nguyên lý hamiton, hàm lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý

Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý PHẦN MỞ ĐẦU Tên đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý. 1. Lý do chọn đề tài: Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới. Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ học nói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng. Việc nghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìm phương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn đề được các nhà vật lý đặc biệt quan tâm trong lịch sử vật lý. Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyển động của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực, khối lượng và gia tốc. Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổ điển – Cơ học Newton, Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tả chuyển động bằng các hình thức khác. Một trong số đó là hệ hình thức Lagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân Hamilton. Nguyên lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệ thống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xác định được sự biến đổi trạng thái theo thời gian. Nói cách khác, hệ hình thức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ hệ, gọi là phương trình Lagrange. Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bài toán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trình chuyển động Lagrange được ghi nhận. Để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange và việc áp dụng vào giải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu : - Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích, thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa nguyên lý Hamiton và hàm Lagrange. Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 1 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý - Xây dựng được phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật lý. Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý cụ thể. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Hiểu rõ được các khái niệm như số bậc tự do, phương trình liên kết, tọa độ suy rộng, phép tính bên phân, nguyên lý Hamiton và đi đến phương trình Lagrange. - Khảo sát và phân tích chuyển động của các cơ hệ vật lý bằng thiết lập và giải các phương trình Lagrange. - Rút ra kết luận về ưu điểm của phương pháp Lagrange 4. Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo tài liệu liên quan đến Cơ học lý thuyết - Phân tích, tổng hợp, đánh giá các khái niệm, mối liên hệ, các số liệu, kết quả. - So sánh đối chiếu giữa cơ học cổ điển và cơ học giải tích. - Từ các bài toán vật lý đưa ra nhận xét sự nổi bật của Hàm Hamiton và hàm Lagrange. 5. Giới hạn nghiên cứu: Nghiên cứu một số cơ hệ vật lý trong cơ học Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 2 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý PHẦN NỘI DUNG A. Lý thuyết I. Khái niệm liên kết và tọa độ suy rộng 1. Số bậc tự do Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M 1 , M 2 ,…, M N chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính. Vị trí chất điểm M i trong không gian được xác định bán kính vectơ ( , , ) i i i i r x y z r . Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ i r r hay 3N tọa độ Dexcartes, , , , 1,2, i i i x y z i N= . Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do ( s ) của nó . Chú ý số bậc tự do của cơ hệ tự do là 3N. Trong đó cơ hệ tự do là cơ hệ mà vị trí và vận tốc cảu những chất điểm của cở hệ không bị hạn chế bới một điều kiện nào. 2. Phương trình liên kết - Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ vật lý trong không gian. Những điều kiện này không phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động. - Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ giũa các thông số trong cơ hệ. Số phương trình liên kết bằng số liên kết ( k ) Ví dụ : Cơ gồm ba chất điểm M 1 , M 2 , M 3 không nằm trên một đường thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm r 12, r 23, r 31 là không đổi thì có 3 phương trình liên kết: Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 3 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 12 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 23 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 31 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 x x y y z z r x x y y z z r x x y y z z r − + − + − − = − + − + − − = − + − + − − = Trong ví dụ này 9 tọa độ trong hệ liên hệ với nhau bởi 3 phương trình liên kết do đó số bậc tự do là 6. - Trong trường hợp tổng quát liên kết trong cơ hệ biểu diễn bởi k phương trình. 1 1 1 1 1 1 ( , , , , , , , , , , , , , , ) 0,( 1, ) N N N N N N f x y z x y z x y z x y z t k α α = = & & & & & & Hay là 1 2 1 2 ( , , , , , , ) 0 N N f r r r r r r t α × × × = ur ur uur r r r ( 1, )k α = Các liên kết được biểu diễn bởi phương trình liên kết có dạng: f α = const ( 1, )k α = gọi là liên kết hôlônôm . Các phương trình liên kết bởi phương trình liên kết dạng : 1 0 N i i i A dr B dt α α = + = ∑ r ( 1, )k α = gọi là liên kết phi hôlônôm. Cơ hệ chịu liên kết phi hôlônôm gọi là cơ hệ phi hôlônôm. Cơ hệ gồm N chất điểm liên hệ với nhau bởi k phương trình liên kết thì có số bậc tự do là s = 3N – k. 3. Tọa độ suy rộng Sự có mặt của các liên kết làm cho bài toán chuyển động của cơ hệ trở nên phức tạp hơn vấn đề đặt ra là làm thế nào để khử được các liên kết nếu hạn chế chỉ xét các hệ hôlônôm thì vấn đề trên được giải quyết bằng khái niệm tọa độ suy rộng. Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm M i (i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônôm được biểu diên bằng k phương trình : Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 4 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý 1 2 ( , , , , ) 0 N f r r r t α = ur ur uur , ( 1, )k α = Nếu k phương trình liên kết này là độc lập thì số bậc tự do của cơ hệ là s = 3N – k. Giả sử ta tìm được s thông sô q 1 , q 2 ,…, q s liên hệ với các bán kính vectơ i r r bởi các phương trình sau : 1 2 ( , , , , ) , ( 1, , ) i i s r r q q q t i N= = r r Các thông số độc lập 1 2 , , , s q q q gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu k liên kết. Số tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ. Ví dụ: Một con lắc phẳng M 2 có khối lượng m 2 có điểm treo M 1 với lượng m 1 chuyển động không ma sat trên một đường thẳng nằm ngang chiều dài con lắc là l Hệ chuyển động bởi các phương trình liên kết sau: 1 1 2 2 2 2 2 1 2 0, 0, 0 ( ) 0 y z z x x y l = = = − + − − Hệ có số bậc tự do là: s = 3N – k = 3.2 – 4 = 2 nên có hai tọa độ suy rộng 1 1 2 ,q x x q ϕ = = = Khi đó ta có mối liên hệ giữa các tạo độ: 2 2 sin , osx x l y lc ϕ ϕ = + = . Thay chúng vào các phương trình liên kết trên ta được các đồng nhất thức. Nhận xét: Với một bài toán nhất định có nhiều cách chọn tọa độ suy rộng khác nhau, thông thường tính chất đối xứng của một bài toán cho phéo chọn được một hẹ tọa độ suy rộng thích hợp nhất. Ví dụ bài toán có tính đối xứng Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 5 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý cầu ta chon hệ tọa độ suy rộng là tọa độ cầu là thích hợp nhất còn nếu bài toán có tính đối xứng trụ thì chọn tọa độ trụ. II. Nguyên lý Hamilton 1. Nguyên lý Hamilton Trước tiên ta nhắc lại các nguyên lý đối xứng hình học. Đó là : - Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian - Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian - Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian. - Nguyên lý về tương đối ( Các quy luật cơ bản của vật lý học diễn ra không phụ thuộc các hệ quy chiếu quán tính ) Các nguyên lý đối xứng hình học đó chưa đủ để xác định phương trình chuyển động cơ bản. Người ta thấy rằng cần đề ra một nguyên lý khác, một phần mang tính chất toán học rõ nét một phần dựa vào một số kinh nghiệm của sự phát triển vật lý nguyên lý này gọi là nguyên lý hamilton hay nguyên lý tác dụng dừng hamilton hay nguyên ly biến phân hamiltonvà có nội dung như sau: Đối với mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một hàm L nào đó có dạng: ( , , ) ( , , ) i i L L q q t L q q t = ≡ & & gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số số của hàm là thời gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm của chúng theo thời gian / , 1, i i q dq dt i s≡ = & hàm này xác định mọi đặc tính của cơ hệ hôlônôm. Để viết được phương trình Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ ta bổ sung một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân : Cho hàm số ( )y y x= ta xét tích phân : [ ] ( , , ) ( ) b a I F y y x dx I y x ′ ≡ = ∫ Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 6 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Trong đó F là một hàm nào đó của (x,y) và y’ = dy/dx. Tích phân I phụ thuộc vào hàm y(x) và gọi là một phiến hàm. Ta xác định dạng của hàm y(x) sao cho phiếm hàm I có giá trị dừng. Muốn thế ta xét những hàm : ( ) ( ) ( )Y x y x y x δ ≡ + với ( ) ( )y x y x δ = và có giá trị tùy ý. Lượng ( )y x δ gọi là biến phân của hàm y(x). Để ý : ( ) ( ) ( )y x Y x y x d d d dY dy y Y y dx dx dx dx dx δ δ = − ⇒ = − = − Nhưng vì vế phải là biến phân của dy/dx, theo định nghĩa của biến phân nên ta có : d dy y dx dx δ δ = Bây giờ ta xét hiệu số : [ ] ( , , ) ( , , ) δ δ δ ′ ′ ′ ≡ + + − ∫ b a I F y y y y x F y y x dx Nếu hàm y(x) cần tìm , tức là phiếm hàm I có giá trị dừng thì δ I phải bằng không, khai triển lượng trong dấu ngoặc của δ I đến bậc nhất của δ y và y δ ′ ( Định nghĩa vi phân hàm F và để ý 0x δ = ), ta được : ( ) 0 b a F F I y y dx y y δ δ δ ∂ ∂ ′ ≡ + = ′ ∂ ∂ ∫ Mặt khác, theo định nghĩa biến phân d dy y dx dx δ δ = ta có : Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 7 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý 0 b a b a b a b b a a F F dy I y dx y y dx F F d y y dx y y dx F d F d F y y y dx y dx y dx y F d F d F ydx y dx y dx y dx y δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ   ∂ ∂ = +  ÷ ′ ∂ ∂     ∂ ∂ = +  ÷ ′ ∂ ∂         ∂ ∂ ∂ = + −    ÷  ÷ ′ ′ ∂ ∂ ∂           ∂ ∂ ∂ = − + =  ÷  ÷ ′ ′ ∂ ∂ ∂     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Hay 0 b b a a F d F F I ydx y y dx y y δ δ δ   ∂ ∂ ∂ = − + =  ÷ ′ ′ ∂ ∂ ∂   ∫ Bây giờ chúng ta đưa ra giả thiết bổ sung : ( ) ( )y a y b δ δ = Nghĩa là xem biến phân y δ triệt tiêu tại các cận của tích phân, ta suy được : 0 b a F d F ydx y dx y δ   ∂ ∂ − =  ÷ ′ ∂ ∂   ∫ Mặt khác theo tính chất tùy ý của y δ , từ phương trình trên ta tu được : 0 F d F y dx y ∂ ∂ − = ′ ∂ ∂ gọi là phương trình Eurle – Lagrange, dùng để xác định hàm y(x) sao cho phiếm hàm I có giá trị dừng Bây giờ đối với một cơ hệ vật lý xét tại hai thời điểm t 1 , t 2 bất kỳ có vị trí xác định lần lượt là q i (t 1 ) và q i (t 2 ) , i = 1,…,s. Theo nguyên lý Hamilton chuyển động của cơ hệ từ thời điểm t 1 đến t 2 chỉ xảy ra sao cho tích phân xác định 2 1 t t S Ldt= ∫ có giá trị dừng, tức là 0S δ = Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 8 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Lượng S gọi là hàm tác dụng của cơ hệ. Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ s phương trình Lagrange sau : 0 , 1,2, , i i d L L i s dt q q ∂ ∂ − = = ∂ ∂ & trong đó các giá trị 1 2 ( ), ( ) i i q t q t δ δ được giả thiết bằng không 1 2 ( ) ( ) 0 , 1,2, , i i q t q t i s δ δ = = = Nguyên lý biến phân Haminlton đúng cho mọi hệ tọa độ suy rộng: các phương trình Lagrange trên sẽ không thay đổi dạng khi chúng ta chuyển từ hệ tọa độ suy rộng này sang hệ tọa độ suy rộng khác. 2. Hàm Lagrange Theo nguyên lý biến phân Haminlton, hàm Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ. Và việc tìm dạng của nó, thông thường dùng các nguyên lý đối xứng hình học, các tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối vớicác cơ hệ vật lý cụ thể. Trước hết ta trình bày hai tính chất của hàm Lagrange : 1. Hàm Lagrange không được xác định duy nhất, mà có thể sai khác nhau một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm tùy ý của q và t. ( , ) d L L f q t dt ∗ = + 2. Hàm Lagrange có tính chất cộng được : Hàm Lagrange của cơ hệ gồm các thành phần không tương tác bằng tổng tất cả các hàm Lagrange của các thành phần đó. 1 2 N L L L L= + + + Ta tìm hàm Lagrange của từng cơ hệ sau : + Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau + Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm tương tác với nhau. Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 9 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý 1. Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau : Trước hết, xét chất điểm chuyển động tự do đối với hệ qui chiếu quán tính K. Chất điểm chuyển động tự do là chất điểm cô lập; hệ qui chiếu quán tính nên không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thời gian là đồng nhất. + Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi khi tịnh tiến trong không gian. Có nghĩa là hàm Lagrange của chất điểm sẽ không phụ thuộc vào bán kính vectơ r r xác định vị trí chất điểm. + Tính đồng nhất của thời gian qui định hàm Lagrange của chất điểm sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( / 0)L t∂ ∂ = . + Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụ thuộc vào phương của vận tốc. Hàm Lagrange bây giờ chỉ phụ thuộc độ lớn vận tốc chất điểm, nghĩa là phụ thuộc vào v 2 : 2 ( )L L v= . Để tìm dạng cụ thể của hàm Lagrange L ta dùng nguyên lý tương đối Galileo. Nếu hệ qui chiếu quán tính K / chuyển động đối với hệ qui chiếu quán tính K với vận tốc V const= uuuuur r thì theo định lí cộng vận tốc ta có : v v V hay v v V ′ ′ = + = − r r r r r r Vì phương trình chuyển động có dạng không phụ thuộc vào các hệ qui chiếu quán tính nên hàm 2 ( )L L v= chuyển đến hệ 2 ( )L L v ′ ′ = . hàm này có cùng dạng và chỉ khác hàm 2 ( )L L v= một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm ( , )f r t r bất kỳ nào đó, nghĩa là : 2 2 ( ) ( ) ( , ) d L v L v f r t dt ′ = + r Chú ý rằng : 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 2 ) d v v V v vV V v V t rV dt ′ = − = − + = + − r r r r r r Ta được : 2 2 2 , , ( , ) ( 2 )L av L av f r t a V t rV ′ ′ = = = − r r r Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 10 Đào Văn Thoại [...]... tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Trong đó a = const không phụ thuộc vào hệ qui chiếu quán tính K và K’ và hoàn toàn đặc trưng cho chất điểm chuyển động Ta đặt a = m / 2 và gọi m là khối lượng của chất điểm, ta có: 1 L = mv 2 2 1 2 mv gọi là động năng của chất điểm Như vậy hàm 2 Lagrange của chất điểm cô lập bằng động năng T của nó Đại lượng Đối với cơ hệ. .. Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Lời giải: a, Khi chiếc nêm ứng yên Chiếc nêm ứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quảng đường đi của vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là q 1 = x Hàm lagrange của hệ là: L = T –U với T là động năng, U là thế năng của hệ Ta có : 1 1 2 & T = m1x1 + m2v 2 + J ω 2 & 2 2 −U = m1 gx + m2 g sin α x & Trong đó... r Các vật A, B, E buộc vào một đầu của lò xo độ cứng k ( như hình vẻ ) Giả sử mA > mB ở thời điểm ứng yên ở trạng thái không giãn của lò xo Xác định gia tốc của các vật A, B Lời gải: Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại GVHD: Trần Ngọc Bích 18 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Hệ có hai bậc tự do, cho tạo độ suy rộng là x, y là quảng đường đi của các. .. const r r Thế năng U chỉ phụ thuộc vào hiệu ( ri − rk ) Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại GVHD: Trần Ngọc Bích 11 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý + Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụ r r r r thuộc vào chiều của ( ri − rk ) nên thế năng U phụ thuộc vào độ lớn ri − rk Vậy hàm Lagrange của cơ hệ cô lập có N chất điểm tương... Bích 12 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Đó chính là biểu thức của định luật quán tính của Niutơn B Bài tập Bài tập 1: Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bán kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quynh đường kính thẳng ứng AB của nó với vận tốc góc ω Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả chuyển động của M Tìm mômen... chất cộng được của hàm Lagrange thì Hàm Lagrange của hệ có dạng: N 1 L = ∑ mi vi2 i =1 2 N 1 2 Đại lượng T = ∑ mi vi gọi là tổng động năng của hệ i =1 2 2 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm tương tác với nhau: Trong trường hợp này hàm Lagrange ngoài động năng của hệ cần thêm vào một hàm nào đó đặc trưng cho tương tác giữa các chất điểm, chúng ta kí hiệu hàm này bằng – U và U gọi là thế... , khi đó thay vào các phương trình Lagrange : d ∂L ∂L d ∂L ∂L − = 0, − =0 & & dt ∂x ∂x dt ∂ϕ ∂ϕ Ta được các phương trình sau: & & x ( 3P + 2 p ) &+ plϕ0 2 & &+ lϕ + gϕ = 0 & x 3 Giải hệ phương trình này bằng bằng cách lấy tích phân ta nhận được, Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại GVHD: Trần Ngọc Bích 20 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý ϕ = ϕ0 cos... 2 2 T= Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại GVHD: Trần Ngọc Bích 13 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Chọn B làm gốc thế năng, thế năng của M là: U = (r − r cos ϕ )mg Hàm Lagrange của M: L = T −U m m & = (rϕ ) 2 + (ω r sin ϕ ) 2 − ( r − r cos ϕ ) mg 2 2 Ta có phương trình Lagrange: d ∂L ∂L − =0 & dt ∂ϕ ∂ϕ d & ⇔ (mr 2ϕ ) − ( mr 2ω 2 sin ϕ cos ϕ − mgr.sin... x0t + x0 4   & Với điều kiện ban đầu của ban toán xt0 = x0 , v0 = x0 = x đường vật đi được trong thời gan t là : Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh Đào Văn Thoại nên ta có quảng GVHD: Trần Ngọc Bích 17 Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý x= ( m1g − m2 g sin α ) t 2 + x 1    m1 + m2 ÷ 4   0 b, Khi chiếc nêm chuyển động : Hệ sẽ có hai bậc tự do, gọi s là quảng... năng tương tác giữa các chất điểm Đối với hệ cô lập : + Tính đồng nhất thời gian qui định hàm Lagrange của hệ sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian Do vậy hàm U không phụ thuộc tường minh vào t + Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi r khi tịnh tiến toàn bộ hệ một véctơ δ r tùy ý Khi đó các bán kính vectơ xác định vị trí các chất điểm Mi và Mk của cơ hệ sẽ biến đổi như . Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý PHẦN MỞ ĐẦU Tên đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý. 1. Lý do chọn. tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý Trong đó F là một hàm nào đó của (x,y) và y’ = dy/dx. Tích phân I phụ thuộc vào hàm y(x) và gọi là một phiến hàm. Ta. quan hệ giữa nguyên lý Hamiton và hàm Lagrange. Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 1 Đào Văn Thoại Đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý -