Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chương trình giải tích THPT là chủ đề hoàn toàn mới trong đó xuất hiện rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới. Vì vậy việc dạy và học chủ đề này đương nhiên sẽ chứa đựng những khó khăn nhất định. Hơn nữa, người GV tốt nghiệp ĐHSP khi đã từng được học Xác suất thống kê, nhưng có thể nhiều năm sau tốt nghiệp không dùng đến, bởi vậy trong họ chỉ giữ lại một vài ấn tượng mơ hồ về Xác suấtthống kê. Trong khi đó những chủ đề khác, chẳng hạn như hàm số, phương trình, bất phương trình, giới hạn,... không rơi vào trường hợp như vậy. Về Lí thuyết Xác suất, sẽ được đưa vào dạy trên toàn Quốc vào năm học 20072008 trong chương trình Toán lớp 11. Nó cũng đã từng được dạy thí điểm vào một số năm của thập niên 90 cho học sinh chuyên ban lớp 12 và chương trình thí điểm phân ban hiện tại (Trong khi đó, ở nhiều nước trên thế giới, Xác suất đã được dạy từ cấp THCS). Trong các kì thi mang tính chất quyết định thì cho đến thời điểm hiện tại cũng chưa có những bài toán về Xác suất. Ít ra thì phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này trong một chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
TỔ HỢP- XÁC SUẤT- NHỊ THỨC NIUTON ÔN THI HỌC SINH GIỎI PHẦN 1: TÓM TẮC LÝ THUYẾT CƠ BẢN A TỔ HỢP I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai ph ương án A ho ặc B N ếu ph ương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai cơng đoạn A B N ếu cơng đo ạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực II Hốn vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = !n n! p! = …n n! (n p)! = …n Hoán vị : Một tập hợp gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a 1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak theo thứ tự gọi hốn vị lặp c ấp n ki ểu c k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu k phần tử là: n! n !n ! nk ! Pn = Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử c t ập A thành m ột dãy kín đ ược g ọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = ! III Chỉnh hợp Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! Công thức cho trường hợp k = k = n Khi k = n Chỉnh hợp lặp: Ann = Pn = n! Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, m ỗi ph ần t có th ể đ ược l ặp l ại nhiều lần, xếp theo thứ tự định g ọi m ột ch ỉnh h ợp l ặp ch ập k c n phần tử tập A Ank nk Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: IV Tổ hợp Tổ hợp : Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử n! Cnk k!(n k)! Số tổ hợp chập k n phần tử: Qui ước: Tính chất: Cn0 =1 Cn0 Cnn 1;Cnk Cnnk;Cnk Cnk11 Cnk1;Cnk Tổ hợp lặp: n k k1 Cn k a ; a ; ; an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử h ợp Cho tập A = gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Cnk Cnk k1 Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: Ak k!Cnk Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ cơng thức: n Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử : + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: + Có thứ tự, khơng hồn lại: Cnk Ank Ank + Có thứ tự, có hồn lại: V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: (a b)n n Cnkankbk k0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n C kankbk 3) Số hạng tổng quát có dạng: Tk+1 = n 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk C Cnn Cnk1 Cnk Cnk1 5) n , * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b nh ững giá tr ị đ ặc bi ệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: n = Cn0xn Cn1xn1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n n = Cn0xn Cn1xn1 (1)nCnn Cn0 Cn1 (1)nCnn B XÁC SUẤT I Biến cố xác suất Biến cố Không gian mẫu : tập kết xảy phép thử Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A Biến cố không: Biến cố chắn: Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B Hai biến cố xung khắc: A B = Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n(A) Xác suất biến cố: P = n( ) P 1; P = 1; P = Qui tắc cộng: Nếu A B = P = P + P Mở rộng: A, B bất kì: P = P + P – P P( A ) = – P Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P = P P PHẦN 2: CÁC DẠNG TỐN DẠNG 1: LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CHIA HẾT Câu 1: Từ chữ số , , , lập số tự nhiên có sáu chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tạo thành nói trên, Chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để số Chọn chia hết cho ? Lời giải a, b, c, d , e, f 1,3,4,8 Gọi số cần tìm abcdef với C3 Sắp xếp chữ số vào vị trí, có cách Sắp xếp chữ số ; ; vào vị trí cịn lại có 3! Cách Vậy có tất C6 3! 120 số Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho C3 Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48 , 84 Trong trường hợp có cách xếp chữ số vào vị trí cịn lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố: “Số lấy chia hết cho ” 8 Vậy số kết thuận lợi cho A A Số phần tử không gian mẫu Xác suất biến cố A PA 120 A 120 15 Câu 2: Gọi A là tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để Chọn đƣợc số thuộc A số chia hết cho Lời giải Trước hết ta tính cách Chọn có Giả sử n A A98 Với số tự nhiên có chín chữ số đơi khác chữ số có n A A98 cho vị trí lại Vậy B 0;1;2; ;9 nên số có chín chữ số đơi ta thấy tổng phần tử B 45M B \ 0 B \ 3 B \ 6 khác chia hết cho tạo thành từ chữ số tập ; ; ; B \ 9 nên số số loại A99 3.8 A88 11 A99 3.8 A88 A98 27 Vậy xác suất cần tìm Câu 3: Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho Lời giải Ta có 43200 i j k i 0;1; 2;3; 4;5; 6 Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng , , j 0;1; 2;3 k 0;1; 2 , Số ước nguyên dương số i; j; k i; j; k Chọn từ tập Suy số cách Chọn từ tập 7.4.3 84 nên số phần tử S 84 Có C842 cách Chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S i j Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng Suy số ước 43200 không chia hết cho tập S 7.4 28 Do có C282 cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S Câu 4: Cho tập hợp A 0;1; 2;3; 4;5;6;7 P C282 C84 23 Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số khác đôi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ chia h ết cho ? Lời giải Gọi số cần tìm là: Số n có tính chất: n a1a2 a3 a4 a5 a6 a 1;3;5; 7 + Lẻ + a3 chia hết cho a3 0; 6 * Trường hợp 1: a3 a có cách a1 có cách A3 Chọn chữ số cịn lại có cách a 6 * Trường hợp : a có cách a1 có cách a1 0; a1 a3 ; a1 a6 A3 Chọn chữ số cịn lại có cách có 4.5.A5 số Vậy: Câu 5: 4.6 A53 4.5 A53 2640 số Trong tập hợp số tự nhiên có chữ số ta Chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để Chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 9999 1000 9000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abc1 Ta có abc1 10.abc 3.abc 7.abc chia hết cho 3.abc chia hết cho Đặt 3.abc h abc 2h h 1 số nguyên h 3t Khi ta được: abcd 7t 100 7t 999 98 997 t t 14, 15, , 142 7 suy số cách Chọn t cho số abc1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 129 129 43 Vậy xác suất cần tìm là: 9000 3000 Câu 6: Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để Chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Lời giải Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000 90000 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 Ta có abcd1 10.abcd 3.abcd 7.abcd chia hết cho 3.abcd chia hết cho Đặt 3.abcd 7h abcd 2h h 1 số nguyên h 3t Khi ta được: abcd 7t 1000 7t 9999 998 9997 t t 143, 144, , 1428 7 suy số cách Chọn t cho số abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 1286 0, 015 Vậy xác suất cần tìm là: 90000 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập S, xác suất để Chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị bng l Cõu 7: 9.104 ắắ đ n( W) = 9.104 Lời giải Số số tự nhiên có chữ số là: Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị abcd1 Ta có abcd1= 10abcd +1= 3.abcd + 7.abcd +1 chia hết cho Û 3.abcd+1 chia hết cho Đặt 3.abcd +1= 7h Û abcd = 2h+ Khi h- số nguyên h = 3t +1 abcd = 7t + ắắ đ 1000 Ê 7t + £ 9999 Û 998 9997 £ t£ Û t Ỵ {143,144, ,1428} 7 Suy số cách Chọn t cho số abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 hay nói cách khác n( A) = 1286 Vậy xác suất cần tìm Câu 8: P= 1286 90000 Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số không chia hết cho Lời giải ● Tìm số có ba chữ số khác lập từ tập E 0,1, 2,3, 4,5 Số cần tìm có dạng abc , Chọn a E , a có cách E \ a A2 Chọn số số cịn lại xếp vào hai vị trí b, c có cách Vậy có A52 100 số ● Tính số lập chia hết cho Số cần tìm có dạng abc, a b c M E 0,1, 2,3, 4,5 Xét tập gồm phần tử tập , ta thấy có tập sau thỏa mãn ều kiện tổng chữ số chia hết cho là: A1 0,1, 2 , A8 3, 4,5 A2 0,1,5 , A3 0, 2, 4 , A4 0, 4,5 , A5 1, 2,3 , A6 1,3,5 Khi a, b, c A1 , A2 , A3 , A4 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu Khi a, b, c A5 , A6 , A7 , A8 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu , A7 2,3, 4 , Vậy có 4.4 4.6 40 số Suy số không chia hết cho 100 40 60 số Xác suất cần tính Câu 9: P 60 0, 100 Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số có 2011 chữ số có hai chữ số Lời giải: Đếm số số tự nhiên có 2011 chữ số chia hết cho : 2010 + Chọn 2010 chữ số sau có 10 Chọn) + Chọn chữ số đứng đầu có Chọn) 2010 Suy có tất 10 số thỏa mãn Đếm số số tự nhiên có 2011 chữ số chia hết cho không chứa chữ số : 2009 + Chọn 2010 chữ số có 8.9 Chọn) + Chọn chữ số đứng cuối có Chọn) 2009 Suy có tất 8.9 số thỏa mãn Đếm số số tự nhiên có 2011 chữ số chia hết cho chứa chữ số : TH1: Chữ số đứng đầu 2009 + Chọn 2009 chữ số có Chọn) + Chọn chữ số đứng cuối có Chọn) 2009 Suy có tất số thỏa mãn TH2: Chữ số khơng đứng đầu + Chọn vị trí cho chữ số có 2010 Chọn) 2008 + Chọn chữ số đứng đầu có 8.9 Chọn) + Chọn chữ số cịn lại có Chọn) 2008 Suy có tất 2010.8.9 số thỏa mãn Vậy có tất cả: 10 2010 8.9 2009 92009 2010.8.92008 10 2010 92010 2010.8.92008 102010 16161.92008 Câu 10: Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 lập số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số chia hết cho 1111 Lời giải Ta có số phần tử không gian mẫu Giả sử số tự nhiên n 8! n a1a2 a3 a4b1b2b3b4 a , a , a ,a ,b ,b ,b ,b chia hết cho 1111 4 thuộc 1; 2;3; 4;5;6;7;8 nM9 n M9999 1111 nM Ta có 36 M Đặt x a1a2 a3 a4 ; y b1b2b3b4 n 10 x y 9999 x x y n M9999 x y M9999 , x y 2.9999 x y 9999 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 Có cặp số có tổng 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Có 4! cách Chọn cặp số trên, cặp số có hốn vị nên có 4!.2 số chia hết cho 1111 n A 4!.2 A 1111 Gọi : "Số tự nhiên lấy chia hết cho " Xác suất biến cố A P A 105 X 1; 2; ;8 Câu 11: Cho tập Gọi A tập số tự nhiên có chữ số đơi khác lập t X Lấy ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số lấy chia hết cho 2222 Lời giải Ta có Vì n 8! a a1a2 a8 Gọi số lấy từ A có dạng 2222 2.1111 , 1111 số nguyên tố nên a M2 a M2 a M2222 1111 a M 1111 a a2 a8 36M9 nên aM9999 a M Từ Lại có a a1a2 a8 10000.a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 9999.a1a2 a3a4 a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 aa a a a5 a6 a7 a8 M9999 Nhưng suy 2000 a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 18000 nên a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 9999 a1 a5 a2 a6 a3 a7 a4 a8 a Dễ thấy số tự nhiên a thỏa mãn điều kiện số chẵn chia hết cho 2222 hay 1;8 , 2; , 3;6 , 4;5 Chia số từ X thành bốn có tổng a8 có cách Chọn Mỗi cách Chọn Ba cịn lại a8 ta có cách Chọn a4 a1 ; a5 , a2 ; a6 , a3 ; a7 hốn vị cho nhau, đồng thời hai phần tử có hốn vị cho nên có tất n A 4.3! 2! 192 3! 2! cách Chọn Tóm lại, ta có P A Vậy n A 192 n 8! Câu 12: Một hộp đựng 20 viên bi khác đánh số từ đến 20 Lấy ba viên bi từ hộp cộng số ghi lại Hỏi có cách lấy để kết thu đ ược m ột s ố chia h ết cho Lời giải Ta chia 20 số từ đến 20 thành nhóm sau: A 3;6;9;11;15;18 n A Nhóm chia hết cho , B 1; 4;7;10;13;16;19 n B Chia cho dư , C 2;5;8;11;14;17; 20 n C Chia cho dư , Tổng số cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A Có C63 20 cách Chọn TH2: số thuộc B Có C73 35 cách Chọn TH3: số thuộc C Có C73 35 cách Chọn TH4: số thuộc A , số thuộc B , số thuộc C Có C61C71C71 294 cách Chọn Vậy tất có 20 35 35 294 384 cách Chọn số thỏa mãn yêu cầu đề *BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu 13: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số t ự nhiên thuộc vào tập S Tính xác suất để Chọn số thuộc S số chia hết cho Câu 14: Gọi X tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0; 2;3; 4;5;7;8 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập X Tính xác suất để Chọn chia hết cho Câu 15: Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác mà tổng chữ số 18 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập X tính xác suất để Chọn số chẵn Câu 16: Từ chữ số , , , , , , , , , lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm ? Câu 17: Một hộp chứa 11 cầu đánh số theo thứ tự từ đến 11 , lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để tổng số ghi cầu số lẻ Câu 18: Một hộp đựng chín cầu giống đánh số từ đến Hỏi phải lấy cầu để xác suất có ghi số chia hết cho lớn X 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Câu 19: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để số Chọn số chia hết cho Câu 20: Có số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng chữ số chia hết cho 5? A 0;1;2;3;4;5;6 Câu 21: Cho tập Gọi S tập hợp gồm chữ số khác Chọn từ phần tử tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số Chọn chia hết cho 15 Câu 22: Cho tập A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Gọi S tập số tự nhiên có chữ số lập từ A Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số Chọn chia hết cho Câu 23: Cho K tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ K Tính xác suất để số Chọn có tổng chữ số bội Câu 24: Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 