Tài liệu một số bài tập điển hình dao động trong kỹ thuật

Tài liệu bao gồm các dạng bài toán hay về dao động trong kỹ thuật dành cho sinh viên cao đẳng, đại học và học viên cao học chuyên ngành cơ kỹ thuật.

Bài 5.24

1 Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ

- Động năng của hệ:

2 2 2

2 1 1

2

1 2

1J J 

- Thế năng của hệ:

2 1 2 2

2 1

2

1 2

- Phương trình Lagrange có dạng:

i i i i

M V T T dt

































Thay (1) và (2) vào (3) ta được:





















0

0

2 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 1 1













t t

t t

t k k

J

k k

k J





(4) Theo đề bài ta có: k t1k t;k t2 2k t; J1J;J2 2J1 2J;

Viết lại phương trình (4) thành:



















0 2

2 2

0 2

3

2 1

2

2 1

1













t t

t t

k k

J

k k

J





(5) Viết dưới dạng ma trận ta có:





































































0

0 2

2

2 3

2 0

0

2

1 2

1









t t

t t

k k

k k

J

J





(6)

2 Tìm các tần số riêng:

Phương trình (6) có hai nghiệm điều hoà:

  i  i i

i t A t 

Thay (7) vào (6) ta được phương trình tần số:

   

0 2

2 2

2 3

det

0 2

0

0 2

2

2 3

det

0

2 2

2 2











































































































t t

t t

t t

t t

k J

k

k k

J

J

J k

k

k k

m k









0

4

Giải phương trình (8) được hai nghiệm:

   

J

k J

k

J

k J

k

t t

t t

9138 , 1

; 5176 , 0

3 2

; 3 2

2 1

2 2

2 1























3 Ma trận dạng riêng của hệ:

Các véc tơ riêng:

   

 

 

 





































1 1 1

1 1 1

2

1 1 1

A r

A A

A A

   

 

 

 





































2 1 1

2 1 2

2

2 1 2

A r

A A

A A

với:

 

 

 

2

3 2

3661 , 1 2

3

2 2 2

1

2 2 2

2 1 1

1

1 2 1























t t t t

k

k J

A

A r

k

k J

A

A r





Ma trận dạng riêng của hệ:















3661 , 0 3661 , 1

1 1

A

Nghiệm của phương trình (1) là:

         2 2

2 1 1 1 1

1

2 1 1

1 1

1

2 1,3661 cos  0,3661 cos 

Đề số 1 (Bài tập):

Cho cơ hệ như hình vẽ:

N m  s M

t M

M

rad

m N C

rad

m N C

m kg J

m kg J

/ 1 5

; 8

; cos

10 3

;

10 2

10 2

; 10 5 ,

1

20 20

2

2 2

2 1

2 1 2

2 1 1









































1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:

- Động năng của hệ:

1 1

- Thế năng của hệ:

2 1 2 2

2 1

2

1 2

- Phương trình Lagrange có dạng:

i i i i

M V T T dt

































Thay (1) và (2) vào (3) ta được:

























t M

M c

c J

c c

c J

cos

0

20 2

2 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

















(4) Viết dưới dạng ma trận ta có:









































































t M

c c

c c c J

J

cos

0 0

0

20 2

1 2 2

2 2 1 2

1 2

1













(5)

2 Tìm các tần số riêng:

Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:

  i  i i

Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:

0 det

0 0

0 det

0

2

2 2 2

2 2

1

2 1

2

1 2 2

2

2 2 1 2











































































































c J

c

c c

c J

J

J c

c

c c c

m k









 1 2 2 2 2 1 2 1 2 0

4 2

Giải phương trình (7) được hai nghiệm:

2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1

2 2 2 2 1 2

1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1

2 2 2 2 1 2 2 2 1

4 /

;

4 /

J J

c c J J J

c J c J c J

c J c J c

J J

c c J J J

c J c J c J

c J c J c









































Thay số được:

) / 1 ( 1538 , 66 );

/ 1 ( 3776 ,



3 Ma trận dạng riêng của hệ:

Các véc tơ riêng:

   

 

 

 





































1 1 1

1 1 1

2

1 1 1

A r

A A

A A

   

 

 

 





































2 1 1

2 1 2

2

2 1 2

A r

A A

A A

với:

 

 

 

4382 , 1

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

2

2 1 2 1 1 1

1

1 2 1

























c

c J

A

A r

c

c c J

A

A r





Ma trận dạng riêng của hệ:















5214 , 0 4382 , 1

1 1

A

4 Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:

















0

6 /

0

0

0

2 2

1 1















t

Nghiệm của phương trình (1) là:

2 1 2 1 1 1

1 1 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1

cos cos

cos cos





































t A

r t

A r t

t A

t A

t

(8)

Ta có:

1 2 2 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2

1 2 1 1 1 1 1 1

sin sin

sin sin

















































t A

r t

A r t

t A

t A

t





(9)

Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:

         

         

         



































2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2

2 2 1 2 1 1 1 1 1

2 2

1 2 1 1 1 1 2

2 2

1 1 1 1 1

sin sin

0

sin sin

0

cos cos

0

cos cos

0

































A r A

r

A A

A r A

r

A A



Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

   

   

   

   



























































0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1

0 0

0 0

1

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2 1

1 2 2 1

1 1 2

2 1

2 1

2 2 1

2 2 2 1

2 1 2

1 1













































r

r arctg

r

r arctg

r r

r r X

r r

r r X

















Thay số ta được:

 

 

0 ) 0 (

0 ) 0 (

2672 , 0 9597 , 1 6 6

9597 , 1 1

2672 , 0 9597 , 1 6 6

9597 , 1 1

2 1

2 2

1

2 1

1

















































arctg arctg X

X













Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:

     

t t

t

1538 , 66 cos 1393 , 0 3776 , 21 cos 3842 , 0

1538 , 66 cos 2672 , 0 3776 , 21 cos 2672 , 0

2

1

















5 Dao động cưỡng bức của hệ

Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:

 t  X cost j1,2

x j j

Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:

 i 2m ic k ; r,s1,2

Z rs rs rs rs

Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

t M

F F

c k c k c c k

c c c

m J m J m





























cos

; 0

;

;

; 0

0

;

;

20 2 1

2 12 2 22 2 1 11

22 12 11

12 2 22 1 11

Từ đó ta có:

 

 

  2

12

2 2 2 22

2 1 1 2 11

;

;

c Z

c J Z

c c J Z





























Áp dụng công thức 5.35 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

2 2 2 2 2 1 1 2

20 1

1 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 2

20 2 1

c c J c

c J

M c c J X

c c J c

c J

M c X

















































Thay số được:

 

) ( 0425579 ,

0

2

1

rad X

rad X









Nghiệm riêng của hệ phương trình:

 

x

t t

x

5 cos 0703986 ,

0

; 5 cos 0425579 ,

0

2

1





Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:

t t

t t

5 cos 0703986 ,

0 1538 , 66 cos 1393 , 0 3776 , 21 cos 3842 , 0

5 cos 0425579 ,

0 1538 , 66 cos 2672 , 0 3776 , 21 cos 2672 , 0

2

1





















Đề số 2 (Bài tập):

Cho cơ hệ như hình vẽ:

N m  s M

t M

M

rad

m N C

rad

m N C

m kg J

m kg J

/ 1 4

6

; cos

10 5

;

10 2

10 3

; 10 2

10 10

1

2 2

2 1

2 1 2

2 1 1









































1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:

- Động năng của hệ:

2 2 2

2 1 1

2

1 2

1J J 

- Thế năng của hệ là:

2 2 2 2 1 1

2

1 2

- Phương trình Lagrange có dạng:

i i i i

M V T T dt

































Thay (1) và (2) vào (3) ta được:























0

cos

2 2 1 1 1 2 2

10 2 1 1 1 1 1













c c c J

t M

c c J





(4) Viết dưới dạng ma trận ta có:





































































0

cos 0

2 1 2 1 1

1 1

2 1 2

c c c

c c

J

J













(5)

2 Tìm các tần số riêng:

Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:

  i  i i

Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:

0 det

0 0

0 det

0

2 1 2 2 1

1 1

2 1

2

1 2 2 1 1

1 1

2







































































































c c J

c

c c

J

J

J c

c c

c c

m k









 1 2 1 2 2 1 2 120

 1 1 1 2 2 1 2 1 2 0

4 2

Giải phương trình (7) được hai nghiệm:

