Tổ hợp xác suất ô thi đh 2016

Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 TUYỂN CHỌN BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT Ví dụ : Có hộp bi, hộp thứ có bi đỏ bi trắng, hộp thứ hai có bi đỏ bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp viên, tính xác suất để bi chọn màu Gọi w khơng gian mẫu: tập hợp cách chọn ngẫu nhiên hộp viên bi 0,25  n( w)  7.6  42 Gọi A biến cố bi chọn màu  n( A)  4.2  3.4  20 Vậy xác suất biến cố A P(A)= n( A) 20 10   n( w) 42 21 0,25 Ví dụ : Trong cụm thi để xét cơng nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi mơn có mơn bắt buộc Tốn, Văn, Ngoại ngữ mơn thí sinh tự chọn số mơn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, 10 học sinh chọn mơn Vật lí 20 học sinh chọn mơn Hóa học Lấy ngẫu nhiên học sinh trường X Tính xác suất để học sinh ln có học sinh chọn mơn Vật lí học sinh chọn mơn Hóa học Số phần tử khơng gian mẫu n  C403 Gọi A biến cố “3 học sinh chọn ln có học sinh chọn mơn Vật lý học sinh chọn mơn Hóa học” 1 1 Số phần tử biến cố A nA  C101 C202  C102 C20  C20 C10 C10 Vậy xác suất để xảy biến cố A PA  n A 120  n 247 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt 0,25 0,25 Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 Ví dụ : Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3  8Cn2  Cn1  49 Điều kiện n   Ta có x    C x n n k 0 k n 2k 2n  k Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n4 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n4 Ta có: An3  8Cn2  Cn1  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Nên hệ số x8 C74 23  280 Ví dụ : Một hộp chứa bi màu vàng, bi màu đỏ bi màu xanh có kích thước trọng lượng nhau, lấy ngẫu nhiên bi hộp Tính xác xuất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ Gọi A biến cố: “trong bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ” Trường hợp 1: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh Trường hợp 2: Chọn bi vàng, bi đỏ bi xanh 0,25 Trường hợp 3: Chọn bi vàng, bi đỏ  n  A  C62C52C44  C63C53C42  C64C54  1425 Gọi khơng gian mẫu  số trường hợp xảy lấy ngẫu nhiên bi hộp chứa 15 bi:  n     C158  6435 Vậy xác suất cho bi lấy có số bi màu vàng với số bi màu đỏ n  A 1425 95   là: P  A  n    6435 429 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt 0,25 Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 Ví dụ : Một lớp học có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng làm tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ Khơng gian mẫu  tập hợp tất gồm học sinh chọn từ 25 học sinh nên ta có: n     C254  12650 Gọi A biến cố “4 học sinh chọn có nam nữ” Có trường hợp: + Chọn nữ nam: có C101 C153  4550 + Chọn nữ nam: có C102 C152  4725 0,25 + Chọn nữ nam: có C103 C151  1800 Suy số cách chọn học sinh có nam nữ là: 4550  4725  1800  11075 Vậy: P  A   n A  n   11075 443  12650 506 0,875 0,25 Ví dụ : Trong thùng có chứa đèn màu xanh khác đèn đỏ khác Lấy ngẫu nhiên đèn mắc vào chi mắc nối tiếp Tính xác suất A: “mắc đèn xanh ” Ta có: n     C153 n  A   C72 C81  P  A   0.25 24 65 0.25 Ví dụ : Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà tốn học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác , tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 0.25 a) Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học 16 nhà khoa học có C164 cách Chọn nhà tốn học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C82 C51.C31 cách Chọn nhà tốn học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C81.C52 C31 cách Chọn nhà tốn học nam, nhà vật lý nữ, nhà hóa học nữ có C81.C51.C32 cách Vậy xác suất cần tìm : P  C82 C51.C31  C81.C52 C31  C81.C51.C32  C164 0.25 Ví dụ : Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Tính xác suất để phương trình x2  bx   có hai nghiệm phân biệt Có khả xảy tung súc sắc nên số phần tử khơng gian mẫu: n()  0,25 Gọi A biến cố: phương trình x2  bx   (*) có hai nghiệm phân biệt 0,25 (*) có nghiệm phân biệt     b    b  3; 4;5;6  n( A)  Xác suất cần tìm P( A)  n( A)  n () Ví dụ 10 : Cho hộp đựng 12 viên bi, có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất để lấy viên bi màu đỏ - Gọi  tập hợp tất cách lấy viên bi số 12 viên bi Ta có:   C123  220 - Gọi A biến số “lấy viên bi màu đỏ” Số cách lấy viên bi màu đỏ viên bi màu đỏ A  C73  35 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt 0.25 Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 - Vậy xác suất P(A) để lấy viên bi màu đỏ : P( A)  A   35  220 44 0.25 Ví dụ 10 Một đội tuyển học sinh giỏi có 18 em, có em học sinh lớp 12, có em học sinh lớp 11 em học sinh lớp 10 Hỏi có cách cử em học sinh dự trại hè cho khối có em chọn Tổng số cách chọn em ba khối C18 0,25 Vì số HS lớp nhỏ nên việc lựa chọn em khơng đủ ba khối bao gồm trường hợp: Chọn em 13 em (lớp 12 11): C13 cách hoc toancapba.com Chọn em 12 em (lớp 12 10): C12 cách Chọn em 11 em (lớp 10 11): C11 cách 8 8 Vậy có tất cả: C18 -( C13 + C12 + C11 ) cách chọn em mà có đủ khối 0,25 Ví dụ 11 : Cho đa giác 30 cạnh Gọi S tập hợp tứ giác tạo thành có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác Chọn ngẫu nhiên phần tử S Tính xác suất để hình chữ nhật Số tứ giác tạo thành với đỉnh lấy từ đỉnh đa giác C304 Suy n(S )  n()  C304 0.25 Gọi A biến cố tứ giác hình chữ nhật Số đường chéo đa giác qua tâm đa giác đều: 15 Số hình chữ nhật tạo thành : C152  n( A)  C152  p( A)  n( A)  n() 261 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt 0.25 Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 Ví dụ 12 : Giải phương trình Cxx  2Cxx1  Cxx2  Cx2x23 ( Cnk tổ hợp chập k n phần tử) 2  x  x  N ĐK :  Ta có Cxx  Cxx1  Cxx1  Cxx2  Cx2x23  Cxx1  Cxx11  Cx2x23  Cxx2  Cx2x23 0,25  (5  x)!  2!  x  0,25 Ví dụ 12 : Từ chữ số 1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt khơng q lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Gọi a1a2 a3a4 a5 số tự nhiên cần tìm, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 thuộc 1; 2;3; 4;5 Sắp chữ số vào ba vị trí, có C53  10 (cách) Còn lại hai vị trí, chữ số Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí đó, có C42  12 (cách) 0,25 Vậy khơng gian mẫu có 10.12  120 phần tử Gọi A biến cố: “số chọn chia hết cho 3”, có hai phương án: Hai chữ số lại 5, có C53 2!  20 số 0,25 Hai chữ số lại 4, có C53 2!  20 số Vậy biến cố A có 40 phần tử Xác suất biến cố A là: P  40  120 Ví dụ 13 : Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 b,(0,5điểm) n     C113  165 0.25 Số cách chọn học sinh có nam nữ C52 C61  C51.C62  135 Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 0.25 135  165 11 n Ví dụ 14 : Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn  x   , biết n x  số ngun dương thỏa mãn 4Cn31  2Cn2  An3 Ta có 4Cn31  2Cn2  An3  (n  1)n((n  1)  n(n  1)  n(n  1)(n  2), n   2(n  1)   3(n  2)  n  11   11 2 x 11  2  x k 0,25 11 Khi  x     C11k ( x )11k      C11k (2) k x 223k k 0 k 0 0,25 Số hạng chứa x số hạng ứng với k thỏa mãn 22  3k   k  5 Suy hệ số x C11 (2)5  14784 Ví dụ 15 Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đơi giày cỡ khác Tính xác suất để hai chọn tạo thành đơi Số phần tử khơng gian mẫu số cách chọn giày từ tùy ý n()  C82  28 0,25 điểm Kí hiệu A biến cố chọn hai giày đơi 0,25 điểm Số cách chọn đơi đơi giày cách Do n(A) = Vì P(A)  Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt Tài liệu Tổng Ơn Mơn Tốn THPT Quốc Gia 2016 Ví dụ 16 : Tại điểm thi kì thi Trung học phổ thơng quốc gia có 10 phòng thi gồm phòng phòng có 24 thí sinh phòng phòng có 25 thí sinh Sau buổi thi, phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh số thí sinh dự thi buổi để vấn Giả sử khả chọn để vấn thí sinh Tính xác suất để 10 thí sinh chọn vấn khơng có thí sinh thuộc phòng thi Tổng số thí sinh điểm thi: 6.24+4.25=244 (thí sinh) 0.25 Không gian mẫu  tập hợp gồm tất cách chọn 10 thí sinh từ 244 thí sinh điểm thi 10 Ta có: n     C244 Kí hiệu X biến cố" Trong 10 thí sinh chọn 0.25 vấn thí sinh thuộc phòng thi" n  X   246.254 Xác suất cần tìm là: n  X  246.254 P=   4,37.104 10 n  C244 Tham gia nhóm : https://www.facebook.com/groups/toan.thaytuan.thaytung.hocmai https://www.facebook.com/groups/toan.thaylebatranphuong.hocmai để học tốt