
Vậy khối 11 trường có 450 + 100 = 550 (học sinh)
Bài 1.5. Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ?
HD Giải
Gọi số tự nhiên có hai chữ sốđều chẵn có dạng ab, với a b, ∈{0;2;4;6;8} a≠0 Ta có:
4
a b
SCC Vậy có: 4.5 = 20 số thoả ycbt Bài 1.6 Cho tập B={1;2;4;5;7} Có thể lập từ B: a) Bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau?
b) Bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác ?
HD Giải
a) Gọi số gồm chữ số khác abcd ; chọn đối tượng a b c d, , , ∈B a, ≠ ≠ ≠b c d
Ta có:
5
a b c d
SCC Vậy có: 5.4.3.2 = 120 số
b) Gọi số gồm chữ số khác abcd ; chọn đối tượng a b c d, , , ∈B a, ≠ ≠ ≠b c d
Do số cần tìm số chẵn nên d∈{ }2; Ta có:
4 2
a b c d
SCC
Vậy có: 4.3.2.2 = 48 số c) Ta có: 120 48 72− = số
Bài 1.7 Cho tập B={0;1;2;3} Có thể lập từ B: a) Bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau?
b) Bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác ?
(4)Áp dụng cách giải 1.6, lưu ý : Chọn số cần tìm abcd a≠0
a) Đs: 18 số thoả ycbt b) Đs: 10 số thoả ycbt c) Đs: số thoả ycbt
Bài 1.8 Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên a) Có chữ số (khơng thiết khác nhau)
b) Có chữ số khác ?
HD Giải
Gọi số có bốn chữ số dạng abcd, a b c d, , , ∈{1,5,6,7}
a) Số có bốn chữ số khơng thiết khác Ta có:
4 4
a b c d
SCC Vậy, theo qui tắc nhân, ta có 4.4.4.4 = 256 (số)
b) Số có bốn chữ số khác Ta có:
4
a b c d
SCC Vậy có 4.3.2.1 = 24 (số)
Bài 1.9 Một kết sắt có núm khố riêng biệt, núm khố có vịng đánh số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Một dãy chữ số cho cách mở kết Có phương án mở kết khác nhau?
HD Giải
Đặt B={0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} Gọi abcde phương án mở kết tuỳ ý cần tìm Ta có:
10 10 10 10 10
a b c d e
SCC Vậy có
5
10 =100000 phương án mở két
Bài 1.10 Có số gồm ba chữ số có chữ số ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng abc a b c, , ∈{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Để số thoả ycbt có ba khả xảy ra: TH1 Các số có dạng ;(bc b≠5,c≠5), ta có cách chọn b cách chọn b
Vậy có 9.9 = 81 số dạng 5bc
TH2 Các số có dạng a c a5 ;( ≠{ }0;5 ,c≠5), ta có cách chọn a cách chọn c Vậy có 8.9 = 72 số dạng a5c
TH3 Các số có dạng ab5;(a≠{ }0;5 ,b≠5), ta có cách chọn a cách chọn b Vậy có 8.9 = 72 số dạng ab5
Tóm lại ta có: 81 + 72 + 72 = 225 số thoả ycbt
Bài 1.11 Có số tự nhiên gồm chữ số mà chữ sốđều lớn đôi khác ?
HD Giải
Đặt B={5,6,7,8,9} Gọi dạng số cần tìm abcde, a b c d e B, , , , ∈
Ta có:
5
a b c d e
SCC Vậy có: 5.4.3.2.1 = 120 số thoả ycbt
Bài 1.12 Cho chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7 Từ chữ số lập số, số gồm chữ
sốđôi khác không chia hết cho 10 ?
HD Giải
Đặt B={0;1;2;3;4;5;6;7} Gọi số cần tìm có dạng a a a a1 4, ai ≠a ij; ≠ j a, 1≠0, ,i j=1,4,ai∈B
Do bốn số không chia hết cho 10 nên a4 ≠0 Ta có:
6
a a a a
SCC
(5)Bài 1.13 Từ chữ số 0;1;3;5;7 lập số, số gồm chữ số khác không chia hết cho 5?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng a a a a1 4, ai ≠a aj; 1≠0.Trong a a a a1, , ,2 3 4∈ =B {0;1;3;5;7} bốn số
không chia hết a4 ≠{ }0;5
Ta có:
3 3
a a a a
SCC Vậy có : 3.3.3.2 = 54 cách chọn số thoả ycbt
Bài 1.14 Có số chẵn gồm số khác đơi chữ sốđầu tiên chữ số lẻ ?
HD Giải
Gọi số có chữ số cần tìm có dạng: a a a a a a1 6, ai ≠a aj; 1≠0,
{ }
1, , , , ,2 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
a a a a a a ∈ =B Do chữ sốđầu tiên số lẻ nên a1∈{1,3,5,7,9}và số
chẵn nên a6∈{0;2;4;6;8} Ta có:
5 5
a a a a a a
SCC
Vậy ta có: 5.8.7.6.5.5 = 42000 số chọn thoả ycbt
Bài 1.15 Cho chữ số 0;1;2;3;4 Từ chữ sốđó lập số chẵn có chữ số cho chữ sốđó, chữ số có mặt lần ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng abcde, a b c d e B, , , , ∈ ={0;1;2;3;4}(a≠0 e số chẵn nên e∈{0;2;4} Khi
đó ta xét trường hợp e
TH1 Số có dạng abcd0 Chọn a b c d, , , ∈ =B {1;2;3;4}thì ta có: 4.3.2.1 = 24 số chẵn dạng abcd0
TH2 Số có dạng abcde, e∈{ }2;4 có cách chọn, chọn a B∈ ={1;2;3;4 \} { }e có cách chọn,
chọn b B∈ ={0;1;2;3;4 \ ;} { }e a có cách chọn, chọn c B∈ ={0;1;2;3;4 \ ; ;} {e a b}có cách chọn chọn {0;1;2;3;4 \ ; ; ;} { }
d∈ =B e a b c có cách chọn Vậy: 2.3.3.2.1 = 36 Vậy có: 24 + 36 = 60 số thoả ycbt
Bài 1.16 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, có bốn cặp anh em sinh đơi Nhà trường cần chọn nhóm học sinh 50 học sinh dựĐại hội cháu ngoan Bác Hồ cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn ?
HD Giải
Một nhóm học sinh cho khơng có cặp em học sinh sinh đơi nào, nên ta có TH sau: TH1 Trong nhóm có người có người bốn cặp sinh đơi
Chọn người bốn cặp sinh đơi có cách chọn người thứ nhất, có 50 – = 42 cách chọn người thứ có 41 cách chọn người thứ Vậy có 8.42.41 = 13776 cách chọn
TH2 Trong nhóm người khơng có bốn cặp sinh đơi Có 42 cách chọn người thứ nhất, 41 cách chọn người thứ hai 40 cách chọn người thứ ba Vậy có 42.41.40 = 68880 cách chọn
Tóm lại có: 13776 + 68880 = 82656 cách chọn
Bài 1.17 Có đường nối hai thành phố X Y, có đường nối thành phố Y Z Muốn từ
X đến Z phải qua Y
(6)b) Có cách chọn đường từ X đến Z lại X đường không trùng với
đường khác ?
HD Giải
a) Có cách chọn đường từ X đến Y có cách chọn đường từ Y đến Z Do có 4.5 = 20 cách chọn đường từ X đến Z qua Y
b) Khi trở từ Z đến Y cịn đường để chọn: có cách chọn Từ Y trở X có đường
để chọn: có cách chọn Do có 3.4 = 12 cách chọn đường không qua đường Vậy có tất cả: 20 12 = 240 cách chọn đường tuyến đường từ X đến Z qua Y đường khác
Bài 1.18. Có đường từ A đến B, đường nối từ B đến C đường nối từ C đến D a) Có cách từ A đấn D mà qua B C lần?
b) Có cách từ A đến D quay lại A ?
HD Giải
a) Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường, từ C đến D có đường Từ A muốn đến bắt buộc phải qua B C
Vậy theo qui tắc nhân, số cách từ A đến D 4.2.3 = 24 ( cách)
b) Tương tự, ta có số cách từ A đến D trở A 4.2.3.3.2.4 = 242 = 576 (cách)
Bài 1.19. Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh nhau?
HD Giải
Số có chữ số chữ số đứng cạnh số Ta xem (23) số a Khi gọi số cần tìm abcde (thay có chữ số), a b c d e B, , , , ∈ ={0;1;2;3;4;5} Ta có: cách chọn a, cách chọn b, có cách chọn c, có cách chọn d có cách chọn e, mà chữ số 2, đứng cạch nên hốn vị cho Vậy có : 4.3.2.1.2 = 192 số thoả ycbt
Bài 1.20 Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ
a) Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam, nữđi dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?
HD Giải
a) Nhà trường cần chọn học sinh nên: Chọn nam có 280 cách chọn có 325 cách chọn nữ Vậy có: 280 + 325 = 605 cách chon
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ, nên có: Chọn nam có 280 cách chọn ứng với cách chọn nam ta có 325 cách chọn nữ
Vậy có: 280.325 = 91000 cách
Bài 1.21 Có số tự nhiên lớn 4000 có chữ sốđược tạo thành từ chữ số 1, 3, 5, nếu: a) Các chữ số khơng thiết khác ?
b) Các chữ số khác ?
HD Giải
a) Gọi số có dạng abcd với a∈{ }5,7 , cịn b, c d thuộc {1,3,5,7} Do Số số cần tìm 2.4.4.4 = 128 số
b) Chữ số a có cách chọn, chữ số b có cách, chọn c có cách d có cách Vậy có 2.3.2 = 12 cách chọn số
Bài 1.22. Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 nếu:
a) Các chữ sốđó khơng thiết khác ? b) Các chữ số khác nhau?
HD Giải
(7)Vậy có 6.6.3 = 108 số
b) Chữ số c có cách chọn, b có cách chọn a có cách chọn Vậy có 3.4.3 = 36 số
Bài 1.23. Có số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000)
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng abcd
Số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000) nên a chọn Do vậy: Số cách chọn a cách
Số cách chọn b cách Số cách chọn c cách Số cách chọn d cách Vậy: 2.9.8.7 = 1008 (số)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.24. Giữa hai thành phố A B có đường Hỏi có cách từ A đến B trở A mà khơng có đường hai lần ?
Bài 1.25. Có số nguyên dương gồm không ba chữ số khac ?
Bài 1.26. Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi hai mơn thể thao: bóng đá bóng chuyền Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn bóng chuyền Hỏi có em đăng kí hai môn thể thao ?
Bài 1.27. Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta lập bao nhieu số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số
Bài 1.28. Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau?
Bài 1.29 Có số gồm chữ số khác lập từ chữ số 0, 2, 4, 6, ?
Bài 1.30. Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ?
(8)§2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP A KIẾN THỨC CẦN NẮM
GIAI THỪA
Cho n∈ℕ*, tích số 1,2,…,n được gọi n giai thừa Kí hiệu n! Vậy n! = 1.2.3…n với n∈ℕ*
Qui ước: 0! = 1; 1! = Ta suy kết sau:
n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)! = n.(n – 1)(n – 2)…2.1 Nếu n m, ∈ℕ* n > m thì: ! ( 1)( 2) ( 1)
! n
n n n m
m = − − +
Ví dụ: 5! = 5.4.3.2.1 =120; 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
20! 20.19.18 6840
17!= =
I HOÁN VỊ Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử ( )n≥1 Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị
phần tử tập A( gọi tắt hoán vị A)
2 Số hốn vị n phần tử: Kí hiệu Pn Pn ! .(= n = n n−1).(n−2) 2.1
II CHỈNH HỢP
1 Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k Khi lấy k phần tử A (1≤ ≤k n) xếp k phần tử theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A(gọi tắt chỉnh hợp
chập k A)
2 Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Kí hiệu k( , *) n
A n k∈ℕ
( ! )! ( 1) ( 1)
k n
n
A n n n k
n k
= = − − +
−
Nếu k = n ! ! !
0!
n
n n
n n
A = = = =n P Vậy chỉnh hợp n chập n gọi hoán vị n phần tử, từđó suy ra: n k n k;1
n n n k
A =A A−− ≤ ≤k n III TỔ HỢP
1 Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử số nguyên k với 1≤ ≤k n Mỗi tập A có k phần tửđược
gọi tổ hợp chập k n phần tử A ( gọi tắt tổ hợp chập k A)
2 Số tổ hợp chập k n phần tử: Kí hiệu k(1 , *)
n
C ≤ ≤k n n∈ℕ ,
!
!( )!
k n
n C
k n k =
− Hay
! ( 1)( 2) ( 1)
!( )! ! !
k
k n
n
A
n n n n n k
C
k n k k k
− − − +
= = =
−
3 Tính chất:
a) n; ; *
n n n
C = =C C =n n∈ℕ
b) k n k;
n n
C =C − ≤ ≤k n
c) k 1 k k 1;
n n n
C+ =C +C − ≤ <k n
d)
0
;0
n
k n n
n n n n n
k
C C C C C k n
=
= + + + + = ≤ ≤
∑
B BÀI TẬP
Bài 2.1. Có cách xếp học sinh vào ngồi bàn dài đủ chỗ ngồi
HD Giải
(9)Bài 2.2 Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào mười ghế kê thành dãy ?
HD Giải
Mỗi cách xếp chỗ ngồi 10 khách theo hàng ngang cho hoán vị 10 ngược lại Vậy có 10! cách xếp
Bài 2.3 Có thể lập số gồm chữ số khác từ chữ số 1,2,3,4 ?
HD Giải
Trên tập B={1;2;3;4} Gọi số cần tìm có dạng abcd
Để thành lập số gồm bốn chữ sốđó ta cần xếp chữ số tập B vào vị trí hàng nghìn a, hàng trăm b, hàng chục c hàng đơn vị d Vậy có tất cả: P4 = 4! = 24 số thoả ycbt (Dùng quy tắc đếm để giải
này)
Bài 2.4 Có thể lập chữ số lẻ gồm năm chữ số khác từ tậpB={0;1;2;3;4} HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng abcde a; ≠0;e∈{ }1;3 Ta xét hai trường hợp:
TH1 Dạng số: abcd a1; ≠0 Chọn a∈{2;3;4} có cách chọn, chọn b c d, , ∈{0;2;3;4 \} { }a số cách chọn số cách xếp ba số tuỳ ý tập {0;2;3;4 \} { }a vào nghìn b, hàng trăm c hàng chục d Nên có P3 = 3! = cách
Vậy có :3.6 = 18 số dạng abcd1
TH2, Dạng số abcd a3; ≠0.Lí luận tương tự ta có 18 số dạng abcd3
Tóm lại, ta có: 18 + 18 = 36 số thoả ycbt
Bài 2.5 Trong vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên khơng lúc đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
HD Giải
Tất vận động viên vềđích khơng lúc( khơng đến đích với người khác) đường bơi, cách xếp hạng vận động viên hoán vị phần tử xếp vào vị trí ( thứ hạng) phân biệt, khơng lặp
Nên ta có: P8 = 8! = 40320 kết
Bài 2.6 Tính tổng S tất số gồm chữ số khác sốđã lập từ {1;2;3;4}
B= phép hoán vị ?
HD Giải
Phép hoán vị B cho ta thành lập số gồm bốn số khác là: P4 = 4! = 24 số
Để ý rằng, tất sốđều viết dạng cặp đôi sau:
1234 1243 1423 1432 4123 2341 3241 3421 3124 2413 4213 4231
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314 2134 2431 3142 1342 1324
có tổng
tất 24 số, xếp cặp 12 cặp có tổng 5555 Vậy tổng S = 12.5555 = 66660
Bài 2.7. Chứng minh tập B={1;2;3;4;5;6;7}có thể lập thành số gồm bảy chữ số khác mà tổng chúng chia hết cho 720
HD Giải
Phép hoán vị P7 = 7! = 5040, cho ta số số gồm chữ số khác thành lập từ B Để ý
trong 5040 số tìm được, ta ln viết được: 5040 2520
2 = cặp số có tổng 888 888
Như 1234567 2134567 3124567; ; ; 7654321 6754321 5764321
Nên tổng S chúng là: S = 2520.8888888
Mà 720 = 90.8 2520 : 90 28
8888888 : 1111111
=
=
Vậy S chia hết cho 720 (thoả ycbt)
(10)sao cho:
a) Bạn C ngồi giữa?
b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế?
HD Giải
a) Xếp C ngồi có 1(cách), Xếp A, B, D, E vào bốn chỗ lại có P4 = 4! = 24 (cách) Vậy có
tất 24 cách xếp thoả ycbt
b) Xếp A, E ngồi hai đầu ghế có 2! = (cách), xếp B, C, D vào ba chỗ cịn lại có 3! = (cách) Vậy có tất 2.6 = 12 cách thoả ycbt
Bài 2.9 Trong phịng học có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi, nếu:
a) Tất học sinh ngồi tuỳ ý ?
b) Tất học sinh nam ngồi bàn học sinh nữ ngồi bàn?
HD Giải
a) Hai bàn 10 ghế, nên xếp 10 học sinh ngồi tuỳ ý, hốn vị 10 học sinh ứng với 10 ghế Vậy có P10 = 10! = 628 800 cách thoả ycbt
b) Ta có: ghế xếp cho học sinh nam có: 5! cách xếp ghế xếp cho học sinh nữ có : 5! cách xếp Vậy hai bàn có: 2.(5!)(5!) = 28800 cách xếp thoả ycbt
Bài 2.10 Có thể lập số chẵn có chữ số khác lấy từ 0; 2;3;6;9?
HD Giải
Tập B={0;2;3;6;9} Số chẵn số có tận 0; từ tập B
- Nếu môt số có chữ số tận bốn chữ sốđầu hoán vị 2; 3; ;9 tacó P4 = 4! số
vậy
- Nếu số có chữ số tận bốn chữ sốđầu hốn vị 0; 3; 6; loại bỏđi hốn vịđầu Ta có: P4 = 4! Trong P3 = 3! hoán vị bắt đầu Vậy có chữ số tận là: P4
– P3 = 4! – 3!
- Tương tự cho chữ số tận là: P4 – P3 = 4! – 3!
Tóm lại có tất là: 4! + 4! – 3! + 4! – 3! = 60 thoả ycbt
Bài 2.11 Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc a) Có cách xếp khác ?
b) Có cách xếp cho khơng có học sinh giới tính đứng kề ?
HD Giải
a) Cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc là: 10! = 628 800 cách
b) Giả sử học sinh nam xếp vào vi trị chẵn có: 5! (cách), học sinh nữ xếp váo vị trí lẻ có: 5! (cách) Sau
đổi chỗ: chẵn cho nữ lẻ cho nam nên có: 2!(cách) Vậy có: 5!.5!.2! = 28800(cách)
Bài 2.12 Có số gồm chữ số khác đôi lập cách dùng bảy chữ số
1;2;3;4;5;7;9 cho chữ số chẵn không nằm liền ?
HD Giải
Các số có chữ số lấy từ tập B={1;2;3;4;5;7;9}là hoán vị phần tử Vậy số cần tìm là: P7 = 7! (số)
Các số có chữ số mà chữ số chẵn 2; đứng kề là: 2!.6! (số) Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số)
Bài 2.13 Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho:
a) Hai bạn An Bình ngồi cạnh ? b) Hai bạn An Bình khơng ngồi cạnh nhau?
HD Giải
a) Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ cho An Bình ngồi cạnh nhau, bạn xếp vào chỗ cịn lại Vây có 8! Cách xếp bạn cịn lại có 18.8! cách xếp cho An Bình ngồi cạnh
b) Có 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn Từđó có 10! – 18.8! = 72.8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An Bình khơng ngồi cạnh
(11)a) Tìm số cách xếp học sinh ngồi vào bàn ?
b) Tìm số cách xếp học sinh cho hai học sinh A B không ngồi cạnh nhau?
HD Giải
a) Mỗi cách xếp học sinh ngồi vào chỗ có ghi số thứ tự hoán vị phần tử Vậy số cách xếp là: P6 = 6! = 720(cách)
b) Mỗi cách xếp A B B A theo thứ tựđó ngồi cạnh hoán vị phần tử Vậy cách xếp A B ngồi cạnh là: 2.P5 = 2.5!(cách)
Vậy số cách xếp cần tìm là: 720 – 2.5! = 480(cách)
Bài 2.15 Từ ba đỉnh tam giác ABC lập vectơ khác vectơ O
HD Giải
Hai điểm phân biệt xác định hai vectơ khác vectơO Từ ba đỉnh A, B, C tam giác ABC khơng có điểm thẳng hàng hai điểm tuỳ ý ln phân biệt Do ta lấy hai điểm tuỳ ý ba điểm số vectơ lập chỉnh hợp chập phần tử
Vậy: 32 3! 3.2
(3 2)!
A = = =
− (vectơ)
Bài 2.16 Cho đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có vectơ khác vectơ O với điểm đầu điểm cuối đỉnh đa giác ?
HD Giải
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh , hai đỉnh ln phân biệt đỉnh khơng thẳng hàng Do ta lấy điểm tuỳ ý 15 điểm số vectơ lập chỉnh hợp chập 15 phần tử Vậy số vectơ là: 152 15! 15.14 210
(15 2)!
A = = =
− (vectơ)
Bài 2.17. Một câu lạc Tốn học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn thành viên làm giám đốc CLB, thành viên làm phó giám đốc CLB thành viên làm kế tốn trưởng CLB Hỏi có cách chọn để bầu mà khơng có kiêm nhiệm ?
HD Giải
Khi bầu chọn thành viên 14 thành viên làm giám đốc, phó giàm đốc kế tốn trưởng (k < n) thứ tự cần đảm bảo
Nên cách số cách chọn để bầu người không kiêm nhiệm là: 143 14! 2184
(14 3)!
A = =
− (cách)
Bài 2.18 Có số nguyên dương gồm chữ số khác không khác đôi một?
HD Giải
Mỗi số cần tìm có dạng: a a a a a1 5, ai ≠a ij; ≠ j ai∈{1;2;3;4;5;6;7;8;9 ,} i=1, ,5 Như
vậy ta coi số dạng chỉnh hợp chập chữ số Vậy số cần tìm là:
5
9! 15120 (9 5)!
A = =
− (số)
Bài 2.19 Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọđã cho ( lọ cắm bông)?
HD Giải
Vì bảy bơng hoa màu khác ba lọ cắm hoa khác nên lần chọn ba bơng hoa để cắm vào ba lọ, ta có chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách cắm hoa vào ba lọ khác là:
3
7! 210 (7 3)!
A = =
− (cách)
Bài 2.20. Có cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau?
HD Giải
Mắc nối tiếp bóng đèn từ bóng đèn khác chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách
mắc là: 64 6! 360
(6 4)!
A = =
(12)Bài 2.21. Từ B={0;1;3;5;7}có thể lập số gồm ba chữ số khác ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: abc a; ≠0 xét hai thường hợp TH1 Chọn a B∈ \ 0{ }⇒ có cách chọn
TH2 Chọn b c B, ∈ \{ }a tương đương việc xếp chữ số tuỳ ý b c B, ∈ \{ }a vào hai vị trí cịn lại (k < n tình thứ tự phải đảm bảo) ⇒ có
4
4! 12 (4 2)!
A = =
− cách chọn
Vậy số cần tìm là: 4.12 = 48 (số)
Cách khác: Số có nghĩa khơng có nghĩa gồm ba chữ số lập từ B chinh hợp chập phần tử B
5
5! 60 (5 3)!
A = =
− (số) Số số nghĩa: 0bc cần loại bỏđi tương đương việc xếp
{ }
, 1;3;5;7
b c∈ vào hai vị trí cị lại tính thứ tự phải bảo đảm Sốđó chỉnh hợp chập phần tử:
2
4! 12 (4 2)!
A = =
− (số)
Vậy số cần tìm là: 60 – 12 = 48 số
Bài 2.22 Cho tập B={0;1;2;3;4;5} Có thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác ?
HD Giải
Gọi số cần tìm là: abcde a; ≠0;e∈{0;2;4}và a b c d, , , ∈{0;1;2;3;4;5} Xét trường hợp: TH1 Dạng số abcd a0; ≠0, Chọn a b c d, , , ∈{1;2;3;4;5} có 54 5! 120
(5 4)!
A = =
− (số dạng abcd0)
TH2 Dạng số abcd abcd a2; 4; ≠0 Chọn a∈{1;3;4;5 } hay a∈{1;2;3;5}đều có cách chọn, chọn
{ }
, , , 1;2;3;4;5
a b c d∈ có
4
4! 24 (4 3)!
A = =
− số Vậy số dạng abcd abcd a2; 4; ≠0 có 2.4.24 = 192(số)
Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số )
Bài 2.23 Với tập B={0;1;2;3;4;5;6}, ta lập số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: abcde a; ≠0; , , , ,a b c d e B∈ Số có chữ số phải có mặt chữ số ta xét trường hợp:
TH1 Dạng 5bcde, chọn b c d e, , , ∈{0;1;2;3;4;6} có 64 6! 360
(6 4)!
A = =
− (số)
TH2 Dạng a cde ab de abc e abcd5 ( ; ; ;) a≠0 Chọn a∈{1;2;3;4;6}có cách chọn, chọn
{ } { }
, , 0;1;2;3;4;6 \
b c d∈ a có
5
5! 60 (5 3)!
A = =
− (số)
Có bốn số dạng nên có 4.60 =1200 (số) Vậy có 360 + 1200 = 2560 số thoả ycbt
Bài 2.24. Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau?
HD Giải
Số cần tìm có dạng abcde a; ≠0; , , , ,a b c d e B∈ ={0;1;2;3;4;5;6}và số chẵn TH1 Dạng abcd0 Chọn a b c d, , , ∈{1;2;3;4;5;6} có
6
6! 360 (6 4)!
A = =
(13)TH2 Dạng abcd2(abcd abcd4; ;) a≠0 Chọn a∈{1;3;4;5;6 \} { }e có cách chọn, chọn
{ } { }
, , 0;1;3;4;5;6 \ ;
b c d∈ a e có 53 5! 60 (5 3)!
A = =
− (số)
Vậy có 60 = 300 số dạng abcd2
Có ba số dạng nên có: 3.300 = 900 số
Tóm lại có: 360 + 900 = 1260 số thoả ycbt
Bài 2.25. Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)?
HD Giải
Số có chữ số khác chia hết cho 10 có dạng: abcd a0; ≠0
{ }
, , , 1;2;3;4;5;6;7;8;9
a b c d∈ =B a≠0, ta có 94 9! 3024 (9 4)!
A = =
− số thoả ycbt
Bài 2.26 Cho chữ số 1;2;3;4;5;6 Có thể tạo số gồm chữ số khác nhau? Trong có số chia hết cho ?
HD Giải
Số gồm bốn chữ số khác có dạng abcd a; ≠0
{ }
, , , 1;2;3;4;5;6
a b c d∈ =B nên ta có: 64 6! 360 (6 4)!
A = =
− (số)
Số abcd a; ≠0 chia hết cho d = chọn a b c, , ∈{1;2;3;4;6}có
3
5! 60
(5 3)!
A = =
− (số )
Bài 2.27. Từ tập B={0;1;2;3;4;5;6} lập : a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ? b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ?
HD Giải
a) Nếu kể trường hợp số đứng đầu, ta có: A75 số tự nhiên gồm chữ số khác Trong
7
A sốđó gồm có
A số gồm chữ số mà chữ số đứng đầu Vậy số gồm chữ số khác lập từ tập B là: A75−A64 =2160(số)
b) Xem 2.22
Bài 2.28. Xét chữ số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2,3,4,5 Hỏi có số thế, nếu:
a) chữ số xếp kề ? b) Các chữ sốđược xếp tuỳ ý ?
HD Giải
a) Gọi nhóm 11111 số a Bài toán yêu cầu ta cần xếp năm số : a,2,3,4,5 vào vị trí khác Số
cách xếp là: P5 = 5! = 120 số thoả ycbt
b) Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu, thực chất việc xếp bốn số 2,3,4,5 vào vị trí tuỳ ý vị trí, cịn vị trí cịn lại chữ số lặp lần
Vậy có: 94 9! 3024
(9 4)!
A = =
− số thoả ycbt
Bài 2.29. Cần phân cơng ba bạn từ tổ có 10 bạn để trực nhật Hỏi có cách phân cơng khác ?
HD Giải
Kết phân cơng nhóm gồm ba bạn, tức tổ hợp chập 10 ban Vậy số cách
phân công là: 103 10! 120
3!(10 3)!
C = =
− ( cách)
(14)với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14
đường thẳng cho ?
HD Giải
Gọi A B tập hợp đường thẳng song song với đường thẳng song song cắt
đường thẳng cho Mỗi hình bình hành tạo hai đường thẳng tập A hai đường thẳng tập B Vậy số hình bình hành cần tìm là: C C62 82 =15.28 420= (hình)
Bài 2.31. Có tam giác mà đỉnh chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm nằm đường tròn?
HD Giải
Cứ ba điểm dựng tam giác Vậy dựng 10
10! 120
3!(10 3)!
C = =
− tam giác
Bài 2.32. Một đa giác lồi 20 cạnh có đường chéo ?
HD Giải
Sốđoạn nối hai đỉnh đa giác cho C202 , số cạnh đa giác 20 Vậy sốđường chéo cần tìm là:
2
20 20 170
C − = đường chéo
Bài 2.33. Một nhóm có 10 học sinh, dựđịnh bầu ban đại diện gồm người a) Có cách bầu dựđịnh ?
b) Có cách bầu dựđịnh, bắt buộc cách bầu phải có mặt nhóm trưởng ?
HD Giải
a) Chọn ba học sinh ( k = 10 học sinh đại diện n =10) để có cách bầu (khơng tính thứ
tự) Nên số cách bầu là: 103 10! 120 3!(10 3)!
C = =
− (cách)
b) Để ý cách bầu đại diện phải có mặt nhóm trưởng, tương đương việc chọn đại diện người ( khơng có nhóm trưởng) Nên số cách bầu là: 92 9! 36
2!(9 2)!
C = =
− (cách)
Bài 2.34. Một tổ sinh viên có 20 em, em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp, em biết tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm thực tế từ tổ sinh viên ?
HD Giải
Số cách chọn em biết tiếng Anh là: m1 = C83=56 cách
Số cách chọn em biết tiếng Pháp : m2 = C74 =35 cách
Số cách chọn em biết tiếng Đức : m3 = C52 =10 cách
Vậy số cách lập nhóm thực tế là: M = m1.m2.m3 = 19600(cách)
Bài 2.35. Một tổ gồm có nam nữ Cần lấy nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn ?
HD Giải
Có m1 = C62 =15 cách chọn nữ có m2 = 56
C = cách chọn nam Vậy có tất cả: M = m1.m2 = 15.56 = 840 cách chọn thoả ycbt
Bài 2.36. Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm
phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm 37 điểm chọn d1 d2
HD Giải
Trên d1 có 17 điểm phân biệt, sốđoạn thẳng nối hai đầu mút 17 điểm là: C172 =136( đoạn thẳng)
Tương tự: có C202 =190( đoạn thẳng với đầu mút ) 20 điểm cho d2
Xét điểm cho 17 điểm d1, ứng với đoạn gồm điểm 20 điểm d2 ta
một tam giác Nên có 17.190 = 3230 tam giác với đỉnh d2, đỉnh d1
Tương tự có 20 136 = 2720 tam giác với đỉnh d1, đỉnh d2
Vậy có : 3230 + 2720 = 5950 tam giác thoả ycbt
(15)bao nhiêu hình bình hành mặt phẳng ?
HD Giải
Gọi A B tập hợp đường thẳng song song với 10 đường thẳng song song cắt
đường thẳng cho Mỗi hình bình hành tạo hai đường thẳng tập A hai đường thẳng tập B Vậy số hình bình hành cần tìm là: C C92 102 =36.46 1620= (hình)
Bài 2.38. Một tổ có nam sinh nữ sinh Giáo viên cần chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh Hỏi có cách chọn ?
HD Giải
Số cách chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh là: 1 7 161 C C +C C +C =
( cách)
Bài 2.39. Có nhà Tốn học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ Cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách lập ?
HD Giải
Để ý giả thiết yều cầu có nam nữ, có nhà Toán học nhà Vật lý Nên đồn cơng tác cần phải có nhà Vật lý ln Nam nhà Tốn học nữ Lúc người thứ ba là: nhà Tốn học nam nhà Vật lý nam nhà toán học nữ
Vậy có: 1 1
5 .3 4 90
C C C +C C +C C = cách chọn thoả ycbt
Bài 2.40. Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn ( chữ sốđầu tiên phải khác 0)?
HD Giải
Số cần tìm có dạng abcdef, với a,b,c,d,e,f thuộc vào hai nhóm
TH1 Nhóm chữ số chẵn lẻ: {0;2;4;6;8 ; 1;3;5;7;9} { } Lấy chữ số lẻ số lẻ có: 10
C = cách
Lấy chữ số chẵn chữ số chẵn có: 10
C = cách Do nhóm chữ số chẵn chữ số lẻ khác tạo nên có 6! = 720 số có chữ số ( kể a = 0)
Vậy có: 10.10.720 = 72000số chữ số khác nhau, chữ số lẻ chữ số chẵn (kể a = 0) TH2 Khi a = Lấy chữ số lẻ số lẻ có: C53=10cách Lấy chữ số chẵn chữ số chẵn có:
2
4
C = cách Do nhóm chữ số chẵn chữ số lẻ khác tạo nên có 5! = 120 số
Vậy có: 10.6.120 = 7200số chữ số khác nhau, chữ số lẻ chữ số chẵn sốđầu tiên
Tóm lại có 72000 – 7200 = 64800 số lập thoả ycbt
Bài 2.41. Có tam giác mà đỉnh chúng đỉnh thập giác?
HD Giải
Mỗi tam giác tạo tập hợp đỉnh thập giác ngược lại Như vậy, số tam giác số
các tổ hợp chập 10 đỉnh, tức : 10 120 C = Bài 2.42. Có đường chéo thập giác ?
HD Giải
Từ 10 đỉnh thập giác kẻđược C102 =45 đoạn thẳng có 10 cạnh thập giác Vậy ta có: 45 – 10 = 35 (đường chéo)
Bài 2.43.Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn bốn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn ?
HD Giải
Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C124 =495
Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau: - Lớp A có học sinh, lớp B, C có học sinh Số cách chọn: C C C52 .14 31=120
- Lớp B có học sinh, lớp C, A có học sinh Số cách chọn: C C C51 .42 31=90
(16)Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn cần tìm là: 495 – 270 = 225
Bài 2.44. Chứng minh 1
1
1 1
2 k k k
n n n
n
n C + C ++ C
+ + =
+ (n, k số nguên dương, k≤n)
HD Giải
Ta có
1
1
1 1 !(. )! ( 1)!( )!
2 k k ( 1)!
n n
n n k n k k n k
n C + C ++ n n
+ + = + + − + + −
+ + +
1 . !( )![( 1 ) ( 1)] !( )!
2 ! ! k
n
k n k k n k
n k k
n n n C
− −
= + − + + = =
+
Bài 2.45. Tìm giá trị biểu thức
4 3 ( 1)! n n A A M n + + =
+ Biết
2 2
1 2 149
n n n n
C + + C + + C + +C + = HD Giải
Điều kiện n≥3,n∈ℕ Ta có 21 22 23 24 149 5
9
n n n n
n
C C C C n n
n + + + + = + + + = ⇔ + − = ⇔ = −
Nhận n =
4
6
6!
A A
M = + =
Bài 2.46 Chứng minh với 4≤ ≤k n k n, , ∈ℤ+ ta có:
1
4
4
k k k k k k
n n n n n n
C + C − + C − + C − +C − =C +
HD Giải
Sử dụng PP nhóm hạng tử thích hợp sử dụng đẳng thức Pa-xcan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + + − − − − − + + + + + + + + + + + + + + + = + + + = + + + + + = + + = + + + = +
1 2 3
1 1 2
1 1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
3
VT= 3
3
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k
n n n n n n n
k n
C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C
C k+−31= k+4 =
n n
C C VP
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.47 Cô giáo chia táo, cam chuối cho cháu (mỗi cháu quả) Hỏi có cách chia khác ? (Đs: 1260 cách)
Bài 2.48 Có tập tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ? (Đs: 16 tập con)
Bài 2.49 Trong đa giác bảy cạnh, kẻ đường chéo Hỏi có giao điểm đường chéo, trừ đỉnh ? (Đs: 35 giao điểm)
Bài 2.50 Tìm số nguyên dương gốm năm chữ số cho chữ số sốđó lớn chữ sốở bên phải nó.(Đs: 252 số)
Bài 2.51 Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ
nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế thành hàng ngang ? (Đs: 4!.C cách) b) Ghế quanh bàn tròn ?(Đs: 5!.A64cách)
Bài 2.52. Tính giá trị biểu thức sau: a 7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7! A= −
(Đs:
2
A= ) b
2
5 10
2
A A
B
P P
= + (Đs: B = 46)
c C=P A1 21+P A2 32+P A3 43+P A4 54−P P P P1 4(Đs: C = 2750) d 2
4
5 5
P P P P
D A
A A A A
= + + +
(17)e
4
6
4
A A
E A
+
= (Đs: E = 20) f
2 3
6 15
3
1 1
3C 3C 65C F
P A
− +
= (Đs:
36 F= ) g
98 998 100 1000
2
1000 100
C C
G
C C
+ =
+ (Đs: G = 1) h
3 2 1
5 4 3
H=C C +C C +C C (Đs: H = 81)
Bài 2.53. Chứng minh rằng: a) Pn – Pn – = (n – 1)Pn –
b) CMR: với 1≤ ≤k nta có: k11 k k1 k 1 k
n n n k k
C ++ =C +C − + +C + +C Bài 2.54. Giải phương trình sau: ( ,x n∈ℕ)
a) 2Ax2+50= A22x;x∈ℕ( Đs: x = 5) b) ! ( 1)! ( 1)!
x x
x
− − =
+ (Đs: x = v x = 3)
c) Px+3=720 A Px5 x−5(Đs: x = 7) d) 3 1
n n n
A + A = P+ (Đs: n = 4)
e) x 48
x x
A C − = (ĐK: x≥1, Đs: x = 4) f)
4
1 1
x x x
C −C =C (ĐK:
x
C có nghĩa 0≤ ≤x 4⇒x=2 nghiệm)
Bài 2.55. Giải phương trình sau:
a) C14k +C14k+2 =2C14k+1(ĐK: 0≤ ≤k 12;k∈ℕ, Đs: k = v k = 8)
b) Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2−14x(ĐK: x≥3,x∈ℕ, Đs: x = 7)
c) x x x x 10 1023
x x x x
C − +C − +C − + +C − = (ĐK: x≥10,x∈ℕ, x = 10)
d) y1: y 1: y : :
x x x
C + C + C − = (Đs: x = 8, y = 3)
e) ( y1 y 11): y 1: y 10 : :1
x x x x
A− +yA−− A − C − = (Đs: x = 7, y = 3) Bài 2.56. Chứng minh rằng:
a
2 ( 1) k ( 1) k
n n
k k− C =n n− C −−
b k k k k k k 4
n n n n n n
C + C − + C − + C − +C − =C +
c k k k k k 22 k 33
n n n n n n
C + C + + C + +C + =C ++ +C ++
d k k k k k 3;(3 ; *)
n n n n n
C + C − + C − +C − =C + ≤ ≤k n n∈ℕ
e *
4
4 ;(4 ; )
k k k k k k
n n n n n n
C + C − + C − + C − +C − =C + ≤ ≤k n n∈ℕ
(HD: Áp dụng công thức biến đổi k k1 k11;0
n n n
C =C − +C −− ≤ ≤k n)
Bài 2.57 Giải phương trình sau
a)
2
2 x 30
x x
A+ − C +− = b)
3Cx −Ax+ =18 c) 4
x x x
C +C = C
c) x11 21 100
x x
C +− +A+ = d) x
x x
A + C − = x g) 2 x 101
x x
(18)§3 NHỊ THỨC NIU-TƠN A KIẾN THỨC CẦN NẮM 1 Công thức nhị thức Niu-Tơn
Với hai số thực a b tuỳ ý với số n nguyên dương ta có ( )
0 1 2
0
(1)
n n n n k n k k n n
n n n n n
n
k n k k n k
a b C a C a b C a b C a b C b
C a b
− − −
− =
+ = + + + + + +
=∑
(1) gọi công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
2 Tính chất nhị thức Niu-tơn
a) Số số hạng tử công thức n + 1
b) Số mũ a giảm dần từnđến 0, số mũ b tăng từ đến nđồng thời tổng số mũ a b
trong hạng tửđều n
c) Số hạng tổng qt cơng thức có dạng 1 k n k k;( 0,1, , )
k n
T+ =C a − b k= n
d) Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu cuối nhau: k n k;0
n n
C =C − ≤ ≤k n 3 Một số dạng đặc biệt
Dạng Thay a = b = x vào (1), ta được:
0 2 1
(1 )n n n n n(2)
n n n n n
x C C x C x C − x − C x
+ = + + + + + cho 1 n 2n
n n n n
x= ⇒C +C +C + +C =
Dạng Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được:
0 2
(1 )n ( 1)k k k ( 1)n n n (3)
n n n n n
x C C x C x C x C x
− = − + − + − + + −
và thay 1 ( 1)n n
n n n n
x= ⇒C −C +C − + − C = 4 Tam giác Pascal (PA-XCAN)
B BÀI TẬP Bài 3.1 Khai triển (b a+ )6 thành tổng đơn thức?
HD Giải
Theo công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn, ta có:
6 3 4 5 6
6 6 6 6
6 3
( )
6 15 20 15
b a C a C a b C a b C a b C a b C ab C b
a a b a b a b a b ab b
+ = + + + + + +
= + + + + + +
Bài 3.2 Khai triển (x a− )5 thành tổng đơn thức? HD Giải
Theo cơng thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:
5
5 2
5 2
( ) ( ) ( ) 10 ( ) 10 ( ) ( ) ( ) 10 10
x a x a x x a x a x a x a a
x x a x a x a xa a
− = + − = + − + − + − + − + −
= − + − + −
(19)a) 2n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + +
b) 21 23 22 1n 20 22 22n
n n n n n n
C +C + +C − =C +C + +C
HD Giải
a) Ta có ( )1 n 2 n n1 n n
n n n n n
x C C x C x C − x − C x
+ = + + + + + (1)
Chọn x = thay vào (1), ta được: 2n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + +
b) Ta có ( )2 2 2 2
2 2 2
1 n n n n n
n n n n n
x C C x C x C − x − C x
+ = + + + + + (2)
Chọn x = -1, thay vào (2), ta được: 2 2
2 2 2
0 n n n
n n n n n
C C C x C − C x
= − + + − +
Suy ra: 21 23 22 1n 20 22 22n
n n n n n n
C +C + +C − =C +C + +C
Hoặc ta chứng minh theo nhận xét từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
Bài 3.4. Chứng minh rằng: 4n 4n1 4n 2 ( 1) n 22 2n n
n n n n n n n n
C − − C + − C − + − C =C + C + C + + C HD Giải
Ta có: ( )n n n n 2 k n k k n n
n n n n n
a b+ =C a +C a b C a− + − b + +C a − b + +C b
Nhận xét VT = 4n 4n 1 4n 2 ( 1) n (4 1)n 3n
n n n n
C − − C + − C − + − C = − =
Nhận xét 22 2n n (1 2)n 3n
n n n n
VP C= + C + C + + C = + =
Suy ra: 4n 4n1 4n 2 ( 1) n 22 2n n
n n n n n n n n
C − − C + − C − + − C =C + C + C + + C
Bài 3.5. Cho tập A tập hợp có 20 phần tử Hỏi có tập tập A?
HD Giải
Số tập A khơng có phần tử C200
Số tập A có phần tử C120
Số tập A có phần tử C202
……… Số tập A có 20 phần tử C2020
Suy ra, tổng số tập A là: C200 +C120+C202 + + C2020=220 Bài 3.6. Tính tổng:
a) A C= 50+C51+C52+C53+C54+C55 b) B C= 60+3C61+32C62+33C63+ + 36C66
c) 2 22 2n n
n n n n
C =C + C + C + + C d) 10 11
11 11 11 11 11 11
D C= +C +C +C +C +C HD Giải
a) A C= 50+C51+C52+C53+C54+C55 = +(1 1)5=25 b) B C= 60+3C16+32C62+33C63+ + 36C66 = +(1 3)6 =46
c) 2 22 2n n (1 2)n 3n
n n n n
C=C + C + C + + C = + =
d) Áp dụng công thức k n k
n n
C =C −
Khi D C= 116 +C117 +C118 +C119 +C1110+C1111=C115 +C114 +C113 +C112 +C111 +C110
Do đó: 10 11 11
11 11 11 11 11
2D C= +C +C + + C +C = +(1 1) =2048⇒D=1024
Bài 3.7. Tính giá trị biểu thức sau: a) A C= 20090 +C12009+C20092 + + C20092009
b) 2009 2009
2009 2009 2009 ( 1) 2009 B C= −C +C − + − C c) C =C20090 +2C12009+22C20092 + + 22009C20092009 d) D=3C20090 +32C20091 +33C20092 + + 32010C20092009
(20)Ta có: ( )2009 2 2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009
1+x =C +C x C+ x + + C − x − +C x (1)
a) Chọn x = thay vào (1), ta được: A C= 20090 +C20091 +C20092 + + C20092009 = +(1 1)2009 =22009 b) Chọn x = -1 thay vào (1), ta được: B C= 20090 −C20091 +C20092 − + − ( 1)2009C20092009 = −(1 1)2009 =0 c) Chọn x = 2, thay vào (1), ta được: C=C20090 +2C20091 +22C20092 + + 22009C20092009= +(1 2)2009 =32009 d) D=3(C20090 +3C20091 +32C20092 + + 32009C20092009) chọn x = thay vào (1), ta được:
D=3(C20090 +3C20091 +32C20092 + + 32009C20092009)=3(1 3)+ 2009=3.42009 Bài 3.8. Tính:
a) 10 21 102 22 103 23 102 1n 22 1n 102n
n n n n
A= − C + C − C + − −C − +
b) B=317C170 −4.316C171 +4 32 15C172 −4 33 14C173 + − 417C1717
HD Giải
1 2 3 2
2 2
) 10 10 10 10 n n 10 n
n n n n
a A= − C + C − C + − − C − +
20 10 21 102 22 103 23 102 1n 22 1n 22n102n (1 10)2n 81n
n n n n n n
C C C C − C − C
= − + − + − + = − =
17 16 15 14 17 17 17
17 17 17 17 17
) 4.3 4 (3 4)
b B= C − C + C − C + − C = − = −
Bài 3.9. Cho khai triển (1 )n 0 1 2 n n
x a a x a x a x
+ = + + + +
Tìm số hạng thứ khai triển đó, biết a0+ + + + =a1 a2 an 729 HD Giải
Ta có: (1 )n 22 2 2n n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + +
Theo giả thiết, ta có: 22 2n n 729 (1 2)n 729
n n n n
C + C + C + + C = ⇔ + = ⇔ =n
Số hạng thứ là: T5=C65 42 x4
Bài 3.10 Tìm số hạng không chứa x khai triển
6 2x
x
−
HD Giải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 6)
6 6
1 6
1
(2 ) ( 1)
k
k n k k k k k k k k
k n
T C a b C x C x
x
− − − −
+
= = − = −
Số hạng khơng chứa x ( ta phải tìm k): – 3k = 0, nhận k =
Vậy số hạng cần tìm là: T3 =C62 22 ( 1)− − 2=240
Bài 3.11 Tìm số hạng không chứa x khai triển
18
3 x
x
+
HD Giải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 18) 1 18( )3 18 13 18 54
k
k n k k k k k k
k n
T C a b C x C x
x
− − −
+
= = =
Nếu Tk+1 không x( độc lập với x) ta có: 54 – 6k = 0, nhận k = Vậy số hạng cần tìm là: T10=C189 Bài 3.12 Tìm hệ số x5 khai triển ( + x ) 12?
HD Giải
Số hạng tổng quát khai triển là: (0≤ ≤k 12)
12
1 12k(1) k k 12k k
k
T+ =C − x =C x Ta cần hệ số x5 nên ta có: k = Vậy hệ số cần tìm là: T6=C125 =729
(21)HD Giải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : 1 k(3 )k
k n
T+ =C x Vậy số hạng chứa x2 T3=Cn29.x2 theo
đề ta có: 29 90 10 5
n n
C = ⇔C = ⇔ =n
Bài 3.14 Tìm số hạng thứ năm khai triển
10 x x +
, mà khai triển số mũ x giảm dần
HD Giải
Số hạng thứ k + khai triển nhị thức : 10 10
2 k
k k
k
T C x
x
− +
=
Tìm số hạng thứ năm Vậy ta có:
4
4 10
5 10
2 210 .16 3360
T C x x x
x x
−
= = =
Bài 3.15, Trong khai triển (1+ax)nta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba
252x2 Hãy tìm a n
HD Giải
Ta có: (1 )n 1 2
n n
ax C ax C a x
+ = + + +
Theo đề cho:
1
2
24
24 24
( 1) ( 1) 21 8
252 252
2
n n
na
C a na a
n n a
n a n
C a = = = = ⇒ ⇒ ⇒ − − = = = =
Bài 3.16 Tính hệ số x y12 13 khai triển (x + y)25 HD Giải
Số hạng thứk + khai triển nhị thức : Tk+1=C x25k 25−kyk Hệ số x12y13ứng k = 13 Tức là: 13
25 5200300 C =
Bài 3.17 Tính hệ số x y25 10 khai triển (x3+xy)25 HD Giải
Số hạng thứk + khai triển nhị thức : Tk+1=C15k( )x3 15−k( )xy k =C x15k 45 2− kyk Hệ số x y25 10 , ứng k = 10 Tức là: C1510 =3003
Bài 3.18. Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn 13
n x x +
, biết
1
4 7( 3)
n n
n n
C ++ −C + = n+
HD Giải
Theo đẳng thức Pa-xcan ta có 1
4 3
( 3)! ( 3)( 2) ( 1)!2!
n n n
n n n
n n n
C C C
n
+ +
+ + +
+ + +
− = = =
+ Suy
(n+3)(n+ =2) 14(n+3)⇒n=12
Số hạng thứ k khai triển biểu thức cho
5 3(12 ) 2
1 12
k
k k
k
T+ =C x− − x Hệ số số hạng thứ x8,
tương ứng 3(12 ) 8
2 k
k k
− − + = ⇒ = Vậy số hạng cần tìm : 8 12 C x
Bài 3.19. Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10 HD Giải
Hệ số x5 khai triển x(1 2− x)5 ( 2) − 4C54
(22)Vậy hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 2− x)5+x2(1 3+ x)10là 4
( 2) − C + 3 10
3 C = 3320
Bài 3.20. Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)n, biết:
1 2 3
3n n 3n n 3n n 3n n ( 1)n n 2048
n n n n n
C − − C − + − C − − − C − + + − C = HD Giải
Ta có: 3n n 3n n 3n n 3n n ( 1)n n (3 1)n 2n
n n n n n
C − −C − + − C − − − C − + + − C = − = Nên 2n =2048⇒n=11 Hệ số x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)11 C1110 12 =22
Bài 3.21. Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thừc Niu-tơn
18
1
2x ,(x 0) x
+ >
HD Giải
Số hạng tổng quát khai triển Niu-tơn
18 2x x +
( )18 18
15 18
1 18 5 18
1
2
k k
k k k
k
T C x C x
x − − − + = =
Số hạng không chứa x ứng với k thảo mãn:
6
18 15
5 k
k
− = ⇔ = Vậy số hạng cần tìm T16 =C1815.23=6528 Bài 3.22. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn sau:
13 x x −
a) Tìm số hạng thứ 4, thứ khai triển b) Tìm số hạng chứa với số mũ tự nhiên
HD Giải
Ta có, số hạng tổng quát thứk + khai triển 1 13( )13
3
1 k, ,0 13
k k k
T C x k k
x − + = ∈ ≤ ≤ ℕ 39 13
k k k
T C x
− + =
a) Số hạng thứ khai triển là: T4=C x133
Số hạng thứ khai triển là:
23 13 T =C x
b) Để Tk+1 chứa x với số mũ tự nhiên thì:
(39 ) 4 3 3
39 0,3,6,9
39
3 0 9
4 k k k k k k k k − − ∈ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ⋮ ⋮ ⋮ ℕ
Do số hạng cần tìm là: T1=C x130 ;13 T4=C x T133 ;9 7 =C x T136 ;5 10=C x139 Bài 3.23
a) Tìm số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn sau: ( 3+32)9 một số nguyên
b) Tính An2 biết số hạng thứ khai triển n x x +
không phụ thuộc vào x
HD Giải
a) Số hạng thứ k + khai triển: ( ) ( )
9
3 2 3
1 9.3 , ,0
k k
k k
k k
k
T C C k k
− −
(23)Để Tk+1 số nguyên
2 k
− ∈ℤ
3 k
∈ℤ Suy 1,3,5,7,9
0,3,6,9 k
k
=
=
Vậy: k = k =
Với k = 3, số hạng cần tìm T4 =C93.3 45363 =
Với k = 9, số hạng cần tìm 10 9.3
T =C =
b) Số hạng thứ khai triển là: ( )
5 20
5
5 3
6
1 . n
n n
T C x C x
x
− −
= =
Vì T6 khơng phụ thuộc vào x nên 20 20
3 n
n
− = ⇒ = Vậy : 2 20 380
n
A = A =
Bài 3.24. Cho đa giác có 2n cạnh A A1 2 A2n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn Biết
rằng số tam giác có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n Tìm n
HD Giải
Số tam giác thoả mãn ycbt C23n tam giác Sốđường chéo qua tâm đường tròn n, hai đường chéo
qua tâm có hình chữ nhật Suy ra, có Cn2 hình chữ nhật Từđó ta có phương trình
2n
C = 20
n
C Suy n =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 3.25. Tính hệ số x y101 99 khai triển (2x−3y)200 (Đs: 101 101 99 2002 C
− )
Bài 3.26. Tính hệ số x y5 khai triển (x y+ )13 (Đs: 1287)
Bài 3.27. Tính hệ số x7 khai triển ( )1+x 11 (Đs: 330 )
Bài 3.28. Tính hệ số x9 khai triển (2−x)9 (Đs: - 94 595072 )
Bài 3.29. Tính hệ số x7 khai triển (3 2− x)15 (Đs: −C1573 28 )
Bài 3.30. Tìm hệ số x5 khai triển (1 2− x)10 ? (Đs: 8064) Bài 3.31. Tìm hệ số x3 khai triển
11 x
x
+
? (Đs: 330)
Bài 3.32. Biết hệ số xn−2 khai triển
4
n
x
−
31 Tìm n.(Đs: n = 32)
Bài 3.33. Tính hệ số x y8 khai triển (3x+2y)17 (Đs: C1783 28 )
Bài 3.34. Biết tổng hệ số khai triển nhị thức
3 n
x x
+
64 Tìm số hạng khai triển không
chứa x ( ĐS: n = 2, k = 2; T3=C62)
Bài 3.35. Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển nhị thức
3
n
x x x
x
+
36 Tính số
hạng thứ ( )
6 3
6
7
ÑS :n 9,T C x x x 84x x x
= = =
(24)§4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ - XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Biến cố
a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng đốn
- Có thể xác định tập hợp tất kết xãy phép thửđó - Phép thử thường kí hiệu T
Tập hợp tất kết xãy phép thửđược gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu chữ Ω (đọc ô-mê-ga) Ta xét phép thử với không gian mẫu Ω tập hữu hạn
b Biến cố
- Với tập A Ω gọi biến cố
- Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A
- Tập hợp kết qủa thuận lợi cho Ađược kí hiệu ΩA Khi ta nói biến cốAđược mơ tả
tập ΩA
- Tập O gọi biến cố ( gọi tắt biến cố khơng) Cịn tập Ω gọi biến cố
chắc chắn
2 Xác suất biến cố
a Định nghĩa cổđiển xác suất
Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω tập hữu hạn kết qủa T đồng khả xảy Nếu A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập kết thuận lợi cho A xác suất
của A số, kí hiệu P(A), xác định công thức P A( )= ΩA Ω
- 0≤P A( ) 1≤
- P( ) 1, ( ) 0Ω = P O =
b Định nghĩa thống kê xác suất
- Số lần xuất biến cốAđược gọi tận số A N lần thực phép thử T
- Tỉ số tận số A với sốNđược gọi tần xuất A N lần thực phép thử T Phương pháp tính xác suất
Bước Mô tả không gian mẫu Kiểm tra tính hữu hạn Ω, tính đồng khả kết
Bước Đặt tên cho biến cố chữ A B, ,
Bước Xác định tập conA B, , khơng gian mẫu Tính n A n B( ) ( ), ,
Bước Tính ( ) ( )
( ) ( ), ( )( ),
n A n B
P A P B
n n
= =
Ω Ω
B BÀI TẬP
Bài 4.1 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻđược đánh số từ đến 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số:
a) Chẵn b) Chia hết cho c) Lẻ chia hết cho
HD Giải
Không gian mẫu Ω ={1,2,3, ,20 , ( ) 20} n Ω = Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a), b), c) a) {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 , ( ) 10} ( )
2
A= n A = ⇒P A =
b) {3,6,9,12,15,18 , ( ) 6} ( )
10
(25)c) {3,9,15 , ( ) 3} ( ) 20
C= n C = ⇒P C =
Bài 4.2 Một súc sắc cân đối đồng chất gieo hai lần Tính xác suất cho: a) A: “Tổng số chấm hai lần gieo 6”
b) B: “Ít lần gieo xuất mặt chấm”
c) C: “Số chấm hai lần gieo nhau”
d) D: “Tồng số chấm hai lần gieo 8”
e) E: “Tổng số chấm hai lần gieo chẵn”
HD Giải
Không gian mẫu: Ω ={( ; ) / ;i j ≤i j≤6 , ( ) 36} n Ω =
a) {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) , ( ) 5} ( )
36
A= n A = ⇒P A =
b) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1) , ( ) 11} ( ) 11 36
B= n B = ⇒P B =
c) {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) , ( ) 6} ( )
6
C= n C = ⇒P C =
d) {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) , ( ) 5} ( ) 36
D= n D = ⇒P D =
e)
=
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,3),(3,1),(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),(2,6),(3,5), (5,3),(6,2),(4,6),(6,4)
E
= ⇒ =1
( ) 18 ( )
n E P E
Bài 4.3. Chọn ngẫu nhiên học sinh có tên danh sách đánh số thứ tự từ 001 đến 199 Tính xác suất để học sinh có số thứ tự:
a) Từ 001 đến 099 b) Từ 150 đến 199
HD Giải
Ta có: n( )Ω = C1995
a) Gọi A biến cố: ”Chọn học sinh có số thứ tự 001 đến 099” Suy n A( )= C995 Vậy P A C
C 99 199
( )= ≈0,029
b) Gọi B biến cố: “Chọn học sinh có số thứ tự 150 đến 199” Suy n B( )= C505 Vậy P B C
C 50 199
( )= ≈0,0009
Bài 4.4. Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 50 a) Mô tả không gian mẫu;
b) Gọi A biến cố “Sốđược chọn số nguyên tố” Hãy liệt kê kết thuận lợi cho A;
c) Tính xác suất A;
d) Tính xác suất để sốđược chọn nhỏ
HD Giải
a) Không gian mẫu Ω ={1,2,3, ,50}
b) Ω =A {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}
c) ( ) 15 0,3
50 P A = =
d) Gọi B biến cố “ sốđược chọn nhỏ 4” Ta có ( ) 0,06 50
(26)Bài 4.5. Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để: a) Sốđược chọn số nguyên tố;
b) Sốđược chọn chia hết cho 3;
HD Giải
a) Gọi A biến số “ sốđược chọn số nguyên tố” Ta có Ω =A {2,3,5,7} ( ) 0,5 P A = =
b) Gọi B biến cố “ sốđược chọn chia hết cho 3” Ta có Ω =B { }3,6 ( ) 0,25 P B = =
Bài 4.6. Chọn ngẫu nhiên người có tên danh sách 20 người đánh số từ đến 20 Tính xác suất để người chọn có số thứ tự khơng lớn 10 ( xác đến hàng phần nghìn)
HD Giải
Gọi A biến cố “5 người chọn có số thứ tự khơng lớn 10”
Không gian mẫu Ω =C205 Kết thuận lợi biến cố A Ω =A C105
Vậy
5 10 20
( ) C 0,016 P A
C
= ≈
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 4.7. Danh sách lớp Nguyên đánh số từ đến 30 Nguyên có số thứ tực 12 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp
a) Tính xác suất để Nguyên chọn
b) Tính xác suất để Ngun kkhơng chọn
c) Tính xác suất để bạn có số thứ tự nhỏ số thứ tự Nguyên chọn
Bài 4.8. Gieo hai súc sắc cân đối a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A biến cố “Tổng số chấm mặt xuất hiên hai súc sắc nhỏ 7” Liệt
kê kết thuận lợi A Tính P(A)
c) Cũng hỏi cho biến cốB: “có súc sắc xuất mặt chấm” C: “ có súc sắc xuất mặt chấm
Bài 4.9. Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối Tính xác suất để số chấm xuất hai súc sắc
(27)§5 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT A KIẾN THỨC CẦN NẮM
1 Quy tắc cộng xác suất a Biến cố hợp
Cho hai biến cốA B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A∪Bđược gọi hợp hai biến cố A B
Tổng quát: Cho k biến cốA1, A2, , Ak Biến cố “ có biến cốA1, A2, , Ak xảy
ra”, kí hiệu A1∪A2∪ ∪ Ak gọi hợp k biến cốđó b Biến cố xung khắc
Cho hai biến cốA B Hai biến cốA Bđược gọi xung khắc biến cố xảy biến cố
kia khơng xảy c Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến A B xung khắc xác suất A B xảy P A( ∪B)=P A( )+P B( )
Tổng quát: Cho k biến cốA1, A2, , Akđôi xung khắc Khi
( k) ( )1 ( ) ( )k
P A ∪A ∪ ∪A =P A +P A + +P A
d Biến cốđối
Cho A biến cố Khi biến cố khơng xảy A, kí hiệu A gọi biến cốđối A
Xác suất biến cốđối A P A( )= −1 P A( )
Hai biến cốđối hai biến cố xung khắc Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa hai biến cốđối
2 Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao
Cho hai biến cốA B Biến cố “CảA B xảy ra”, kí hiệu AB, gọi giao hai biến
cốA B
Nếu ΩA ΩB tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi
cho AB Ω ∩ ΩA B
b Biến cốđộc lập
Hai biến cốA B gọi độc lập với việc xãy hay không xảy biến cố không
làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố
Nếu hai biến cốA, Bđộc lập với A B; A B; A B độc lập với c Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A B độc lập với P A B( )=P A P B( ) ( )
Nếu P AB( )≠P A P B( ) ( ) hai biến cốA B khơng độc lập với B BÀI TẬP
Bài 5.1 Gieo súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định biến cố sau:
A: “Xuất mặt chẵn chấm” B: “ Xuất mặt lẻ chấm”
C: “Xuất mặt có số chấm khơng nhỏ 3”
c) Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc
HD Giải
a) Không gian mẫu Ω ={1,2,3,4,5,6}
b) Ta có A={2,4,6 ;} B={ }1,3,5 ;C ={3,4,5,6}
c) Các biến cố A B xung khắc, A∩ =B O
(28)được thay vào phương trình bậc hai: x2 + bx + = Tính xác suất cho: a) Phương trình có nghiệm
b) Phương trình vơ nghiệm
c) Phương trình có nghiệm ngun
HD Giải
Không gian mẫu Ω ={1,2,3,4,5,6 , ( ) 6} n Ω =
Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a), b), c) Ta thấy phương trình bậc hai x2 +
bx + = có nghiệm ∆ =b2− ≥8 0 Do đó:
a) { / 8 0} {3,4,5,6 , ( ) 4} ( )
A= ∈Ωb b − ≥ = n A = ⇒P A =
b) Vì B=A nên ( ) ( ) ( )
3 P B =P A = −P A =
c) { }3 , ( ) ( )
6 C= n C = ⇒P C =
Bài 5.3 Kết (b, c) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình: x2 + bx + c = Tính xác suất để:
a) Phương trình vơ nghiệm b) Phương trình có nghiệm kép c) Phương trình có nghiệm
HD Giải
Khơng gian mẫu: Ω ={( ; ) / 1b c ≤b c; ≤6 , ( ) 36} n Ω = Kí hiệu A, B, C biến cố cần tìm xác suất ứng
với câu a), b), c) Ta có: ∆ =b2−4c
{ }
{ }
2
) ( , ) /
(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,2), ,(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6) a A= b c ∈Ω b − c<
=
17 ( ) 17 ( )
36 n A = ⇒P A =
b) {( , ) / 0} {(2,1),(4,4) , ( ) 2} ( )
18
B= b c ∈Ω b − c= = n B = ⇒P B =
c) Ta có ( ) ( ) 17 19
36 36 C=A⇒P C =P A = − =
Bài 5.4. Một hộp đựng 10 cầu đánh số từ đến 10, đồng thời từ đến sơn màu đỏ Lấy ngẫu nhiên Kí hiệu A biến cố:”Quả lấy màu đỏ”, B biến cố: “Quả lấy ghi số
chẵn” Hỏi A B có độc lập khơng ?
HD Giải
Kí hiệu A biến cố :”Quả lấy màu đỏ”, B biến cố: “Quả lấy ghi số chẵn”
Khômg gian mẫu: Ω ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , ( ) 10} n Ω =
{1,2,3,4,5,6 , ( ) 6} ( )
A= n A = ⇒P A = , {2,4,6,8,10 , ( ) 5} ( )
2
B= n B = ⇒P B =
{2,4,6 , (} ) ( ) 10 A∩ =B n A∩B = ⇒P A∩B =
Mặt khác: ( ) 3 ( ) ( )
10
P AB = = =P A P B Vậy A, B độc lập với
Bài 5.5 Hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa quảđỏ xanh, hộp thứ hai chứa quảđỏ
và xanh Lấy ngẫy nhiên từ hộp Tính xác suất cho: a) Cả hai quảđều đỏ
b) Hai màu c) Hai khác màu
HD Giải
(29)Kí hiệu B: “Quả lấy từ hộp thứ hai màu đỏ”
Kí hiệu C: “Hai lấy màu”
Kí hiệu D: “Hai lấy khác màu”
Không gian mẫu kết hai hành đồng lấy từ hai hộp liên tiếp Theo qui tắc nhân: n( ) 50Ω =
và A, B độc lập
Ta có: A∩B: “Quả lấy từ hai hộp màu đỏ” A∩B: “Quả lấy từ hai hộp màu xanh”
a) Cần tính ( ) ( ) ( ) 0,24
5 10
P A∩B =P A P B = =
(Cách khác: Theo qui tắc nhân ta có: n(A∩B) = 3.4 =12 ( ) ( ) 12 0,24
( ) 50 n A B P A B
n ∩
⇒ ∩ = = =
Ω )
b) Từ suy ra: C =(A∩ ∪ ∩B) (A B), n A( ∩B) 12=
( ) ( ) ( ) 12 12
( ) ( ) ( ) 0,48
( ) ( ) 50 50
n A B n A B
P C P A B A B
n n
∩ ∩
= ∩ ∪ ∩ = + = + =
Ω Ω
c) Dễ thấy D C hai biến cốđối nhau, nghĩa làD C= ⇒P D( )=P C( ) 0,48 0,52= − =
Bài 5.6 Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tính xác suất cho:
a) Hai bi lấy màu b) Hai bi lấy khác màu
HD Giải
Kí hiệu A: “Bi lấy từ túi phải có màu đỏ”, B: “Bi lấy từ túi trái có màu đỏ”, C: “Hai bi lấy
màu” D: “Hai bi lấy khác màu”
Không gian mẫu kết hai hành đồng lấy từ hai hộp liên tiếp Theo qui tắc nhân:
( ) 5.9 45
n Ω = = A, Bđộc lập
Ta có: A∩B: “Bi lấy từ hai túi phải túi trái màu đỏ” A∩B: “ Bi lấy từ hai túi phải túi trái màu xanh”
a) C=(A∩ ∪ ∩B) (A B), Hiển nhiên (A∩ ∩ ∩B) (A B)= O n(A∩B) = 3.4 =12 ,
( ) 2.5 10
n A∩B = = ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) 12 10 22
( ) ( ) 45 45 45
n A B n A B
P C P A B A B
n n
∩ ∩
= ∩ ∪ ∩ = + = + =
Ω Ω
b) Dễ thấy D C hai biến cốđối nhau, nghĩa ( ) ( ) 22 23 45 45 D C= ⇒P D =P C = − =
Bài 5.7 Hai bạn lớp A hai bạn lớp Bđược xếp vào ngồi ghế thành hàng ngang Tính xác suất
sao cho:
a) Các bạn lớp A ngồi cạnh b) Các bạn lớp không ngồi cạnh HD Giải
Giả sử hai bạn lớp Ađược đánh số 1, hai bạn lớp Bđược đánh số 3, Kết xếp chỗ tương ứng
với hoán vị tập B={1,2,3,4} Như số phần tử không gian mẫu n( )Ω =P4 = =4! 24
Kí hiệu: C biến cố: “Hai bạn lớp A ngồi cạnh nhau”
D biến cố: “Hai bạn lớp không ngồi cạnh nhau”
a) Đầu tiên xếp hai bạn lớp A ngồi vào hai ghế liền nhau, có 2.3 = cách , sau xếp hai bạn lớp B vào
ghế lại có cách Theo qui tắc nhân ta có n(C) = 6.2 = 12 P(C) = 0,5
b) Đầu tiên xếp bạn A ngồi vị trí thứ nhất, chẳng hạn từ bên trái: có 2!.2! cách xếp bốn bạn ngồi xen kẽ
Sau xếp bạn lớp B ngồi vị trí thứ Ta có 2!.2! cách ngồi xen kẽ Vậy n(D) = 2!.2! = đó: P(D) =
3
Bài 5.8 Trên giá sách có sách Tốn, sách Lí sách Hóa Lấy ngẫu nhiên ba sách Tính xác suất cho:
(30)HD Giải
Không gian mẫu tổ hợp chập sách nên n( )Ω =C93 =84 Kí hiệu A, B, C biến
cố tương ứng câu a), b), c)
a) Để có phần tử A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ loại sách quyển) Vậy n(A) =
4.3.2 = 24 ( )
7 P A =
b) Cả ba sách lấy sách Toán , nên ( ) 43 ( )
21 n B =C ⇒P B =
c) Gọi C biến cố: “Trong ba khơng có sách Tốn nào”, ta có:n C( )=C53=10
10 37 ( ) ( )
84 42 P C = −P C = − =
Bài 5.9 Một hộp đựng chín thẻđánh số từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với Tính xác suất để kết nhận số chẵn
HD Giải
Gọi A biến cố: “ Rút thẻ chẵn thẻ lẻ”, B biến cố: “Cả hai thẻđược rút thẻ
chẵn” Khi biến cốC: “ Tích hai số ghi thẻ số chẵn” là: C= ∪A B
Do hai biến cốA B xung khắc, nên P C( )=P A( ∪B)=P A( )+P B( ) Vì có thẻ chẵn thẻ lẻ nên ta có:
1
5 4
2
9
20
( ) ; ( )
36 36
C C C
P A P B
C C
= = = = Vậy ( ) ( ) 20 13
36 36 18 P C =P A∪B = + =
Bài 5.10 Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi a) Tính xác suất để chọn hai viên bi màu
b) Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu
HD Giải
a) Gọi A biến cố: “Chọn hai viên bi xanh”, B biến cố “Chọn hai viên bi đỏ” C biến
cố: “Chọn viên bi vàng” D biến cố: “Chọn hai viên bi màu”
Theo đề bài, ta có D= ∪ ∪A B Cvà biến cốA, B, Cđôi xung khắc
Vậy P D( )=P A( ∪ ∪B D)=P A( )+P B( )+P C( ) Mặt khác, ta có:
2
2
3
4
2 2
9 9
6
( ) ; ( ) ; ( )
36 36 36
C
C C
P A P B P C
C C C
= = = = = =
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
36 36 36 18 P D =P A∪ ∪B D =P A +P B +P C = + + =
b) Biến cố: “Chọn hai viên bi khác màu” biến cố D Vậy ( ) ( ) 13
18 18 P D = −P D = − = Bài 5.11 Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Tìm xác suất để viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu ?
HD Giải
Gọi A biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”, C
biến cố: “ Một viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu” Khi ta có: C=AB∪AB hai viên đạn bắn độc lập
Vậy : P C( )=P AB( ∪AB)=P A P B( ) ( )+P B P A( ) ( ) 0,6.0,4 0,4.0,6 0,48= + =
Bài 5.12 Ba người săn A, B, Cđộc lập với nổ súng vào mục tiêu Biết xác suất bắn
trúng mục tiêu A, B, Ctương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5
a) Tính xác suất để xạ thủA bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt
b) Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng
HD Giải
a) Gọi H biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt” Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) (0,7)(0,4)(0,5) 0,14
(31)b) Gọi K biến cố: “Khơng có xạ thủ bắn trúng” Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) (0,3)(0,4)(0,5) 0,06
P K =P A P B P C = =
Vậy xác suất cần tìm : P K( ) 1= −P K( ) 0,94=
Bài 5.13 Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để quảđó có màu đỏ màu xanh
HD Giải
Ta có: n(Ω)= C104 = 210
Số cách chọn cầu toàn đỏ
Số cách chọn cầu toàn xanh C64 = 15
Gọi A biến cố: ”Chọn cầu có màu đỏ xanh”
Suy ra: n A( ) = 210 – 15 – = 194 Vậy ( ) 194
210 P A =
Bài 5.14. Xác suất để làm thí nghiệm thành cơng 0,4 Một nhóm học sinh, học sinh độc lập với tiến hành thí nghiệm
a) Tính xác suất để nhóm khơng có làm thí nghiệm thành cơng
b) Tính xác suất để có học sinh nhóm làm thí nghiệm thành cơng (tính xác đến hàng phần trăm)
HD Giải
a) Xác suất để học sinh nhóm làm thí nghiệm khơng thành cơng – 0,4 = 0,6 Theo qui tắc nhân xác suất, xác suất để nhóm (5 HS) khơng có làm thí nghiệm thành cơng : ( )0,6 ≈0,08
b) Xác suất cần tìm 0,6−( )5≈0,92
Bài 5.15. Gieo súc sắc cân đối ba lần Tính xác suất để có hai lần xuất mặt chấm
HD Giải
Gọi A biến cố “lần gieo thứ xuất mặt chấm”, B biến cố “ lần gieo thứ hai xuất mặt
chấm”, C biến cố “ lầm gieo thứ ba xuất mặt chấm”
H biến có “ có hai lần xuất mặt chấm”
Khi đó: P H( )=P A P B P C( ) ( ) ( )+P A P B P C( ) ( ) ( )+P A P B P C( ) ( ) ( )
Ta có: ( ) ( ) ( ) 1; ( ) ( ) ( )
6
P A =P B =P C = P A =P B =P C = Vậy ( ) 15
216 P H =
Bài 5.16. Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số từ đến Tính xác suất để số vé khơng có chữ
số khơng có chữ số
HD Giải
Gọi A biến cố “ chữ số 1”; B biến cố “ khơng có chữ số 5” Ta có P A( )=P B( ) (0,9)= P AB( ) (0,8)=
Từđó P A( ∪B)=P A( )+P B( )−P AB( ) 2.(0,9)= 5−(0,8)5=0,8533
Bài 5.17. Một túi chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên viên bi túi
i) Tính xác suất hai viên bịđen
ii) Tính xác suất đểđược viên bi đen viên bi trắng b) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi túi
i) Tính xác suất đểđược viên bi đỏ
ii)Tính xác suất đểđược viên bi với ba màu khác
HD Giải
a) Số trường hợp xảy là: C162
i) Số trường hợp rút hai viên bi đen C62 Vậy xác suất rút hai viên bi đen
2 16
(32)ii) Số trường hợp rút viên bi trắng viên bi đen 1 42
C C = Vậy xác suất đểđược viên bi
đen viên bi trắng 2
12 42
20 C =
b) Số trường hợp xảy C163
i) Số trường hợp rút viên bi đỏ C33=1 Vậy xác suất rút viên bi đỏ 3
16
1
560 C =
ii) Theo qui tắc nhân, ta có 7.6.3 = 126 cách chọn viên bi có màu khác Vậy xác suất rút viên bi có màu khác 3
16 126
40
C =
Bài 5.18 Chọn ngẫu nhiên thẻ từ năm thẻđánh số 1, 2, 3, 4, Kí hiệu:
A biến cố “ Thẻ ghi số bé chọn” B biến cố “ thẻ ghi số chẵn chọn được”
a) Mô tả không gian mẫu
b) Liệt kê phần tử tập A B
c) Vì A B khơng xung khắc
d) Tính P A P B P A( ), ( ), ( ∩B P A), ( ∪B)
HD Giải
a) Ω ={1,2,3,4,5}
b) A={ } { }1,2 ,B= 2,4
c) A∩ =B { }2 nên A B không xung khắc
d) ( ) ( ); ( ) 1, { } (1;2;4 , )
5 5
P A = =P B P A∩B = A∪ =B P A∪B =
Bài 5.19. Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc
HD Giải
Giả sử T phép thử “Gieo ba súc sắc” Kết T ba số (x; y; z) tương ứng kết
của việc giao com súc sắc thứ nhất, thứ hai, thứ ba Khơng gian mẫu T có 6.6.6 = 216 phần tử Gọi A biến cố: “Tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc 9” Ta có tập hợp kết
thuận lợi cho A là: Ω =A {( ; ; ) /x y z x y z+ + =9,1≤x y z, , ≤6, , ,x y z∈ℕ*}
Nhận xét: = + + = + + = + + = + + = + + = + +
Các tập { } { } {1;2;6 ; 1;3;5 ; 2;3;4} tập có phần tử ΩA, tập { } {1;4;4 ; 2;2;5} tập có phần tử
của ΩA tập { }3;3;3 có phần tử ΩA
Vậy Ω = + + + + + =A 6 3 25 Vậy ( ) 25
216 P A = Bài 5.20. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập {1,2, ,11} a) Tính xác suất để tổng ba sốđược chọn 12 b) Tính xác suất để tổng ba sốđược chọn số lẻ
HD Giải
Không gian mẫu Ω =C113 =165
a) Gọi A biến cố “tổng ba sốđược chọn 12” Khi đó, (a, b, c) mà a + b + c = 12 a < b < c
(1,2,9), (1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) (3,4,5) Vậy ( ) 165 P A =
b) Gọi B biến cố “tổng ba sốđược chọn số lẻ”
(33)hai số chẵn Vậy ( ) 20 60 16 165 33
P B = + =
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5.21 Một túi chứa 16 viên bi, có viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên ba viên bi túi Tính xác suất để:
i) Lấy viên bi đỏ
ii) Lấy ba viên bi không đỏ
iii) Lấy viên bi trắng, viên bi đỏ, viên bi đen b) Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi túi Tính xác suất để: i) Lấy viên bi trắng
ii) Lấy hai viên bi trắng
c) Lấy ngẫu nhiên mười viên bi Tính xác suất rút viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ
Bài 5.22 Một hộp đựng thẻđánh số từ 1,2, , Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi hai thẻ
với Tính xác suất để: a) Tích nhận số lẻ b) Tích nhận số chẵn
Bài 5.23 Một hộp đựng thẻđánh số từ 1,2, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để: a) Các thẻ ghi số 1, 2, rút
(34)ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài Có cách xếp người vào hai dãy ghế cho ghếđầu có người dãy sau có người
HD Giải
Chọn người để xếp vào ghếởđầu: có
A cách Còn người xếp vào ghếở dãy sau: có 3! Cách Vậy có tấ A74.3! 5040= cách xếp
Bài 2. Một câu lạc có 30 thành viên
a) Có cách chọn thành viên vào Uỷ ban thương trực ? b) Có cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch Thủ quỹ ?
HD Giải
a) Số cách chọn người vào Uỷ ban thường trực C305 =142506
b) Cần chọn người giữ chức vụ Chủ tịch, Phó Chủ tịch Thủ quỹ Số cách chọn
3
30 24360 A =
Bài 3. Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi
lập tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho ?
HD Giải
Cứ điểm không đồng phẳng cho ta tứ diện Vậy số tứ diện cần tìm C94 =126(tứ diện)
Bài 4. Trong khai triển
21
1
3
6
a− b b− a
+
, xác định số hạng mà luỹ thừa a b giống
HD Giải
Ta có số hạng tổng quát khai triển
21 21 42 21
6 6
2
1 21 21
k k k k k
k
k k
k
T C b a a b C a b
− − − −
−
+ = =
Theo đề bài, ta có 42 3− k=4k−21 Suy k=9 Bài
a) Giải bất phương trình 2Cx2+1+3Ax2 <30
b) Giải phương trình A10x +A9x =9Ax8
HD Giải
a) Điều kiện x∈ℕ,x≥2
Ta có 21 30 ( 1) ( 1) 30 2 30
2
x x
C + + A < ⇔ +x x+ x x− < ⇔ x − x− < ⇔ − < <x
So với điều kiện, suy x=2
b) Điều kiện x∈ℕ,x≥10 Ta có
=
+ = ⇔ + = ⇔ − − + − = ⇔ − + = ⇔
− − − =
10 9 ! ! 9. ! ( 9)( 8) 8 9 16 55 0 11
( 10)! ( 9)! ( 8)!
x x x
x
x x x
A A A x x x x x
x x x x
So với điều kiện, suy x=11
Bài Tính xác suất cho 13 tú lơ khơđược chia nhẫu nhiên cho bạn Ngun có pích, rơ, nhép
HD Giải
Số cách rút 13 C5213 Như n( )Ω =C5213
Kí hiệu A: “Trong 13 có pích, rơ, nhép” Ta có ( ) 134 .93 63 13!2
4!(3!)
n A =C C C = Vậy 2 13
52 13!
( ) 0,000002
4!(3!) P A
C
= ≈
Bài 7. Chọn ngẫu nhiện số tự nhiện bé 1000 Tính xác suất để sốđó: a) Chia hết cho b) Chia hết cho
HD Giải
(35)Vậy có 334 số chi hết cho bé 1000 Suy 334 0,334 1000
P= =
b) Các số chi hết cho có dạng (k k∈ℕ) Ta phải có 5k<1000 nên k<200
Vậy có 200 số chia hết cho bé 1000 Suy 200 0,2
1000
P= =
Bài Ba người săn A, B, C độc lập với nổ súng vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng
mục tiêu A, B, C tương ứng là: 0,4; 0,3; 0,2
a) Tính xác suất để xạ thủA bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt
b) Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng
HD Giải
a) Gọi H biến cố: “Xạ thủA bắn trúng hai xạ thủ bắn trượt” Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) (0,4)(0,7)(0,8) 0,224
P H =P A P B P C = =
b) Gọi K biến cố: “Khơng có xạ thủ bắn trúng” Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) (0,6)(0,7)(0,8) 0,336
P K =P A P B P C = =
Vậy xác suất cần tìm : P K( ) 1= −P K( ) 0,664=
Bài 9. Bốn pháo cao xạA, B, C và D bắn độc lập vào mục tiêu Biết xác suất bắn trúng
các pháo tương ứng là: ( ) 1, ( ) 2, ( ) 4, ( )
2
P A = P B = P C = P D = Tính xác suất để mục tiêu bị
trúng đạn
HD Giải
Gọi H: “Các pháo bắn trượt mục tiêu” Ta tính xác suất để mục tiêu khơng bị trúng đạn tức
4 pháo bắn trượt Ta có ( ) 1
2 105
P H = =
Xác suất để mục tiêu bị trúng đạn ( ) ( ) 1 104
105 105 P H = −P H = − =
Bài 10. Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi a) Tính xác suất để chọn hai viên bi màu
b) Tính xác suất để chọn hai viên bi khác màu
HD Giải
a) Không gian mẫu Ω có số phần tử 12
( ) 66
n Ω =C =
Gọi A biến cố: “Chọn hai viên màu”
Ta có: 2
5
( ) 19
n A =C +C +C = Vậy ( ) ( ) 19
( ) 66
n A P A
n
= =
Ω
b) Biến cố: “Chọn hai viên bi khác màu” biến cố A Vậy ( ) 1= − ( ) 1= −19 47=
66 66
P A P D
Bài 11. Có ba hịm, hịm chứa thẻđánh số từ đến Rút ngẫu nhiện từ hịm thẻ Tính xác suất để:
a) Tổng số ghi ba thẻ rút không lớn 4? b) Tổng số ghi ba thẻ rút ?
HD Giải
Không gian mẫu Ω ={( , , ) / 1x y z ≤ ≤x 5,1≤ ≤y 5,1≤ ≤z 5; , ,x y z∈ℕ*} đó x y z, , theo thứ tự số
ghi thẻ rút hòm thứ nhất, thứ hai thứ ba Ta có n( )Ω =5.5.5 125=
a) Gọi A biến cố “Tổng số ghi ba thẻ rút không lớn 4” Khi A biến cố “ Tổng số ghi ba thẻđược chọn nhiều 3” Khi {(1,1,1)}
A
(36)Vậy ( ) ( ) 1 0,992 125
P A = −P A = − =
b) Gọi B biến cố “Tổng số ghi ba thẻ rút 6”
Khi Ω =B {( , , ) /x y z x y z+ + =6,1≤ ≤x 5,1≤ ≤y 5,1≤ ≤z 5; , ,x y z∈ℕ*}
Ta có = + + = + + = + +
Tập { }1,2,3 cho ta phần tử ΩB, tập { }1,1,4 cho ta phần tử ΩB, tập {2,2,2}chỉ cho phần tử ΩB Vậy n( )Ω = + + =B 10 Do ( ) 10 0,08
125
P B = =
Bài 12. Có số tự nhiên gồm chữ sốđôi khác (chữ sốđầu tiên phải khác 0), có mặt chữ số khơng có mặt chữ số ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6, 1≠0,ai ≠a ij, ≠ j i j; , =1,6 a a a a a a1, , , , ,2 3 4 5 6∈ =B {0,1, ,9}
Chọn chữ số chữ số {a a a a a2, , , ,3 4 5 6}để cho có cách chọn Chọn chữ số cịn lại từ B\ 0,1{ }có A85 cách chọn
Vậy số thoả mãn yêu cầu là: 5A85=33600 (số)
Bài 13. Có số tự nhiên gồm chữ số (chữ sốđầu tiên phải khác 0), biết chữ số có mặt
đúng hai lần, chữ số có mặt ba lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a a1 7, 1≠0, a a a a a a a1, , , , , ,2 3 4 5 6 7∈ =B {0,1, ,9}
Xét trường hợp a1 tuỳ ý (có thể 0) Chọn vị trí xếp hai chữ số 2: có C72 cách chọn Chọn vị trí xếp ba chữ số 3: có C53 cách chọn
Cịn hai vị trí, chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí này: có 2!.C82
Do đó, ta có C C72 .2!53 C82=11760 (số) Xét trường hợp a1=0
Chọn vị trí xếp hai chữ số 2: có C62 cách chọn Chọn vị trí xếp ba chữ số 3: có
4
C cách chọn Chọn số xếp vào vị trí cịn lại: có cách chọn Do có: C C62 .7 42043 = (số)
Vậy số thoả ycbt: 11760 – 420 = 11340(số)
Bài 14. Từ chữ số 1, 2, 5, 7, 8, lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhỏ 276?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng n=a a a a1 3; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,3; , ,a a a1 2 3∈ =B {1,2,5,7,8}và n<276
a= , b, c lấy B\{ }a Do có A42 =12 (số) { }
2, 1,5
a= b< ⇒b∈ c B∈ \ ,{ }a b Do có 2.A31=6 (số) { }
2, 1,5
a= b= ⇒c∈ Do có (số) Vậy số số n thoả ycbt: 12 + + = 20(số)
Bài 15. Có số tự nhiên chia hết cho mà số gỗm chữ số khác ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng n=a a a a a1 4; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,4; , , ,a a a a1 2 3 4∈ =B {0,1,2,4, ,9}
(37)Số cách chọn a a a1, ,2 3 có
A cách chọn
Vậy có 2A93 số có chữ số chia hết cho (kể trường hợp a1=0) Số trường hợp a1=0 A92
Vậy số cần tìm thoả u cầu tốn là: 2A93−A92=952(số) Cách khác: Giải theo quy tắc đếm
Bài 16. Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên, số có chữ số thoả mãn
điểu kiện: Sáu chữ số khác sốđó tổng ba chữ sốđầu nhỏ tổng ba chữ số
cuối đơn vị ?
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,6;ai∈ =B {1,2,3,4,5,6} Điều kiện: a1+ + = + + −a2 a3 a4 a5 a6 Vì + + + + + = 21
Vậy suy a1+ + =a2 a3 10 hiển nhiên a4+ + =a5 a6 11
Ta có trường hợp sau xảy ra: { } {1,3,6 2,4,5 : 3!.3! 36 và } Ta có = số
{ } {1,4,5 2,3,6 : 3!.3! 36 vaø } Ta có = số
{2,3,5 1,4,6 : 3!.3! 36 } { }và Ta có = số
Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 + 36 = 108 số cần tìm
Bài 17. Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn
HD Giải
Gọi số cần tìm có dạng: a a a a a a a1 6; i ≠a ij; ≠ j i j; , =1,6;ai∈ =B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Theo đề bài, ta có a3+ + =a4 a5 8, suy a a a3, ,4 5∈{ }1,2,5 hay a a a , ,3 4 5∈{ }1,3,4
Trường hợp: a a a3, ,4 5∈{ }1,2,5
Số cách chọn a a a3, ,4 5 có 3! 6= cách chọn Số cách chọn a a a1, ,2 6 có A63 cách chọn Vậy có 6.A63 =720 (số)
Trường hợp: , ,a a a3 4 5∈{ }1,3,4 , thực giải tương tự, ta có 720 (số) Vậy có 720 + 720 = 1440 số cần tìm
Bài 18.Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em học sinh chọn ?
HD Giải
Số cách chọn học sinh từ 18 em đội tuyển C188 =43758 cách Trong 43758 cách chọn bao gồm:
Số cách chọn học sinh từ khối 12 11 C138
Số cách chọn học sinh từ khối 12 10 C128
Số cách chọn học sinh từ khối 10 11 C118
Vậy số cách chọn thoả yêu cầu toán là: C188 −(C138 +C128 +C118)=41811 (cách chọn)
Bài 19. Giả sử có khai triển ( ) ( )
0
1 n n n
n
x x x − a a x a x a x
− + + = + + + +
Biết a0+ + + +a1 a2 an =512 Hãy tính hệ số a3
(38)Từ giả thiết chọn
0
1 2n 512 10
n
x= ⇒ − = + + + +a a a a = ⇒n=
Với n=10, ta có
( )10 ( )9 0 1 2 2 3 3 10 0 1 2 2 3 9 10
10 10 10 10 10 9 9
1−x +x 1+x =C −C x C x+ −C x +C +C x C x+ +C x + + C x
Từđó suy a3= −C103 +C92= −84
Bài 20. Gọi a a1, , ,2 a11 hệ số khai triển sau: ( ) (10 ) 11 10
1 11
1
x+ x+ =x +a x +a x + +a Hãy tính hệ số a5
HD Giải
Ta có ( )x+110 =C x100 10+C x101 9+C x102 8+C x103 7+C x104 6+C x105 5+ + C x C109 + 1010
Suy ( ) (x+110 x+ = +2) C105 +2C104x6+
Vậy a5 =C105 +2C104 =672
Bài 21 Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển 14 n x x +
, biết
1 20
2 1n 1n 1nn
C + +C + + +C + = −
HD Giải
Từ giả thiết, ta có 2 10 2 11 2 12 2 1n 220
n n n n
C + +C + +C + + +C + = (1) Vì 2 1k 2 12 1n k, ,0
n n
C + =C ++ − ∀k ≤ ≤k n, nên
( )
0 2
2 2 2 2
1
2
n n
n n n n n n n n
C + +C + +C + + +C + = C + +C + +C + + +C ++ (2) Từ khai triển nhị thức Niu-tơn ( )1 1+ 1n+
suy 2 10 12 1 2 12 2 12 1n 22 1n
n n n n
C + +C + +C + + +C ++ = + (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: 22n =220 ⇔ =n 10
Ta có ( ) ( )
10
10
7 11 40
10 10
4
0
1 n k k n
k k k
k k
x C x x C x
x − − − = = + = = ∑ ∑
Hệ số x26 10k
C thoả mãn: 11k−40 26= ⇔ =k
Vậy hệ số x26 : C106 =210 Bài 22. Cho khai triển nhị thức:
1
1 1
0 1
3 3
2 2
2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
− − − − − − − − − − − + = + + + +
(n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3=5C1n số hạng thứ tư 20n Tìm x n, HD Giải
Ta có
, ,
5 7
( 2)( 1) 30
4
n n
n n
n n
C C n n
n n n + + ∈ ≥ ∈ ≥ = ⇔ ⇔ = ⇔ = − − = = − ℤ ℤ Và 4 1
3 3
4 2 20 2 140 4
x x
x x
x
T C n C x
− − − − − = = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy n=7,x=4
Bài 23. Tìm số nguyên dương : 2n n 243
n n n n
(39)Từ khai triển:( )1 n 2 n n
n n n n
x C C x C x C x
+ = + + + + Ta chọn x=2 ta
( )1 2 n 3n 2 4 2n n
n n n n
C C C C
+ = = + + + + Do 2n n 243 3n 35
n n n n
C + C + C + + C = ⇔ = ⇔ =n
Vậy n=5
Bài 24. Tìm số tự nhiên n thoả mãn: n 2 3 n 100
n n n n n n
C C − + C C +C C − = HD Giải Điêu kiện n≥3 n∈ℕ Ta có
( )2 ( )2 ( )2
2 2 3 2 3
2
2 100 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 ( 1) ( 1) 3.4.5
2
n n
n n n n n n n n n n n n
n n
C C C C C C C C C C C C
n n n n n
C C n n n n
− + + − = ⇔ + + = ⇔ + =
− − −
⇔ + = ⇔ + = ⇔ − + = ⇒ =
Vậy n=4
Bài 25. Với n số nguyên dương, gọi a3 3n− hệ số x3 3n− trong khai triển thành đa thức của
( 1)n( 2)n
x + x+ Tìm n để a3 3n− =26n
HD Giải
Ta có ( ) ( ) 2 (2 )
0 0
1 n n n k n k n h n h2h n n k h2h n k h
n n n n
k h k h
x x C x − C x − C C x − +
= = = =
+ + =∑ ∑ =∑∑
Từ giả thiết, ta suy 1,
0, k h k h k h = = + = ⇔ = =
Từđó suy ra: a3 3n− =2C Cn1 1n+23C Cn0 n3=26n⇒n=5
Vậy n=5
Bài 26. Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức của 1 2( )1
x x
+ −
HD Giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
8
2 2
8 8
4
4 8 16
8
1 1 1
x x C C x x C x x C x x
C x x C x x
+ − = + − + − + −
+ − + + −
Số hạng chứa x8 khai triển chỉ có 6( )3
8
C x −x 8( )4
8
C x −x
Suy hệ số x8
8
3C +C =238
Bài 27. Tìm n số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: n
n n
A + C − ≤ n HD Giải
Bất phương trình n
n n
A + C − ≤ n, có điều kiện n≥3,n∈ℕ (*)
3
2
! !
2 9 ( 1)( 2) ( 1)
( 3)! ( 2)!2!
n
n n
n n
A C n n n n n n n n
n n
n n n
−
+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − − + − ≤
− −
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Từ (*), suy n=3,n=4
Bài 28. Giả sử nlà số nguyên dương ( )1 n 0 1 2 k n
k n
x a a x a x a x a x
+ = + + + + + + Biết tồn số k nguyên( n≤ ≤ −k n 1) cho : 1
2 24
k k k
a− a a +
= = Hãy tính n
HD Giải
Ta có ( )1 n 0 1 2 k n
k n
x a a x a x a x a x
+ = + + + + + +
(40)1
1
1
1
2
2 24 24
9 24 2
2( 1) 11
2 10
3( ) 8( 1)
11
k k
n n
k k k
k k k n n n
k k
n n
C C
a a a C C C
C C
n k
n k k
n n n
n k k n
k − − + − + + = = = ⇔ = = ⇔ = + = − + = ⇔ ⇔ ⇔ − = + ⇔ = − = + − =
Bài 29. Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 3− x)2n, n nguyên dương thoả mãn:
1
2 1n 1n 1n 1nn 1024
C + +C + +C + + +C ++ =
HD Giải
Ta có (1 )2 1n 2 10 2 11 2 12 2 12 1n n
n n n n
x + C + C + x C + x C ++ x +
+ = + + + +
Chọn x=1 ta được: (1 1)2 1n 22 1n 2 10 2 11 2 12 2 12 1n
n n n n
C C C C
+ + +
+ + + +
+ = = + + + + (1)
Chọn x= −1 ta được: (1 1)2 1n 2 10 2 11 2 12 2 12 1n
n n n n
C C C C
+ +
+ + + +
− = = − + − − (2)
Lấy (1) – (2) 22 1n 2( 12 1 2 13 2 15 2 12 1n )
n n n n
C C C C
+ +
+ + + +
⇒ = + + + +
Suy ra: 22n=210⇔2n=10
Ta có: (2 3− x)10 có số hạng khai triển tổng quát: 10( 1) 210 ( )3
k
k k k
k
T+ =C − − x
Hệ số x7 ứng với k =
Vậy hệ số x7 −C1073 27 3= −2099520
Bài 30. Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập
con gồm phần tử A Tìm k∈{1;2;3; ;n}sao cho số tập gồm k phần tử A lớn HD Giải
Theo tốn, ta có:
4 20 ! 20 ! ( 3)( 2) 20.12 18
4!( 4)! 2!( 2)!
n n
n n
C C n n n
n n
= ⇔ = ⇔ − − = ⇒ =
− − (Vì n≥4)
18k
C lớn
1 18 18 18 18 k k k k C C k C C + − ≥ ⇔ ⇒ = ≥
Vậy: k=9
Bài 31. Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5 n
n n
C − =C Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức
Niu-tơn
2 1 , 14 n nx x x − ≠
HD Giải
Ta có: 5 ( 1)( 2)
6
n
n n
n n n
C − =C ⇔ n= − − ⇔ =n (vì n ngun dương)
Khi đó:
7
2 7
14
7
0
( 1)
1 1
14 14 2
n k k k k
k k
k
k k
C
nx nx x
C x
x x x
− − − = = − − = − = − = ∑ ∑
Số hạng chứa x5 tương ứng với 14 3− k= ⇔ =5 k 3
Vậy số hạng cần tìm
3
5
7
( 1) 35
16 C x x − = −
Bài 32. Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4;
(41)Số phần tử S n S( )=A73=210 Gọi A biến cố: “Chọn từ S sốđược chọn số chẵn”
Ta có n(A) = 3.6.5 = 90 (cách)
Xác suất cần tìm là: P A n A n S
( ) 90 ( )
( ) 210
= = =
Bài 33. Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi
đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu
HD Giải
Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là: 7.6 = 42 Số cách chọn vuên bi đỏ, viên từ hộp là: 4.2 = Số cách chọn vuên bi trắng, viên từ hộp là: 3.4 = 12 Xác suất lấy hai viên bi màu là: P 12 10
42 21 +
= =
Bài 34. Từ hộp chứa 16 thẻđánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻđược chọn đánh số chẵn
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω =C164 =1820 Gọi biến cố A: “Chọn thẻđều đánh số chẵn” Kết thuận lợi cho biến có A n A( )=C84=70
Xác suất biến cố A ( ) ( )
( ) 1820 2670 n A
P A n
= = =
Ω
Bài 35.Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta giửđến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω =C123 =220 Gọi biến cố A: “3 hộp sữa chọn có loại” Kết thuận lợi cho biến có A ( ) 1
5 .4 60 n A =C C C =
Xác suất biến cố A ( ) ( )
( ) 220 1160 n A
P A n
= = =
Ω
Bài 36. Cho đa giác n đỉnh, n∈ℕ n≥3 Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo
HD Giải
Sốđường chéo đa giác n đỉnh ( )3
n
n n C − =n − Theo giả thiết, ta có: ( )3 27
2 n n
n −
= ⇔ = n= −6
Do n∈ℕ n≥3 nên giá trị n cần tìm n=9
Bài 37. Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phốđã chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch cơđộng đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để đội Trung tâm y tế sởđược chọn
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu 25
( ) 2300
n Ω =C =
Gọi A biến cố “ít đội Trung tâm y tế sởđược chọn”
Ta có số kết thuận lợi cho biến cốA n A( )=C C203 15+C203 =2090
Vậy: ( ) ( ) 209
( ) 230
n A P A
n
= =
(42)Bài 38. Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu
hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì sốđó để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A câu hỏi B chọn giống
nhau
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu ( )3 10
( ) 14400
n Ω = C =
Gọi A biến cố “3 câu hỏi A câu hỏi B chọn giống nhau”
Ta có số kết thuận lợi cho biến cốA n A( )=C103.1 120= (vì với cách chọn câu hỏi A, B
chỉ có cách chọn câu hỏi giống nhưA)
Vậy: ( ) ( ) 120
( ) 14400 120
n A P A
n
= = =
Ω
Bài 39. Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tựđã nhấn tọa thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều kiển Tính xác suất để B mởđược cửa phịng học
HD Giải
Khơng gian mẫuΩ có số phần tử 10
( ) 720
n Ω =A =
Gọi E biến cố: “B mởđược cửa phòng học” Ta có:
{(0;1;9),(0; 2;8),(0;3;7),(0;4;6),(1; 2;7),(1;3;6),(1; 4;5);(2;3;5)}
E= Do ( ) 8n E =
Vậy: ( ) ( )
( ) 90
n E P E
n
= =
Ω
Bài 40. Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi trắc nghiệm mơn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi mơn Tính xác suất để giáo viên phụ trách coi thi môn trắc nghiệm
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu
( ) 56
n Ω =C =
Gọi A biến cố “Giáo viên phụ trách coi thi mơn trắc nghiệm”
Ta có số kết thuận lợi cho biến cốA n A( )=C C42 43+C C43 42+C C44 41=52
Vậy: ( ) ( ) 52 13
( ) 56 14
n A P A
n
= = =
Ω
Bài 41. Từ hộp chứa 11 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu: ( ) 15 455
n Ω =C =
Gọi A biến cố: “ lấy cầu màu xanh” Khi đó, n A( )=C43=4
Xác suất ( ) ( )
( ) n A P A
n =
Ω
4 455
=
Bài 42. Tìm hệ số
x khai triển biểu thức x(2x−1)6+(3x−1) HD Giải
Ta có: x(2x−1) (6+ 3x−1)8 ( ) ( ) ( ) ( )
6
6
6
0
k k h h
k h
k h
x C x − C x −
= =
= ∑ − +∑ −
Suy hệ số
(43)Bài 43. Ba bạn , ,A B C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] Tìm xác suất P để ba sốđược viết có tổng chia hết cho
HD Giải
Khơng gian mẫu có số phần tử 173=4913
Lấy số tự nhiên từ đến 17 ta có nhóm số sau: Số chia hết cho : có số thuộc tập {3;6;9;12;15 } Số chia cho dư 1: có số thuộc tập {1;4;7;10;13;16 } Số chia cho dư : có số thuộc tập {2;5;8;11;14;17 }
Ba bạn A, B, C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [ ]1;17 thỏa mãn ba số có tổng chia hết cho khả xảy sau:
TH1: Ba sốđều chia hết cho có 53+ + =63 63 557 cách
TH2: Một số chia hết cho , số chia cho dư 1, chia cho dư có 5.6.6.3! 1080= cách Vậy xác suất cần tìm 557 1080 1637
4913 4913
P= + =
Bài 44. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n≥3,n∈ℕ), khơng có điểm thẳng
hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Biết có 505 mặt phẳng
phân biệt tạo thành từ 2n điểm cho Tìm n? HD Giải
Xem điểm 2n điểm cho lập nên mặt phẳng, ta có C23n mặt phẳng
Tuy nhiên 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng nên n điểm có
mặt phẳng
Vậy số mặt phẳng có ( 3 )
2n n
C −C +
Theo đề ta có: 3
2n n 505
C −C + = ( )
( ! ) ( ! ) 504
3! ! 3! !
n n
n n
⇔ − =
− −
( )( ) ( )( )
2 2n n 2n n n n 3024
⇔ − − − − − = ⇔7n3−9n2+2n−3024 0= ⇔ =n 8
Bài 45. Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ sốđược lập từ tập A={0;1; 2;3; ;9} Chọn ngẫu
nhiên số từ tập S Tính xác suất để chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875 HD Giải
Số phần tử không gian mẫu số cách lập số có chữ số từ tập A, nΩ=9.105
Gọi B biến cố chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875 7=
Số phần tử B C C62 43 =60 Suy xác suất ( ) 605
9.10 15000
P B = =
Bài 46 Tìm giá trị 1 1
1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010!
A= + + + + +
HD Giải
Ta có
( )
! ! !
k n
C
k n k− = n Do
1 1009
2019 2019 2019 2019
2019! 2019! 2019! 2019!
C C C C
A= + + + +
1 1009
2019 2019 2019
2019!
C +C + +C =
0 1009
2019 2019 2019 2019
2019!
C +C +C + +C −
= 22018
2019!
−
=
(44)Tính xác suất để thí sinh đạt từ 8, trở lên
HD Giải
Số phân tử không gian mẫu ( ) 410
n Ω = Gọi A biến cố “thí sinh đạt từ 8, trở lên”
Ta có trường hợp:
+ Thí sinh câu, sai câu có 10.3 405
C = (cách)
+ Thí sinh câu, sai câu có 10.3 30
C = (cách)
+ Thí sinh 10 câu có 10 10
C = (cách)
Do n A( )=405 30 436+ + = Vậy xác suất biến cố A ( )
( ) 10 436
4
n A P
n
= =
Ω
Bài 48. Số tự nhiên n thỏa 1.C1 2.C2 Cn 1024
n+ n+ +n n = Tìm n
HD Giải
Xét khai triển: (1 )n C0 C1 C2 Cn n n n n n
x x x x
+ = + + + +
Lấy đạo hàm hai vế ta được: (1 )n1 C1 2C2 Cn n1
n n n
n +x − = + x+ +n x −
Cho x=1 ta được: 2n1 C1 2C2 Cn n n n
n − = + + +n mà 1.C1 2.C2 Cn 1024 n+ n+ +n n =
Suy ra: .2n 1024
n − = ⇔n.2n−1−1024 0= Xét phương trình g n( )=n.2n−1−1024, n≥1
Có ( ) 2n1 .2 ln 0n
g n′ = − +n − > ,∀ ≥n nên g n( ) đồng biến [1;+∞)
Do phương trình g n( )=0 có nhiều nghiệm Mà g( )8 =1024nên n=8
Bài 49. Lớp 11A có 40 học sinh có 12 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hóa học loại giỏi 13
học sinh đạt điểm tổng kết mơn Vật lí loại giỏi Biết chọn học sinh lớp đạt điểm tổng kết mơn Hóa học Vật lí loại giỏi có xác suất 0,5 Số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi hai mơn Hóa học Vật lí ?
HD Giải
Gọi A biến cố “Học sinh chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi mơn Hóa học” B biến cố “Học sinh chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi mơn Vật lí”
A∪B biến cố “Học sinh chọn đạt điểm tổng kết mơn Hóa học Vật lí loại giỏi” A∩B biến cố “Học sinh chọn đạt điểm tổng kết loại giỏi hai mơn Hóa học Vật lí”
Ta có: n A( ∪B)=0,5.40=20
Mặt khác: n A( ∪B) ( ) ( ) ( )=n A +n B −n A B ⇒n A B( ) ( ) ( ) ( =n A +n B −n A∪B)= + −12 13 20=5 Bài 50. Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển (1 3)10
x x x + + +
HD Giải
Ta có: (1 3)10
x x x
+ + + ( 2)10( )10
1 x x
= + + 10 10
10 10
0
k k i i k i
C x C x
= =
=∑ ∑ 10 10
10 10 0
k i k i k i
C C x +
= =
=∑∑ Hệ số số hạng chứa x5 nên 2 5
k+ =i
Trường hợp 1: k=0, i=5 nên hệ số chứa x5 C C100 105
(45)Trường hợp 3: k=2, i=1 nên hệ số chứa x5 C C102 101
Vậy hệ số số hạng chứa
x C C100 105 +C C101 103 +C C102 101 =1902
Bài 51, Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n≥3,n∈ℕ), đó khơng có 3 điểm thẳng
hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Biết có 505 mặt phẳng
phân biệt tạo thành từ 2n điểm cho Tìm n? HD Giải
Xem điểm 2n điểm cho lập nên mặt phẳng, ta có C23n mặt phẳng
Tuy nhiên 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng nên n điểm có
mặt phẳng Vậy số mặt phẳng có ( 3 )
2n n
C −C +
Theo đề ta có: 3
2n n 505
C −C + = ( )
( ) ( )
2 ! ! 504
3! ! 3! !
n n
n n
⇔ − =
− −
⇔2 2n( n−1 2)( n− −2) (n n−1)(n− =2) 3024⇔7n3−9n2+2n−3024 0= ⇔ =n Bài 52. Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ sốđược lập từ tập A={0;1; 2;3; ;9} Chọn ngẫu
nhiên số từ tập S Tính xác suất để chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875
HD Giải
Số phần tử không gian mẫu số cách lập số có chữ số từ tập A, nΩ=9.105
Gọi B biến cố chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875 7=
Số phần tử B C C62 43 =60 Suy xác suất ( ) 605
9.10 15000
P B = =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 41. Giải bất phương trình
a) 41 31 22
4
x x x
C − −C − − A − < b) n12 n11 100
n n
C +− −C +− ≤ c)
4
3
14
n n n
A
P C
+ − −
< d) 22 10
2Ax −Ax ≤ xCx +
Bài 42
a) Định x y cho : y1: y 1: y : :
x x x
C + C + C − =
b) Định x y cho: ( y1 y11): y 1: y 10 : :1
x x x x
A− +yA−− A − C − =
Bài 43. Một tổ có học sinh nữ, học sinh nam Cần chọn học sinh số học sinh nữ phải nhỏ
hơn Hỏi có cách chọn?
Bài 44. Một đơi văn nghệ có 15 người gồm 10 nam 5nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người phải có nữ
Bài 45. Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có hai chữ số ?
Bài 46. Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau?
Bài 47. Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ
khơng 2?
Bài 48. Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn
19
x x
+
(46)Bài 49. Tìm số hạng khơng chứa a khai triển nhị thức Niu-tơn
10
a a
+
Bài 50. Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn
1 n
x x
+
Biết
1
4 7( 3)
n n
n n
C ++ −C + = n+
Bài 51. Tính giá trị biểu thức
4
2
2
(n 1)! n
A A
M n
+ +
=
+ biết
2 2
1 2 149
n n n n
C + + C + + C + +C + = Bài 52. Tìm hệ số x8 khai triển (x2+2)n, biết An3−8Cn2+C1n=49
Bài 53. Tìm hệ số không chứa x khai triển
30
2
3x x
−
Bài 54. Trong khai triển nhị thức n
x x
+
, hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng thứ hai
35 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nói
Bài 55.Giải phương trình
a) P Ax 2x +72 6= (Ax2+2Px) b)
1
5 0
4
n n n
C − −C − − A− = c) A10x +A9x =9Ax8 d) 2P3+6An2−P An n2=12
Bài 56. Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho:
a) Bốn cầu lấy màu b) Có cầu trắng
Bài 57. Trong bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa Hỏi có cách phân cơng ca mổ, ca gồm:
a) Một bác sĩ mổ bác sĩ phụ? b) Một bác sĩ mổ bốn bác sĩ phụ?
(47)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
46
CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT PHẦN TRẮC NGHIỆM
-o0o -Câu 1: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi hai mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn cầu lơng Hỏi có em đăng kí hai mơn thể thao ?
A 10 B 15 C 5 D 20
Câu 2: Số 6000 có ước nguyên dương ?
A 40 B 32 C 24 D 42
Câu 3: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch cơđộng đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở
để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tìm xác suất P để đội Trung tâm y tế sởđược chọn
A 209 230 =
P B
115 =
P C 209
230 =
P D 19
46 =
P
Câu 4: Hỏi có số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho ?
A 30 B 90000 C 17280 D 28560
Câu 5: Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Tìm xác suất P để viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu
A P=0,56 B P=0,84 C P=0,98 D P=0,48
Câu 6: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất Pđể tích số chấm hai súc sắc số lẻ
A
36
P= B
36
P= C
36
P= D
36
P=
Câu 7: Cho tập B={1;2;4;5;7} Có thể lập từ B số chẵn gồm chữ số khác ?
A 120 B 72 C 48 D 60
Câu 8: Tính hệ số x y12 13 khai triển (x y+ )25
A 13 25
C B 12
13
C C 12
25
C D 13
25
2.C Câu 9: Tìm giá trị biểu thức J=317C170 −4.316C171 +4 32 15C172 −4 33 14C173 + − 417C1717
A J=7 n B J=17. C J= −1. D J=12 n
Câu 10: Trong khai triển (3x+2y)17 Tìm hệ số x y8
A 2 38 9C179 B 2 39 9C178 C 2 39 8C178 D 2 38 9C178
Câu 11: Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất cho có cầu trắng
A 200 210
P= B 105
P= C 209 210 =
P D
7
P=
Câu 12: Một hộp đựng chín thẻđánh số từ đến Tìm xác suất Pđể rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với có kết nhận số chẵn
A
18
P= B
6
P= C 13
18
P= D
9
P=
Câu 13: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai màu
A 13 25
P= B P=1 C 24 25
P= D 12 25
(48)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
47
Câu 14: Trên mặt phẳng, đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác tạo nên hình bình hành mặt phẳng ?
A 90 B 1630 C 1620 D 180
Câu 15: Giả sử có khai triển ( ) ( )1−x n+x 1+x n−1= +a0 a x a x1 + 2 2+ + a xn n Biết n 512
a + + + +a a a = Hãy tất giá trị thực n
A n=10 B n=100 C n=7 D n=10 n=9
Câu 16: An có 12 sách tham khảo khác nhau, có sách tốn, sách vật lí sách hóa học An muốn xếp chúng vào ngăn A, B, C giá sách cho ngăn chứa loại sách Hỏi An có cách xếp?
A 220 B 1320 C 207360 D 34560
Câu 17: Cho tập A tập hợp có 20 phần tử Hỏi có tập tập A ?
A 20 B 20 20 C 2 20 D 2 20 1−
Câu 18: Biết hệ số x2 khai triển (1 3+ x)n 90 Hãy tìm n
A n=5 B n=9 C n=10 D n=7
Câu 19: Trong mặt phẳng có đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14
đường thẳng cho ?
A 320 B 96 C 420 D 48
Câu 20:Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi
cách ngẫu nhiên Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy khác màu
A 22 45
P= B 12 45
P= C 13 45
P= D 23 45
P=
Câu 21: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho Hai bạn An Bình khơng ngồi cạnh nhau?
A 10! – 8! B 8 8! C 72 8! D 2!.5!.5!
Câu 22: Một hộp đựng 11 thẻ đánh số từ đến 11 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để
tổng số ghi thẻ số lẻ (lưu ý: Tổng số lẻ: l lẻ chẵn lẻ chẵn lẻ chẵn)
A 100
231
P= B
2
P= C 118 231 =
P D 115
231
P=
Câu 23: Cô giáo chia táo, cam chuối cho cháu (mỗi cháu quả) Hỏi có cách chia khác ?
A 18 B 1630 C 1260 D 9
Câu 24: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất số gồm chữ sốđôi khác Chọn ngẫu nhiên số số lập Tìm xác suất Pđể sốđược chọn chia hết cho
A 360
P= B
P= C
P= D 15
P=
Câu 25: Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì sốđó để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tìm xác suất P để câu hỏi A câu hỏi B chọn giống
A =
P B P=1 C
6 =
P D
120 =
P
(49)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
48 A
3 =
P B
6
P= C
2
P= D
60
P=
Câu 27: Có ba hộp A, B, C, hộp chứa ba thẻđược đánh số từ 1, 2, Từ hộp rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất Pđể tổng số ghi ba thẻ
A 27
P= B 27
P= C 27 =
P D
3
P=
Câu 28: Có số tự nhiên gồm chữ số, biết hai sốđúng kề phải khác ?
A 59049 B 27216 C 81000 D 90000
Câu 29: Số 80041500 có ước nguyên dương ?
A 342 B 243 C 423 D 432
Câu 30: Một người qu lịch mang hộp thịt, hộp hộp sữa Do trời mưa nên hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất P để có hộp thịt, hộp sữa hộp
A 18
P= B
3
P= C
7
P= D
28 =
P
Câu 31: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất Pđể phương trình có nghiệm kép
A 17 18
P= B 17 36
P= C 19 36
P= D
18
P=
Câu 32: Có đường chéo thập giác ?
A 30 B 10 C 35 D 45
Câu 33: Một hộp đựng thẻđược đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất Pđể có
đúng ba thẻ ghi số 1, 2, rút
A 15
P= B
21
P= C
14
P= D
42
P=
Câu 34: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 1000 Tìm xác suất Pđể sốđó chia hết cho
A 333 1000
P= B 331 1000
P= C 335 1000
P= D 334 1000
P=
Câu 35: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm 37 điểm chọn d1 d2
A 5950 B 2720 C 3230 D 340
Câu 36: Tổ An Bình có học sinh Tìm số cách xếp học sinh theo hàng dọc mà An
đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng
A 240 B 5040 C 216 D 120
Câu 37: Tìm giá trị biểu thức N=3C20090 +32C20091 +33C20092 + + 32010C20092009
A N=3 2010 B N=3.4 2009 C N=4 2010 D N=5 2009
Câu 38: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển
6
2x ,x
x
− ≠
Tìm số hạng Tk A T4=240 B T3 =420 C T6=240 D T3=240
Câu 39: Một hộp đựng thẻđược đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất Pđể thẻ ghi số 1, 2, rút
A 21
P= B 42
P= C 42
P= D 14
P=
Câu 40: Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất P để thẻ
(50)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
49 A
26 =
P B 25
26 =
P C P=1 D
2 =
P
Câu 41: Giải phương trình 2Pn+6An2−P An n2=12
A n=2;n=3 B n=2;n=4 C n=4;n=6 D n=3;n=4
Câu 42: Với bốn chữ số 1; 2; 3; lập số có chữ số phân biệt ?
A 24 B 32 C 16 D 64
Câu 43: Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc Có cách xếp cho khơng có học sinh giới tính đứng kề ?
A 10! – 5! B 5!.5! C 2!.5!.5! D 10!
Câu 44: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C Cn2 nn−2+2C Cn2 n3+C Cn3 nn−3=100
A n=9 B n=4 C n=2 D n=6
Câu 45: Tính An2 biết số hạng thứ khai triển +
n
x x
3
không phụ thuộc vào x
A An2 =420 B An2=380 C An2 =3003 D An2 =480
Câu 46: Tìm giá trị biểu thức M=C20090 +2C20091 +22C20092 + + 22009C20092009
A M=2009 B M =3 2009 C M=3 D M=2010
Câu 47: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từS, tính xác suất P để sốđược chọn số chẵn
A
P= B
7
P= C
3
P= D 91
210
P=
Câu 48: Cho đa giác có 2n cạnh A1A2 .A2n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn Biết
rằng số tam giác có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh lấy 2n điểm A A1, , ,2 A2n Tìm n
A n=8 B n=6 C n=4 D n=12
Câu 49: Trong đa giác bảy cạnh, kẻ đường chéo Hỏi có giao điểm đường chéo, trừ đỉnh ?
A 27 B 35 C 840 D 28
Câu 50: Tìm tất nghiệm phương trình C1x +6Cx2+6Cx3=9x2−14 x
A x=3 x=8 B x=7 C x=7 x=9 D x=8
Câu 51: Trong vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên không lúc
đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
A 42000 B 43020 C 42300 D 40320
Câu 52: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có mơn thi trắc nghiệm môn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi mơn Tìm xác suất P để giáo viên phụ trách coi thi mơn trắc nghiệm
A 13 14 =
P B
7 =
P C
4 =
P D
5 =
P
Câu 53: Ta xếp cầu trắng khác cầu đỏ khác vào 10 vị trí theo dãy, cho cầu màu khơng đứng cạnh Hỏi có cách xếp ?
A 28800 B 14000 C 156 D 240
Câu 54: Cho khai triển (1 2+ x)n=a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n Tìm số hạng thứ khai triển đó, biết a0+ + + +a1 a2 an=729
A T5=C65 42 x B T5 =C65 42 x C T5=C65 42 x D T5 =C65 42 x
(51)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
50
A 43200 B 35684 C 55012 D 94536
Câu 56: Tính tổng S tất số gồm chữ số khác số lập từ {1; 2;3; 4}
B= phép hoán vị ?
A S=7 777 777 B S=66660 C S=5 555 555 D S=88880
Câu 57: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn0−2Cn1+4Cn2 =97 Gọi Tk số hạng chứa x2 khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn biểu thức ( ) 22 ,
n
P x x x x
= + ≠
Tìm số hạng Tk A T3 =211 x2 B T3 =112 x2 C T2=121 x2 D T2 =112 x2
Câu 58: Trong vòng loại Olympic, tám đường bơi, vận động viên không lúc
đích Hỏi có cách xếp hạng xảy ?
A 42030 B 40320 C 40312 D 40230
Câu 59: Số 337211875 có ước nguyên dương ?
A 140 B 210 C 120 D 240
Câu 60: Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi
đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất P để viên bi lấy màu
A 13 42
P= B
21
P= C 10 21
P= D
7
P=
Câu 61: Tim hệ số x9 sau khai triển rút gọn đa thức ( ) ( )1+x 9+ +1 x 10+ + + 1( )x 14
A 3001 B 3003 C 2901 D 3010
Câu 62: Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn ?
A 108 B 246 C 462 D 642
Câu 63: Giải phương trình x2− + =8x n Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3−2Cn3−1+Cn3+2=466
A x=7 B x=4 C x=5 D x=3
Câu 64: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi mơn tốn 0,92; mơn văn 0,88 Tìm xác suất Pđể Bình đạt điểm giỏi hai mơn tốn văn
A 0,5 B 0,8096 C 0,9904 D 0,0096
Câu 65: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác nhỏ 600.000 ?
A 30360 B 393600 C 39360 D 33960
Câu 66: Số 2389976875 có ước nguyên dương ?
A 420 B 360 C 120 D 240
Câu 67: Một tổ có nam sinh nữ sinh Giáo viên cần chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh Hỏi có cách chọn ?
A 28 B 161 C 990 D 165
Câu 68: Số 653672250 có ước nguyên dương ?
A 360 B 260 C 240 D 144
Câu 69: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 1 1 2
1
1 1 1.
n n
n n n
A − +C +− + A+ =
A n=6 B n=2 C n=9 D n=3
Câu 70: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1=Cn3 Tìm tất giá trị n
A n=5 B n=7 C n=4 n=2 D n=7và n=9
Câu 71: Từ ba đỉnh tam giác ABC lập vectơ khác vectơO
A 12(vectơ) B 6(vectơ) C 9(vectơ) D 3(vectơ)
(52)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
51
A n=3 n=2 B n=4và n=1 C n=2 D n=3
Câu 73: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn3+1−Cnn−2 =Cnn−1.Cn1+4
A n=12 B n=7 C n=2 D n=11
Câu 74: Số 3969000 có ước nguyên dương ?
A 40 B 240 C 120 D 432
Câu 75: Tất nghiệm phương trình
4
1 1
x x x
C −C =C thuộc khoảng ?