1, 2, 4, 5, thỏa mãn chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Từ tập hợp X lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để lấy số chia hết cho : Câu 25: Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số thành lập từ chữ số 2, 0,1,8 Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập X Tính xác suất để phần tử Chọn số chia hết cho Lo¹i 2: Số lần xuất chữ số Cõu 26: T 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà ch ữ số chẵn có mặt lần Lời giải Bước 1: xét số có chữ số, số có hai chữ số lê khác ba ch ữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần C C3 Từ 10 chữ số Chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có 5 cách Chọn Câu 102: Cho đa giác đề 2n đỉnh, lấy ngẫu nhiên đường chéo đa giác xác su ất đ ể đường chéo Chọn có độ dài lớn Tìm hệ số số hạng chứa x n x 2 x khai triển Câu 103: Có năm đoạn thẳng có độ dài , , , , Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng Tính xác suất để ba đoạn Chọn xếp thành hình tam giác n 4; n ¥ , khơng có ba điểm Câu 104: Trong khơng gian có 2n điểm phân biệt thẳng hàng 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n có 505 mặt phẳng phân biệt H có 12 đỉnh nội tiếp đường trịn tâm O Có hình thang Câu 105: [1D2-4-4] Cho đa giác H cân có đỉnh đỉnh A 135 B 150 Câu 106: [1D2-4-4] Cho đa giác H C 120 D 180 có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Gọi X tập H Tính xác suất để Chọn tam giác từ tập X hợp tam giác có đỉnh đỉnh tam giác cân tam giác 23 A 136 21 B 136 C 17 D 816 S tập hợp đường thẳng qua Câu 107: [1D2-4-4] Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn, gọi S 20 số đỉnh cho Chọn hai đường thẳng thuộc tập Tính xác suất để Chọn hai đường thẳng mà giao điểm chúng nằm bên đ ường tròn A 126 B 20 C 189 17 D 63 Câu 108: [1D2-4-3] Cho đa giác 12 cạnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để đỉnh Chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho 24 A 55 27 B 55 28 C 55 31 D 55 Câu 109: [1D2-2-4] Cho đa giác có 100 Số tam giác tù tạo thành từ 100 đỉnh đa giác A 44100 B 58800 C 78400 D 117600 Câu 110: Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Hỏi có tứ giác mà cạnh đường chéo đa giác cho? A 2n.C n 5 B n.C n5 n.C23n 5 C n.C23n 5 D O Câu 111: Cho đa giác có 2018 đỉnh nội tiếp đường tròn Nối ngẫu nhiên đỉnh đa giác Tính xác suất để Chọn tam giác có tất góc lớn 45 1515 A 8068 505 B 8068 550 C 8068 5151 D 8068 Câu 112: Cho đa giác 16 cạnh Hỏi có tứ giác nhận đ ỉnh đa giác đ ỉnh c ạnh c t ứ giác không trùng với cạnh đa giác 16 cạnh A 660 B 900 C 360 D 16 Câu 113: Trên hai đường thẳng song song d , ta gắn vào m điểm n điểm cho m n 17 , với m, n ¥ Tìm m , n để số tam giác có đỉnh điểm điểm phân biệt lớn A B C D A 1;4 , B 5;4 , C 1;0 , Câu 114: [1D2-4-3] Trên mặt phẳng Oxy, ta xét đa giác ABCD với điểm D 3;0 M x; y x, y ¢ nằm bên đa giác Gọi S tập hợp tất điểm với ABCD Lấy ngẫu nhiên điểm M x; y S Tính xác suất để 3x y 11 A 25 14 B 25 C 25 16 D 25 Câu 115: [Chuyên Đại học Vinh lần năm 2018] Trong mặt phẳng cho hình chữ nhật OMNP với M (0;10), N (100;10) P(100;0) Gọi S tập hợp tất điểm A( x; y ), ( x, y ¢ ) nằm bên A( x; y ) S Xác suất để x y 90 OMNP Lấy ngẫu nhiên điểm 169 A 200 845 B 1111 86 C 101 473 D 500 M x; y x, y ¢ Câu 116: [1D2-4-3] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi S tập hợp tất điểm với x 6, y Lấy ngẫu nhiên điểm M S Tính xác suất để điểm M thỏa mãn hệ thức: E 4;0 , F 4;0 ME MF 10 với 44 A 169 43 B 169 124 C 169 45 D 169 dạng : toán đếm tính xác suất liên quan đến xếp chỗ , vị trí Cõu 117: Trong mt lp hc có 2n học sinh gồm An, Bình, Chi 2n học sinh khác Khi xếp tùy ý học sinh vào dãy ghế đánh số từ đến 2n , học sinh ngồi ghế 12 xác suất để số ghế Bình trung bình cộng số gh ế An số gh ế c Chi 575 Tính số học sinh lớp Lời giải Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n học sinh vào 2n chỗ ngồi đánh số suy n n 3 ! Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 3.2! cách xếp An Bình …… - Xếp Bình ghế thứ n ghế thứ n cách có n.2! cách xếp An Bình n 1 2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế thứ n cách có n 2! n 1 2! n 1 2! Suy cộng số ghế An Chi Với cách xếp có cách xếp để số ghế Bình trung bình 2n ! cách xếp học sinh lại n A n 1 2n ! Vậy ta có n 1 2n ! 2n 3 ! Theo giả thiết ta có phương trình 12 575 n 11 48n 479n 539 n 49 L 48 Suy số học sinh 2.11 25 Câu 118: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 11A học sinh l ớp 11B h ọc sinh c lớp 11C thành hàng ngang Tính xác suất để khơng có h ọc sinh c m ột l ớp đứng cạnh Lời giải Số phần tử không gian mẫu n 10! Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán - Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách , chẳng hạn 1C2C3C4C5C6 - Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái có 5! cách xếp, tương tự xếp từ phía bên phải có 5! Cách xếp - Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 có vị trí xếp học sinh có Suy n A 5! 2.5! A32 2!.2.3 63360 A43 2!.2.3 cách Vậy Vậy P A P ( A) 63360 11 10! 630 2.5!.5! 10! 126 Câu 119: Một nhóm học sinh gồm bạn nam, có bạn Hải bạn nữ có bạn Minh xếp vào 13 ghế hàng ngang Tính xác suất để hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh nêu không ngồi cạnh Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n 13! Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số , , 13 Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba b ạn nam, đ ồng th ời b ạn H ải b ạn Minh không ngồi cạnh nhau” Xét trường hợp: * Bạn Minh ngồi ghế số + Số cách xếp ba bạn nữ lại là: 3! + Có cách xếp vị trí Hải + Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí cịn lại Suy số cách xếp 3! 8! - Bạn Minh ngồi ghế số 13 có số cách xếp 3! 8! * Bạn Minh ngồi ghế số + Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam cịn lại, số cách xếp 3!.7.8! n A 2.3!.7.8! 2.3!.7.8! Số phần tử biến cố A là: P A Xác suất cần tìm là: n A n 858 Câu 120: Trong phịng học, có 36 bàn rời đánh số từ đến 36 , bàn dành cho học sinh Các bàn xếp thành hình vng có kích thước Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh lớp có hai em Hạnh Phúc vào bàn Tính xác suất để Hạnh Phúc ng ồi hai bàn xếp cạnh Lời giải Gọi A biến cố: “ Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh nhau” Số cách xếp 36 học sinh vào 36 bàn lớp số phần tử không gian mẫu 36! * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang Có cách Chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh Có hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhóm X , có nhóm X khác có cách xếp chỗ cho nhóm X Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh lại vào 34 bàn Vậy trường hợp 6.2.5.34! 60.34! cách xếp * Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự ta có 60.34! cách xếp n A 120.34! Số phần tử A P A Vậy xác suất cần tìm là: n A 120.34! 120 n 36! 35.36 21 Câu 121: Trong thi Chọn học sinh giỏi tốn khối 11 trường THPT Chu Văn An, có 52 học sinh đăng ký dự thi có em tên Thành em tên Đạt Dự kiến ban tổ ch ức s ắp xếp làm phòng thi Nếu phòng thi xếp cách ngẫu nhiên, tính xác suất để Thành Đạt ngồi chung phịng Lời giải Khơng gian mẫu có số phần tử 18 18 n C52 C34 16 18 n A1 2.C50 C34 Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng phịng 18 18 n A2 C50 C32 Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng Gọi A biến cố “Thành Đạt chung phòng” n A n A1 n A2 P A 16 18 18 18 n A 2.C50 C34 C50 C32 71 18 18 n C52 C34 221 Câu 122: Có viên bi gồm viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng cho khơng có hai viên bi màu xếp cạnh nhau? Lời giải 6! 90 Tổng số cách xếp viên bi thành hàng Kí hiệu: A1 tập hợp viên bi xanh cạnh nhau; A2 tập hợp viên bi đỏ cạnh nhau; A3 tập hợp viên bi vàng cạnh Số cách xếp không hợp lệ là: A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A2 A3 A3 A1 A1 A2 A3 Với A1 A2 A3 5! 30 22 A1 A2 A2 A3 A3 A1 4! 12 A1 A2 A3 3! A1 A2 A3 90 3.12 60 Vậy, số cách xếp hợp lý A1 A2 A3 90 60 30 *BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu 123: Từ 2012 số nguyên dương lấy xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 Hỏi có dãy số có dạng biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 124: Có xe xếp cạnh thành hàng ngang gồm : xe màu xanh, xe màu vàng xe màu đỏ Tính xác suất để hai xe màu không xếp cạnh Câu 125: [1D2-2-4] Xếp viên bi xanh khác nhau, viên bi đỏ giống hết viên bi vàng thành hàng ngang Có cách xếp viên bi cho khơng có viên bi màu đứng cạnh A B C 12 D 20 Câu 126: [1D2-2-3] Một tổ có 17 bạn gồm nam nữ Chọn từ tổ bạn xếp vào bàn học ngang có thứ tự vị trí Có cách xếp cho bạn Chọn có nữ nam A 241920 B 282240 C 28224 D 24192 Câu 127: [1D2-4-3] Một bao hạt giống gồm đậu xanh đậu đỏ có hạt giống đậu xanh, hạt giống đậu đỏ Do bao hạt giống bị lỗi nên có hạt giống đậu xanh nảy mầm hạt giống đậu đỏ nảy mần Lấy ngẫu nhiên bao hạt giống gieo thấy nảy mầm thành đậu Tính xác suất để đậu đậu xanh A B Câu 128: [1D2-4-4] Từ tập tập C 25 A 1, 2, 3, , 2018 D 10 , người ta Chọn ngẫu nhiên hai tập Tính xác suất biến cố hai tập Chọn khác rỗng đồng thời có số phần tử s ố chẵn nhỏ 1009 P A C222018 1 C222018 C1008 P C2018 B P C C222016 1 C222018 P D C222016 C222018 Câu 129: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh l ớp C x ếp thành m ột hàng ngang cho gi ữa hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp A 145152 B 108864 B Hỏi có cách xếp hàng vậy? C 217728 D 80640 Câu 130: Sắp xếp 12 học sinh lớp 12A gồm có học sinh nam học sinh nữ vào bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện để thảo luận nhóm Tính xác su ất đ ể hai h ọc sinh ng ồi đ ối di ện cạnh khác giới A 4158 B 5987520 C 299760 D 8316 dạng : toán khác Câu 131: Cho lưới ô vuông gồm 16 ô vng nhỏ, vng nhỏ có kích thước 1x1 hình vẽ bên Con kiến thứ vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B , kiến thứ hai vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A Biết kiến thứ di chuy ển ngẫu nhiên phía bên phải lên trên, kiến thứ có th ể di chuy ển ngẫu nhiên v ề phía bên trái xuống Hai kiến xuất phát m ột th ời ểm có v ận tốc di chuyển mét/phút Tính xác suất để hai kiến gặp đường Lời giải Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến đ ều di chuyển m Do chúng gặp giao điểm đường chéo ch ạy từ góc bên trái đến góc bên phải A1 A5 A Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí P1 