Tài liệu bao gồm cách giải các bài toán Dao động một bậc tự do dành cho sinh viên cao đẳng, đại học và học viên cao học chuyên ngành cơ kỹ thuật.
Trang 1ĐÁP ÁN BÀI TẬP DAO ĐỘNG
Bài 1:
Xét hệ dao động gồm vật nặng m, lò xo k1, k2 và giảm chấn c
Chọn trục toạ độ như hình vẽ, gốc toạ độ là trọng tâm của m
khi hệ đang ở trạng thái cân bằng
Aùp dụng định luật II Newton ta có phương trình vi phân
chuyển động của hệ:
2 1 2
mx= −k x−k x+k y−cx (1)
(1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
x+ δx+ω x=q ωt
0
2
c
q
δ = ω = + =
Bài 2:
Xét hệ dao động là khối trụ 1
Chọn trục toạ độ x như hình vẽ, gốc toạ độ trùng với trọng tâm của khối trụ 1 khi nó ở vị trí cân bằng
Ta thấy rằng nếu khối trụ dịch chuyển từ vị trí cân bằng một khoảng x thì áp lực của nước sinh ra tác dụng lên khối trụ là:
2
H x z dg rπ
Vì thể tích khối trụ chiếm chổ khi dịch chuyển một khoảng bằng với thể tích khối nước dâng lên nên ta có:
V =πr x=V =π R −r z
2
2 2
r
⇒ =
Thay (2) vào (1) ta được:
2
Aùp dụng định luật II Newton cho khối trụ ta có phương trình vi phân chuyển động:
2 2
2 2 ( R r )
π
= −
−
Hình 1.2 Dao động hệ một bậc tự do
Hình 1.1 dao động hệ 1 bậc
Trang 2Phương trình (3) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2
0 0
x+ω x=
0 dg ( R r2 2)
π
ω =
− Vậy chu kì dao động riêng của khối trụ là:
0
0
T
Bài 3:
Xét dao động của đĩa 1
Chọn toạ độ suy rộng là ϕ, là góc quay của đĩa so với
vị trí ban đầu
Aùp dụng định lý biến thiên moment động lượng cho
đãi 1 ta có:
0( )i
dL
m F
2
s
⇔ = − − (1)
2
mR
I = là moment quán tính của đĩa 1 quanh trục quay
4 32
s
k
JG
π ϕ
= = = = độ cứng của thanh
Phương trình (1) được viết dưới dạng như sau:
4 2
0 32
D G
L
π
ϕ+ ϕ+ ϕ=
Phương trình này được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
ϕ+ δϕ ω ϕ+ = (2)
0
;
π
δ = ω =
Bài 4:
Chọn toạ độ suy rộng là ϕ, là góc quay của
tấm 1 so với vị trí nằm ngang ban đầu như
hình vẽ
Aùp dụng định lý biến thiên moment động
lượng cho đãi 1 ta có:
0( )i
dL
m F
⇔ = (1)
6
mb
I = là moment quán tính của tấm 1 quay quanh trục đi qua O
Hình 1.3 Hệ dao động đĩa và trục
Hình 1.4 Dao động 1 bậc tự do của á
Trang 3Và M = −kl2ϕ−cb2ϕ là lực cản sinh ra bởi lò xo và giảm chấn
Vậy (1) được viết như sau:
2
2 2
0 6
mb
ϕ+ ϕ+ ϕ = (2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
ϕ+ δϕ ω ϕ+ =
Với: 2 2
;
ω = δ =
Bài 5:
Chọn trục toạ độ x như hình vẽ, gốc toạ
độ tại vị trí hệ đang ở trạng thái cân
bằng
Khi trục của motor quay, do trục lệch
tâm nên sinh ra lực ly tâm có giá trị:
2
F =mµω
Thành phần lực này theo phương thẳng
đứng có giá trị: 2
sin
F=mµω ωt
Aùp dụng định luật II Newton cho hệ ta có phương trình vi phân chuyển động của motor:
2 sin
Mx+cx+kx=mµω ωt (1)
Với: k 48EI3
l
= là độ cứng của dầm
Phương trình (1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
x+ δx+ω x=q ωt
0
q
µω
+
Bài 6:
Aùp dụng định lý biến thiên moment động lượng cho bánh xe ta có:
0( )i
dL
m F
Hình 1.5 Dao động hệ moteur và dầm
Hình 1.6 Dao động hệ một bậc tự do
Trang 4( )
Phương trình (1) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
ϕ+ δϕ ω ϕ+ = ω
0
q
ω
δ = ω = =
Trong đó: 1( 2 2 2)
Với:
2 1
2 2
4
D
d L l
π
ρ ρ
π
ρ ρ
−
32
⇒ =
Bài 7:
Chọn toạ độ suy rộng là ϕ, là góc quay của
trụ 1 so với vị trí cân bằng
Aùp dụng định lý biến thiên moment động
lượng cho khối trụ 1 ta có:
Với:
2
0
c
Vì dao động của hệ bé nên ta lấy gần đúng:
sinϕ ϕ≈
Vậy ta có phương trình vi phân chuyển động của khối trụ là:
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2
0 0
ϕ ω ϕ+ =
Với: 2
0
0
mgl
J
ω =
Bài 8:
Chọn toạ độ suy rộng là ϕ, là góc quay của tấmï 1 so với vị trí cân bằng Aùp dụng định lý biến thiên moment động lượng cho tấmï 1 ta có:
0( )i
dL
m F
Iϕ kl ϕ cbϕ
Hình 1.7 Dao động con lắc
Trang 5Với: 2
3
mb
I = là moment quán tính của tấm 1 quay quanh trục đi qua O Vậy (1) được viết như sau:
Iϕ+cbϕ+kl ϕ= (2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0
ϕ+ δϕ ω ϕ+ =
2
ω = δ =
Bài 9:
* Khảo sát chuyển động rơi tự do của toa hàng 1 khi dây nâng bị đứt Phương trình chuyển động của toa hàng:
2 1 2
x= +A Bt+ gt (Toa hàng chuyển động nhanh dần đều) Với điều kiện ban đầu: x0 =0;x0 =0
Hình 1.8 Dao động đĩa đồng chất
Hình 1.9 Dao động hệ thang máy và toa hàng
Trang 6Vậy 1 2
2
Vậy thời gian để toa hàng chạm vào giảm chấn là: t0 2H
g
= Từ (1) ⇒ = =v x gt
Vận tốc của toa hàng khi chạm vào giảm chấn là: v0 = 2gH
* Khảo sát chuyển động của toa hàng khi chạm vào giảm chấn:
Chọn trục khảo sát y như hình vẽ, gốc toạ độ tại vị trí mà toa hàng bắt đầu chạm vào giảm chấn
Phương trình vi phân chuyển động của toa hàng là:
my+cy+ky=mg (2)
Phương trình (2) được viết dưới dạng chuẩn như sau:
2 0 2
y+ δy+ω y=g
Với 2
0 ;
2
ω = δ =
Ta đã biết rằng nghiệm từng phần của phương trình không thuần nhất (3) có dạng:
2 0
p
g
y
ω
=
Hoạt động tốt nhất của giảm chấn được mong đợi nếu như hệ số giảm chấn đạt trường hợp tới hạn Như vậy phương trình thuần nhất có nghiệm là:
0 0
g
y =C e−ω +C te−ω
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
0 0
0
y C e ω C te ω
ω
Với điều kiện ban đầu: y0 =0;y0 =v0
;
Vậy ta có:
0 0
y=D −e−ω +Ete−ω
;
0 0
y Dω Eω e−ω Eω te−ω
Từ (4) ta thấy rằng giá trị lớn nhất của gia tốc (y) tại t=0
2 max t 0 0 2 n
Nếu 0
0
g
v
ω
>
max 0 2 0 2 0 0
max 0 200( / )
Trang 71 0
2 2
s Hg
ω < + = −
2
0 9160 /
0
Kiểm tra điều kiện trên ta có: 0
0
ω
Vị trí, vận tốc, gia tốc của toa hàng trong quá trình va chạm được thể hiện ở đồ thị sau:
Bài 10:
Chọn toạ độ suy rộng x là độ dịch chuyển của vật m so với vị trí cân bằng
Vì lò xo lá có mặt cắt ngang bxh nên độ cứng của lò xo lá là:
3
3EI
k
l
12
bh
I = Nếu xem vật nặng m dao động bé ta có phương trình vi phân chuyển động của m là:
Hình 1.10 Dao động hệ 1 bậc tự do
Vị trí
Vận tốc
Gia tốc
Trang 82 P0sin
+ Ω =
m
Ω =
Nghiệm từng phần của phương trình không thuần nhất (1) là:
0
2 2 sin
h
P
ω
=
Ω − Nghiệm riêng của phương trình thuần nhất có dạng:
p
x =C Ω +t γ
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là
0
2 2
P
m
ω
Ω −
0
2 2
P
m
ω
Ω −
Với điều kiện ban đầu: t=0;x0=0;x0=0
0
2 2
0
2 2
P C
m P
m
ω ω
ω ω ω
⇒ = −
Vậy
0 1
2
P
m
Từ (2) ta thấy rằng khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số dao động riêng của hệ thì hiện tượng cộng hưởng xảy ra, lúc này hệ dao động với biên độ rất lớn Dao động của vật m được thể hiện ở đồ thị sau:
