đa thức và các phép toán trên đa thức

Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một ngành khoa học mà hàng triệu con người đam mê và theo đuổi. Trong đó Đại số là một trong ba lĩnh vực lớn của Toán học. Mà trên đó, đa thức là một phần rất quan trọng của Đại số. Rất nhiều ứng dụng và các phép toán trên đa thức được xây dựng. Tiểu luận “Đa thức và các phép toán trên đa thức” đưa ra các bài tập về đa thức với nhiều cách giải theo phương pháp khác nhau. Các bài toán về đa thức trong tiểu luận này là tổng hợp các bài toán được chọn làm đề thi các năm trong kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc của Việt Nam và một số bài toán trong Olympic toán sinh viên Quốc tế (IMC). Nhằm mục đích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của chuyên ngành học. Tiểu luận với đề tài " Đa thức và các phép toán trên đa thức” phần nào tổng quan được các dạng toán về đa thức thường gặp trong các kỳ thi lớn. Được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Th.s Trần Mạnh Hùng cùng các tài liệu thầy cung cấp giúp tôi hoàn thành đề tài này. Mặc dù đã cố gắng nhưng do khả năng có hạn nên tiểu luận này không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để nội dung được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cám ơn! GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 1 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 2 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Phần A LÝ THUYẾT I. Khái niệm về đa thức 1. Định nghĩa: Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng: P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 , trong đó a i ∈ R và a n = 0. a i được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó a n được gọi là hệ số bậc cao nhất và a 0 được gọi là hệ số tự do. n được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là n = deg(P ). Ta quy ước bậc của đa thức hằng P (x) = a 0 với mọi x là bằng 0 nếu a 0 = 0 và bằng nếu a 0 = 0. Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức P (x) bậc n thì vẫn có các hệ số a k với k > n, nhưng chúng đều bằng 0. Tập hợp tất cả các đa thức một biến trên trường số thực được kí hiệu R[x]. Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỉ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỉ, đa thức với số nguyên và tương ứng là tập hợp Q[x], Z[x]. Đa thức với hệ số phức là tập hợp C[x]. 2. Đa thức bằng nhau: Hai đa thức P (x) =  m i=1 akx k ; Q(x) =  n k=o b k x k bằng nhau khi và chỉ khi m = n và a k = b k với mọi k = 0, n. II. Các phép toán trên đa thức. 1. Phép cộng, trừ đa thức. Cho hai đa thức P(x) =  m k=0 a k x k ; Q(x) =  n k=o b k x k , khi đó phép cộng và trừ của hai đa thức P (x) và Q(x) được thực hiện theo từng hệ số của x k , tức là P (x) ±Q(x) =  max{m,n} k=0 (a k ± b k )x k . Ví dụ: (x 3 + 3x 2 − x + 2) + (x 2 + x − 1) = x 3 + 4x 2 + 1. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 3 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức 2. Phép nhân đa thức. Cho hai đa thức P(x) =  m k=0 a k x k ; Q(x) =  n k=o b k x n . Khi đó P (x)+ Q(x) là một đa thức bậc m + n và có các hệ số được xác định bởi: C k = k  i=0 a i b k−i . Ví dụ: (x 3 + x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x + 1) = 1.1x 5 + (1.3 + 1.1)x 4 + (1.1 + 1.3 + 3.1)x 3 + (1.1 + 3.3 + 2.1)x 2 + (3.1 + 2.3)x + 2.1 = x 5 + 4x 4 + 7x 3 + 12x 2 + 9x + 1. 3. Bậc của tổng, hiệu, tích của các đa thức. Từ các định nghĩa trên đây, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây: Định lý 1: a. deg(P ±Q) ≤ max{m, n}, trong đó deg(P) = deg (Q) thì dấu bằng xảy ra. Trong trường hợp m = n thì deg(Q ± P) có thể nhân giá trị k nào đó với k ≤ m. b. deg(P.Q) = m + n. 4. Phép chia có dư. Định lý 2: Với hai đa thức P (x) và Q(x) bất kì trong đó deg(Q) ≥ 1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: i. P (x) = Q(x) − S(x) + R(x). ii. deg(R) < deg(Q). 5. Sự chia hết, Ước và Bội. Trong phép chia P (x) cho Q(x), nếu số dư R(x) đồng nhất bằng không thì ta nói rằng đa thức P (x) chia hết cho đa thức Q(x). Như vậy, P (x) chia hết cho Q(x) nếu tồn tại đa thức S(x) sao cho P (x) = Q(x).S(x). Trong trường hợp này ta cũng nói Q(x) chia hết P (x), Q(x) là ước của P(x) hoặc P(x) là bội của Q(x). Kí hiệu tương ứng là Q(x) | P(x) và P (x) . . .Q(x). Cho P (x) và Q(x) là các đa thức khác 0. Ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x) là đa thức D(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i. D(x) là đa thức đơn khởi, tức là các hệ số cao nhất bằng 1. ii. D(x) là ước chung của P (x) và Q(x), tức là D(x) | P (x) và D(x) | Q(x). iii. Nếu D  (x) cũng là ước chung của P (x) và Q(x) thì D(x) cũng là ước của D  (x). GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 4 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Tương tự ta có khái niệm bội chung nhỏ nhất của hai đa thức. Cho P (x) và Q(x) là các đa thức khác 0. Bội chung lớn nhất của P (x) và Q(x) là đa thức M(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: iv. M(x) là đa thức đơn khởi, tức là có hế số cao nhất bằng 1. v. M(x) là bội chung của P (x) và Q(x), tức là P (x) | M(x) và Q(x) | M(x). vi. Nếu M  (x) cũng là bội của chung của P (x) và Q(x) thì M  (x) cũng là bội của M(x). Kí hiệu UCLN và BCNN của hai đa thức P (x), Q(x) là GCD(P (x), Q(x)), LCM(P (x), Q(x)) hay đơn giản hơn là (P (x), Q(x)), [P (x), Q(x)]. Hai đa thức P (x) và Q(x) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (P (x), Q(x)) = 1. 6. Thuật toán Euclide. Để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức P (x), Q(x) ta sử dụng thuất toán Euclide sau đây: Định lý 3: Giả sử có hai đa thức P (x) và Q(x), trong đó deg(P ) ≥ deg(Q). Thực hiện phép chia P (x) cho Q(x) được thương là S(x) và dư số là R(x). Khi đó: Nếu R(x) = 0 thì (P (x), Q(x)) = q −1 Q(x), trong đó q(x) là hệ số cao nhất của đa thức Q(x). Nếu R(x) = 0 thì (P (x), Q(x)) = (Q(x), R(x)). 7. Tính chất chia hết. Nhắc lại hai đa thức P (x), Q(x) gọi là nguyên tố cùng nhau nếu [P (x), Q(x)] = 1. Ta có các định lý về các loại đa thức này như sau: Định lý 4 (Định lý Bezout): Hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại các đa thức U(x), V (x) sao cho P(x).U(x) + Q(x).U(x) = 1. Tính chất chia hết: i. Q | P , Q | R suy ra Q | P + R hay tổng quát Q | P.U + R.V với các U, V là các đa thức bất kì. ii. Q | P, Q | R suy ra Q | R (tính chất bắc cầu). iii. Q | P , Q | R suy ra suy ra tồn tại đa thức khác không a sao cho Q = aP , ta gọi Q và P là hai đa thức đồng dạng. iv. Nếu Q 1 | P 1 và Q 2 | P 2 thì Q 1 .Q 2 | P 1 .P 2 . GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 5 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức v. Nếu Q | P.R và (P, R) = 1 thì Q | R. vi. Nếu Q | P , R | P và (Q, R) = 1 thì Q.R | P . GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 6 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Phần B BÀI TẬP Bài 1: Cho đa thức với hệ số thực: P (x) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n . Có nghiệm thực phân biệt, chứng minh rằng: a k−1 .a k+1 < a 2 k , ∀k ∈ {1, 2, . . . , n −1}. Giải: Ta sẽ chứng minh [Q  (x)] 2 −Q(x).Q  (x) > 0, ∀x ∈ R (1). Nếu Q(x) ∈ R(x), deg Q(x) = m và Q(x) có m nghiệm thực phân biệt, khi đó: Q(x) = n  i=1 (x −α i ), a i = a j , (i = j). ⇒ Q  (x) Q(x) = m  i=1 1 x −α i ⇒ [Q  (x)] 2 − Q(x).Q  (x) Q 2 (x) = m  i=1 1 (x −α i ) 2 (2) • Nếu với t ∈ R mà Q(t) = 0 thì: [Q  (t)] 2 − Q(t).Q  (t) = [Q  (t)] 2 > 0 Do Q  (t) = 0 (vì t là một nghiệm đơn). • Nếu t ∈ R mà Q(t) = 0 thì (2) ⇒ (1). Bây giờ áp dụng chứng minh trên cho đa thức Q(x) = P k (x), k = 1, n − 1. Các đa thức đó đều có nghiệm thực đơn (theo định lý Role), suy ra: R(0) k−1 .P (0) k+1 < [P k (0)] 2 ⇔ (k − 1)!.a k−1 (k + 1)!.a k+1 < (a k .k!) 2 ⇔ a k−1 .a k+1 < (a k ) 2 . k k+1 < a 2 k Bài 2: Cho P(x) là một đa thức bậc n ≥ 1 với hệ số thực và có n nghiệm thực. Chứng minh: (n −1)[P  (x)] 2 ≥ n.P (x).P  (x), ∀x ∈ R. (1) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 7 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: • Với n = 1: khi đó P  (x) = 0 nên (n − 1)[P  (x)] 2 = nP (x)P  (x) = 0. Suy ra ta được điều phải chứng minh. • Với n > 1: Gọi x 1 , x 2 , . . . , x n là các nghiệm của đa thức P(x). Khi đó với x = x i , i = 1, n thì hiển nhiên (1) đúng, vì: [(n −1)P  (x)] 2 ≥ n.P (x).P  (x) = 0 Giả sử x = x i , ∀i = 1, n, khi đó: P  (x) P (x) = n  i=1 1 x −x i ; P  (x) P (x) = n  i=1 i=j 2 (x −x i )(x −x j ) Khi đó: (1) ⇔ (n − 1)  P  (x) P (x)  2 − nP  (x) P (x) ≥ 0 ⇔ (n−1)  n  i=1 1 x −x i  2 −n n  i=1 i=j 2 (x −x i )(x −x j ) ≥ 0 ⇔ (n−1)  n  i=1 1 (x −x i ) 2 + 2 n  1≤i<j≤n 1 (x −x i )(x −x j )  −n n  1≤i<j≤n 2 (x −x i )(x −x j ≥ 0 ⇔ n  i=1 n −1 (x −x i ) 2 +2(n−1)  n  1≤i<j≤n 1 (x −x i )(x −x j )  −n n  1≤i<j≤n 2 (x −x i )(x −x j ) ≥ 0 ⇔ n  i=1 n −1 (x −x i ) 2 − n  1≤i<j≤n 2 (x −x i )(x −x j ) ≥ 0 ⇔ n  1≤i<j≤n  1 x −x i − 1 x −x i  2 ( Hiển nhiên đúng) Vậy: (n −1)  P  (x) P (x)  2 − n P  (x) P (x) ≥ 0 ⇔ (n − 1)[P  (x)] 2 ≥ nP (x).P  (x) Điều phải chứng minh. Bài 3: Tìm tất cả các đa thức f(x) có bậc bằng 5, biết đa thức f(x) + 1 chia hết cho (x −1) 3 và đa thức f(x) − 1 chia hết cho (x + 1) 3 . GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 8 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: Gọi đa thức đã cho là: P (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f Theo bài ra ta có được: • f(x) + 1 = (x − 1) 3 h(x) ⇒ f  (x) = (x − 1) 2 .k(x) (đạo hàm hai vế). • f(x) −1 = (x + 1) 3 .T (x) ⇒ f  (x) = (x + 1) 2 .V (x). Vì x + 1 và x − 1 là nguyên tố cùng nhau, suy ra f  (x) = (x − 1) 2 .(x + 1) 2 (vì f(x) có bậc là 4). Nên dễ dàng có được: f  (x) = k.(x − 1) 2 .(x + 1) 2 ⇒ f(x) =  f  (x) =  k(x 2 − 1) 2 =  k(x 4 − 2x 2 + 1) = k x 5 5 − 2k x 3 3 + kx + C. Khi đó: f(x) −1 chia hết cho (x + 1) 3 ⇒ f (x) − 1 có nghiệm −1. Tương tự: f(x) = 1 có nghiệm bằng 1 nên ta có hệ:  k 1 5 + 2 3 k − 1k + c − 1 = 0 k 1 5 − 2 3 k + k + c + 1 = 0 ⇔  c = −3 5 k = −3 Vậy P (x) = −3 5 x 5 + 2x 3 − 3x + −3 5 . Bài 4: Cho P (x) là đa thức bậc n và cho m ∈ N ∗ , chứng minh rằng: a. Nếu P (x m ) chia hết cho (x − 1) thì nó chia hết cho x m − 1. b. Nếu P (x m ) chia hết cho (x − a) k thì nó chia hết cho (x m − a m ) k , a = 0. Giải: Ta sẽ chứng minh trường hợp tổng quát cho bài toán là chứng minh câu (b), sau đó với k = 1 ta được trường hợp (a). b. Giả sử: P (x) = a n (x −a m ) n + . . . + a 2 (x −a m ) 2 + a 1 (x −a m ) + a 0 . Khi đó: P (x m ) = a n (x m − a m ) + . . . + a 2 (x m − a m ) 2 + a 1 (x m − a m ) + a 0 . Ta sẽ chứng minh a 0 = a 1 = . . . = a k−1 = 0 bằng phương pháp phản chứng. Thật vậy, giả sử a i = 0, với 0 ≤ a i ≤ k −1. Dễ dàng thấy rằng P(x m ) không chia hết (x − a i+1 ), với i + 1 ≥ k. Suy ra P (x m ) không chia hết (x − a i−1 ) k (mâu thuẫn). Ta suy ra được điều phải chứng minh. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 9 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Bài 5: Chứng minh rằng nếu: f(x) = ax 2 + (b + c)x + d + e = 0 có nghiệm thuộc khoảng [1, ∞] thì phương trình ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + c nghiệm thực với a, b, c, d, e ∈ R. Giải: Gọi x 0 ∈ (1, +∞) là nghiệm của phương trình ax 2 + (b + c)x + d + e = 0. Tức là ax 2 0 + cx 0 + e = −(bx 0 + d). Khi đó: f( √ x 0 ) = (ax 2 0 + cx 0 + e) + √ x 0 (bx 0 + d) f(− √ x 0 ) = (ax 2 0 + cx 0 + e) − √ x 0 (bx 0 + d) ⇒ f(− √ x 0 ).f( √ x 0 ) = (ax 2 0 + cx 0 + c) 2 − x 0 (bx 0 + d) 2 = (ax 2 0 + cx 0 + c) 2 − x 0 (ax 2 0 + cx 0 + c) 2 = (1 − x 0 )(ax 2 0 + cx 0 + c) 2 ≤ 0 (vì x 0 ∈ [1, ∞]). Do đó: f(x 0 ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [− √ x 0 ; √ x 0 ]. Vậy phương trình: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 có nghiệm thực. Bài 6: Cho P (x) là đa thức với các hệ số thực bậc 2010 thỏa mãn P (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng tồn tại đa thức hệ số thực Q(x) và R(x) để P(x) = Q 2 (x) + R 2 (x). Giải: Đa thức P(x) có bậc 2010 bậc chẵn thỏa mãn P (x) ≥ 0, ∀x ∈ R nên các nghiệm thực của P (x) kể cả nghiệm bội phải là chẵn và hệ số của x 2010 là dương. Gọi x 1 , x 2 , . . . , x n là các nghiệm thực có một giá trị x i là bội 2m i . • Nếu  k i=1 2m i = 2010 thì P(x) không có nghiệm phức, khi đó: P (x) = a k  i=1 (x −x i ) 2m =  √ a. k  i−1 (x −x i ) m  2 + 0 2 Tức là P (x) = Q 2 (x) + R 2 (x), trong đó Q(x) = √ a   k i=1 (x −x i ) m  2 , R(x) = 0 2 • Nếu  k i=1 2m i ≤ 2010, đặt  k i=1 2m i = 2n. R(x) = 0 nên có 2010 − 2n = 2t nghiệm phức đôi liên hợp. Khi đó: P (x) = a k  i−1 (x −x i ) 2m . t  j=1 (x −z j )(x −z j ) Với z j = a + bi, (a, b ∈ R) suy ra (x −z j )(x −z j ) = (x − a) 2 + b 2 . Khi đó ta sẽ có: t  j=1 (x −z j )(x −z j ) = Q 2 1 (x) + R 2 1 (x) với Q 1 (x) = (x − a) 2 và R 1 (x) = b 2 . Nên: P (x) = a k  i=1 (x −x i ) 2m .Q 2 1 (x) + R 2 1 (x) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 10 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 [...]... 2 2 Thế vào hệ thức P 2 = (R − Q)(R + Q), ta thu được P1 = R1 − Q2 , với R1 , P1 là 1 các đa thức bậc hai, còn Q1 là đa thức bậc nhất Ta có: Q2 = (R1 − P1 )(R1 + P1 ) 1 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 13 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Vì Q2 là đa thức bậc hai và R1 + Q1 là đa thức bậc hai nên R1 − P1 là một 1 đa thức hằng... cùng chỉ còn đẳng thức a0 x2n = a2 x2n suy ra a0 = 1 nghĩa là P (x) = xn 0 Ngược lại thấy rằng mọi đa thức dạng P (x) = xn thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy tất cả các đa thức cần tìm có dạng P (x) = xn , n = 0, 1, 2, GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 12 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Bài 11: a Xác định các đa thức f (x) dạng:... a = −50 Vậy hai đa thức cần tìm là: P (x) = x3 + 8x2 + 5x − 50 và Q(x) = x2 + 3x − 10 Bài 18: Cho P (x) = xn + a1 xn−1 + + an−1 x + 1 là đa thức với hệ số không âm và có nghiệm thực Chứng minh P (2010) ≥ (2011)n GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 16 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: Vì các nghiệm đa thức P (x) là không... đa thức có dạng trên luôn thỏa mãn điều kiện bài toán Bài 21: Cho đa thức P (x) = (x−2009a)2n +(x−2011a)2n và Q(x) = (x−2009a)2 (x− 2011a)2 với n ∈ N, và a ∈ R∗ Xác định đa thức dư trong phép chia P (x) cho Q(x) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 18 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: Ta có thể viết lại P (x) = Q(x).T (x)... một trong các nghiệm của đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c, với a, b ∈ Z bằng tích của hai nghiệm kia Chứng minh rằng số 2f (−1) chia hết cho P (1) + P (−1) − 2(1 + P (0)) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 20 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của P (x) và theo giả thiết của bài toán và áp dụng... ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Suy ra P (x) có tính chất P (x2 + 1) = (P (x))2 + 1 sẽ trùng với P) (x) = xP1 (x) = x2 + 1, P , Pn+1 (x) = x2 + 1, Ngược lại bằng cách kiểm tra lại trực tiếp thì mọi đa thức trong dãy trên thỏa mãn điều kiện bài toán Bài 32: Hãy tìm số nguyên a sao cho đa thức x13 + x + 90 chia hết cho x2 − x + a Giải: Giả... Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Giải: Ta chứng minh bằng quy nạp khẳng định: Nếu n chẵn thì đa thức Pn (x) nhận giá trị dương với mọi x ∈ R, suy ra không có nghiệm thực Còn nếu n lẻ thì đa thức Pn (x) có đúng một nghiệm thực Với n = 0 ta có P0 (x) = 1 > 0, ∀x ∈ R Giả sử khẳng định đúng với mọi x ∈ R, do đó Pn (x) tăng và nhận giá trị 0 không nhiều hơn một lần Vì Pn (x) = 1 > 0 và lim Pn... Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Bài 29: Cho hai đa thức P (x) và Q(x) thỏa mãn: P (x) = x5 + x Q(x) = x5 + x2 Tìm tất cả các cặp số w, z sao cho P (w) = P (z), Q(w) = Q(z) Giải: Đặt: P (x, y) = Q(x, y) = P (x) − P (y) = x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 + 1 x−y Q(x) − Q(y) = x4 + x3 y + xy 2 + xy 2 + y 4 + x + y x−y Yêu cầu bài toán tương... 0 thỏa mãn bài toán Vậy P (x) = a, a ∈ R GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 14 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Bài 14: Cho đa thức với hệ số thực P (x) = xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , với n là một số chẵn Biết rằng P (x) có đúng n nghiệm dương k Chứng minh rằng: |an−k ak | ≥ Cn |a0 |, ∀k = 1, n Giải: Xét đa thức P (x) = xn... Vậy có ít nhất một nghiệm xk có modun (|xk | ≥ 1) (đpcm) GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 11 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp: ĐHSP Toán - Lý K50 Trường Đại học Quảng Bình Đề tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Bài 9: Cho đa thức P (x) = x5 − x + 2 có các nghiệm xi , i = 1, n Tính giá trị của biểu thức: n 8xi − 10 A= 2 (xi − 1)(xi − 2)2 i=1 Giải: Ta có: (x2 8x − 10 1 2 8x − 10 1 − + = = 2 2 − 1)(x − 2) (x − 1)(x . đó, đa thức là một phần rất quan trọng của Đại số. Rất nhiều ứng dụng và các phép toán trên đa thức được xây dựng. Tiểu luận Đa thức và các phép toán trên đa thức đưa ra các bài tập về đa thức. tài: Đa thức và các phép toán trên đa thức Tương tự ta có khái niệm bội chung nhỏ nhất của hai đa thức. Cho P (x) và Q(x) là các đa thức khác 0. Bội chung lớn nhất của P (x) và Q(x) là đa thức. nhau: Hai đa thức P (x) =  m i=1 akx k ; Q(x) =  n k=o b k x k bằng nhau khi và chỉ khi m = n và a k = b k với mọi k = 0, n. II. Các phép toán trên đa thức. 1. Phép cộng, trừ đa thức. Cho hai đa thức