Đang tải... (xem toàn văn)
ÔN THI HỌC SINH GIỎI PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC ; , ,M[.]
ÔN THI HỌC SINH GIỎI PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC ; M , N , P giao điểm AH , BH , CH với đường tròn ngoại tiếp giác ABC Tìm tọa độ 16 1 M ; , N ; , P ; 9 4 6 tam trực tâm H tam giác ABC biết Lời giải PNB PCB Ta có PCB BAM PNB BNM Suy BN đường phân giác góc PNM BAM BNM Tương tự ta có PC, AM phân giác góc MPN , PMN 65 65 Ta có MN ; 72 36 16 65 65 Phương trình đường thẳng MN qua M ; nhận MN ; làm vtcp, là: 9 72 36 2x y Tương tự ta có phương trình đường thẳng MP : 3x y , đường thẳng NP : x y Từ ta có phương trình đường phân giác ngồi góc MPN : 6 x 18 y 3x y 4x y 1 45 20 18 x y Do M , N nằm khác phía đường phân giác nên suy phương trình đường thẳng PC : x 18 y 1 Tương tự phương trình đường thẳng NB :8x 7 25 Lại có H NB PC H ; 72 Câu 2: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J 2;1 Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình: x y 10 D 2; 4 giao điểm thứ hai AJ với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình x y Lời giải AJ qua J 2;1 D 2; 4 nên AJ có phương trình : x Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ : x x A 2;6 2 x y 10 y Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có DB DC DB DC EA EC DBJ 1 sd EC sd DC sd EA sd DB DJB DBJ cân D 2 DB DC DJ hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy B, C nằm đường trịn tâm D 2; 4 bán kính JD 52 có phương trình x 2 y 4 2 25 Khi tọa độ B hệ nghiệm: 2 B 3; 4 x y 25 x 3 x y 4 y 9 B 2; 9 x y Do B có hồnh độ âm nên B 3; 4 BC qua B 3; 4 vng góc AH nên có phương trình: x y 2 x y 25 C 5;0 Khi C nghiệm hệ: x y Vậy A 2;6 , B 3; 4 , C 5;0 Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường cao AD , phân giác CE ABC biết A 4; 1 , B 1;5 , C 4; 7 Cho B 0;1 , C 3; Đường phân giác góc BAC BC cắt Oy M 0; 3 10 chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ 11 diện tích phần chứa điểm C ) Gọi A a ; b a Tính T a2 b2 Lời giải Ta có: AB 3;6 , BC 5; 10 , AC 8; AB , BC 5 , AC Ta có: BC 5; 10 5v với v 1; Đường cao AD qua A 4; 1 nhận v 1; làm vectơ pháp tuyến Phương trình AD :1 x y 1 x y Gọi E x ; y chân đường phân giác góc ACB , ta có: EA CA EB CB EA EB , với EA x ; y , EB 1 x ;5 y 4 x 1 x x 8 5 E ; 3 3 1 y y y 5 8 5 Đường thẳng CE qua C 4; E ; có phương trình x y 3 3 Ta có: Gọi D x ; y chân đường phân giác góc BAC d A, BC DB S ABD 10 Ta có: SADC d A, BC DC 11 DB 10 10 DB DC với DB x ;1 y , DC x ; y DC 11 11 10 10 x x 11 x 10 11 D ; 21 1 y 10 y y 11 11 21 7 10 11 Đường thẳng AD qua D ; M 0; có phương trình x y 3 21 7 7 Có A AD A a ; 2a BA a ; 2a 1 , CA a ; 2a 3 3 a 2a 1 2 DB AB AB 10 100 Mà 2 DC AC AC 11 121 a 2a 3 10 a l 11 105a 80a 100 b a 125 Vậy T a b Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân A Đường thẳng AB có phương trình x y , đường thẳng AC có phương trình x y Biết điểm M (1;10) thuộc cạnh BC , tìm tọa độ đỉnh A, B, C x y x Toạ độ điểm A nghiệm hệ phương trình Suy A(2;1) x y y Phương trình đường phân giác góc A x y (d1 ) x y 3 x 7y ↔ 3 x y ( d ) Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A đường cao Trường hợp 1: Xét d1 đường cao tam giác ABC kẻ từ A + Phương trình đường thẳng BC qua M vng góc với BC 3x y x y x 1 + Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình B(1; 4) 3x y y 11 x x y 11 C ; + Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình 5 3 x y y 16 48 + Tính MB (2; 6), MC ; MC MB M nằm đoạn BC Trường hợp không thỏa mãn Trường hợp 2: Xét d đường cao tam giác ABC kẻ từ A + Phương trình đường thẳng BC x y 31 x y x 11 B(11;14) + Toạ độ điểm B nghiệm hệ phương trình x y 31 y 14 101 x x y 101 18 C ; + Toạ độ điểm C nghiệm hệ phương trình 18 5 x y 31 y 96 32 + Tính MB (12; 4), MC ; MC MB M thuộc đoạn BC 101 18 Vậy A(2;1), B( 11;14), C ; 5 Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với A 2;1 , B 1; 2 , trọng tâm G tam giác 27 nằm đường thẳng x y – Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC Lời giải 1 Gọi M trung điểm AB , ta có : M ; Gọi C a; b , 2 a b 1 a b 1 suy G ; a b 0, (1) , d 3 mặt khác AB : 3x y d (C; AB) Diện tích S 3a b 10 , 3a b 27 27 AB.d (C; AB) 10 3a b 27, (2) 2 2 10 Từ (1) (2) ta có hệ: a C 9; 5 a b b 5 3a b 32 9 a a b C 9 ; 17 17 2 3a b 22 b Câu 6: Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có GA.GB GB.GC GC.GA ( AB BC CA2 ) Lời giải Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA.GB GA.GB.cos(GA, GB ) GAGB cos AGB GA.GB GA2 GB AB 2GA.GB GA2 GB AB 2 4ma2 4mb2 AB AC AB BC BC BA2 AC AB 9 9 AC BC AB AB 4 (1) Tương tự ta có: BA2 CA2 BC BC 4 GB.GC (2) CB AB AC AC 4 GC.GA (3) Từ (1), (2) (3), ta có: AC BC BA2 CA2 2 AB AB BC BC 4 4 GA.GB GB.GC GC.GA 2 2 CB AB AC AC 4 AB 3BC AC 2 ( AB BC CA ) 2 2 AB2 BA2 CA2 ( AB2 BA2 CA2 ) AB2 BC CA2 1 AB BC CA2 Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có tâm I Trung điểm cạnh AB M (0;3) , trung điểm đoạn CI J (1;0) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng : x y Lời giải A M E H B I J D K C + Gọi cạnh hình vuông a + Qua J kẻ đường thẳng song song với cạnh BC hình vng ABCD , đường thẳng cắt cạnh AB , CD hình vng ABCD H K a MH JK + Ta có, JC AC nên a JH DK + 2 a 3a 5a JM MH HJ 4 , 2 a 3a 5a JD JK DK 4 , 5a a MD MA2 AD2 a2 2 + Có MD2 JM JD2 nên tam giác JMD vuông J , hay JM JD + Đường thẳng JD qua J 1; nhận MJ 1; 3 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình tổng qt: x y x y 1 + Có D DJ nên tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình Giải hệ x y 1 phương trình ta D 2; 1 + Có MD a nên a + Gọi E trung điểm MD Ta có E 1;1 + Gọi A x ; y Có A J khác phía với MD 2 2 MA AB x y 3 x y y Ta có 2 2 EA MD x y 2x y x 1 y 1 (1) (2) Lấy (1) (2) theo vế ta 2 x y x y 2 Thay x y vào phương trình (1) ta y y y y 22 y 21 y y + Với y , ta có x 2 A 2;3 (thỏa mãn) + Với y 6 7 , ta có x A ; (loại A J phía với MD ) 5 5 + Có M trung điểm AB nên tọa độ điểm B B 2;3 + Gọi C xC ; yC Có DC xC 2; yC 1 , AB 4;0 xC xC C 2; 1 Có DC AB nên yC yC 1 Vậy A 2;3 , B 2;3 , C 2; 1 , D 2; 1 Cách 2: Theo đáp án tỉnh Bắc Ninh: Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD 2 a a 5a Ta có AC a JD DI IJ 2 2 3a a 3a a 5a JM JA AM JA AM cos 45 4 2 2 DM AM AD 5a DM DJ JM DMJ vng J Do JM vng góc với JD (1) D thuộc nên D(t ; t 1) JD (t 1; t 1), JM (1;3) Theo (1) JD.JM t 3t t 2 D(2; 1) Dễ thấy DM a a2 a 4 x 2; y x ( y 3)2 AM Gọi A( x; y) Vì 2 x ;y ( x 2) ( y 1) 16 AD 5 Với A(2;3) (thỏa mãn)(vì A, J phía so với DM ) B(2;3) I (0;1) C(2; 1) J (1;0) 6 7 Với A ; (loại) (vì A, J phía so với DM ) 5 5 Vậy tọa độ đỉnh hình vng A(2;3), B(2;3), C(2; 1), D(2; 1) Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G , đỉnh A 3; , B 1; , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x y iết iện tích tam giác GAB ằng đơn v độ đỉnh C iện tích, tìm tọa Lời giải Ta có: BA 2; , AB 2 Phuơng trình đuờng thẳng AB : x 1 y x y 1 1 C d : x y C 1 2t ; t Khoảng cách từ C đến AB : d C; AB 3t Gọi G trọng tâm tam giác ABC SGAB nên S ABC 3SGAB Do t C 7;3 d C; AB AB t 3 C 5; 3 Vậy C 7;3 , C 5; 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD , M 1; trung điểm cạnh BC , N điểm thuộc cạnh CD cho CN ND , đường thẳng AN có phương trình x y Tìm tọa độ điểm A biết A có hồnh độ ương Lời giải + Ta có: tan NAD ND MB , tan MAB AD AB tan NAD MAB tan NAD tan MAB tan NAD.tan MAB NAD MAB 45 NAM 45 + Đường thẳng AM qua M 1; nên có dạng: a x 1 by a b cos AM , AN a cos 45 a b a b ab a b b a b Với a AM : y Mà A AM AN nên A 2; (loại) Với b AM : x Mà A AM AN nên A 1;3 (nhận) + Vậy A 1;3 Cách + Ta có: tan NAD ND MB , tan MAB AD AB tan NAD MAB d M , AN tan NAD tan MAB tan NAD.tan MAB NAD MAB 45 NAM 45 MA A AN A x ; x AM x 1 x 2 x MA A 1;3 (vì xA ) x 2 Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường trịn tâm I có phương trình x 1 y 1 , tam giác 2 ABC nội tiếp đường tròn đường phân giác góc A có phương trình x y 1 Biết hai điểm A I cách đường thẳng BC điểm A có hồnh độ ương Tính iện tích tam giác ABC Lời giải 2MA MB đạt giá tr nhỏ (5t 2t 1) đạt giá tr nhỏ 1 t M ( ; ) 5 Bài 44 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết 17 D 2;1 , E 3; , F ; 5 Phương trình DE, DF DE : 3x y 0; DF : 3x y 3x y 3x y x 0; y PT phân giác đỉnh D 10 10 Kiểm tra v trí tương đối E, F với hai đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x Tương tự phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x y E A B' C' F H A' C B D Mặt khác H giao d d’ nên H 2;3 5 7 Ta có AC trung trực HE nên AC qua trung điểm B ' ; có vtpt 2 2 HE 1;1 AC : x y Bài 45 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật A CD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật 21 x x 2y 21 13 B( ; ) Do B giao AB BD nên toạ độ B nghiệm 5 x 7y 14 y 13 Do ABCD hình chữ nhật nên góc AC AB góc AB BD Giả sử n AC (a; b), (a b 0) VTPT AC Khi cos(n AB , n BD ) cos(n AC , n AB ) a 2b a b a b 7a 8ab b a b 2 + Với a = -b Chọn a = 1, b = -1 Phương trình AC: x – y – = x y 1 x A(3; 2) A AB AC nên toạ độ A nghiệm hệ: x 2y y x x y I( ; ) Gọi I giao AC BD toạ độ I nghiệm hệ: 2 x 7y 14 y 14 12 ; ) 5 Do I trung điểm AC D nên tính C(4;3); D( + Với b = - 7a ( Loại AC khơng cắt BD) Bài 46 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vng ABCD (A = D = 900) có AB BC AD Biết C (4; 2) đường thẳng AD có phương trình 3x y 15 Tìm tọa độ điểm A Ta có CD d (C; AD) Gọi E hình chiếu B CD Theo giả thiết A B D 15a AB BC a , BE AD E EC a 15a 16 a 5a4 A 3x y A(1 4t;2 3t ) ; CD: x y 10 4(1 4t ) 3(2 3t ) 10 t Do d ( A; CD) AD a C Do AB < = DC nên E thuộc đoạn CD CD = nên DE EC a d ( A; CD) 15 a 15 nên t 15 t 15 t 15 A 15;2 15 ; t 15 A 15;2 15 Bài 47 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có hai đỉnh A, B thuộc đường trịn tâm I(-2,-1), bán kính ằng iết đường thẳng qua hai đỉnh A, B có hệ số góc ương qua điểm M(0, 5), cạnh AC có độ ài ằng , iện tích tam giác ABC ằng tung độ A ương Tìm toạ độ đỉnh A, A E H B K D M C Gọi M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm BC AD, E giao điểm BH AC Ta kí hiệu nd , ud vtpt, vtcp đường thẳng d tọa độ x x y 7 1 M ; M nghiệm hệ 2 2 3x y y AD vuông góc với BC nên nAD uBC 1;1 , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1 x 1 y x y Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm 3x y x A 1;1 x y y 1 A x y x K 3; 1 x y y 1 Tọa độ điểm K: Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK KCE , mà KCE BDA (nội tiếp chắn cung AB ) Suy BHK BDK , K trung điểm HD nên H 2; B t; t C t ;3 t Do B BC , kết hợp với M trung điểm BC suy HB(t 2; t 8); AC (6 t ; t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên t HB AC t t t t t 14 2t t Do t t B 2; 2 , C 5;1 Ta có AB 1; 3 , AC 4;0 nAB 3;1 , nAC 0;1 Suy AB : 3x y 0; AC : y 1 Bài 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác A C có C(1; 0) H chân đường cao kẻ từ A ( H thuộc cạnh C), M trung điểm BC, có góc BAH góc MAC, đường thẳng A có phương trình: x – y + = Tìm tọa độ đỉnh A Gọi N trung điểm AB MN / / AC Suy góc AMN= góc CAM= góc BAH= góc AHN Suy tứ giác ANHM nội tiếp góc ANM= góc AHM= 900 tam giác ABC vuông A A AB x y x 1 A 1; CA AB x y y Gọi A(x; y) có Bài 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C) : x2 ( y 1)2 , (C ') : ( x 4)2 ( y 5)2 Cho AB đường kính thay đổi đường trịn (C ') M điểm i động đường tròn (C) Tìm tọa độ điểm M, A, B cho diện tích tam giác MAB lớn Đường trịn (C) có tâm I (0;1) có bán kính R Đường trịn (C’) có tâm I '(4;5) có bán kính R ' 2 Ta có II ' R Do I’ nằm ngồi đường trịn (C) 2 Gọi H hình chiếu M đường thẳng AB Ta có SMAB MH AB MH R ' 2.MH Mặt khác ta có MH MI ' MI II ' Do SMAB 2.MH 2.5 10 Dấu xảy H I ' M giao điểm đường thẳng II’ với (C) I thuộc đoạn thẳng I’M Như AB đường kính (C’) vng góc với II’ x t M (t ;1 t ) y 1 t Phương trình đường thẳng II’ Thay M (C ) ta t 1 Suy M (1;2) M (1;0) Ta có I ' M II ' M (1;0) Phương trình đường thẳng AB x y Suy tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ x y y x y x x 2; y 2 2 ( x 4) ( y 5) ( x 4) (9 x 5) ( x 4) x 6; y Vậy A(2;7), B(6;3), M (1;0) A(6;3), B(2;7), M (1;0) Bài 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 y x y 23 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(7 ; 3) cắt (C) hai điểm B, C cho AB = 3AC (C) có tâm I (1 ;-1), bán kính R = AI 52 A nằm (C) Gọi H trung điểm IH BC C Khi HB HC AC IH IB HB Từ vuông IHB IHA ta có IB2 HB2 IA2 HA2 2 IH IA HA AI R AC HB 3, IH R2 AC IA2 AC AC Đt qua A(7 ;3) có VTPT n (a ; b), a2 b2 có pt a( x 7) b( y 3) d ( I , ) 3a 2b a b 9a 12ab 4b 4(a b ) 5a 12ab a 0, a Với a = 0, chọn Với a 12 b = ta : y 12 b , chọn = ta a = -12 Pt : 12 x y 69 I A C H B AI 52 A nằm (C) Vậy AB AC AB AC xB 3(a 7) Giả sử C (a; b) B(3a 14;3b 6) y 3( b 3) B a b 2a 2b 23 B C thuộc (C) nên 2 (3a 14) (3b 6) 2(3a 14) 2(3b 6) 23 Giải hệ tìm B C, từ suy pt C Bài 51 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Gọi A ', B ', C ' điểm cho ABA ' C, BCB ' A, CAC ' B hình bình hành Biết H1 (0; 2), H (2; 1), H3 (0;1) trực tâm tam giác BCA ', ACB ', ABC ' Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Ta có A A’C hình ình hành nên AC // A’ A // CA’ H1 trực tâm tam giác CA’ suy CH1 A’ H1 CA’ suy CH1 AC BH1 AB Suy ABH1C nội tiếp đường trịn đường kính AH1 Gọi (I) đường trịn ngoại tiếp A C A đối xứng với H1 qua tâm I Tương tự H2 B, H3 C đối xứng qua I (I) đường tròn ngoại tiếp H1H2H3 G/S (I) có phương trình x y 2ax 2by c (I) qua H1 (0; 2), H (2; 1), H3 (0;1) 4 2b c nên ta có hệ 5 4a 2b c 1 2b c 1 1 1 Giải hệ ta a ; b ; c 2 I ; 2 2 2 A đối xứng với H1 qua I nên A(1;1) Tương tự B(1;0), C(1; 2) 10 AC Gọi hình chiếu vng góc điểm D đường thẳng AB, BC M (2; 1) N (2; 1) Tìm tọa độ điểm A C biết AC có phương trình x y Bài 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có BD Gọi I trung điểm BD IM IN BD Suy I giao điểm AC trung trực đoạn MN Mà trung trực đoạn MN trục Oy nên I(0; 0) Trong tam giác vng BMD có Ta có IA IC IM 10 BD BD AC AC 5 2 A C thuộc I ; 2 2 25 2 Phương trình I ; Vậy tọa độ A C thỏa mãn hệ x y x y 25 x y x , y 1 7 1 2 nên A ; , C ; 2 2 2 x , y 2 Bài 53 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABM, D(7; 2) điểm nằm đoạn MC cho GA GD Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh A có hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AG 3x y 13 Gọi N trung điểm A MN đường trung trực A Do GB GA( GD) nên G tâm đường trịn ngoại tiếp ABD Mà góc ABD 450 AGD 900 Tức AGD vuông cân G AG GD d ( D; AG ) 10 AD AG 20 A AG A(a;3a 13) AD (a 7) (3a 13 2) 20 10a2 80a 150 a (loại) a = (TM) A(3; 4) 1 1 AN Ta có NG NM AC AB AN cos BAG 6 AG 10 Giả sử AB có vtpt n ( A; B) , AG có vtpt n ' (3; 1) cos BAG 3A B A2 B 10 B AB 8B 10 3 A 4 B Với B = ta chọn A = phương trình A x Với A 4B ta chọn B = -3 A = AB : x y 24 (Loại) Vậy phương trình A x Bài 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn C : x y2 13; C' : x y2 12x 11 Gọi A giao điểm hai đường trịn, A có qua A cắt C , C' theo hai dây cung có tung độ ương Hãy viết phương trình đường thẳng độ dài C có tâm O(0;0) bán kính R 13 ; (C’) có tâm I(6;0) án kính R’=5 Giao hai đường tròn A(2;3) Gỉa sử đường thẳng d : a x b y 3 a b ax by 2a 3b d: a(x-2)+b(y-3)=0 Gọi d1 d O;d , d d I;d Theo ta suy R d12 R '2 d 22 d12 d 22 12 6a 2a 3b 2 2a 3b 2 a b a b 2 b 12 b 3ab b 3a +Với b=0 chọn a=1 suy d: x-2=0 +Với b=-3a chọn a=1 b=-3 suy pt d: x-3y+7=0 Bài 55 Cho tam giác A C có (5;2), phương trình đường trung trực AC, đường trung tuyến AA’ d : x y d': 2x-y+3=0 Hãy viết phương trình đường trung tuyến CC’ tam giác ABC d B D A' d' A I C + pt đường thẳng qua vng góc với d BD: x-y-3=0 gọi D giao điểm BD với ’ suy D’(-6;-9) A DC h h x a 2x b I ; Khi Gọi A(x;2x+3) thuộc ’ ; C(a; ) Gọi I trung điểm AC suy ta có BA DC I d x a x 2x b a 8 A 3;9 ,C 8; 2 x a 2x b b 2 6 Gọi C’ trung điểm A suy c’(4;11/2)….pt CC’ là: 5x-8y-24=0 Bài 56 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, cho hình thoi A CD, phương trình đường thẳng AC x 7y 31 ; hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d : x y d':x-2y+3=0 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 50 đỉnh A có hồnh độ âm B I A C D Ta có B d B b;8 b ; D d' D 2d 3;d BD b 2d 3;b d b 2d b d trung điểm BD I ; 2 u AC BD BD AC 8b 13d 13 b 9 B 0;8 , D 1;1 ; I ; 2 I AC 6b 9d d I AC A AC A 7a 31;a SABCD 2S AC.BD AC ABCD 10 AI 2 BD 11 15 11 a A ; 63 9 9 2 AI2 50 7a a 50 a 2 2 2 a loai 2 2 13 C ; 2 Vậy Bài 57 Cho d1: x- 2y = 0, d2: 3x – y + = Viết phương trình đường trịn cắt d1 theo dây cung AB = tiếp xúc với d2 B Toạ độ điểm B nghiệm hệ x x y B(2 / 5; 1/ 5) 3x y y Vì cos(d1;d2) = A H B I nên (d1;d2) = 450 suy tam giácHBI vuông cân H suy IH = 3, IB = R =3 Vì IB vng góc d2 nên IB có pt: x + 3y + = Giả sử I(x0;y0) thuộc IB nên I(-3y0-1;y0) 1 2 y0 x0 5 Ta có d(I;(d1))= IH = nên 1 2 y0 x0 5 phương trình đường trịn cần tìm là: (x 2 1 2 1 ) (y ) 18 (x ) (y ) 18 5 5 Bài 58 a) Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến ằng 600 b) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x y d2 : 5x y 17 Đường thẳng d qua giao điểm d1 d cắt hai tia Ox, Oy A AB nhỏ S2OAB (C) có tâm I(3;0) bán kính R = 2; M Oy M(0;m) B Viết phương trình đường thẳng d cho a) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) AMB 600 (1) Vậy AMB 1200 (2) Vì MI phân giác AMB (1) AMI = 300 MI IA MI = 2R m m sin 30 (2) AMI = 600 MI IA MI = R m2 Vô nghiệm sin 60 Vậy có hai điểm M1(0; ) M2(0;- ) b) Gọi I giao điểm hai đường thẳng d1 d I (3 ; 1) x y Vì I d a b a b Giả sử A( a ; 0) B(0 ; b) với a, b d : AB OA2 OB 1 4 Ta có 2 2 SOAB OA OB OA OB a b 1 1 3 1 Áp dụng Bunhiacơpski ta có (3 ) a b 10 a b a b 10 3 a AB a b b 10 Min SOAB 3a b 2 Khi đường thẳng có phương trình 3x y 10 Bài 59 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 13 M 1; 5 , N ; , P ; (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác ABC) Tìm tọa độ 2 2 2 đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q 1; 1 điểm A có hồnh độ ương A N P K I C B M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn qua điểm M, N, P nên ta lập phương trình là: x2 y 3x 29 suy tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ K ; Do AB KP nên AB có vtpt nAB KP 2; 1 AB : x 1 1 y 1 x y 2 x y y 2x x 1, y 2 x 4, y 5 x y 3x 29 x 3x Do tọa độ A, B nghiệm Suy A 1;5 , B 4; 5 Do AC KN nên AC có vtpt nAC KN 2;1 Suy pt AC : x 1 y x y 2 x y y 2 x x 1, y x 4, y 1 x y 3x 29 x x Khi tọa độ A, C nghiệm 2 Từ suy C 4; 1 Vậy A 1;5 , B 4; 5 , C 4; 1 Bài 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi) Gọi A B điểm i động trục hoành trục tung cho đường thẳng AB tiếp xúc với đường trịn Hãy xác đ nh tọa độ điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A a;0 , B 0; b với a 0, b (*) Suy SOAB ab a b2 1 Mà (**) 2 a 2b2 R (a b2 ) R ab a b R R ab SOAB ab R không đổi (dấu xảy a = b) Kết hợp với (*) (**): dấu xảy a b R Kết luận: A R 2;0 ; B 0; R (4 cặp điểm) Bài 61 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết 17 D 2;1 , E 3; , F ; 5 Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên FDA FCA ABE ADE H nằm đường phân giác hạ từ D tam giác DEF, tương tự ta H nằm đường phân giác hạ từ đỉnh E tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Ta lập phương trình đường thẳng DE, DF DE : 3x y 0; DF : 3x y Do phương trình phân giác ngồi đỉnh 3x y 3x y x 0; y Kiểm tra v trí tương đối E, F với hai D 10 10 đường ta phân giác kẻ từ đỉnh D d : x Tương tự ta lập phương trình phân giác kẻ từ đỉnh E d ' : x y Mặt khác H giao d d’ nên H 2;3 5 7 Ta có AC trung trực HE nên AC qua trung điểm B ' ; có vtpt 2 2 HE 1;1 AC : x y E A B' C' F H A' C B D Bài 62 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I (2;4) đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm I cho (C ) cắt d1 A, B cắt d C, D thỏa mãn AB2 CD2 16 AB.CD Gọi hình chiếu I d1 , d E, F IE d( I ;d ) Gọi R bán kính (C) cần tìm ( R 4 ; IF d ( I ;d2 ) 5 36 ) AB AE R ; CD 2CF R 5 36 36 R2 Theo giả thiết ta có: R R 16 20 R 5 5 8R 16 (5 R 4)(5 R 36) R (5 R 4)(5 R 36) (2R2 4)2 (5R2 4)(5R2 36) (do R 6 ) R 2 ( R ) 5 Vậy phương trình đường trịn (C) cần tìm (C) : ( x 2)2 ( y 4)2 Bài 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) đường thẳng d: 4x – 3y – 23 = Hai điểm B C di chuyển d cho đoạn BC ln có độ dài Tìm B C cho chu vi tam giác ABC nhỏ d' D' d A(1;2) B D C H A' Gọi d’ đường thẳng qua A // d => d’ có pt: 4x – 3y + = Gọi D(x ; y) d’ cho AD = 4 Ta có: D( x; x ) AD ( x 1; x ); AD D 4;6 ; D’ –2;–2 3 3 Ta có chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA = AB + BC + => chu vi tam giác ABC nhỏ AB + AC nhỏ Xét tứ giác ABCD Dễ có ABCD hình bình hành => AB + AC = AC + CD Gọi A’ đối xứng với A qua d => AC = A’C => AC + CD = A’C + CD => AB + AC nhỏ A’C + CD nhỏ nhất, hay điểm A’, C, D thẳng hàng Do A’ đối xứng với A qua d nên tìm AA’: 3x + 4y – 11 = ta có H AA ' d H (5; 1) A’ 9;–4 => A’D: 2x + y – 14 = ta có C d A ' D C( 13 ;1) Do BC AD B( ; 3) Dễ thấy A’, C, D thẳng hàng A’, , D’ thẳng hàng nên hai điểm cần tìm là: 13 ( ; 3) ( ;1) 2 Bài 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y , hai điểm A 0;1 B 0; 1 Đường thẳng y m 1 m 1;m cắt (C) T S Đường thẳng qua A, T cắt B, S P Tìm tập hợp điểm P m thay đổi Gọi S(x0; y0) T(-x0; y0) Phương trình đường thẳng AT: x y 1 x y x Phương trình đường thẳng BS: x y 1 x y x Vì P AT BS nên tọa độ P nghiệm hệ phương trình: x x y0 1 x y x x y0 1 x y x y x x y ( Vì 1 m 1;m nên y 0, 1 ) 1 y y y0 x0 y0 Ta có x02 y02 x y x y Vậy tập hợp điểm P đường có phương trình x y trừ hai điểm A B Bài 65 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;1); Tìm D tia Ox, E tia Oy cho tam giác ADE vng A có diện tích lớn Giải Gọi D( x;0), E(0 : y) víi x, y ADE vuông A AD.AE x y SADE AD AE ( x 2)2 ( y 1)2 x, y x2 4x 2 x y x, y 5 Xét hàm số f ( x ) x x với x 0; x f(x) Suy max SADE x hay D(0;0) & E(0;5) Bài 66 Cho tam giác A C có đường cao CH, HA Các điểm I, K trung điểm đoạn AB CH Một đường thẳng i động song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cạnh BC N Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng b) + Chọn hệ trục tọa độ hình ên viết tọa độ H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c) ab c ;0 , K 0; 2 + Suy tọa độ điểm I + Viết phương trình ( ):y = m, 0< m