2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1

2 2 1 1 1 2

1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1

2 2 1 1 1 2 2 2 1

4 /

;

4 /

J J

c c J J J

c J c J c J

c J c J c

J J

c c J J J

c J c J c J

c J c J c









































Thay số được:

) / 1 ( 161 , 52 );

/ 1 ( 750 ,



3 Ma trận dạng riêng của hệ:

Các véc tơ riêng:

   

 

 

 





































1 1 1

1 1 1

2

1 1 1

A r

A A

A A

   

 

 

 





































2 1 1

2 1 2

2

2 1 2

A r

A A

A A

với:

 

 

 

3874 , 0

1

2 1 2 2 2 2

1

2 2 2

1 1 2 1 1 1

1

1 2 1

























c

c c J

A

A r

c

c J

A

A r





Ma trận dạng riêng của hệ:















7208 , 1 3874 , 0

1 1

A

4 Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:

















0

0

0

6 /

0

2 2

1 1















t

Nghiệm của phương trình (1) là:

        2  2 2

1 2 1 1 1

1 1 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1

cos cos

cos cos





































t A

r t

A r t

t A

t A

t

(8)

Ta có:

2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2

1 2 1 1 1 1 1 1

sin sin

sin sin

















































t A

r t

A r t

t A

t A

t





(9)

Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:

         

         

         



































2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2

2 2 1 2 1 1 1 1 1

2 2

1 2 1 1 1 1 2

2 2

1 1 1 1 1

sin sin

0

sin sin

0

cos cos

0

cos cos

0

































A r A

r

A A

A r A

r

A A



Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

   

   

   

   



























































0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1

0 0

0 0

1

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2 1

1 2 2 1

1 1 2

2 1

2 1

2 2 1

2 2 2 1

2 1 2

1 1













































r

r arctg

r

r arctg

r r

r r X

r r

r r X

















Thay số ta được:

 

 

0 ) 0 (

0 ) 0 (

0962 , 0 6

3874 , 0 1082 , 2 1

4273 , 0 6

7208 , 1 1082 , 2 1

2 1

2 2

1

1 1









































arctg arctg X

X









Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:

t t

t

161 , 52 cos 1656 , 0 750 , 24 cos 1656 , 0

161 , 52 cos 0962 , 0 750 , 24 cos 4273 , 0

2

1

















5 Dao động cưỡng bức của hệ

Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:

 t  X cost j1,2

x j j

Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:

 i 2m ic k ; r,s1,2

Z rs rs rs rs

Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

0

; cos

;

;

;

0

0

;

;

2 10

1

1 12 2 1 22 1 11

22 12 11

12 2 22 1 11





























F t M

F

c k c c k c k

c c c

m J m J m

Từ đó ta có:

 

 

  1 12

2 1 2 2 22

1 1 2 11

;

;

c Z

c c J Z

c J Z





























Áp dụng công thức 5.35 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

1 2 1 2 2 1 1 2

10 1 2

2 1 2 1 2 2 1 1 2

10 2 1 2 2 1

c c c J c

J

M c X

c c c J c

J

M c c J X

















































Thay số được:

 

) ( 04308 , 0

2

1

rad X

rad X









Nghiệm riêng của hệ phương trình:

 

x

t t

x

4 cos 01239 , 0

; 4 cos 04308 , 0

2

1





Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:

t t

t t

4 cos 01239 , 0 161 , 52 cos 1656 , 0 750 , 24 cos 1656 , 0

4 cos 04308 , 0 161 , 52 cos 0962 , 0 750 , 24 cos 4273 , 0

2

1





















Đề số 3 (Bài tập):

Cho cơ hệ như hình vẽ:

N m  s M

t M

M

rad

m N C

rad

m N C

rad

m N C

m kg J

m kg J

/ 1 4

5

; cos

10 2

;

10 4

;

10 3

10 3

; 10 2

20 20

2

2 3

2 2

2 1

2 1 2

2 1 1























































1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:

- Động năng của hệ:

2 2 2

2 1

1 2

1J J 

- Thế năng của hệ là:

2 3 2 1 2 2 2 1 1

2

1 2

1 2

- Phương trình Lagrange có dạng:

i i i i

M V T T dt

































Thay (1) và (2) vào (3) ta được:

























t M

c c c

J

c c

c J

cos

0

20 2 3 2 1 2 2 2

2 2 1 2 1 1 1

















(4) Viết dưới dạng ma trận ta có:











































































t M

c c c

c c

c J

J

cos

0 0

0

20 2

1 3 2 2

2 2

1 2 1 2

1













(5)

2 Tìm các tần số riêng:

Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:

  i  i i

Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:

0 det

0 0

0 det

0

3 2 2 2 2

2 2

1 2 1

2

1 2 3 2 2

2 2

1 2











































































































c c J

c

c c

c J

J

J c

c c

c c

c

m k









 1 2 1 2 2 2 2 3 22 0

 1 2 2 2 2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 0

4 2

Giải phương trình (7) được hai nghiệm:

     

2 1

3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1

3 1 2 2 2 2 1 2

1

2 1

3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 2 2 2

1

2

2

2

1

4 /

;

4 /

J J

c c c c c c J J J

c J c J c J c J

c J c J c J c

J J

c c c c c c c c J J J

c J c J c J c J

c J c J c J

c























































Thay số được:

) / 1 ( 431 , 67 );

/ 1 ( 871 ,



3 Ma trận dạng riêng của hệ:

Các véc tơ riêng:

   

 

 

 





































1 1 1

1 1 1

2

1 1 1

A r

A A

A A

   

 

 

 





































2 1 1

2 1 2

2

2 1 2

A r

A A

A A

với:

 

 

 

273 , 1

2

3 2 2 2 2 2

1

2 2 2

2

2 1 2 1 1 1

1

1 2 1



























c

c c J

A

A r

c

c c J

A

A r





Ma trận dạng riêng của hệ:















5235 , 0 273 , 1

1 1

A

4 Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:

















0

0

0

6 /

0

2 2

1 1















t

Nghiệm của phương trình (1) là:

2 1 2 1 1 1

1 1 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1

cos cos

cos cos





































t A

r t

A r t

t A

t A

t

(8)

Ta có:

2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2

1 2 1 1 1 1 1 1

sin sin

sin sin

















































t A

r t

A r t

t A

t A

t





(9)

Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:

         

         

         



































2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2

2 2 1 2 1 1 1 1 1

2 2

1 2 1 1 1 1 2

2 2

1 1 1 1 1

sin sin

0

sin sin

0

cos cos

0

cos cos

0

































A r A

r

A A

A r A

r

A A



Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

             

   

   

   

   



























































0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1

0 0

0 0

1

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2 1

1 2 2 1

1 1 2

2 1

2 1

2 2 1

2 2 2 1

2 1 2

1 1













































r

r arctg

r

r arctg

r r

r r X

r r

r r X

















Thay số ta được:

 

 

0 ) 0 (

0 ) 0 (

371 , 0 6

273 , 1 7969 , 1 1

1525 , 0 6

5235 , 0 7969 , 1 1

2 1

2 2

1

2 1

1









































arctg arctg X

X









Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:

t t

t

431 , 67 cos 194 , 0 871 , 30 cos 194 , 0

431 , 67 cos 371 , 0 871 , 30 cos 1525 , 0

2

1

















5 Dao động cưỡng bức của hệ

Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:

 t  X cost j1,2

x j j

Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:

 i 2m ic k ; r,s1,2

Từ phương trình (5) và so sánh với phương trình 5.27 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

cos

; 0

;

;

; 0

0

;

;

20 2 1

2 12 3 2 22 2 1 11

22 12 11

12 2 22 1 11

t M

F F

c k c c k c c k

c c c

m J m J m































Từ đó ta có:

 

 

  2 12

3 2 2 2 22

2 1 1 2 11

;

;

c Z

c c J Z

c c J Z































Áp dụng công thức 5.35 [S Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:

2 3 2 2 2 2 1 1 2

20 2 1 1 2 2

2 2 3 2 2 2 2 1 1 2

20 3 2 2 2 1

c c c J c

c J

M c c J X

c c c J c

c J

M c c J X





























































Thay số được: