nguyên lý hamiton, hàm lagrange và các ứng dụng của nó trong cơ hệ vật lý

Nguyên lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệthống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xácđịnh được sự biến đổi trạng thái theo thời gi

PHẦN MỞ ĐẦU

Tên đề tài: Nguyên lý Hamiton, hàm Lagrange và các ứng dụng

của nó trong cơ hệ vật lý

Khoa học ngày càng phát triển đưa con người tới một tầm cao mới.Trong những bước tiến của công nghệ, vật lý học nói chung và cơ họcnói riêng càng thể hiện rõ vai trò là những kiến thức nền tảng Việcnghiên cứu tìm hiểu quy luật chuyển động của các vật thể và tìmphương trình biểu diễn chuyển động ấy vốn là vấn đề được các nhà vật

lý đặc biệt quan tâm trong lịch sử vật lý

Cơ học Newton với cơ sở là các định luật Newton mô tả chuyểnđộng của các vật thể bằng phương trình liên hệ giữa ba đại lượng lực,khối lượng và gia tốc Cũng là một phạm vi kiến thức của Cơ học cổđiển – Cơ học Newton, Cơ học lý thuyết giải quyết bài toán mô tảchuyển động bằng các hình thức khác Một trong số đó là hệ hình thứcLagrange với công cụ cơ bản là nguyên lý biến phân Hamilton Nguyên

lý này cùng với các nguyên lý vật lý đã cho phép xây dựng một hệthống khái niệm đầy đủ để xác định trạng thái của cơ hệ, đồng thời xácđịnh được sự biến đổi trạng thái theo thời gian Nói cách khác, hệ hìnhthức này thiết lập được phương trình chuyển động của cơ hệ, gọi làphương trình Lagrange Từ đó, phương pháp giải quyết một phạm vi bàitoán cơ học khá rộng dựa trên nguyên lý Hamilton với phương trìnhchuyển động Lagrange được ghi nhận

Để tìm hiểu rõ hơn về hệ hình thức Lagrange và việc áp dụng vàogiải các bài toán cơ học, chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý Hamiton,hàm Lagrange và áp dụng giải toán cơ học” để nghiên cứu trong đề tàinày

- Hệ thống lại các khái niệm cơ sở của cơ học giải tích,thông qua các khái niệm đi đến mối quan hệ giữa nguyên lýHamiton và hàm Lagrange

- Xây dựng được phương trình Lagrange cho các cơ hệ vật

lý Đồng thời ứng dụng vào việc giải các bài toán vật lý cụ thể

- Hiểu rõ được các khái niệm như số bậc tự do, phương trìnhliên kết, tọa độ suy rộng, phép tính bên phân, nguyên lý Hamiton và

đi đến phương trình Lagrange

- Khảo sát và phân tích chuyển động của các cơ hệ vật lýbằng thiết lập và giải các phương trình Lagrange

- Rút ra kết luận về ưu điểm của phương pháp Lagrange

- Tham khảo tài liệu liên quan đến Cơ học lý thuyết

- Phân tích, tổng hợp, đánh giá các khái niệm, mối liên hệ,các số liệu, kết quả

- So sánh đối chiếu giữa cơ học cổ điển và cơ học giải tích

- Từ các bài toán vật lý đưa ra nhận xét sự nổi bật của HàmHamiton và hàm Lagrange

cơ học

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 2

Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kínhvectơ rri

hay 3N tọa độ Dexcartes, , , ,x y z i i i i=1,2, N Số thông số độc lập

cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do ( s ) của nó

Chú ý số bậc tự do của cơ hệ tự do là 3N Trong đó cơ hệ tự do là cơ hệ

mà vị trí và vận tốc cảu những chất điểm của cở hệ không bị hạn chế bới mộtđiều kiện nào

- Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chấtđiểm của cơ hệ vật lý trong không gian Những điều kiện này không phụthuộc vào lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động

- Phương trình liên kết là phương trình biểu diễn mối quan hệ giũa cácthông số trong cơ hệ Số phương trình liên kết bằng số liên kết ( k )

thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm r12, r23, r31 là không đổi thì có 3phương trình liên kết:

Các liên kết được biểu diễn bởi phương trình liên kết có dạng:

fα= const (α =1, )k gọi là liên kết hôlônôm Các phương trình liên kết bởi phương trình liên kết dạng :

1

0

N

i i i

Giả sử cơ hệ gồm N chất điêm Mi (i = 1, …N ) chịu k liên kết hôlônômđược biểu diên bằng k phương trình :

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 4

1 2( , , , , ) 0N

Các thông số độc lập q q1, , ,2 q gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu k s

liên kết Số tọa độ suy rộng bằng số bậc tự do của hệ

Ví dụ: Một con lắc phẳng M2 có khối lượng m2 có điểm treo M1 vớilượng m1 chuyển động không ma sat trên một đường thẳng nằm ngang chiều

Nhận xét: Với một bài toán nhất định có nhiều cách chọn tọa độ suy rộng

khác nhau, thông thường tính chất đối xứng của một bài toán cho phéo chọnđược một hẹ tọa độ suy rộng thích hợp nhất Ví dụ bài toán có tính đối xứng

cầu ta chon hệ tọa độ suy rộng là tọa độ cầu là thích hợp nhất còn nếu bài toán

có tính đối xứng trụ thì chọn tọa độ trụ

II Nguyên lý Hamilton

1 Nguyên lý Hamilton

Trước tiên ta nhắc lại các nguyên lý đối xứng hình học Đó là :

- Nguyên lý về tính đồng nhất của không gian

- Nguyên lý về tính đồng nhất của thời gian

- Nguyên lý về tính đẳng hướng của không gian

- Nguyên lý về tương đối ( Các quy luật cơ bản của vật lý học diễn rakhông phụ thuộc các hệ quy chiếu quán tính )

Các nguyên lý đối xứng hình học đó chưa đủ để xác định phương trìnhchuyển động cơ bản Người ta thấy rằng cần đề ra một nguyên lý khác, mộtphần mang tính chất toán học rõ nét một phần dựa vào một số kinh nghiệmcủa sự phát triển vật lý nguyên lý này gọi là nguyên lý hamilton hay nguyên lýtác dụng dừng hamilton hay nguyên ly biến phân hamiltonvà có nội dung nhưsau:

Đối với mỗi cơ hệ hôlônôm đều có thể được đặc trưng bởi một một hàm

L nào đó có dạng:

( , , )i i ( , , )

L L q q t= & ≡L q q t& gọi là hàm Lagrange của cơ hệ, các đối số

số của hàm là thời gian t, các tọa độ suy rộng và các đạo hàm của chúng theothời gian q&i ≡dq dt i i / , =1, s hàm này xác định mọi đặc tính của cơ hệ

hôlônôm

Để viết được phương trình Lagrange xác định mọi đặc tính của cơ hệ ta

bổ sung một số kiến thức cơ bản về phép tính biến phân :

Trong đó F là một hàm nào đó của (x,y) và y’ = dy/dx Tích phân I phụ

thuộc vào hàm y(x) và gọi là một phiến hàm

Ta xác định dạng của hàm y(x) sao cho phiếm hàm I có giá trị dừng

Nếu hàm y(x) cần tìm , tức là phiếm hàm I có giá trị dừng thì δI phải

bằng không, khai triển lượng trong dấu ngoặc của δI đến bậc nhất của δy và y

δ ′( Định nghĩa vi phân hàm F và để ý δ =x 0), ta được :

b

a b

a b

2 1

t t

S =∫ Ldt có giá trị dừng, tức là δ =S 0 Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 8

Lượng S gọi là hàm tác dụng của cơ hệ.

Theo phép tính biến phân đã trình bày ở trên ta sẽ thu được hệ s phương trình Lagrange sau :

2 Hàm Lagrange

Theo nguyên lý biến phân Haminlton, hàm Lagrange xác định mọi đặctính của cơ hệ Và việc tìm dạng của nó, thông thường dùng các nguyên lý đốixứng hình học, các tính chất của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đốivớicác cơ hệ vật lý cụ thể Trước hết ta trình bày hai tính chất của hàmLagrange :

1 Hàm Lagrange không được xác định duy nhất, mà có thể sai khácnhau một đạo hàm toàn phần theo thời gian của một hàm tùy ýcủa q và t

Ta tìm hàm Lagrange của từng cơ hệ sau :

+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau

+ Cơ hệ cô lập gồm N chất điểm tương tác với nhau

1 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm không tương

tác với nhau : Trước hết, xét chất điểm chuyển động tự do đối với hệ qui chiếu quántính K Chất điểm chuyển động tự do là chất điểm cô lập; hệ qui chiếu quántính nên không gian là đồng nhất và đẳng hướng, thời gian là đồng nhất

+ Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổikhi tịnh tiến trong không gian Có nghĩa là hàm Lagrange của chất điểm sẽkhông phụ thuộc vào bán kính vectơ rr

Để tìm dạng cụ thể của hàm Lagrange L ta dùng nguyên lý tương đốiGalileo Nếu hệ qui chiếu quán tính K/ chuyển động đối với hệ qui chiếu quán

tính K với vận tốc V constr =uuuuur thì theo định lí cộng vận tốc ta có :

v v Vr r= +′ r hay vr′= −v Vr r

Vì phương trình chuyển động có dạng không phụ thuộc vào các hệ quichiếu quán tính nên hàm L L v= ( )2 chuyển đến hệ L′=L v( )′2 hàm này cócùng dạng và chỉ khác hàm L L v= ( )2 một đạo hàm toàn phần theo thời giancủa một hàm ( , )f r tr

Trong đó a = const không phụ thuộc vào hệ qui chiếu quán tính K và K’

và hoàn toàn đặc trưng cho chất điểm chuyển động Ta đặt a = m / 2 và gọi m

là khối lượng của chất điểm, ta có:

2

12

Đại lượng 1 2

2mv gọi là động năng của chất điểm Như vậy hàm Lagrange của chất điểm cô lập bằng động năng T của nó.

Đối với cơ hệ cô lập gồm N chất điểm không tương tác với nhau, theo

tính chất cộng được của hàm Lagrange thì Hàm Lagrange của hệ có dạng:

2 1

12

N

i i i

N

i i i

=

=∑ gọi là tổng động năng của hệ

2 Hàm Lagrange của cơ hệ độc lập gồm N chất điểm tương tác với

nhau:

Trong trường hợp này hàm Lagrange ngoài động năng của hệ cần thêmvào một hàm nào đó đặc trưng cho tương tác giữa các chất điểm, chúng ta kíhiệu hàm này bằng – U và U gọi là thế năng tương tác giữa các chất điểm Đốivới hệ cô lập :

+ Tính đồng nhất thời gian qui định hàm Lagrange của hệ sẽ không phụthuộc tường minh vào thời gian Do vậy hàm U không phụ thuộc tường minhvào t

+ Tính đồng nhất không gian qui định hàm Lagrange sẽ không thay đổi

khi tịnh tiến toàn bộ hệ một véctơ rδr tùy ý Khi đó các bán kính vectơ xácđịnh vị trí các chất điểm Mi và Mk của cơ hệ sẽ biến đổi như sau :

+ Tính đẳng hướng của không gian qui định hàm cần tìm không phụthuộc vào chiều của (r rr ri − k) nên thế năng U phụ thuộc vào độ lớn r rr ri − k

Vậy hàm Lagrange của cơ hệ cô lập có N chất điểm tương tác với nhaucóa dạng:

2 1

1

( , , )2

Khi thay U bởi U + C trong đó C là hằng số tùy ý thì phương trình

Lagrange vẫn không thay đổi Vì vậy thế năng U được xác định với độ chính xác một hằng số cộng tùy ý Hằng số C thườngđược chọn để U = 0 khi hai chất điểm ở xa vô cùng

Phương trình lagrange viết được :

i i

Đó chính là biểu thức của định luật quán tính của Niutơn.

B Bài tập

Bài tập 1:

Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng khuyên tròn bánkính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quynh đường kính thẳng đứng ABcủa nó với vận tốc góc ω Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả

chuyển động của M Tìm mômen lực cần thiết giữ cho vận tốc góc không đổi.Lời giải :

Chuyển động của chất điểm M có thể mô tả bằng một tọa độ suy rộng ϕ

(Hình bên) Như vậy M tham gia hai chuyển động, chuyển động quay theotrục thẳng đứng với vận tốc góc ω và chuyển động tròn trong vòng khuyên

với gia tốc góc ϕ&=dϕ/dt.( ϕ =(OM ABuuuur uuur, ))

Chọn B làm gốc thế năng, thế năng của M là:

sin cos sin 0( cos ).sin 0

dt d

dt

g r

Wuur= ωur urv  W = ω ϕr cos& ϕ, Lực mWuurctác dụng lên M theo phương vuông

góc với mặt phẳng hình vẽ và có chiều tùy thuộc vào chiều chuyển động của

M trong vành khuyên ( ở đây có chiều từ ngoài vào)

Như thế vận tốc góc ω sẽ thay đổi Muốn tần số này không đổi ta cần đặtvào M một mômen có hướng ngược với hướng gia tốc Criôlit và có độ lớn

c

M =mW r ϕ= m rω ϕ&cosϕ ϕ =m rω ϕ& ϕ

Hay Muur= −mW ruurc sinϕ thay đổi theo ϕ theo thời gian.

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 14

Bài tập 2:

Con lắc gồm một chất điểm khối lượng m được treo trên đầu dây có độ

dài thay đổi theo thời gian theo qui luật l = l (t) Xác định hàm Lagrange và

phương trình vi phân mô tả chuyển động của con lắc

+ Chuyển động dao động theo góc ϕ với vận tốc v=ϕ&.l

* Động năng T của con lắc bằng :

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ

Để tìm thế năng năng của con lắc ta xét trên một đoạn dịch chuyển dsr(hình dưới) Thế năng do trọng lực gây ra được xác định theo công thức:

Tích vô hướng vàchiếu lên các trục tọa độ ta được:

2

0sin 00sin 0

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 16

Lời giải: a, Khi chiếc nêm đứng yên

Chiếc nêm đứng yên hệ chỉ có 1 bậc tự do, gọi x là quảng đường đi của

vật P, ở đây tọa độ suy rộng của hệ cũng chính là q1 = x Hàm lagrange của hệ

Với điều kiện ban đầu của ban toán x t0 =x v0, 0 = =x&0 x nên ta có quảng

đường vật đi được trong thời gan t là :

( 1 2 ) 2

0

sin14

b, Khi chiếc nêm chuyển động :

Hệ sẽ có hai bậc tự do, gọi s là quảng đường đi cảu chiếc nêm, đồng thời

s cũng là tọa độ suy rông thứ hai q 2 = s Nên ta có

Vậy ta đa tính được quảng đường đi của vật trong hai trường hợp

Nhận xet: bài toán này chúng ta đã gặp trong cơ học Newton nhưng nếu

sử dụng hàm Lagrange thì ta dễ dàng thu được kết quả

Bài tập 4

Hai vật A, B có khối lượng mA, mB được nối với nhau bằng một sợi dâykhông giãn không khối lượng vắt qua ròng rọc E, khối lượng ròng rọc là mEbán kính r Các vật A, B, E buộc vào một đầu của lò xo độ cứng k ( như hình

Hệ có hai bậc tự do, cho tạo độ suy rộng là x, y là quảng đường đi của

các vật A, B và độ giãn của lò xo làm tọa độ suy rộng

Ta có hàm Lagrange là: L = T –U với T là động năng, U là thế năng của

Thay L vào các phương trình Lagrange ta có:

&& && && && &&

&& && && && &&

Bài 5: Cho hình trụ đồng chất có khối lượng P, có bán kính R lăn không

trượt trên mặt phẳng ngang 0x, thanh AB có độ dài l, trọng lượng P, được nốivới tâm trụ bằng ổ bi ( như hình vẽ ) Khi AB dao động quanh tâm A của hình trụ với các góc nhỏ ϕ thay đổi theo thời gian, trong mặt phẳng thẳng đứng cố

định xoy làm cho hình trụ lăn quanh vị trí cân bằng O bỏ qua các lực ma sat

Tìm góc ϕ và tọa độ biểu diễn theo t Ở thời điểm đầu t = 0, ϕ = ϕ0, xA = 0.

Lời gải:

Hệ có hai bậc tự do chọn x, ϕ làm các tọa độ suy rộng hàm Lagrange

L = T = U với động năng và thế năng là:

& & &

Ta biết rằng khi góc lệch ϕ là nhỏ thì sinϕ ≈ ϕ; sinϕ ϕ ϕ ϕ≈ ; &&x ≈0, khi đó thay vào các phương trình Lagrange :

kt k

l P p P

Nhóm SVTH: Tạ Minh Thanh GVHD: Trần Ngọc Bích 22