Tổng hợp những bài toán tổ hợp, xác suất phục vụ mục đích ôn thi học sinh giỏi tỉnh cấp THPT lớp 1112, tài liệu ghi rõ lý thuyết tổ hợp, xác suất, bài tập đa dạng được chọn lọc kỹ lưỡng, đáp án đầy đủ, chi tiết và chất lượng.
Trang 1BUỔI 4-5
TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Lý thuyết
Hoán vị: Số cách sắp ngẫu nhiên n phần tử khác nhau vào n ô trống
!
n
Chỉnh vị: Số cách chọn k số từ n số có xét vị trí
!
k
n
A
k
=
−
Tổ hợp: Số cách chọn ngẫu nhiên k số từ n số không xét vị trí
! ( )! !
k
n k
C
k
=
−
Phép thử ngẫu nhiên và biến cố:
Cho A và B là 2 biến cố liên quan đến một phép thử
Nếu A và B xung khắc ( A B∩ = ∅) thì: P A B( ∪ )= P A P B( )+ ( )
Nếu Alà biến cố đối của A thì: P A( ) 1= −P A( )
Nếu A và B là 2 biến cố độc lập, AB là kí hiệu giao 2 biến cố (“cả A
và B đều xảy ra”): P AB( ) = P A P B( ) ( )
Nhị thức Newton và các công thức tổ hợp:
0
( )n n k n k k
n k
=
k n k
1
kC nC −
−
1
+ +
=
1
Trang 2Bài tập:
Bài 1-15: Tổ hợp – Xác suất
Bài 15-20: Nhị thức Newton và các công thức tổ hợp
Bài 1: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đội một khác nhau
được chọn từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Xác định số phần tử của S Lấy ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11
Lời giải:
4 9
n ω = =
Gọi số thỏa mãn điều kiện là abcd
Do abcd chia hết cho 11⇒((a c a c+ − +) () (b d b d) 11) 11⇒((b d a c+ ) 11) 11
Các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11:
{2, 9}; {3, 8}; {4, 7}; {5, 6}
Gọi A là biến cố “số chọn được thỏa mãn đk bài toán”
2 4
Bài 2: Một hộp đựng 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10 Lấy ra n quả cầu trong
10 quả cầu đó, biết xác suất lấy được ít nhất một quả cầu mà số ghi trên đó chia hết cho 5 trong n quả cầu được lấy ra là 2/3 Tìm n
Lời giải:
Gọi A là biến cố “bốc n quả mà trong đó có ít nhất một số chia hết cho 5”
Ta tìm biến cố phần bù: bốc n quả mà không có số nào chia hết cho 5 Vậy trong trường hợp này n ≤ 8
8
( ) , (
2 1
)
3 3
n
n n
n
C
C
ω
=
=
Trang 3Bài 3: Trong quá trình truy vết lịch sử tiếp xúc của bệnh nhân Covid-19 ở một
trường học, trung tâm y tế xác định được 3 giáo viên và một số học sinh có sự liên quan đến bệnh nhân đó Người ta chọn ngẫu nhiên 10 người trong số các giáo viên và học sinh liên quan để làm xét nghiệm gộp Biết rằng xác suất để trong 10 người được chọn có 3 giáo viên bằng 6 lần xác suất trong 10 người được chọn đều là học sinh Tính xác suất để trong 10 người được chọn làm xét nghiệm có nhiều nhất 2 giáo viên
Lời giải:
Gọi tổng số học sinh có liên quan là n ≥ 10
Xét biến cố A: Trong 10 người được chọn có 3 giáo viên ⇒ n A C ( ) = n7 Xét biến cố B: Trong 10 người được chọn đều là học sinh ⇒ n B ( ) = C10n
n A n B C C n
Xét biến cố C: Trong 10 người được chọn có nhiều nhất 2 giáo viên
Bài 4: Một hộp đựng 30 quả cầu được đánh số là các số tự nhiên từ 1 đến 30
Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp ra 3 quả cầu Tính xác suất để 3 quả cầu được chọn có các số ghi trên đó lập thành một cấp số cộng
Lời giải:
Gọi A là biến cố “3 quả cầu được có các số lập thành một cấp số cộng”
Số lớn nhất và số bé nhất được chọn cần có tổng là số chẵn, khi đó luôn cho ta số ở giữa là duy nhất, vậy chỉ cần chọn ra 2 số có cùng tính chẵn lẻ
2
30
n A
Trang 4Bài 5: Một dãy phố có 5 cửa hàng, có 5 người khách đến mua Tính xác suất để
có ít nhất 1 cửa hàng có nhiều hơn 2 khách
Lời giải:
Mỗi người khách có 5 lựa chọn ⇒ n ( ω ) 5 = 5 Gọi A là biến cố “có ít nhất 1 cửa hàng có nhiều hơn 2 khách”
Ta tìm xác suất của biến cố đối của A: “không có cửa hàng nào nhiều hơn
2 khách”
Phân tích 5(khách) = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2 1 3
5 5 4
.
2!
C C C C C
Tìm trực tiếp:
• Một cửa hàng có đúng 3 khách vào: C C51 .4.453 (cách)
• Một cửa hàng có đúng 4 khách vào: C C51 .454 (cách)
• Một cửa hàng có đúng 5 khách vào: C51(cách)
Bài 6: Cho đa giác đều 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh Tính xác suất 3 đỉnh tạo
thành một tam giác cân không đều
Lời giải:
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 20 đỉnh có n( )ω =C203
Có 20 cách chọn đỉnh của tam giác cân
Với mỗi đỉnh được chọn, gọi x và y là số điểm trống ở giữa đỉnh cân và 2 đỉnh ở đáy, z là số điểm trống nằm giữa 2 đỉnh ở đáy
Ta có x 17 + y + z = (x = ≥y 0, z ≥0)
Cách 1
Cách 2
Trang 5Do 17 lẻ nên không có trường hợp đều
Vậy z là số lẻ, với mỗi z ≤ lẻ ta luôn có nghiệm x, y 17
⇒Số bộ nghiệm (x, y, z) thỏa mãn là: 9⇒ n(bien co) 20.9 180= = ⇒ =P 578
Bài 7: Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả bòng vàng
được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 4 Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp Tính xác suất lấy được đủ 3 màu, không 2 quả nào trùng
số thứ tự?
Lời giải:
Không gian mẫu: 4
15
( )
Bốc 2 quả đỏ, 1 quả vàng, 1 quả xanh: C C C41 .14 42
Bốc 2 quả vàng, 1 quả đỏ, 1 quả xanh: C C C 14 .42 31
Bốc 2 quả xanh, 1 quả đỏ, 1 quả vàng: C C C 42 .31 31
74 455
P
⇒ =
Bài 8: Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 7 học sinh
khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ
18 học sinh nói trên đi tham dự trại hè Tính xác suất để mỗi khối có ít nhất một học sinh được chọn
Gợi ý: n(omega)=18C8
Biến cố đối (có một khối ko được chọn)
+, Trong đó ko có hs lớp 10: 13C8
+, Ko có hs lớp 11: 12C8
+, Ko có hs lớp 12: 11C8
n(biến cố) = n(omega) – n(biến cố đối) = 18C8 – 13C8 – 12C8 – 11C8
Phân tích cách bốc:
Bốc từ quả có số lượng
ít nhất đi ra để phần sau
bao ngoài phần trước
Trang 6Bài 9: Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập với nhau Xác suất bắn trúng
của xạ thủ thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8 Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng
Lời giải:
Gọi A A A1, 2, 3lần lượt là biến cố xạ thủ thứ nhất, thứ 2, thứ 3 bắn trúng
Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng
Cần tìm: P A( ) 1= −P A( ) với A là biến cố “không xạ thủ nào bắn trúng”
Do A A A1 , , 2 3là các biến cố độc lập nên:
( ) 1 0,024 0,976
P A P A A A P A P A P A
P A
Bài tập bổ sung:
Tung súc sắc 2 lần, xác suất để một lần chẵn, 1 lần lẻ là bao nhiêu:
Cách 1: 1 – 1/2.1/2-1/2.1/2=1/2
Cách 2: 1/2.1/2+1/2.1/2=1/2
Bài 10: Trong một hội nghị có 11 chỗ sắp theo vòng tròn, tính xác suất để không
có 2 trong 3 người A, B, C ngồi cạnh nhau
Dạng toán:
Sắp vòng tròn – hoán vị vòng quanh
Lặp xảy ra khi dời vòng quanh, ko liên quan trái hay phải
Tìm Omega:
Cách 1: n(omega) = 11!/11, chia cho 11 vì khi dời sang trái hoặc sang phải hoán vị hiện tại thì cách xếp ko đổi
Cách 2: Cố định 1 người trong 11 người vào 1 vị trí, sắp 10 người còn lại vào 10 chỗ trống còn lại thì n(omaga)=10!
Tìm xác suất:
Trang 7 Cách 1: Cái ghế chưa đc sắp sẵn, người vào trước: sắp 8 người còn lại vào
8 vị trí trên vòng tròn thì có 7!, giữa 8 người này có 8 chỗ trống, chọn ra 3 chỗ trống để sắp A, B, C: 8A3 cách
P=7!.8A3/10!=7/15
Cách 2: Cố định anh A, sắp 10 người còn lại:
Gọi x, y, z là số vị trí trống giữa A và B, B và C, C và A
x+y+z=8 (x,y,z>=1)
Bộ nghiệm nguyên dương (bài toán chia kẹo): 7C2
Hoán vị anh B và anh C có 2! Cách
Sắp 8 anh còn lại vào các vị trí trống thì 8!
P=8!.7C2.2/10!=7/15
Bài tập bổ sung:
Có bao nhiêu cách sắp 5 nam và 5 nữ xung quanh 1 bàn tròn sao cho nam
nữ ngồi xen kẽ? Gợi ý: Cố định 1 nam bất kì, 4!.5!
Bài 11: Gọi S là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200 Lấy ngẫu nhiên
hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy được hai phần tử là hai số không chia hết
cho 5
Gợi ý: Cho số n được phân tích thành tích các thừa số nguyên tố:
2
1 3
1i .2i 3i i k
k
n p p p = p
Số ước nguyên dương của n là: ( 1)(i1+ i2 +1)(i3 +1) (i k +1)
Lời giải:
43200 = 2^6.3^3.5^2 (shift fact – máy tính)
Gọi d là ước nguyên dương bất kỳ của n thì d = 2^x.3^y.5^z
n(x,y,z)=7.4.3 (số ước nguyên dương)
n(x,y,z=0)=7.4 (số ước nguyên dương mà ko chia hết cho 5)
n(biến cố)= 28C2
Trang 8n(omega) = 84C2
Bài 12: Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Văn, 5 cuốn sách Sử và 6 cuốn
sách Địa Các cuốn sách đôi một khác nhau Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách
để làm phần thưởng cho một học sinh Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn
Gợi ý: (Xét phần bù)
Lời giải:
Quy đổi đề thành: Ta chọn 7 quyển sách đủ 3 môn trước, đưa 8 quyển còn lại cho thầy X
n(omega)=15C8=6435
n(biến cố đối) = 9C7+11C7+10C7= 486
n(biến cố) = 6435 - 486
Bài 13: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba
đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác Tính xác suất để
tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho
Gợi ý: (Xét phần bù hoặc dùng bài toán chia kẹo Euler)
Lời giải:
N(omega)=14C3
+, Có duy nhất 1 cạnh trùng cạnh đa giác:
Số cách chọn cạnh đó là 14 cách
Với mỗi cách chọn đó, ta chọn ra 1 đỉnh còn lại ko kề 2 đỉnh của cạnh trùng có
10 cách
+, Có đúng 2 cạnh (kề nhau) trùng cạnh đa giác:
Bộ 3 đỉnh kề nhau được chọn sẵn: 14
Cạnh còn lại chắc chắn ko trùng cạnh đa giác
Ko có trường hợp cả 3 cạnh đều trùng, bởi số cạnh đa giác >3
N(biến cố đối)= 14.10+14
Bài 14: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 5 học sinh lớp C thành một hàng ngang Tính xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau
Trang 9Lời giải:
n(omega)=10!
-C-C-C-C-C-
Số cách lớp C luôn là 5!
4 vị trí trống ở giữa phải có người, số người >=4
Thừa ra 1 người
+, một trong 2 vị trí 2 đầu có 1 người: 2.5.4!
+, trong 2 vị trí đầu đều ko có người:
Có 1 vị trí trống ở giữa, chứa đủ 2 người A và B
C- - c – c – c-c
…
n(biến cố) = (2.3.2.3!).4.5!
Bài 15: Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu
(cân đối) Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp
Lời giải:
) 6.2 12 (
Xác suất để lần đầu gieo được 1 chấm và mặt sấp là 121
Vậy xác suất để lần đầu gieo không được 1 chấm hoặc không được mặt sấp
là 1211
Tương tự cho lần 2 và lần 3, sử dụng quy tắc nhân cho biến cố độc lập ta có xác suất để trong 3 lượt gieo, không có lượt nào trúng được trường hợp vừa sấp vừa 1 chấm là ( )1112 3
Vậy xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả đồng thời 1 chấm và mặt sấp là: 1 ( )11 3
12
−
Bài 16: Tính các tổng sau:
a S C= 20220 +C20221 +C20222 + + C20222022 = +(1 1)2022 = 22022
Trang 10b
1 1
1
2
−
−
−
2021 2021
1010.2
S
−
=
c
1
2022 2023
ta co:
1 2023
2023
2.2023
S
k
S
S S
+
= +
=
=
d
( 1) 2020
!.(2020 )! ( 2)!.(2018 ( 2))!
−
Trang 11Bài 17: Tìm hệ số của x13 trong khai triển (x+x2+x3)10
Bài 18: Cho 3
110 1
0
i i
=
+ + + + + = ∑ Tính S C a C a C a= 11 00 − 11 11 + 11 22 − + C a1110 10 −C a11 1111
Bài 19: Tính tổng:
1 2 2 3 3 ( 1)
n
S
n n
Bài 20: Chứng minh đẳng thức sau:
2
2
( C ) ( − C ) ( + C ) ( − − C ) ( + C ) = C
-Hết -