A (−∞;1 ) B (2;+∞) C ( )3;7 D ( )0;4
Câu 76: Tìm tất giá trị n số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3+2Cnn−2≤9 n
A n=4 B n=3 C n=3,n=5 D n=3,n=4
Câu 77: Hỏi có số tự nhiên có chữ số chữ số cách số đứng giống ?
A 920 B 1000 C 720 D 900
Câu 78: Với chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số chẵn gồm chữ số khác ?
A 1260 B 2400 C 1280 D 4200
Câu 79: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi màu
A 47 66
P= B
66
P= C 12 66
P= D 19 66
P=
Câu 80: Trên tập B={1; 2;3; 4;5;6;7}có thể lập thành số tự nhiên gồm bảy chữ số khác
A 5400 B 4500 C 4050 D 5040
Câu 81: Tìm tất nghiệm phương trình Ax10+Ax9 =9 A8x
A x=11 x=5 B x=11
C x=11 x=10 D, x=5
Câu 82: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi khác màu
A 13
P= B
9
P= C 13 18
P= D
18
P=
Câu 83: Một trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời Hỏi có phương án chọn trả lời ?
A 4 10 B 10 C 4 D 40
Câu 84: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000)
A 1006 B 1012 C 1016 D 1008
Câu 85: Tìm giá trị biểu thức K=C20090 −C20091 +C20092 − + − ( 1)2009C20092009
A K=2009 B K=2010 C K=2 2009 D K=0.
Câu 86: Cho đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có vectơ khác vectơ O với điểm đầu điểm cuối đỉnh đa giác ?
A 225(vectơ) B 30(vectơ) C 105(vectơ) D 210(vectơ)
Câu 87: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2+1.An2−( )A21n 2=4 n3
(53)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
52
Câu 88: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển nhị thức 13 ,
n
x x x
+ ≠
, biết rằng:
+ =
n n
C1 C3 13n (n số tự nhiên lớn 2, x số thực khác 0) Tìm số hạng Tk
A T7=210 B T6 =310 C T5=120 D T5 =210
Câu 89: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất Pđể phương trình vô nghiệm
A 17 36
P= B 17 18
P= C 19 36
P= D 18
P=
Câu 90: Một đoàn đại biểu gồm học sinh chọn từ tổ gồm nam nữ Hỏi có cách chọn cho có nam nữ ?
A 124 B 3024 C 126 D 120
Câu 91: Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niu-tơn (2+x)n, biết:
1 2 3
3nCnn−3n−Cnn− +3n− Cnn− −3n− Cnn− + + − ( 1)nCnn=2048
A 11 B 23 C 24 D 22
Câu 92: Hỏi có cách chọn tập hợp chữ từ bảng chữ Tiếng Anh ?
A 7893600 B 56780 C 120 D 65780
Câu 93: Trong khai triển (1+ax)nta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba là252x2 Hãy tìm a n
A
a n
=
=
B
3
a n
=
=
C
8
a n
=
=
D
2
a n
=
=
Câu 94: Trong trò chơi điên tử, xác suất để An thắng trân 0,4 (không có hịa) Hỏi An phải chơi tối thiểu trân để xác suất An thắng trận loạt chơi lớn 0,95?
A 9 trận B 5 trận C 7 trận D 6 trận
Câu 95: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 ?
A 80640 B 5040 C 2520 D 3024
Câu 96: Trong khai triển (1 2− x)8.Tìm hệ số x2
A 212 B 112 C 122 D 121
Câu 97: Tìm giá trị biểu thức H=C20090 +C20091 +C20092 + + C20092009
A H =2009 B H =0 C H=2 2009 D H=2.
Câu 98: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển
18
3
1 , 0.
x x x
+ ≠
Tìm số hạng Tk A T10=48620 B T9 =48620 C T10 =48820 D T11=43758
Câu 99: Lấy hai từ cỗ tú lơ khơ 52 Hỏi có cách lấy ?
A 2652 B 1326 C 450 D 104
Câu 100: Một túi đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Gọi P xác suất quảđó có màu đỏ màu xanh Khi đó:
A 210
P= B 97
105
P= C
15
P= D 194
220
P=
Câu 101: Một hộp chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tìm xác suất Pđể rút viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ
A 27 65
P= B 45
286 =
P C 35
5040
P= D 11
3003
(54)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
53
Câu 102: Kết ( , )b c việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, clà số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình:x2+bx c+ =0 Tìm xác suất Pđể phương trình có nghiệm
A 18
P= B 17 36
P= C 19 36
P= D 17 18
P=
Câu 103: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, có An Bình vào 10 ghế kê thành hàng ngang, cho hai bạn An Bình ngồi cạnh ?
A 10! B 9! C 18 8! D 2.10!
Câu 104: Số 283618125 có ước nguyên dương ?
A 120 B 240 C 220 D 420
Câu 105: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất Pđể tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc
A
P= B
6
P= C
36
P= D
9
P=
Câu 106: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt ?
A 2700 B 7216 C 26216 D 27216
Câu 107: Một hộp đựng thẻ đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất P để
không thẻ ba thẻ ghi số 1, 2, rút
A 21
P= B 14
P= C
P= D 25
P=
Câu 108: Một đa giác lồi 20 cạnh có đường chéo ?
A 180 B 380 C 170 D 190
Câu 109: Tìm giá trị biểu thức H=C C53 42+C C42 13+C C3 31
A H =210 B H =9 C H=81 D H=18
Câu 110: Khai triển đa thức P x( ) (= 2x−1)1000 ta P x( )=a1000x1000+a999x999+ + a1x+a0 Mệnh đề đúng?
A. a1000+a999+ + = a1 2n B
1000 99
n
a +a + + =a −
C a1000+a999+ + = a1 D a1000+a999+ + = a1
Câu 111: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi màu
A
P= B
18
P= C
16
P= D 13 18
P=
Câu 112: Một câu lạc Tốn học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn thành viên làm giám đốc CLB, thành viên làm phó giám đốc CLB thành viên làm kế toán trưởng CLB Hỏi có cách chọn để bầu mà khơng có kiêm nhiệm ?
A 2184 B 364 C 42 D 14!
Câu 113: Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ sốđó không thiết khác
A 108 B 36 C 48 D 72
Câu 114: Một tổ gồm có nam nữ Cần chọn nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn ?
A 240240 B 840 C 120 D 2002
Câu 115: Số 2025000 có ước nguyên dương ?
A 240 B 120 C 221 D 210
Câu 116: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Hỏi số chẵn ?
(55)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
54
Câu 117: Cho đa giác n đỉnh, n∈ℕ n≥3 Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo
A n=9 B n=10 C n=12 D n=7
Câu 118: Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm n
A n=9 B n=18 C n=20 D n=8
Câu 119: Giải phương trình Cn2+1+2Cn2+2+2Cn2+3+Cn2+4 =149
A n=4 B n=5và n= −9 C n=5 D n=9
Câu 120: Có đường từA đến B, đường nối từBđến C đường nối từ Cđến D Có cách từAđến D quay lại A ?
A 504 B 576 C 192 D 675
Câu 121: Cần phân công ba bạn từ tổ có 10 bạn để trực nhật Hỏi có cách phân cơng khác ?
A 120 B 360 C 720 D 30
Câu 122: Cho khai triển (1 2+ x)n =a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n Biết a0+ + + +a1 a2 an =729 Tìm
n.
A n=9 B n=5 C n=6 D n=7
Câu 123:Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh; túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy màu
A 13 45
P= B 23 45
P= C 22 45
P= D 12 45
P=
Câu 124: Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc Có cách xếp khác ?
A 2.5! B 9! C 5!.5! D 10!
Câu 125: Hỏi từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh ?
A 192 B 72 C 48 D 24
Câu 126: Có tập tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ?
A 16 B 4 C 12 D 18
Câu 127: Giải phương trình x2−2nx− =5 Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cnn−1+C5n =9
A x= ±2 B x= ±4 21 C x= ±4 D x = ±4
Câu 128: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất bốn lần Tìm xác suất Pđể bốn lần xuất mặt sấp
A 16
P= B
16
P= C
16
P= D
16
P=
Câu 129: Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba hoa vào ba lọđã cho ( lọ cắm bông) ?
A 210 B 105 C 21 D 120
Câu 130: Tại buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự Mỗi ông bắt tay lần với người trừ vợ Các bà khơng bắt tay với Hỏi có bắt tay ?
A 216 B 234 C 78 D 185
Câu 131: Có người đến buổi hịa nhạc Tìm số cách xếp người vào hàng có ghế
A 10 B 5 C 125 D 120
Câu 132: Trong số tự nhiên từ 100 đến 999 có số mà chữ số tăng dần giảm dần ?
A 204 B 120 C 168 D 312
Câu 133: Tìm giá trị biểu thức F= −1 10C21n+102C22n−103C23n+ − 102 1n− C22 1nn− +10 2n
(56)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
55
Câu 134: Tìm số nguyên dương n C: n0+2Cn1+4Cn2+ + 2nCnn=243
A n=5 B n=7 C n=9 n=7 D n=4 n=5
Câu 135: Viết ngẫu nhiên số gồm chữ số đơi khác chữ số khơng có chữ số Tìm xác suất Pđể viết chữ số số chẵn
A 126
P= B
P= C 10 63
P= D
P=
Câu 136: Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 1000 Tìm xác suất Pđể sốđó chia hết cho
A P=0,4 B P=0,7 C P=0,5 D P=0,2
Câu 137: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ Cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách lập ?
A 1320 B 90 C 32 D 220
Câu 138: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai khác màu
A
P= B 12 25
P= C 24 25
P= D 13 25
P=
Câu 139: Có số gồm chữ số, có hai chữ số ?
A 13 640 319 B 10 640 319 C 9 920 232 D 3 720 087
Câu 140: Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập số chẵn, số gồm chữ số khác nhau?
A 2520 B 21 C 1260 D 5040
Câu 141: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi mơn tốn 0,92; mơn văn 0,88 Tìm xác suất Pđể Bình đạt điểm giỏi mơn
A 0,9904 B 0,5 C 0,8096 D 0,0096
Câu 142: Tìm hệ số
x khai triển 2
n
x x
−
với x≠0, biết hệ số số hạng thứ ba khai
triển 1080
A −810 B 10 C −1800 D 1034
Câu 143: Một hộp chứa 12 thẻ, có thẻ ghi số 1; thẻ ghi số thẻ ghi số 10 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất Pđể sốđược chọn có tổng số không nhỏ 50
A 132
924
P= B 37
924
P= C 127
924
P= D 99
924
P=
Câu 144: Gieo súc sắc cân đối ba lần Tìm xác suất Pđể có hai lần xuất mặt chấm
A 15 216
P= B 216
P= C
P= D 216
P=
Câu 145: Hỏi có số chẵn gồm số khác đơi chữ sốđầu tiên chữ số lẻ ?
A 40000 B 24000 C 48000 D 42000
Câu 146: Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phịng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tựđã nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B khơng biết quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều kiển Tìm xác suất PđểB mởđược cửa phịng học
A 45 =
P B
45 =
P C
90 =
P D
9 =
P
Câu 147: Hỏi có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ?
A 10 B 16 C 20 D 25
(57)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
56 A
5
P= B
9
P= C
2
P= D
5 =
P
Câu 149: Giải bất phương trình 2Cx2+1+3Ax2 <30
A x
− < < B x=3 C x=2 D 0< ≤x
Câu 150: Gieo hai súc sắc cân đối cách độc lập Tìm xác suất Pđể tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc
A 36
P= B
12
P= C
6
P= D
21
P=
Câu 151: Từ hộp chứa ba cầu trắng hai cầu đen lấy ngẫu nhiên hai Tìm xác suất P để lấy hai cầu trắng
A 12 30
P= B 30
P= C 10 30
P= D 30
P=
Câu 152: Có bạn nam bạn nữ xếp ngổi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Tìm xác suất Pđể cho nam, nữ ngồi xen kẽ
A 2880 482880
P= B 2880 362880
P= C 2990 362990
P= D 3880 363880
P=
Câu 153:Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta giửđến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất P để hộp sữa chọn có loại
A 11 =
P B
11 =
P C
5 =
P D
5 =
P
Câu 154: Gieo ba súc sắc cân đối Tìm xác suất P để số chấm xuất ba ba súc sắc nhu
A 36
P= B
216
P= C 12
216
P= D
216
P=
Câu 155: Gieo súc sắc cân đối hai lần Tìm xác suất Pđể lần xuất mặt sáu chấm
A
P= B 12 36
P= C
6
P= D 11 36
P=
Câu 156: Có cách xếp năm bạn học sinh A B C D, , , E vào ghế dài đủ năm chỗ ngồi cho hai bạn A E ngồi hai đầu ghế ?
A 9 B 12 C 16 D 24
Câu 157: Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho ?
A 20 B 925 C 952 D 120
Câu 158: Từ hộp chứa cầu trắng qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời Tính xác suất P sao cho bốn cầu lấy màu
A 14
P= B
120
P= C
210
P= D
105 =
P
Câu 159: Có hai hịm đựng thẻ, hịm đựng 12 thẻ đánh số từ đến 12 Từ hịm rút ngẫu nhiên thẻ Tìm xác suất Pđể hai thẻ rút có thẻđánh số 12
A 11 12
P= B
144
P= C 121 144
P= D 23
144
P=
Câu 160: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1=Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Niu-tơn
(58)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
57 A −35 x5 B 35 5.
14x
− C 35 5.
16x
− D 37 5.
16x
−
Câu 161: Cho tập B={0;1;2;3;4;5} Có thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác ?
A 213 B 30 C 312 D 120
Câu 162: Có số tự nhiên lẻ khoảng (2000; 3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ sốđó khác
A 36 B 60 C 120 D 108
Câu 163: Giải phương trình A C2x xx−1=48
A x=4 B x=5 C x=2 D x=1 x=3
Câu 164: Có đường từ A đến B, đường nối từ B đến C đường nối từ C đến D Có cách từ A đấn D mà qua B C lần ?
A 8 B 42 C 24 D 12
Câu 165: Gieo ba súc sắc cân đối cách độc lập Tìm xác suất Pđể tổng số chấm mặt xuất ba súc sắc
A 216
P= B
216
P= C
216
P= D 25
216
P=
Câu 166: Tìm hệ số x5 khai triển ( )1+x 12
A 297 B 792 C 729 D 972
Câu 167: Gieo hai súc sắc cân đối Tìm xác suất P để hiệu số chấm mặt xuất hai súc sắc
A 12
P= B
9
P= C
36
P= D
9
P=
Câu 168: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi khác màu
A 19 66
P= B 47 66
P= C 12 66
P= D 66
P=
Câu 169: Cho đa giác nđỉnh (n∈ℕ,n≥3) Tìm n biết đa giác cho có 135 đường chéo
A n=27 B n=18 C n=21 D n=15
Câu 170: Có cách xếp năm bạn học sinh A B C D, , , E vào ghế dài đủ năm chỗ ngồi cho bạn C ngồi giữa?
A 16 B 24 C 12 D 42
Câu 171: Một súc sắc cân đối gieo ba lần Tìm xác suất Pđể tổng số chấm xuất hai lần gieo đầu số chấm xuất lần gieo thứ ba
A 10 216
P= B 16 216
P= C 15 216 =
P D 12
216
P=
Câu 172: Trên tập B={1; 2;3; 4;5;6;7}có thể lập thành bao số tự nhiên gồm bảy chữ số khác
A 4050 B 4500 C 5400 D 5040 Câu 173: Tìm tất nghiệm phương trình Cxx−1+Cxx−2+Cxx−3+ + Cxx−10=1023
A x=10 B x=11 x=8 C x=11 D x=10 x=9
Câu 174: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn 13
n
x x
+
, biết
1
4 7( 3)
n n
n n
C++ −C+ = n+
(59)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
58 Câu 175: Số 31752000 có ước nguyên dương ?
A 420 B 120 C 240 D 128
Câu 176: Một tập hợp có 100 phần tử Hỏi có tập có nhiều phần tử ?
A 2100−5051 B 2100+5051 C 2 100 D 5051 Câu 177: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 6000 ?
A 1008 B 24000 C 3003 D 1800
Câu 178: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số nguyên tố ?
A 9 B 3 C 7 D 5
Câu 179: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phốđã chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch cơđộng đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở
để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Hỏi có cách chọn cho có đội Trung tâm y tế sởđược chọn
A 2900 B 2300 C 2090 D 9020
Câu 180: Giải bất phương trình sau:
4
2
15 .
n
n n
A P P
+
+ −
<
A n=4,n=5,n=6 B n=2,n=3,n=4 C n=3,n=2,n=5 D n=3,n=4,n=5
Câu 181: Một hộp đựng thẻđược đánh số từ 1, 2, 3, , Rút ngẫu nhiên thẻ nhân hai số ghi hai thẻ với Tìm xác suất Pđể tích nhận số lẻ
A 18
P= B
9
P= C 13 18
P= D
6
P=
Câu 182: Số 360 có ước nguyên dương ?
A 24 B 36 C 12 D 42
Câu 183: Giải phương trình C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220−1
A n=10 n=11 B n=10 C n=11 D n=11 n=7
ÔN TẬP THI THPT Câu 1: Với n số nguyên dương thỏa mãn
1 54
n
n n
A −C +− = , hệ số số hạng chứa 20
x khai triển
5
2 n
x x
+
? A 20
25344x B 25344 C 25342 D 20
25342x
Câu 2: Tìm hệ số x4 khai triển P x( )= − −(1 x 3x3)n với n số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
2
6 n
n n
C − + n+ =A+
A 480 B 310 C
480x D 310x4
Câu 3: Ba bạn , ,A B C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;19] Tìm xác suất
P để ba sốđược viết có tổng chia hết cho
A 1072 6859
P= B 2287
6859
P= C 2539
6859
P= D 109
323
P=
Câu 4: Một tổ gồm học sinh gồm học sinh nữ học sinh nam Chọn ngẫu nhiên từ tổ
học sinh Tìm xác suất P để học sinh chọn có số học sinh nam nhiều số học sinh nữ
A 11 21
P= B 10
21
P= C 17
42
P= D 25
42
P=
Câu 5: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P x( )= +(x 1)6+ +(x 1)7+ + + (x 1) 12
(60)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
59
Câu 6: Cho tổng hệ số khai triển nhị thức , * n
x n N
x
+ ∈
64 Tìm số hạng khơng
chứa x khai triển
A T3=15 B T2 =15 C T4= −10 D T5=20
Câu 7: Với n số nguyên dương thỏa mãn
13
n n
C +C = n Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai
triển biểu thức 13 , n x x x + ≠
A 101 B 120 C 210 D 240
Câu 8: Với năm chữ số 1, , 3, , lập số có chữ số đôi khác chia hết cho ?
A 48 B 120 C 24 D 12
Câu 9: Từ 15 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn lập thành nhóm làm tập lớn khác nhau, nhóm học sinh Tính xác suất để nhóm có học sinh giỏi học sinh
A 216 7007
P= B 108
7007
P= C 216
35035
P= D 72
7007
P=
Câu 10: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ tập A={0;1; 2;3; ;9} Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tìm xác suất P để chọn số tự nhiên có tích chữ số 7875
A 50000
P= B
15000
P= C
450000
P= D
5000
P=
Câu 11: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập thành từ chữ số 1; 2; 3; 4; Chọn ngẫu nhiên số từ S, tìm xác xuất Pđể sốđược chọn chia hết cho
A 10
P= B
5
P= C
5
P= D
15
P=
Câu 12: Tìm hệ số x9trong khai triển biểu thức f x( ) (= +1 x) (9+ +1 x)10+ + + (1 x)14
A 3003 B 2901 C 3001 D 1008
Câu 13: Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 38 học sinh ?
A 38
A B 2 38 C C382 D 38
Câu 14: Cho A , B là hai biến cố xung khắc Biết ( ) 1, ( )
3
P A = P B = Tính (P A∪B)
A ( ) 12
P A∪B = B ( )
7
P A∪B = C ( )
12
P A∪B = D ( )
2
P A∪B =
Câu 15: Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt
động Đoàn trường Xác suất chọn nam nữ 12
29 Tính số học sinh nữ lớp
A 15 B 14 C 17 D 16
Câu 16: Số tổ hợp chập k n (0≤ ≤k n) phần tử là:
A ! ( )! k n n A n k = − B ! !( )! k n n A
k n k
= − C ! ( )! k n n C n k = − D ! !( )! k n n C
k n k
= −
Câu 17: Tìm hệ số x6 khai triển
3 n x x + +
với x≠0, biết n số nguyên dương thỏa mãn
2 2
3Cn+ +nP =4An
A
210x B 252x6 C 210 D 252
(61)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
60 A
5
P= B 21
45
P= C 24
45
P= D
9
P=
Câu 19: Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ?
A 720 B 3003 C 540 D 328
Câu 20: Tính tổng S của hệ số khai triển biểu thức (1 )− x 2018
A S=2018 B S=1 C S= −1 D S=2019
Câu 21: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức x x( −2)6+(3x−1)
A 13668 B −13668 C −13548 D 13548
Câu 22: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton 2 ( 0)
n
x x
x
− ≠
, biết
1
1.Cn+2.Cn +3.Cn + + n C nn =256n (Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)
A 4889888 B 49888 C 48988 D 489888
Câu 23: Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 12 65
P= B
91
P= C 24
91
P= D
21
P=
Câu 24: Cho n số nguyên dương thỏa mãn
5Cn−Cn =5 Tìm hệ số a
x khai triển biểu thức 12
n
x x
+
A a=3360 B a=256 C a=45 D a=11520
Câu 25: Tìm hệ số x10 khai triển biểu thức (1+ +x x2+x3)5
A 101 B 109 C 210 D 420
Câu 26: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P x( ) (= + +1 x) (2 1+x)2+ + 1( +x)8.
A 256 B 720 C 190 D 636
Câu 27: Biết hệ số
x khai triển biểu thức (14+x)n 3040 Số nguyên dương n bao nhiêu?
A n=22 B n=19 C n=21 D n=20
Câu 28: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức x(2x−1)6+ −(x 3)
A −1272 B −1752 C 1272 D 1752
Câu 29: Tìm hệ số x7 khai triển biểu thức 3 2
n
x x
−
với x≠0, biết hệ số số hạng thứ ba
trong khai triển 1080
A −810 B 1800 C −180 D 1080
Câu 30: Từ hộp chứa 10 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 24 91
P= B 12
91
P= C
91
P= D
12
P=
Câu 31: Ba bạn , ,A B C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;14] Tìm xác suất P để ba sốđược viết có tổng chia hết cho
A 31 91
P= B 457
1372
P= C 307
1372
P= D 207
1372
P=
Câu 32: Cho A B hai biến cố xung khắc Mệnh đề đúng?
A P A( ) ( )+P B <1
(62)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
61 C Hai biến cố A B đồng thời xảy
D Hai biến cố A B không đồng thời xảy
Câu 33: Có cách xếp sách Toán, sách Lý sách Hóa lên kệ sách cho sách mơn học xếp cạnh nhau, biết sách đôi khác nhau?
A 5!.6!.8! B 3.5!.6!.8! C 1440 D 6.5!.6!.8!
Câu 34: Tính tổng S =C20181 −2.5C20182 +3.52C20183 − − 2018.52017C20182018
A S =1009.24035. B S = −1009.24034. C S= −1009.24035. D S =1009.24034.
Câu 35: Cho khai triển ( )20
0 20 20
1 2− x =a +a x+a x + +⋯ a x Tìm S = + + + +a0 a1 a2 ⋯ a20
A S =2 20 B
1
S= − C S=1 D S =3 20
Câu 36: Số tự nhiên n thỏa Cn1+2.Cn2+ + n C nn =11264 Tìm n
A n=9 B n=12 C n=11 D n=10
Câu 37: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển
1 n
x x
+
biết n số nguyên dương thỏa
mãn n14 n3 7( 3)
n n
C ++ −C + = n+
A 313 B 495 C 1303 D 13129
Câu 38: Tìm số cách chọn nhóm người 20 người cho nhóm có tổ trưởng, tổ phó thành viên cịn lại có vai trò
A 1860480 B 1140 C 15504 D 310080
Câu 39: Cho A và B là hai biến cốđộc lập với biết ( )P A =0, 4; ( )P B =0, Tính (P AB)
A P AB( )=0, B P AB( )=0,12 C P AB( )=0, 58 D P AB( )=0,1
Câu 40: Biết tổng hệ số ba số hạng đầu khai triển ( ) ( )2
2
1
n n k
n k k
k n k
x C x
x x
− =
− = −
∑
bằng 49 Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển đó
A −160 B −170 C 120 D 220
Câu 41: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác ?
A
2 B A82 C C82 D 8
Câu 42: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức x(2x−1)6+(3x−1)
A −13848 B 13848 C 13368 D −13368
Câu 43: Có 11 thẻđược đánh số từ đến 11, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác Tìm xác suất Pđể rút hai thẻ mà tích hai sốđược đánh thẻ số chẵn
A 11
P= B
11
P= C
11
P= D
11
P=
Câu 44: Ba bạn , ,A B C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;16] Tìm xác suất P để ba sốđược viết có tổng chia hết cho
A 77 512
P= B 19
56
P= C 1457
4096
P= D 683
2048
P=
Câu 45: Ba bạn , ,A B C bạn viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] Tìm xác suất P để ba sốđược viết có tổng chia hết cho
A 23 68
P= B 1637
4913
P= C 1728
4913
P= D 1079
4913
P=
Câu 46: Lớp 11A có 40 học sinh có 12 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hóa học loại giỏi 13
học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lí loại giỏi Biết chọn học sinh lớp đạt điểm tổng kết mơn Hóa học Vật lí loại giỏi có xác suất 0,5 Tìm số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi hai mơn Hóa học Vật lí
(63)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
62
Câu 47: Lớp 11A có 44 học sinh có 14 học sinh đạt điểm tổng kết mơn Hóa học loại giỏi 15
học sinh đạt điểm tổng kết môn Vật lý loại giỏi Biết chọn học sinh lớp đạt điểm tổng kết mơn Hóa học Vật lý loại giỏi có xác suất 0,5 Tìm số học sinh đạt điểm tổng kết giỏi hai mơn Hóa học Vật lý
A 5 B 7 C 6 D 8
Câu 48: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA cho 1, , n điểm phân biệt (n≥3, n∈ℕ) khác A, B, C, D Lấy ngẫu nhiên điểm từ n+6 điểm cho Biết xác suất lấy tam giác 439
560 Tìm n
A n=10 B n=21 C n=7 D n=12
Câu 49: Trong kì thi thử THPT Quốc Gia, An làm để thi trắc nghiệm mơn Tốn Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án đúng; trả lời câu 0, 2điểm An trả lời hết câu hỏi chắn 45 câu, câu lại An chọn ngẫu nhiên Tính xác suất đểđiểm thi mơn Tốn An không 9,5điểm
A
P= B 13
1024
P= C 53
512
P= D
1024
P=
Câu 50: Một hộp đựng hai viên bi màu vàng ba viên bi màu đỏ Có cách lấy hai viên bi hộp?
A 10 B 20 C 5 D 6
Câu 51: Một đề kiểm tra 15 phút có 10 câu hỏi trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, có phương án đúng, trả lời 1, điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phương án Tìm xác suất P để thí sinh đạt từ 8, trở lên
A 43610
P= B 6510
4
P= C 10110
4
P= D 5610
4
P=
Câu 52: Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh ?
A
34 B A342 C C342 D 2 34
Câu 53: Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 2 512
n
n n n
C +C + +⋯ C − = Tính tổng
( )
2 2
2 n n n nn
S= C − C + + −⋯ n C
A S=7 B S=9 C S= −1 D S=5
Câu 54: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác ?
A
7 B C72 C A72 D 2
Câu 55: Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng Tìm số tam giác có đỉnh số 15 điểm cho
A 15
A B
15 15
A − C
15
C D
15 15
C −
Câu 56: Sốđường chéo đa giác có 20 cạnh bao nhiêu?
A 20 B 170 C 360 D 190
Câu 57: Cho số nguyên dương k,n(k<n) Mệnh đề sai ?
A 1
k k k
n n n
C +C + =C ++ B k !.C k
n n
A =k C n k k
n n
C − =C D
( ! )!
k n
n C
n k
= −
Câu 58: Một lớp có 40 học sinh, có học sinh tên Anh Trong lần kiểm tra cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh lớp lên bảng Tìm xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng
A 260
P= B
780
P= C
390
P= D
130
P=
Câu 59: Cho khai triển (1 4− x)18=a0+a x1 + a18x18 Tìm a3
(64)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
63
Câu 60: Trong hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ 10 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên
viên bi Tính xác suất biến cố A: “6 viên bi lấy màu”
A ( ) 17 5060
P A = B ( )
5060
P A = C ( ) 73
5060
P A = D ( ) 27
5060
P A =
Câu 61: Một đề thi mơn Tốn có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, câu hỏi có phương án trả lời, có phương án Học sinh chọn đáp án 0, điểm, chọn sai đáp án không
được điểm Một học sinh làm đề thi đó, chọn ngẫu nhiên phương án trả lời tất 50 câu hỏi Tìm xác suất P để học sinh 5, điểm
A
P= B
25 25 50 50 A
P= C
25 25 50 50 C
P= D
25 50 50 C P=
Câu 62: Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n≥3,n∈ℕ), đó khơng có 3 điểm thẳng
hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Biết có 505 mặt phẳng phân biệt tạo thành từ 2n điểm cho Tìm n?
A n=8 B n=9 C n=12 D n=22
Câu 63: Từ hộp chứa 11 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 165
P= B
455
P= C 24
455
P= D 33
91
P=
Câu 64: Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển (1+ + +x x2 x3)10.
A 1340 B 1001 C 1902 D 252
Câu 65: Cho số tự nhiên n thỏa mãn An2+2Cnn =22 Tìm hệ số số hạng chứa x3 khai triển biểu thức (3x−4 )n
A 4200 B 1080 C −1440 D 4320
Câu 66: Tìm giá trị 1 1 1!2018! 2!2017! 3!2016! 1008!1011! 1009!1010!
H = + + + + +
A 22017 2018!
H = − B
2018
2 2019!
H = C
2018
2 2019!
H = − D
2017
2 2018!
H =
Câu 67: Từ 12 học sinh gồm học sinh giỏi, học sinh khá, học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập nhóm làm tập lớn khác nhau, nhóm học sinh Tìm xác suất P để nhóm có học sinh giỏi học sinh
A 18 385
P= B 72
385
P= C 36
385
P= D 21
385
P=
Câu 68: Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 12
P= B
22
P= C
44
P= D
7
P=
Câu 69: Xếp học sinh nam học sinh nữ vào bàn tròn 10 ghế Tìm xác suất Pđể khơng có hai học sinh nữ ngồi cạnh
A 120
P= B
1008
P= C
42
P= D
42
P=
Câu 70: Có kết xảy bỏ phiếu bầu bí thư, phó bí thư ủy viên từ 30 đoàn viên niên lớp học?
A 164430 B 4060 C 24360 D 328860
Câu 71: Cho A tập hợp gồm 20 điểm phân biệt Số đoạn thẳng có hai đầu mút phân biệt thuộc tập
Alà bao nhiêu?
(65)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
64
Câu 72: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác chọn từ số 1; ; 3; ; 5; Chọn ngẫu nhiên số từ A Tìm xác suất Pđểđược số chia hết cho
A 30
P= B
6
P= C
6
P= D
3
P=
Câu 73: Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn0+2Cn1+22Cn2+ + 2nCnn =14348907 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển của biểu thức ( )
3
1
, n
x x
x
− ≠
A 2310 B 32760 C 1324 D 1365
Câu 74: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Hỏi có cách chọn học sinh lao
động, có học sinh nam ?
A
C C B
6
A A C
6
C +C D
6
A +A
Câu 75: Cho tập hợp A={1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số, chữ sốđơi khác lập thành từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S, tìm xác xuất P để sốđược chọn có tổng chữ số 10
A 25
P= B
14
P= C
34
P= D
25
P=
Câu 76: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức x x(3 −1)6+(2x−1) 8
A 3007 B −3007 C −577 D 577
Câu 77: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức ( ) ( )5 2( )10
1
P x =x − x +x + x
A 3320 B 510 C 2230 D 1232
Câu 78: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ sốđơi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc A Tính xác suất để số tự nhiên chọn chia hết cho 25
A 27
P= B 13
324
P= C 43
324
P= D 11
324
P=
Câu 79: Số tự nhiên n thỏa mãn
1.Cn+2.Cn+ + n.Cnn =1024 Tìm n
A n=10 B n=9 C n=8 D n=7
Câu 80: Một hộp chứa 11 cầu có màu xanh quảđỏ Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tìm xác suất P để lần lấy màu xanh
A 22
P= B
11
P= C
55
P= D
220
(66)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
65
ÔN KIỂM TRA CHƯƠNG II
ĐỀ 01
Câu 1: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi trắc nghiệm môn thi tự luận Một giáo viên bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi mơn Tìm xác suất P để giáo viên phụ trách coi thi môn trắc nghiệm
A =
P B 13
14 =
P C
5 =
P D
4 =
P
Câu 2: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từS, tính xác suất P để sốđược chọn số chẵn
A
3
P= B
7
P= C 91
210
P= D
7
P=
Câu 3: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai khác màu
A 24 25
P= B 13 25
P= C 12 25
P= D
5
P=
Câu 4: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ Cần có nhà Tốn học nhà Vật lý Hỏi có cách lập ?
A 220 B 90 C 1320 D 32
Câu 5: Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho ?
A 94 B 36 C 126 D 3024
Câu 6: Tìm số nghiệm phương trình 2Pn+6An2−P An n2 =12
A 2 B 1 C 3 D 0
Câu 7: Cần phân công ba bạn từ tổ có 10 bạn để trực nhật Hỏi có cách phân cơng khác ?
A 720 B 360 C 30 D 120
Câu 8: Một hộp đựng chín thẻđánh số từ đến Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân hai số ghi thẻ với có kết nhận số chẵn
A
P= B
9
P= C 13 18
P= D
18
P=
Câu 9: Tổ An Bình có học sinh Sắp xếp học sinh theo hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng Hỏi có cách xếp ?
A 120 B 5040 C 216 D 240
Câu 10: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ hai viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên bi Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi màu
A
P= B
18
P= C 13 18
P= D
16
P=
Câu 11: Biết hệ số x2 khai triển (1 3+ x)n 90 Hãy tìm n
A n=5 B n=10 C n=9 D n=7
Câu 12: Cho A và B là hai biến cốđộc lập với biết ( )P A =0, 4; ( )P B =0, Tính (P AB)
A P AB( )=0,1 B P AB( )=0, C P AB( )=0, 58 D P AB( )=0,12
Câu 13: Trong mặt phẳng có đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14
đường thẳng cho ?
(67)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
66
Câu 14: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1=Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Niu-tơn
2 1
, 14
n
nx
x x
− ≠
A 37 5.
16x
− B 35 5.
14x
− C 35 5.
16x
− D −35 x5
Câu 15: Giải phương trình x2−2nx− =5 Biết số nguyên dương n thỏa mãn Cnn−1+C5n =9
A x= ±4 B x= ±2 C x= ±4 21 D x = ±4
Câu 16: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác ?
A 7 2 B
C C A72 D 2
Câu 17: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từS, tính xác suất P để sốđược chọn số chẵn
A 91
210
P= B
3
P= C
7
P= D
7
P=
Câu 18: Xác suất bắn trúng mục tiêu vận động viên bắn viên đạn 0,6 Người bắn hai viên đạn cách độc lập Tìm xác suất Pđể viên đạn trúng mục tiêu viên đạn trượt mục tiêu
A P=0,48 B P=0,56 C P=0,84 D P=0,98
Câu 19: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có cách chọn số số chẵn số nguyên tố ?
A 3 B 9 C 5 D 7
Câu 20: Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 34 học sinh ?
A 34
C B 34 C A342 D 2 34
Câu 21:Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta giửđến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất P để hộp sữa chọn có loại
A =
P B
5 =
P C
11 =
P D
11 =
P
Câu 22: Từ hộp chứa 11 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 24 455
P= B
455
P= C
165
P= D 33
91
P=
Câu 23: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức x(2x−1)6+(3x−1) 8
A −13368 B 13368 C −13848 D 13848
Câu 24: Một đa giác lồi 20 cạnh có đường chéo ?
A 190 B 180 C 170 D 380
Câu 25: Tìm giá trị biểu thức F= −1 10C21n+102C22n−103C23n+ − 102 1n−C22 1nn− +10 2n
(68)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
67
ĐỀ 2
Câu 1: Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 38 học sinh ?
A
38 B A382 C 38
C D 38
2
Câu 2: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi hai mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn cầu lơng Hỏi có em đăng kí hai môn thể thao ?
A 20 B 10 C 15 D 5
Câu 3: Một tổ có em nam em nữ Người ta cần chọn em tổ tham dự thi học sinh lịch trường Yêu cầu em chọn phải có em nữ Hỏi có cách chọn?
A 2 B 192 C 252 D 196
Câu 4: Một tổ có nam sinh nữ sinh Giáo viên cần chọn học sinh xếp bàn ghế lớp, có nam sinh Hỏi có cách chọn ?
A 28 B 161 C 990 D 165
Câu 5: Gọi Tk số hạng không chứa x khai triển
6
2x ,x
x
− ≠
Tìm số hạng Tk A T4=240 B T3 =420 C T3=240 D T6 =240
Câu 6: Từ hộp chứa cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Tìm xác suất P để lấy cầu màu xanh
A 22
P= B
12
P= C
44
P= D
7
P=
Câu 7: Cho A , B là hai biến cố xung khắc Biết ( ) 1, ( )
3
P A = P B = Tính (P A∪B)
A ( ) 12
P A∪B = B ( )
12
P A∪B = C ( )
2
P A∪B = D ( )
7
P A∪B =
Câu 8: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa cầu trắng, cầu đen Hộp thứ hai chứa cầu trắng, cầu đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất P để lấy hai màu
A 12 25
P= B 13 25
P= C 24 25
P= D P=1
Câu 9: Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia
đồng diễn thể dục Trong em chọn, u cầu khơng có q em nữ Hỏi có cách chọn ?
A 21 B 231 C 126 D 105
Câu 10: Một trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời Hỏi có phương án chọn trả lời ?
A 4 10 B 4 C 10 D 40
Câu 11: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác ?
A
C B 2 8 C
8
A D 8 2
Câu 12: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch cơđộng đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở
để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tìm xác suất P để đội Trung tâm y tế sởđược chọn
A 209 230 =
P B 209
230 =
P C
115 =
P D 19
46 =
P
Câu 13: Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 6000 ?
A 24000 B 1008 C 1800 D 3003
(69)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
68
Tìm xác suất Pđể chọn hai viên bi khác màu
A
P= B
13
P= C
18
P= D 13 18
P=
Câu 15: Tìm giá trị biểu thức J=317C170 −4.316C171 +4 32 15C172 −4 33 14C173 + − 417C1717
A J= −1 B J=7 n C J=12 n D J=17.
Câu 16: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác nằm khoảng (2000; 4000)
A 1012 B 1008 C 1016 D 1006
Câu 17: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm 37 điểm chọn d1 d2
A 2720 B 3230 C 340 D 5950
Câu 18: Tìm tất giá trị n số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3+2Cnn−2≤9 n
A n=3,n=5 B n=4 C n=3,n=4 D n=3
Câu 19: Cho đa giác n đỉnh, n∈ℕ n≥3 Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo
A n=10 B n=7 C n=12 D n=9
Câu 20: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cn0−2Cn1+4Cn2 =97 Gọi Tk số hạng chứa x2 khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn biểu thức ( ) 22 ,
n
P x x x x
= + ≠
Tìm số hạng Tk A
2 121
T = x B
3 211
T = x C
2 112
T = x D
3 112 T = x
Câu 21: Giải bất phương trình − −x2 2x+ − ≥8 n Biết số nguyên dương n thỏa mãn
3
1
2 n 90
n n
C −A+− + =
A x≥2 B − ≤ ≤3 x C x≤ −3 D − ≤ <3 x
Câu 22: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất số gồm chữ sốđôi khác Chọn ngẫu nhiên số số lập Tìm xác suất Pđể sốđược chọn chia hết cho
A
3
P= B
3
P= C
360
P= D
15
P=
Câu 23: Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức
(2 1) ( 3)
x x− + −x
A 1272 B −1272 C −1752 D 1752
Câu 24: Trong khai triển (1+ax)nta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba là252x2 Hãy tìm a n
A
a n
=
=
B
3
a n
=
=
C
2
a n
=
=
D
3
a n
=
=
Câu 25: Cho tập A tập hợp có 20 phần tử Hỏi có tập tập A ?
(70)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
ĐÁP ÁN
CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A
B C D 10
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 11
0 11
1 11
2 11
3 11
4 11
5 11
6 11
7 11
8 11
9 12
0 A
B C D
12
1 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 A
(71)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp 14
1 14
2 14
3 14
4 14
5 14
6 14
7 14
8 14
9 15
0 15
1 15
2 15
3 15
4 15
5 15
6 15
7 15
8 15
9 16
0 A
B C D
16
1 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 A
B C D
181 182 183 A
B C D
ÔN THI THPT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A
B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A
B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A
(72)Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp
ÔN KIỂM TRA CHƯƠNG II
ĐỀ 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 A
B C D
ĐỀ 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A
B C D
21 22 23 24 25 A