Tài liệu học tập môn Toán lớp 10 (Trường THPT Đào Sơn Tây)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 Họ tên HS: …………….………… Lớp: ……………… ……… Tài liệu lưu hành nội Trang Mục lục CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP BÀI 1: MỆNH ĐỀ BÀI 2: TẬP HỢP BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI BÀI 1: HÀM SỐ BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 10 BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI 12 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II 13 CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 14 BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 14 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 15 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a  0) 15 BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 17 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN 18 BÀI 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 19 BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = (a  0) (đọc thêm)20 BÀI 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 21 BÀI 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 22 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III 23 CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 25 BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC 25 CHƯƠNG I: VECTƠ 28 BÀI 1: VECTƠ 28 BÀI 2: TOẠ ĐỘ 30 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I 32 CHƯƠNG II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG .33 0 BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ ĐẾN 180 33 BÀI 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 33 BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 33 Trang CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP BÀI 1: MỆNH ĐỀ Mệnh đề  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P  Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định P kí hiệu P  Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "Nếu P Q" đgl mệnh đề kéo theo kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q sai P Q sai Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P  Q Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q; – Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P  Q Mệnh đề Q  P đgl mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl mệnh đề tương đương kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q hai mệnh để P  Q Q  P Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu    "x  X, P(x)"  "x  X, P(x)"  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) "  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) " Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B Cách 1: Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức toán học chứng minh B Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A vừa vừa sai nên kết B phải Bổ sung Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl giao hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q  Mệnh đề "P Q" đgl hợp hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q  Phủ định giao, hợp hai mệnh đề: P Q  P Q , Trang P Q  P Q Câu Trong câu đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến: a) Số 11 số chẵn c) Huế thành phố Việt Nam b) Bạn có chăm học không ? d) 2x + số nguyên dương e)   g) Hãy trả lời câu hỏi này! f) + x = h) Paris thủ đô nước Ý i) Phương trình x2  x   có nghiệm k) 13 số nguyên tố Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho a chia hết cho b) Nếu a  b a2  b2 c) Nếu a chia hết cho a chia hết cho d) Số  lớn nhỏ e) hai số nguyên tố f) 81 số phương g) > < h) Số 15 chia hết cho cho Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c) Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 600 d) Một tam giác tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại e) Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng g) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với h) Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc vng Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Giải thích? Phát biểu mệnh đề thành lời: a) x  R, x  b) x  R, x  x2 c) x  Q,4x2   d) n  N , n2  n e) x  R, x  x   f) x  R, x   x  g) x  R, x   x2  h) x  R, x2   x  i) x  R,5x  3x2  k) x  N , x2  x  hợp số l) n  N , n2  không chia hết cho m) n  N * , n(n  1) số lẻ n) n  N * , n(n  1)(n  2) chia hết cho Câu Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề đúng: b) ab  a  b  a)     c) ab  a  b  d) ab  a  b  a  b  e) Một số chia hết cho chia hết cho … cho f) Một số chia hết cho chữ số tận … Câu Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x  R Tìm x để P(x) mệnh đề đúng: a) P( x) :" x  5x   0" b) P( x) :" x  5x   0" d) P( x) :" x  x " e) P(x) :"2x   7" Câu Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho cho b) Số tự nhiên n có chữ số tận c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa d) Số tự nhiên n có ước số n Câu Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: c) P( x) :" x  3x  0" f) P( x ) :" x  x   0" a) x  R : x2  b) x  R : x  x2 c) x  Q : x   d) x  R : x2  x   e) x  R : x2  x   f) x  R : x2  g) n  N , n2  không chia hết cho h) n  N , n2  2n  số nguyên tố i) n  N , n2  n chia hết cho k) n  N , n2  số lẻ Câu Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho Trang b) Nếu a  b  hai số a b phải dương c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a  b a2  b2 e) Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c Câu 10 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d) Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng e) Nếu tam giác K có hai góc Câu 11 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": a) Một tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại b) Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Một tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho chia hết cho cho e) Số tự nhiên n số lẻ n2 số lẻ BÀI 2: TẬP HỢP Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp  Tập rỗng: tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu  Tập hợp – Tập hợp  A  B   x  A  x  B  + A  A, A +   A, A + A  B, B  C  A  C  A  B   A  B vaø B  A  Một số tập tập hợp số thực  N*  N  Z  Q  R  Khoảng: (a; b)  x  R a  x  b ; (a; )  x  R a  x ; (; b)  x  R x  b  Đoạn: [a; b]  x  R a  x  b  Nửa khoảng: [a; b)  x  R a  x  b ; (a; b]  x  R a  x  b ; [a; )  x  R a  x ; (; b]  x  R x  b Các phép toán tập hợp  Giao hai tập hợp: A  B  x x  A vaø x  B  Hợp hai tập hợp:  Hiệu hai tập hợp: Phần bù: A  B  x x  A hoaëc x  B A \ B  x x  A vaø x  B Cho B  A CA B  A \ B Câu Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó:   A = x  R (2 x2  5x  3)( x2  x  3)    B = x  R ( x2  10 x  21)( x3  x)  Trang C= x  R (6x2  7x 1)(x2  5x  6)  0    D = x  Z x  5x   F = x  Z x   1  E = x  N x    2x vaø 5x   x 1   G = x  N x  5 H = x  R x2  x   Câu Viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử nó: B = 0; 4; 8; 12; 16 C = 3 ; 9;  27; 81 A = 0; 1; 2; 3; 4 E = 2,3,5,7,11 F =  3,6,9,12,15 D = 9; 36; 81; 144 G = Tập tất điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB H = Tập tất điểm thuộc đường trịn tâm I cho trước có bán kính Câu Trong tập hợp sau đây, tập tập rỗng:   C = x  Q x2  x   0 D = x  Q x   0 E = x  N x  7x  12  0 F = x  R x  x   0 A = x  Z x  1 B = x  R x2  x   Câu Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: B = 1, 2, 3 A = 1, 2    C = a, b, c, d  E = x Q x2  4x   D = x  R x  5x   Câu Trong tập hợp sau, tập tập tập nào?   a) A = 1, 2, 3 , B = x  N x  4 , C = (0;  ) , D = x  R x  7x   b) A = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12 c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập tam giác vuông; D = Tập tam giác vng cân Câu Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A với: a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}   c) A = x  R x2  3x   , B = x  R x   1 d) A = Tập ước số 12, B = Tập ước số 18   e) A = x  R ( x  1)( x  2)( x2  8x  15)  , B = Tập số nguyên tố có chữ số     f) A = x  Z x  , B = x  Z (5x  3x2 )( x2  x  3)      g) A = x  N ( x2  9)( x2  5x  6)  , B = x  N x số nguyên tố , x  Câu Tìm tất tập hợp X cho: a) {1, 2}  X  {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2}  X = {1, 2, 3, 4} c) X  {1, 2, 3, 4}, X  {0, 2, 4, 6, 8} d) Câu Tìm tập hợp A, B cho: a) AB = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10} b) AB = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9} Câu Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A với: a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–; –2], B = [3; +) e) A = [3; +), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) Câu 10 Tìm A  B  C, A  B  C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–; –2], B = [3; +), C = (0; 4) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−; 2], B = [2; +), C = (0; 3) e) A = (−5; 1], B = [3; +), C = (−; −2) Trang BÀI 3: SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a a  a  a đgl sai số tuyệt đối số gần a Độ xác số gần Nếu a  a  a  d a  d  a  a  d Ta nói a ssố gần a với độ xác d, qui ước viết gọn a  a  d Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a tỉ số sai số tuyệt đối a , kí hiệu  a  a a  a nhỏ độ xác phép đo đạc tính tốn lớn  Ta thường viết a dạng phần trăm Qui tròn số gần  Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số  Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai sơ tuyệt đối số qui trịn khơng vượt nửa đơn vị hàng qui tròn Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn Chữ số Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số đgl chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Trang CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI BÀI 1: HÀM SỐ Định nghĩa  Cho D  R, D   Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x  D với số y  R  x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f(x)  D đgl tập xác định hàm số  T = y  f ( x) x  D đgl tập giá trị hàm số Cách cho hàm số  Cho bảng  Cho biểu đồ  Cho công thức y = f(x) Tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) xác định tập D tập hợp tất điểm M  x; f ( x) mặt phẳng toạ độ với x  D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f(x) đường Khi ta nói y = f(x) phương trình đường Sư biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Tính chẵn, lẻ hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D  Hàm số f đgl hàm số chẵn với x  D –x  D f(–x) = f(x)  Hàm số f đgl hàm số lẻ với x  D –x  D f(–x) = –f(x) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định hàm số  Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) tìm tất giá trị biến số x cho biểu thức f(x) có nghĩa: D = x  R f ( x) có nghóa  Điều kiện xác định số hàm số thường gặp: P( x ) 1) Hàm số y = : Điều kiện xác định: Q(x)  Q( x ) 2) Hàm số y = R( x) : Điều kiện xác định: R(x)  Chú ý: + Đôi ta sử dụng phối hợp điều kiện với + Điều kiện để hàm số xác định tập A A  D A  + A.B    B  Câu Tình giá trị hàm số sau điểm ra: a) f ( x)  5x Tính f(0), f(2), f(–2), f(3) b) f ( x )  x 1 2 x  3x  Tính f(2), f(0), f(3), f(–2) Trang c) f ( x)  x 1  x  Tính f(2), f(–2), f(0), f(1)   x  x   d) f ( x )   x   x  Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3)  x  x  1 x   e) f ( x)  0 x  Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5)  x   Câu Tìm tập xác định hàm số sau: 2x 1 x 3 b) y  c) y  a) y  x4 3x   2x x x 1 3x d) y  e) y  f) y  2 x  x 1 x  3x  2 x  5x  x 1 2x 1 g) y  h) y  i) y  x 1 x  x2  ( x  2)( x  x  3) Câu Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  x  d) y  x   g) y  b) y  x 3 e) y   2x f) y  x    x ( x  2) x  h) y  x   ( x  2) x  c) y   x  x  2x  1 3 x i) y  x   x 4 VẤN ĐỀ 2: Xét biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  y = f(x) đồng biến K  x1, x2  K : x1  x2  f ( x1)  f ( x2 )  x1, x2  K : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) 0 x2  x1  y = f(x) nghịch biến K  x1, x2  K : x1  x2  f ( x1)  f ( x2 )  x1, x2  K : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) 0 x2  x1 Câu Xét biến thiên hàm số sau khoảng ra: a) y  2x  ; c) y  x  x ; (–; 2), (2; +) b) y  x  ; d) y  x  x  ; (–; 1), (1; +) ; (–; –1), (–1; +) f) y  ; (–; 2), (2; +) 2x x 1 Câu * Với giá trị m hàm số sau đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định): a) y  (m  2)x  b) y  (m 1)x  m  m m 1 d) y  c) y  x 2 x e) y  Trang VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn, lẻ hàm số Để xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f(x) ta tiến hành bước sau:  Tìm tập xác định D hàm số xét xem D có tập đối xứng hay khơng  Nếu D tập đối xứng so sánh f(–x) với f(x) (x thuộc D) + Nếu f(–x) = f(x), x  D f hàm số chẵn + Nếu f(–x) = –f(x), x  D f hàm số lẻ Chú ý: + Tập đối xứng tập thoả mãn điều kiện: Với x  D –x  D + Nếu x  D mà f(–x)   f(x) f hàm số không chẵn không lẻ Câu Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a) y  x  x  b) y  2 x3  3x c) y  x2  x4 d) y  ( x  1)2 e) y  x  x Câu Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a) y  2x   x 1 b) y  x   x  c) y  x  x BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT Hàm số bậc y = ax + b (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến R + Khi a < 0, hàm số nghịch biến R  Đồ thị đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục tung điểm B(0; b) Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (d): y = ax + b: + (d) song song với (d)  a = a b  b + (d) trùng với (d)  a = a b = b + (d) cắt (d)  a  a + (d) vng góc (d’)  a a = -1 Hàm số y  ax  b (a  0)  b x   ax  b a y  ax  b   b (ax  b) x    a Chú ý: Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  b ta vẽ hai đường thẳng y = ax + b y = –ax – b, xoá hai phần đường thẳng nằm phía trục hồnh Câu Vẽ đồ thị hàm số sau: 5 x x 3 a) y  2x  b) y  3x  c) y  d) y  Câu Tìm toạ độ giao điểm cặp đường thẳng sau: a) y  3x  2; b) y  3x  2; y  4( x  3) y  2x  x 3 5 x ; y d) y  c) y  2x; y  x  3 Câu Trong trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị hàm số y  2x  k( x 1) : a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M (-2;3) c) Song song với đường thẳng y  2.x Trang 10 BÀI 9: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  Hệ có dạng: (I)  (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) g( x, y)  (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi)  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P  Giải hệ (II) ta tìm S P  Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X2  SX  P  Hệ đối xứng loại  f ( x, y)  (1) Hệ có dạng: (I)  (2)  f ( y, x)  (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được:  f ( x, y)  f ( y, x)  (3) (I)   (1)  f ( x, y)   Biến đổi (3) phương trình tích: x  y (3)  ( x  y).g( x, y)     g( x, y)    f ( x, y)   x  y  Như vậy, (I)    f ( x, y)  g( x, y)   Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai a x  b xy  c y  d 1 Hệ có dạng: (I)  2 a x b xy c y d     2 2  Giải hệ x = (hoặc y = 0)  Khi x  0, đặt y  kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngoài cách giải thơng thường ta cịn sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0  y0 Câu Giải hệ phương trình sau:  a)  x  y   x  2y   b)  x  xy  24 2 x  3y  Trang 22  c) ( x  y)  49 3x  y  84  3x  y   d)  x  3xy  y  x  3y   e)   xy  3( x  y)  2 x  y  2 x  3y   h)  g)  y  x  x 3x  y  y  2 x  y   Câu Giải biện luận hệ phương trình sau: x  y  x  y  m a)  b)  2 x  y  2x  x  y  m Câu Giải hệ phương trình sau: x  y   x  xy  y  11 a)  b)  2  x  y  xy  2( x  y)  31  x  xy  y  13  x y 13    e) d)  y x  x  y  Câu Giải hệ phương trình sau:   b) a)  x2  3x  y y y  x     x3  x3 y3  y3  17   x  y  xy    x  y2  x  y  2  y  x  2y  x  y2   y y    x  3y  x  x2 e)  d)  x 3 x  x   y  3x  y   y2  Câu Giải hệ phương trình sau: 2     b) 2 x2  xy  y 2 1 a)  x 2 3xy  y 2 1   3x  xy  3y  13 3x  xy  y  2     d) 3x  5xy  y2  38 e)  x  xy  3y     x  xy  5y  5x  xy  3y  15 2 x  3y  f)   xy  x  y   2 x  y  i)  2  x  xy  y  3x  y  c)  2 x  y  m  xy  x  y  c)  2 x  y  x  y    2 f)  x  x y 2 y  481   x  xy  y  37   c)  x3  x  y  y  2y  x  2 x  y  y f)  2 y2  x   x   c)  y  3xy  42   x  xy  y    f) 3x  8xy  y   5x  xy  y  BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Câu Giải biện luận phương trình sau: a) m2 x  4m   x  m2 b) a(ax  2)  4ax  Câu Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x  m x  m 1 m2 x  1 b)  m x  2m  x 1 x x 1 2mx  m 1  x 1  c) d) x   x   m x 1 x 1 Câu Giải biện luận phương trình sau: a) a) 2x2  12x 15m  b) x  2(m  1) x  m2  b) x2  mx  m 1  d) x  2(m  2) x  m(m  3)  Câu Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm lại: b) x2  3m2 x  m  0; x0  a) x  mx  m   0; x0   Câu Trong phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu Trang 23 ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả: x13  x23  ; x12  x22  a) x  2(m  2) x  m(m  3)  b) x  2(m  1) x  m2  c) x  2(m  1) x  m2   d) (m  2) x  2(m  1) x  m   e) (m  1) x  2(m  4) x  m   f) x2  4x  m   Câu Trong phương trình sau, hãy: i) Giải biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m a) x  (m  1) x  m  c) (m  2) x  2(m  1) x  m   Câu Giải phương trình sau: b) x  2(m  2) x  m(m  3)  d) x  2(m  1) x  m2   a) x2  x2   12 b) x2  x2  11  31 c) 16 x  17  8x  23 d) x2  x   3( x  4) f) 51  x  x2   x h) x    3x  e) 3x2  9x   x   g) ( x  3) x   x  Câu Giải phương trình sau: a)  10  3x  x  b) x   x   2x  c) 3x   x   x  d) x  x   x  3x   e) x   x   3x  f) 3x    x  x  h) x  1  x  x  g) x   x   x   Câu Giải hệ phương trình sau:  x  xy  y  1 b) a)  2  x y  y x  6 Câu 10 Giải hệ phương trình sau:   x  y2   2   x  x y  y  13   c)  x3 y  3y x  30   x  y  35   y( x  1)  x( y2  1) ( x  y)(1  xy )    a)  b)   x y    24 2  ( x  y )(1   )  49  x y2  2     x y   x 1 y    x  y  x  y   2 c)  d)  x  y  1  x  y2   ( x  y)(1  )  4 2   x y xy Câu 11 Giải hệ phương trình sau:     x  x  8y  x  3x  y  x3  x  y b)  c)  a)      y  3y  x  y  3y  x y  2y  x   y2   y  x y     2 x  y  y  x2 x2 d)  e)  f)  3 x  x  2 y  x  2 y2   x    y2 x y2   Trang 24  CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x  0, x  x, x  x a>0 x  a  a  x  a  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab  c  ab ; bc  a  bc; ca  b  ca e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki (BCS) Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx Trang 25 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh  Một số BĐT thường dùng: + A2  + A2  B2  + A.B  với A, B  + A2  B2  AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Câu Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2   ab  a  b c) a2  b2  c2   2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) 4 2 e) a  b  c   2a(ab  a  c  1) g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc i) a2  b2  c2  ab  ac  2bc f) h) a2  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) 1 1 1      với a, b, c > a b c ab bc ca k) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  Câu Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3  b3  a  b   a)  ; với a, b    b) a4  b4  a3b  ab3 d) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > 1   f) ; với ab  1  a2  b2  ab c) a4   4a a6 b6 ; với a, b  b2 a2 Câu Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2  b2  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: e) a4  b4   a) a4  b4  c4  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d  4)  256abcd VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: ab  ab Dấu "=" xảy  a = b abc  abc Dấu "=" xảy  a = b = c + Với a, b, c  0, ta có: + Với a, b  0, ta có:  abc ab Hệ quả: + +   ab   abc     3 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y + Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ  x = y Câu Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: Trang 26 b) (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc a) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc c) (1  a)(1  b)(1  c)  1  abc  bc ca ab    a  b  c ; với a, b, c > a b c ab bc ca abc    e) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc f) ; với a, b, c > ab bc ca a b c    ; với a, b, c > g) bc ca ab Câu Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 a) (a3  b3  c3 )      (a  b  c)2 a b c d) c) 9(a3  b3  c3 )  (a  b  c)3 b) 3(a3  b3  c3 )  (a  b  c)(a2  b2  c2 ) Câu Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 3x x 18 ; x  ; x  1  a) y   ; x  b) y   c) y  x 1 x 1 x x ; x d) y   2x 1 x  ;  x 1 e) y  1 x x f) y  x3  x2 ; x0 x2  x  ; x0 h) y  x  ; x  x x3 Câu Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: b) y  x(6  x);  x  a) y  ( x  3)(5  x);   x  5 c) y  ( x  3)(5  x );   x  d) y  (2 x  5)(5  x );   x  2 x2 x ; x0 e) y  (6 x  3)(5  x );   x  f) y  g) y  2 x2   x2  3 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)  Với a, b, x, y  R, ta có: (ax  by)2  (a2  b2 )( x  y2 ) Dấu "=" xảy  ay = bx g) y   Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax  by  cz)2  (a2  b2  c2 )( x  y2  z2 ) Hệ quả:  (a  b)2  2(a2  b2 ) Câu  (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3a2  4b2  , với 3a  4b  c) 7a2  11b2  2464 , với 3a  5b  137 e) 2a2  3b2  , với 2a  3b  b) 3a2  5b2  d) a2  b2  735 , với 2a  3b  47 , với a  2b  f) ( x  y  1)2  (2 x  y  5)2  Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2  b2  , với a  b  b) a3  b3  , với a  b  d) a4  b4  , với a  b  c) a4  b4  , với a  b  Câu Trang 27 PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I: VECTƠ BÀI 1: VECTƠ Các định nghĩa  Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ  Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a, b, để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB  AD  AC a  b   c  a  b  c  ;  Tính chất: ab  b a; a0  a b) Hiệu hai vectơ  Vectơ đối a vectơ b cho a  b  Kí hiệu vectơ đối a a  Vectơ đối  a  b  a   b   Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB  OA  AB c) Tích vectơ với số  Cho vectơ a số k  R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k  0, ka ngược hướng với a k < + ka  k a k  a  b   ka  kb ; (k  l)a  ka  la ;  Tính chất: k  la   (kl)a ka   k = a   Điều kiện để hai vectơ phương: a b  a  0 phương  k  R : b  ka  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB  k AC  Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ! m, n  R: x  ma  nb Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB   OA  OB  2OM (O tuỳ ý)  Hệ thức trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý) Trang 28 VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Câu Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Câu Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  AB b) Tìm vectơ BC , C A Câu Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN Câu Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật Câu Cho ABC cạnh a Tính AB  AC ; AB  AC Câu Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB  AC  AD Câu Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Câu Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD , AB  AC , AB  AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Câu Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC  BD  AD  BC  2IJ Câu Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Câu Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB Câu Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  Câu Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Câu Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Câu Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM  AB  AC 3 Câu Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: Trang 29 2 c) AC   CM  BN a) AB   CM  BN 3 3 Câu Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u, CC1  v Tính BC, CA, AB theo u v Câu 10 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB  HC  b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a b VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM  a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, … Câu Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Câu Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I , M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN  MI a) Chứng minh: BN  BA  MB b) Tìm điểm D, C cho: Câu Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM  AB  AC  AD Câu Cho tứ giác ABCD Gọi M , N lần NA  NI  ND ; NM  BN  NC lượt trung điểm AD, BC Xác định điểm O cho: OA  OB  OC  OD  BÀI 2: TOẠ ĐỘ Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu O; e   Toạ độ vectơ trục: u  (a)  u  a.e  Toạ độ điểm trục: M(k)  OM  k.e  Độ dài đại số vectơ trục: Chú ý: AB  a  AB  a.e + Nếu AB hướng với e AB  AB Nếu AB ngược hướng với e AB   AB + Nếu A(a), B(b) AB  b  a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB  BC  AC Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung u  ( x; y)  u  x.i  y j  Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ: Trang 30  Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M( x; y)  OM  x.i  y j  Tính chất: Cho a  ( x; y), b  ( x; y ), k  R , A( xA ; yA ), B( xB ; yB ), C( xC ; yC ) :    + a  b  x  x   y  y + a  b  ( x  x; y  y ) + ka  (kx; ky) + b phương với a   k  R: x  kx vaø y  ky  x y (nếu x  0, y  0)  x y + AB  ( xB  xA; yB  yA ) x A  xB y y ; yI  A B 2 x  xB  xC y y y + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG  A ; yG  A B C 3 x  kxB y  kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: xM  A ; yM  A 1 k 1 k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  kMB ) + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI  VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Câu Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho 2MA  5MB  d) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  1 Câu Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA  MB  MC  c) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  NC VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Câu Viết tọa độ vectơ sau: a) a  2i  j ; b  i  j ; c  3i ; d  2 j 3 b) a  i  j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i 2 Câu Viết dạng u  xi  yj biết toạ độ vectơ u là: a) u  (2; 3); u  (1;4); u  (2;0); u  (0; 1) b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1;0); u  (0;0) Câu Cho a  (1; 2), b  (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b   b) u  3a  2b; v   b; w  4a  b 1 2 Câu Cho a  (2;0), b   1;  , c  (4; 6) Trang 31 a) Tìm toạ độ vectơ d  2a  3b  5c c) Biểu diễn vectơ c theo a, b Câu Cho hai điểm A(3; 5), B(1;0) b) Tìm số m, n cho: ma  b  nc  a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC  3 AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Câu Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Câu Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC, BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM  AB  AC d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN  2BN  4CN  Câu Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Câu Cho ba điểm A(-1;2;0);B(-2;3;-3);C(2;-1;4) a) Chứng minh điểm không thẳng hàng b) Tìm trọng tâm tam giác ABC c) Tìm toạ độ D cho ABCD hình bình hành d)Tìm toạ độ trung điểm AD BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Câu Cho bốn điểm A, B, C, D.Gọi I , J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  Câu Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E , F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E , F không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA  MB  MC MD  ME  MF Câu Cho  ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Câu Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm  ABC Chứng minh: a) AI  AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC Câu Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD  AB , AC a) Tính AG, DE, DG theo AB AC b) Chứng minh D, E , G thẳng hàng Câu Cho  ABC có A(4;3), B(1;2), C(3; 2) AE  a) Tìm tọa độ trọng tâm G  ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Câu Cho A(2;3), B(1; 1), C(6;0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G  ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Câu Cho A(0;2), B(6;4), C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M , N , P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M , N , P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh Trang 32 CHƯƠNG II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ ĐẾN Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn  = xOM Giả sử M(x; y) sin = y (tung độ) y cos = x (hoành độ) y  tung độ  M tan =  (x  0) y  x  hoành độ  x1 x -1 O x  hoành độ  cot =  (y  0)  y  tung độ  Chú ý: – Nếu  tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định   900, cot xác định   00   1800 Tính chất  Góc phụ  Góc bù sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(900   )  tan  Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 300 sin cos tan cot  3 3 Các hệ thức sin  tan   (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  cot   (sin  cos   0) Chú ý:  sin  1; 1  cos  sin(1800   )  sin  cos(1800   )   cos tan(1800   )   tan  cot(1800   )   cot  450 2 2 600 900 1800 0 –1  3  sin2   cos2   1  tan2   (cos   0) cos2  1  cot   (sin   0) sin2  Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) a sin00  b cos00  c sin900 c) a2 sin900  b2 cos900  c2 cos1800 Câu Chứng minh đẳng thức sau: a) (sin x  cos x)2   2sin x.cos x b) a cos900  b sin900  c sin1800 d)  sin2 900  2cos2 600  3tan2 450 b) sin4 x  cos4 x   2sin2 x.cos2 x Trang 33 c) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x d) sin6 x  cos6 x   3sin2 x.cos2 x e) sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x)  1 2sin x.cos x Câu Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 120  cos2 780  cos2 10  cos2 890 b) sin2 30  sin2 150  sin2 750  sin2 870 BÀI 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Góc hai vectơ Cho a, b  Từ điểm O vẽ OA  a, OB  b a a Khi  a, b   AOB với 00  AOB  1800 Chú ý: +  a, b  = 900  a  b b A O b B +  a, b  = 00  a, b hướng +  a, b  = 1800  a, b ngược hướng +  a, b    b, a  Tích vơ hướng hai vectơ a.b  a b cos  a, b   Định nghĩa: a.a  a2  a Với a, b , c kR, ta có: a  b  c   a.b  a.c ; + a.b  b.a ; Đặc biệt:  Tính chất:  ka  b  k  a.b   a  kb  ; a2  0; a2   a  +  a  b   a2  2a.b  b ;  a  b 2  a2  2a.b  b ; a2  b   a  b  a  b  + a.b >   a, b  nhoïn + a.b <   a, b  tuø a.b =   a, b  vuông Biểu thức toạ độ tích vô hướng  Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó:  a  a12  a22 ; cos(a, b )   Cho A( x A ; yA ), B( xB ; yB ) Khi đó: a.b  a1b1  a2 b2 a1b1  a2 b2 a12  a22 b12  b22 ; a  b  a1b1  a2 b2  AB  ( xB  x A )2  ( yB  yA )2 Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB  a, BC  2a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Câu Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Câu Cho tam giác ABC có AB  5, BC  7, AC  a) Tính AB AC , suy giá trị góc A b) Tính CA.CB c) Gọi D điểm CA cho CD  Tính CD.CB Câu Cho điểm A(1;2), B(2;3), C(1;2) Trang 34 a) Tính AB AC , BC AC , CB.CA    b) Tính độ dài AB, AC, BC  c) Tính số đo góc AB; AC ; số đo góc CB; CA d)Tính AB  3CA  4BC Câu Cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3), C(2;0) a) Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm M biết CM  AB  AC c) Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;1), C(0;1) a) Tính độ dài canh AB, AC, BC b) c) d) e) Tính số đo góc tam giác ABC Tìm điểm F cho ABFC hình bình hành Tìm toạ độ diểm M thuộc 0x cho AM vng góc với BC Tìm toạ độ điểm H thoả HA  2BH  BC BÀI 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có: o độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c o độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc o độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc o bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r o nửa chu vi tam giác: p o diện tích tam giác: S Định lí cơsin a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; a b c    2R Định lí sin sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến 2(a2  c2 )  b2 2(b2  c2 )  a2 mb2  ma2  ; ; 4 Diện tích tam giác 1 S = aha  bhb  chc 2 1 = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc = 4R = pr = c2  a2  b2  2ab.cosC mc2  2(a2  b2 )  c2 p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rông) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước A Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho  ABC vuông A, AH đường cao  BC2  AB2  AC2 (định lí Pi–ta–go)  AB2  BC.BH , AC2  BC.CH Trang 35 B H C  AH  BH.CH , AH  AB  AC  AH BC  AB AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C Chứng minh tam giác ABC ta có; b) sin A  sin B cos C  sin C cos B a) a  b.cos C  c.cos B c)  2R sin B sin C d) ma2  mb2  mc2  (a2  b2  c2 ) Câu Trong tam giác ABC có c  14; A  600 ; B  400 a) Tìm độ dài cạnh AC, BC, số đo góc C b) Tính diện tích tam giác c) Tìm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Câu Trong tam giác ABC có AC  4,5; A  300 ; C  750 a) Tìm độ dài cạnh AB, BC b) Tính diện tích tam giác Tìm độ dài chiều cao AH c) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác d) Tìm độ dài đường trung tuyến AM Câu Câu a) b) c) d) Trong tam giác ABC có a  6,3; b  6,3; C  540 Tìm độ dài cạnh c, tính số đo góc B Tính diện tích tam giác Tìm độ dài chiều cao BH Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Tìm độ dài đường trung tuyến BM Trong tam giác ABC có AC  32; AB  45; A  870 a) Tìm độ dài cạnh BC, góc C b) Tìm độ dài đường cao BH Câu Cho tam giác ABC có a  14; b  18; c  20 a) Tính diện tích tam giác Tìm độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp b) Tìm số đo góc A,B c) Tính độ dài đương trung tuyến CM Câu Cho tam giác ABC có BC  6; AC  7,3; AB  4,8 a) Tính số đo góc B b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác c) Tính độ dài chiều cao xuất phát từ đỉnh B Câu Trang 36 ... = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12 c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập. .. 2: TẬP HỢP Tập hợp  Tập hợp khái niệm toán học, không định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập. ..  Câu Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: B = 1, 2, 3 A = 1, 2    C = a, b, c, d  E = x Q x2  4x   D = x  R x  5x   Câu Trong tập hợp sau, tập tập tập nào?  