Đang tải... (xem toàn văn)
Cã 7 hµnh kh¸ch lªn tµu , mçi ngêi ®éc lËp víi nhau chän mét c¸ch ngÉu nhiªn mét toa..[r]
(1)Tổ hợp xác suất
I tổ hợp
A Bài toán tổ hợp , chỉnh hợp hoán vị
1 Cho A= {0 ;1;2 ;3 ;4 ;5 ;6} có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số tập A cho số chia hết cho
2 Cho tËp A gåm 50 phần tử khác Xết tập không rỗng chứa số chẵn phần tử rút từ tập A H·y tÝnh xem cã bao nhiªu tËp nh vËy
3 Có 20 bơng hoa có hồng , cúc , đào , chọn ngẫu nhiên Hỏi làm để chọn đợc bó hoa đủ loại
4 Cho hình vng ABCD , cạnh AB,BC,CD, DA, lần lợt lấy 2;3;4;5 điểm phân biệt khác A;B;C;D Tìm số tam giác có đỉnh lấy từ 14 điểm nói
5 Một lớp học có 33 học sinh , có Nữ Cần chia lớp học thành tổ , tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có hai học sinh nữ Hỏi có cách chia nh
6 Từ số 0;1;2;3;4 lập đợc số tự nhiên có chữ số khác ? Tính tổng tất số tự nhiên
7 Từ tập E= {0 ;1;2 ;3 ;4 ;5 ;6} lập đợc số chẵn có chữ số khác đôi , cho số lập đợc thỏa mãn tất yêu cầu sau: có chữ số lẻ, chữ số lẻ đứng kề nhau, chữ số lẻ đứng trớc nhỏ chữ số lẻ đứng sau
8 Có số nguyên dơng chẵn với chữ số khác nhaunằm khoảng (20000;70000) Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập đợc số tự nhiên
10 Cho hai đờng thẳng song song d d’ Trên đờng thẳng d có 10 điểm phân biệt, đờng thẳng d’ có n điểm phân biệt(n ) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n?
11 Một đội niên tình nguyện có 15 ngời , gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền trung cho tỉnh có nam nữ
12 Trong môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình , 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi thầy giáo lập đợc đề kiểm tra , đề gồm câu hỏi khác , cho đề thiết phải có loại câu hỏi số câu dễ khơng
13 Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ hỏi có cách chọn nh vậy?
14.Từ số 0;1;2;3;4;5 lập đợc số có chữ số khác chia hết cho 3? 15 Từ số 0;1;2;3;4;5 lập đợc số có chữ số khác chia hết cho 5? 16 Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đồn cơng tác gồm
ngời cần có nam nữ , có nhà tốn học , nhà vật lý học Hỏi có cách chọn nh vậy? 17 Đội tuyển học sinh giỏi trờng 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối
11, học sinh khối 10 Hỏi có cách chọn học sinh đội dự trại hè cho khối có em đợc chọn?
18 Đội niên xung kích trờng phỉ th«ng cã 12 häc sinh , gåm häc sinh líp A, häc sinh líp B, häc sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh không lớp Hỏi có cách chän nh vËy?
19 Cho tập E= {1;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7} Từ tập E lập đợc số chẵn có chữ số
20 Từ nhóm học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C Chọn 15 học sinh cho học sinh khối A, có học sinh khối C Hỏi có cách chọn
21 Một tổ học sinh gồm nam nữ, cần chọn ngời lao động Hỏi có cách chọn cho:
a Trong nhóm có học sinh nữ b Trong nhóm khơng q học sinh nữ
22 Cho hai đờng thẳng d,d’ Trên đờng thẳng d lấy 10 điểm phân biệt , d’ lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác đợc tạo thành từ 18 điểm nói
23: Từ số 1;2;3;4;5 lập đợc số tự nhiên gồm chữ số chữ số số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt lần
24 Có số có chữ số chữ số có mặt lần , chữ số có mặt lần cịn hai chữ số cịn lại phân biệt
(2)26 Từ số 0;1;2;3;4 Hỏi lập đợc số có chũ số chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mặt lần
27 Một nhóm sinh viên gồm 30 ngời có 10 sinh viên khoa tốn , 10 sinh viên khoa văn, 10 sinh viên khoa nhạc cần lập đội niên tình nguyện ngời Hỏi
a Có cách lập đội niên tình nguyện
b Có cách lập cho nhóm có khơng hai sinh viên tham gia vào đội 28 Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập đợc số có chữ số khác v ch s ng
cạnh chữ số
29 Từ chữ số 1;2;3;4;5;6;7, lập đợc số có chữ số khác thiết phải có chữ số
30 Từ chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 lập đợc số có chữ số khác tổng chữ số hàng chục , hàng trăm, hàng nghìn
31 Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập đợc số có chữ số khác số lập đợc nhỏ 25000
32 Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập đợc số chẵn có chữ số khác nhau, có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh
33 Có bi đỏ , bi trẳng bi vàng Ngời ta chọn viên từ hộp bi đó.Hỏi có cách lấy mà ko đủ màu
34 Từ hồng vàng , hồng trắng hồng đỏ Ngời ta muốn chọn bó hoa gồm bơng
a Có cách chọn có bơng đỏ
b Có cách chọn bó hoa có bơng hồng đỏ
35 trờng tiểu học có 50 học sinh giỏi tồn diện , có cặp anh em sinh đơi Cần chọn em số 50 học sinh để dự trai hè Hỏi có cách chọn mà số em đợc chọn khơng có cặp anh em sinh đôi
36 Một đại hội thể thao mơn bóng bàn ngời khán giả quan sát thấy có 90 bắt tay Hỏi giải đố có vận động viên bóng bàn
37 Một thập giác lồi Hỏi có tam giác đợc tạo thành từ đỉnh thạp giác mà cạnh khơng phải cạnh thập giác
II x¸c st
1 Có xạ thủ loại I 16 xạ thủ loại II , xác suất bắn trúng đích xạ thủ loại I 0,9, xạ thủ loại II 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để viên đạn trúng đích
2 Cho hộp đựng 12 viên bi viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Tính xác suất để lấy đợc a: viên bi màu đỏ, b: lấy viên có viên bi màu đỏ
3 Cho cân trọng lợng 1kg;2kg;3kg;4kg;5kg;6kg;7kg;8kg Chọn ngẫu nhiên cân Tính xác suất để tổng trọng lợng cân không vợt 9kg
4 Một ngời gọi điện thoại quên số cuối nhớ hai số khác Tính xác suất để ngời gọi lần số cần gọi
5 Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé có giải , 100 giải nhì, 200 giải hai, 1000 giải t, 5000 giải khuyến khích Tính xác suất để ngời mua vé trúng giải nhì giải khuyến khích
6 Cho tập hợp F= {0 ;1;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9} lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc F , Tính xác suất để hai số lấy hai số chẵn có tổng nhỏ
7 Trong 100 vé xổ số có vé trúng 100.000đ, vé trúng 50.000đ, 10 vé trúng 10.000đ Tính xác suất để ngời mua vé
a Ngời trúng 30.000đ b Ngời trúng 200.000đ
8 Gieo đồng thời hai xúc xắc , tính xác suất để: a Tổng số chấm xuất hai b Tổng số chấm xuất hai
(3)a Tỉng sè chÊm xt hiƯn trªn 10 b Tổng số chấm lµ
10 Một khách sạn có phịng đơn, có 10 khách đến th phịng có nam nữ, ng ời quản lý chọn ngẫu nhiên ngời Tính xác suất để:
a Cả khách nam
b Có khách nam khách nữ c Có khách nữ
11 Cú tm thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để tích hai thẻ số chẵn
12 Một đàn tàu có toa đỗ sân ga, có hành khách từ sân ga lên tàu , ngời độc lập với , ngời độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có ng ời, toa có ngời cịn hai toa khơng có ngời
13 Một toa tàu gồm toa đỗ sân ga Có hành khách lên tàu , ngời độc lập với chọn cách ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có mt khỏch lờn tu
Bài toán sử dụng nhị thức niu tơn A Tính tổng
1 Tính giá trị biểu thức M= An+1
4
+3 An
3
(n+1)! biÕt r»ng Cn +1
+2Cn+22 +2 Cn+32 +2 Cn +42 =149
2 Cho n số nguyên dơng , tính tæng S=Cn0+2
2−1
2 Cn
+2
3− 1
3 Cn
2+ +2n−1 n+1 Cn
n
3 TÝnh tæng S = C201 C202 +C320 C204 + C2018+C2019 Tính giá trị cđa biĨu thøc Q= Ax
3
√18 −√x Px
Biết x nghiệm phơng trình C2 x
x +1 C2 x+ 1x− 1 =
2
5 TÝnh tæng S = Cno+22Cn1+3 22Cn2+ +(n+1)2nCnn
6 TÝnh tæng S =
−1¿2 n 2 n+1C2n
2n
C2 n0 −1 2C2n
1 +1
3C2 n
2 − .+¿
7 TÝnh tæng S = 1 Cn
A11 + 2 Cn
1
A21 + 3 Cn
3
A31 + +
(n+1).Cn n
An+11 biÕt r»ng Cn
+Cn
1 +Cn
2 =211
8 TÝnh tæng S = 1.2.C ❑252 +2 C253 + +24 25 C2525
9 TÝnh tæng S =
3Cn
0 +1
6Cn
1
+ + 3 n+3Cn
n
10 TÝnh tæng S =
2 ! 2005!+
4 !.2003 !+ + 2004 ! !+
1 2006 ! !
B: T×m n=?
1 T×m hƯ sè cđa x ❑10 khai triển nhị thức Niutơn (2+x)
❑n biÕt :
−1¿
n
Cnn=2048
3nCn0−3n− 1Cn1+3n −2Cn23n −3Cn3+ +¿
2 T×m số nguyên dơng n cho; C2 n +1
1
− 2C2 n+1
+3 22C2n +1
(4)3 T×m n biÕt : Cn0+2 Cn1+4 Cn2+ +2nCnn=243
4 T×m sè tù nhiªn n tháa m·n biĨu thøc C2 n
0 +C2 n
2
32+ C2n 2k
32 k+ +C2 n 2 n− 2
32n − k+C2 n2 n32 n=215(216+1)
5 T×m n cho C4 n+2
+C4 n+ 2
2
+ .C4 n +2 2 n
=256
6 T×m n cho
C4n −
C5n =
C6n
7 Trong khai triển nhị thức NiuTơn ( √nlog n+1
+12√n ) ❑6 ,biÕt sè h¹ng thø t b»ng 200, t×m
n?
8 T×m n thỏa mÃn phơng trình :2( Cn
2 +Cn
3 )=3n
2 -5n
9 Giải phơng trình C4
n+C
5
n
+C6n+ Pn
10 Cho nhÞ thøc (1+x) ❑n = a
0+a1x +a2x2+ +akxk+ +anxn tìm n k cho ak −1
2 = ak
9= ak+1 24
11 T×m n biÕt 1 Cn
1 +2 Cn
2
+ +nCn n
=n 22009
12 Khai triÓn (1+2x) ❑n = a
0+a1x +a2x
2
+ + anx
n biÕt a
0+a1+ +an=729 t×m n hệ số
lớn
13 Tìm n biÕt C2 n
+C2 n
+ .+C2 n 2 n −1
2048
C: Chøng minh:
1 Chøng minh r»ng:
2C2 n
+1 4C2 n
3 +1
6C2 n
+ + 2 nC2 n
2 n− 1 =2
2 n −1 2n+1
2 Chøng minh : −1¿
n
Cnn=Cn0+Cn1+ +Cnn 3nC
n
0− 3n −1C
n
1+ .+
¿
3 Chøng minh r»ng :
−1¿n 2005n Cn
n
Cn0− 2005Cn
1 +
20052 Cn
+ +¿=2004n 2005n¿
4 Chứng minh đẳng thức (1+1)Cn
0 (1+1
2)Cn
1
+(1+1 3)Cn
2
+ +(1+ n+1)Cn
n =2
n+ 1 −1 n+1
5 Chøng minh r»ng : C2004
+22C2004
+ .+22002C2004 2002
+22004C2004 2004
=3 2004
+1
6 Chøng minh r»ng : C2006
+1 3C2006
2 +1
5C2006
+ +
2007 C2006 2006
=2 2006 2007
7 Chøng minh r»ng
1 2¿ 199 =0 2¿ 100
+ .+200C100 100 ¿
2¿
99− 101C 100
¿ 100 C1000
(5)8 CMR 2008 C20080 − 2007C20081 +2006 C20082 − − C20082007=0 CMR 12C2008
1
−22C2008
+32C2008
− −20082C2008 2008
=0
10 CMR n+1n+2( Cn+1k
+ Cn+1k+1
)= Cnk
D T×m hƯ sè khai triĨn
T×m hƯ sè cđa x ❑5 trong khai triĨn nhÞ thøc P=x(1-2x)
❑5 +x ❑2 (1+3x) ❑10
2 T×m hƯ sè cđa x ❑26 trong khai triĨn nhÞ thøc x4+x
7 ¿n ¿
, biÕt r»ng C2 n +1
1
+C2 n+1
2
+ +C2 n+1
n
=220−1
3 T×m hƯ sè cđa x ❑8 khai triĨn nhÞ thøc [1+x2
(1 x )]8
4 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức (3 x+41
x)
5 Tìm số hạng chứa x ❑8 khai triĨn nhÞ thøc (1 x3+√x
5
)n biÕt Cn +4n +1−Cn+3n =7(n+3)
6 Cho A= (x − x2)
20
+(x3−1 x)
10
sau khai triÓn biÓu thức A gồm phần tử ? Tìm hệ số không chứa x khai triển nhị thức (x ❑2 +
x3 ) ❑n , biÕt r»ng Cn1+Cn3=13 n
8 T×m hƯ sè x ❑24 trong khai triĨn nhÞ thøc ( x3+x
6
) 10 Tìm hệ số không chứa x khai triÓn ( 2 x −1
x ) ❑10
10.T×m hƯ sè cđa x ❑19 trong khai triĨn nhÞ thøc (
x3+√5 ) ❑
n biÕt C ❑ n+5
3 - C
n +4
3
=8(n+3)
11 Khai triển biểu thức (1-2x) ❑n ta đợc đa thức có dạng a
0+a1x +a2x
2
+ +anx
n T×m hƯ
sè x ❑5 biÕt a ❑
0 +a ❑1 +…+a ❑n =71
12.T×m hƯ sè lín nhÊt khai triĨn (
3+
3x ) ❑10 thµnh ®a thøc a0+a1x + +a ❑10 x
❑10
13 T×m hƯ sè chøa x ❑5 trong khai triĨn biÓu thøc (1+x+x
❑2 +x ❑3 ) ❑10
14 T×m hƯ sè x ❑16 khai triĨn nhị thức Niutơn (1+3x
2 ) n+15 biết Cn +10 n +4
=Cn+10
11−n
15 T×m hƯ sè x ❑7 trong khai triĨn nhÞ thøc (2-3x)
❑2n biÕt C2 n +11 +C2 n+13 + +C2 n+12 n+1=1024 16 Cho khai triÓn (1+2x) ❑n = a
0+a1x +a2x2+ +anxn cã hÖ sè tháa m·n
a0+a1 + +
an
2n=4096 tìm hệ số lớn hệ số x
17 tìm số hạng có sè mị cđa x gÊp lÇn sè mị cđa y khai triĨn nhÞ thøc (x ❑3− y
x )
(6)