A1 C40 24 ; C40 P2 A1 A ; Xác suất để sau phút, kiến thứ hai đến vị trí C P A P A P A Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1 1 Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí P A2 C 256 ; P A3 C 2 256 ; P A4 C 256 ; 256 A2 , A3 , A4 , A5 là: P A5 C 4 256 Vậy xác suất để hai kiến gặp là: P A P A1 P A2 P A3 P A4 P A5 C C C C C 4 2 256 4 35 128 Câu 132: Mỗi lượt, ta gieo súc sắc đồng xu Tính xác su ất đ ể lượt gieo vậy, có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Lời giải Số phần tử không gian mẫu 1728 Số trường hợp xảy để lượt tung thu súc sắc mặt chấm xu sấp Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.1.11 3.11 Số trường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu sấp 3.1.11.11 3.112 Vậy xác suất cần tìm là: P 3.11 3.112 397 123 1728 Câu 133: [1D2-2-4] Một qn cafe nhạc cần trang trí tường vng chia thành hình vẽ Có cách để người thợ sơn dùng màu khác để sơn tường cho vng cạnh khơng có màu trùng nhau? A 48 B 24 C 84 D 78 Lời giải Chọn C Trường hợp : 1 1 3 màu 3 có cách Chọn; 2 có cách Chọn; 4 có cách Chọn có cách Chọn; 4.1.3.3 36 cách Chọn 1 3 khác màu Trường hợp : 1 3 có cách Chọn; 2 có cách Chọn; 4 có cách Chọn có cách Chọn; 4.3.2.2 48 cách Chọn Vậy có: 36 48 84 cách Chọn Câu 134: 1) Cho 2020 điểm cách đường thẳng , chưa tô màu Người ta muốn tô màu 120 điểm điểm thành màu đỏ Hỏi có cách tơ màu cho khơng có hai điểm kề tơ màu đỏ Câu 135: Cho đa giác có 2020 đỉnh , chưa tô màu Người ta muốn tô màu đỏ ngẫu nhiên 120 đỉnh đa giác Tính xác suất để khơng có hai đỉnh kề tô màu đỏ Câu 136: Người ta muốn tơ màu hình vng ABCD màu khác nhau, cho m ỗi c ạnh đ ược tô màu hai cạnh kề tơ màu khác Hỏi có cách tô màu Câu 137: [1D2-4-4] Cho tập hợp X có 10 phần tử Một người Chọn ngẫu nhiên ba tập khác tập X Tính xác suất để giao hai ba tập Chọn có phần tử giao ba tập Chọn có phần tử 0,017 0,018 0,019 0,020 A B C D Lời giải Chọn C Dùng biểu đồ Ven biểu diễn ba tập Các tập nhỏ đánh số tập nhỏ không đánh số rỗng 1, 2, 3, có phần tử C1024 10 Do số tập tập hợp X nên số phần tử không gian mẫu Ta đếm số phần tử không gian thuận lợi cho biến cố A cách lựa phần tử cho tập Chọn Bước 1: Chọn phần tử cho giao ba tập Bước có 10 cách C3 Bước 2: Chọn phần tử cho giao hai tập , giao có phần tử Bước có cách Bước 3: định xem phần tử lại thuộc tập không thu ộc ba , m ỗi phần t có cách lựa Chọn Bước có cách Suy A 10.C93.46 Vậy xác suất biến cố A P 10.C93.46 0,019 C1024 3C 4Cn1 5Cn2 n 3 Cnn 8192 Câu 138: Cho n số tự nhiên thỏa mãn: n Tổng tất hệ số 1 x x số hạng khai triển 10 x3 11 A n 11 C B Lời giải Chọn D Ta có: 3Cn0 4Cn1 5Cn2 n 3 Cnn Cn0 Cn1 Cn2 Cnn Cn1 2Cn2 nCnn 3.2 n nCn01 nCn11 nCnn11 3.2n n.2n 1 8192 Xét phương trình: 3.2n n.2n1 8192 1 10 D Đặt f n 3.2n n.2n 1 Do phương trình Giả sử: 1 x x 1 , ta có: f n f 10 8192 với n ¥ mà có nghiệm n 10 x a0 a1 x a2 x a3n x n f x n f 1 a0 a1 a2 a3n 210 Thay x vào ta có: ... [1D2-2-3] Có 16 học sinh gồm học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ , tổ có người, có học sinh giỏi học sinh A 3780 B 7560 C 1680 D 2100 Câu 78: [1D2-2-3] Đội sinh viên... học sinh khơng h ọc nên ch ỉ Ch ọn ngẫu nhiên đáp án 10 câu hỏi Tính xác suất để học sinh thi đỗ Lời giải Trong câu xác suất trả lời Trong câu xác suất trả lời sai Học sinh thi đỗ trường hợp. .. chỉnh hợp tổ hợp: Ak k!Cnk Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: n Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp