Tổng hợp những bài toán tổ hợp, xác suất phục vụ mục đích ôn thi học sinh giỏi tỉnh cấp THPT lớp 1112, tài liệu ghi rõ lý thuyết tổ hợp, xác suất, bài tập đa dạng được chọn lọc kỹ lưỡng, đáp án đầy đủ, chi tiết và chất lượng.
BUỔI 4-5 TỔ HỢP - XÁC SUẤT Lý thuyết Hoán vị: Số cách ngẫu nhiên n phần tử khác vào n ô trống Pn = n ! Chỉnh vị: Số cách chọn k số từ n số có xét vị trí Ank = n! (n − k )! Tổ hợp: Số cách chọn ngẫu nhiên k số từ n số khơng xét vị trí Cnk = n! (n − k )!.k ! Phép thử ngẫu nhiên biến cố: Cho A B biến cố liên quan đến phép thử ∅ ) thì: P( A ∪ B)= P( A) + P( B) Nếu A B xung khắc ( A ∩ B = Nếu A biến cố đối A thì: P ( A) = − P ( A) Nếu A B biến cố độc lập, AB kí hiệu giao biến cố (“cả A B xảy ra”): P( AB) = P( A).P( B) Nhị thức Newton công thức tổ hợp: n ( a + b) = ∑ Cnk a n−k bk n k =0 Cnk = Cnn − k kCnk = nCnk−−11 Ngũ Thành An Cnk Cnk++11 = k +1 n +1 Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk Bài tập: Bài 1-15: Tổ hợp – Xác suất Bài 15-20: Nhị thức Newton công thức tổ hợp Bài 1: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đội khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải: n(ω ) = A94 = 3024 Gọi số thỏa mãn điều kiện abcd (a + c) − (b + d )11 (a + c)11 ⇒ ( a + c ) + ( b + d ) 11 (b + d )11 Do abcd chia hết cho 11 ⇒ Các số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11: {2, 9}; {3, 8}; {4, 7}; {5, 6} Gọi A biến cố “số chọn thỏa mãn đk toán” ⇒ n( A= ) A42 2!.2! = 48 Bài 2: Một hộp đựng 10 cầu đánh số từ đến 10 Lấy n cầu 10 cầu đó, biết xác suất lấy cầu mà số ghi chia hết cho n cầu lấy 2/3 Tìm n Lời giải: Gọi A biến cố “bốc n mà có số chia hết cho 5” Ta tìm biến cố phần bù: bốc n mà khơng có số chia hết cho Vậy trường hợp n ≤ n( A) = C8n , n(ω ) = C10n C8n ⇒ P ( A) =n = − =⇒ n = C10 3 Ngũ Thành An Bài 3: Trong trình truy vết lịch sử tiếp xúc bệnh nhân Covid-19 trường học, trung tâm y tế xác định giáo viên số học sinh có liên quan đến bệnh nhân Người ta chọn ngẫu nhiên 10 người số giáo viên học sinh liên quan để làm xét nghiệm gộp Biết xác suất để 10 người chọn có giáo viên lần xác suất 10 người chọn học sinh Tính xác suất để 10 người chọn làm xét nghiệm có nhiều giáo viên Lời giải: Gọi tổng số học sinh có liên quan n ≥ 10 Cn Xét biến cố A: Trong 10 người chọn có giáo viên ⇒ n( A) = Cn10 Xét biến cố B: Trong 10 người chọn học sinh ⇒ n( B ) = ⇒ n( A= ) 6.n( B ) ⇒ C= 6Cn10 ⇒ = n 11 n Xét biến cố C: Trong 10 người chọn có nhiều giáo viên C117 C117 ⇒ P (C ) = ⇒ P (C ) = − 10 C1410 C14 Bài 4: Một hộp đựng 30 cầu đánh số số tự nhiên từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp cầu Tính xác suất để cầu chọn có số ghi lập thành cấp số cộng Lời giải: Gọi A biến cố “3 cầu có số lập thành cấp số cộng” Số lớn số bé chọn cần có tổng số chẵn, ln cho ta số nhất, cần chọn số có tính chẵn lẻ n( A)= 2.C152 = 210 ⇒ P= Ngũ Thành An n( A) 210 = = n(ω ) C30 58 Bài 5: Một dãy phố có cửa hàng, có người khách đến mua Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều khách Lời giải: Cách Mỗi người khách có lựa chọn ⇒ n(ω ) = Gọi A biến cố “có cửa hàng có nhiều khách” Ta tìm xác suất biến cố đối A: “khơng có cửa hàng nhiều khách” Phân tích 5(khách) = + + = + + + = + + + + C52 C51.C32 C41 C31 = ⇒ n( A) + C= 2220 C5 A4 + 5! 2! Cách Tìm trực tiếp: • Một cửa hàng có khách vào: C5 C5 4.4 (cách) • Một cửa hàng có khách vào: C5 C5 (cách) • Một cửa hàng có khách vào: C51 (cách) ⇒= n( A) C51.C53 4.4 + C51.C54 4= + C51 905 Bài 6: Cho đa giác 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh Tính xác suất đỉnh tạo thành tam giác cân không Lời giải: Chọn ngẫu nhiên đỉnh từ 20 đỉnh có n(ω ) = C20 Có 20 cách chọn đỉnh tam giác cân Với đỉnh chọn, gọi x y số điểm trống đỉnh cân đỉnh đáy, z số điểm trống nằm đỉnh đáy Ta có x + y + z = 17 ( x = y ≥ 0, z ≥ ) Ngũ Thành An Do 17 lẻ nên khơng có trường hợp Vậy z số lẻ, với z ≤ 17 lẻ ta ln có nghiệm x, y ⇒ Số nghiệm (x, y, z) thỏa mãn là: ⇒ n(bien co) = 20.9 = 180 ⇒ P = 57 Bài 7: Một hộp chứa bóng đỏ đánh số từ đến 6, bòng vàng đánh số từ đến 5, bóng xanh đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp Tính xác suất lấy đủ màu, khơng trùng số thứ tự? Lời giải: Khơng gian mẫu: n(ω ) = C15 Phân tích cách bốc: Bốc từ có số lượng để phần sau bao phần trước 1 Bốc đỏ, vàng, xanh: C4 C4 C4 2 1 Bốc vàng, đỏ, xanh: C4 C4 C3 Bốc xanh, đỏ, vàng: C4 C3 C3 74 ⇒P= 455 Bài 8: Một trường THPT có 18 học sinh giỏi tồn diện, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 18 học sinh nói tham dự trại hè Tính xác suất để khối có học sinh chọn Gợi ý: n(omega)=18C8 Biến cố đối (có khối ko chọn) +, Trong ko có hs lớp 10: 13C8 +, Ko có hs lớp 11: 12C8 +, Ko có hs lớp 12: 11C8 n(biến cố) = n(omega) – n(biến cố đối) = 18C8 – 13C8 – 12C8 – 11C8 Ngũ Thành An Bài 9: Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu cách độc lập với Xác suất bắn trúng xạ thủ thứ nhất, thứ hai thứ ba 0,6; 0,7; 0,8 Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng Lời giải: Gọi A1 , A2 , A3 biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ 2, thứ bắn trúng Gọi A biến cố có xạ thủ bắn trúng Cần tìm: P ( A) = − P( A) với A biến cố “không xạ thủ bắn trúng” Do A1 , A2 , A3 biến cố độc lập nên: = P( A) P= ( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P(= A2 ) P ( A3 ) 0,= 4.0,3.0, 0, 024 ⇒ P( A) = − 0, 024 = 0,976 Bài tập bổ sung: Tung súc sắc lần, xác suất để lần chẵn, lần lẻ bao nhiêu: Cách 1: Cách 2: – 1/2.1/2-1/2.1/2=1/2 1/2.1/2+1/2.1/2=1/2 Bài 10: Trong hội nghị có 11 chỗ theo vịng trịn, tính xác suất để khơng có người A, B, C ngồi cạnh Dạng tốn: Sắp vịng trịn – hốn vị vịng quanh Lặp xảy dời vòng quanh, ko liên quan trái hay phải Tìm Omega: Cách 1: n(omega) = 11!/11, chia cho 11 dời sang trái sang phải hốn vị cách xếp ko đổi Cách 2: Cố định người 11 người vào vị trí, 10 người cịn lại vào 10 chỗ trống cịn lại n(omaga)=10! Tìm xác suất: Ngũ Thành An Cách 1: Cái ghế chưa đc sẵn, người vào trước: người cịn lại vào vị trí vịng trịn có 7!, người có chỗ trống, chọn chỗ trống để A, B, C: 8A3 cách P=7!.8A3/10!=7/15 Cách 2: Cố định anh A, 10 người lại: Gọi x, y, z số vị trí trống A B, B C, C A x+y+z=8 (x,y,z>=1) Bộ nghiệm nguyên dương (bài toán chia kẹo): 7C2 Hoán vị anh B anh C có 2! Cách Sắp anh cịn lại vào vị trí trống 8! P=8!.7C2.2/10!=7/15 Bài tập bổ sung: Có cách nam nữ xung quanh bàn tròn cho nam nữ ngồi xen kẽ? Gợi ý: Cố định nam bất kì, 4!.5! Bài 11: Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho Gợi ý: Cho số n phân tích thành tích thừa số nguyên tố: n = p1i1 p2i2 p3i3 pkik Số ước nguyên dương n là: (i1 + 1)(i2 + 1)(i3 + 1) (ik + 1) Lời giải: 43200 = 2^6.3^3.5^2 (shift fact – máy tính) Gọi d ước nguyên dương n d = 2^x.3^y.5^z n(x,y,z)=7.4.3 (số ước nguyên dương) n(x,y,z=0)=7.4 (số ước nguyên dương mà ko chia hết cho 5) n(biến cố)= 28C2 Ngũ Thành An n(omega) = 84C2 Bài 12: Thầy X có 15 sách gồm sách Văn, sách Sử sách Địa Các sách đôi khác Thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh Tính xác suất để số sách cịn lại thầy X có đủ mơn Gợi ý: (Xét phần bù) Lời giải: Quy đổi đề thành: Ta chọn sách đủ mơn trước, đưa cịn lại cho thầy X n(omega)=15C8=6435 n(biến cố đối) = 9C7+11C7+10C7= 486 n(biến cố) = 6435 - 486 Bài 13: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Gợi ý: (Xét phần bù dùng tốn chia kẹo Euler) Lời giải: N(omega)=14C3 +, Có cạnh trùng cạnh đa giác: Số cách chọn cạnh 14 cách Với cách chọn đó, ta chọn đỉnh lại ko kề đỉnh cạnh trùng có 10 cách +, Có cạnh (kề nhau) trùng cạnh đa giác: Bộ đỉnh kề chọn sẵn: 14 Cạnh lại chắn ko trùng cạnh đa giác Ko có trường hợp cạnh trùng, số cạnh đa giác >3 N(biến cố đối)= 14.10+14 Bài 14: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C thành hàng ngang Tính xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh Gợi ý: (Liệt kê) Ngũ Thành An Lời giải: n(omega)=10! -C-C-C-C-CSố cách lớp C 5! vị trí trống phải có người, số người >=4 Thừa người +, vị trí đầu có người: 2.5.4! +, vị trí đầu ko có người: Có vị trí trống giữa, chứa đủ người A B C- - c – c – c-c … n(biến cố) = (2.3.2.3!).4.5! Bài 15: Mỗi lượt, ta gieo súc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tính xác suất để lượt gieo vậy, có lượt gieo kết súc sắc xuất chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp Lời giải: n(ω = ) 6.2 = 12 Xác suất để lần đầu gieo chấm mặt sấp 12 Vậy xác suất để lần đầu gieo không chấm không mặt sấp 11 12 Tương tự cho lần lần 3, sử dụng quy tắc nhân cho biến cố độc lập ta có xác suất để lượt gieo, khơng có lượt trúng trường hợp vừa sấp 11 12 vừa chấm ( ) Vậy xác suất để lượt gieo vậy, có lượt gieo kết 11 − ( ) đồng thời chấm mặt sấp là: 12 Bài 16: Tính tổng sau: 2022 C2022 + C2022 + C2022 + + C2022 =+ (1 1) 2022 = 22022 a S = Ngũ Thành An b 1011 + 2C2022 + 3C2022 + + 1011C2022 S= C2022 n! (n − 1)! = = n.Cnk−−11 n Ta co: k.Ckn k= k !.(n − k )! (k − 1)!.((n − 1) − (k − 1))! S 1010 + C2021 + + C2021 2022.(C2021 ) 2021 1010 1011 1012 + C2021 + + C2021 + C2021 + C2021 2022 (C2021 + + C2021 Cnn − k ) ) (Su dung Cnk = S = 1010.22021 S c 2021 C2022 C2022 C2022 C2022 + + + + S= 2022 k k +1 C2022 C2023 ta co: = k + 2023 2022 + C2023 + C2023 + + C2023 C2023 S= 2023 2023 2023 (C2023 ) − C2023 + C2023 + C2023 + + C2023 − C2023 S= 2.2023 22023 − 22022 − = S = 2.2023 2023 d 2018 2017 = S 1.2.C2020 + 2.3.C2020 + + 2019.2020.C2020 2020 = S 1.2C2020 + 2.3.C2020 + + 2019.2020.C2020 (k − 1)k 2020Ck 2020! 2018! (k − 1)k 2019.2020 = = k !.(2020 − k )! (k − 2)!.(2018 − (k − 2))! k −2 = 2019.2020.C2018 Ngũ Thành An 10 Bài 17: Tìm hệ số x13 khai triển (x+x2+x3)10 110 ∑ xi Bài 18: Cho (1 + x + x + x + + x ) = 10 11 i =0 S C110 a0 − C111 a1 + C112 a2 − + C1110 a10 − C1111.a11 Tính = −Cn1 2Cn2 3Cn3 (−1) n n.Cnn Bài 19: Tính tổng: S= 2.3 + 3.4 − 4.5 + + (n + 1)(n + 2) Bài 20: Chứng minh đẳng thức sau: 2011 2012 (C2012 ) − (C2012 ) + (C22012 ) − − (C2012 ) + (C2012 ) = C21006 012 -Hết - Ngũ Thành An 11 ... trường hợp cạnh trùng, số cạnh đa giác >3 N(biến cố đối)= 14.10+14 Bài 14: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C thành hàng ngang Tính xác suất để 10 học sinh. .. Bốc đ? ?, vàng, xanh: C4 C4 C4 2 1 Bốc vàng, đ? ?, xanh: C4 C4 C3 Bốc xanh, đ? ?, vàng: C4 C3 C3 74 ⇒P= 455 Bài 8: Một trường THPT có 18 học sinh giỏi tồn diện, có học sinh khối 1 2, học sinh khối...Bài tập: Bài 1-15: Tổ hợp – Xác suất Bài 15-20: Nhị thức Newton công thức tổ hợp Bài 1: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đội khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử