Tìm tọa độ điểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I1; 1.. Giải phương trình:.[r]
(1)wWw.VipLam.Info TTBDVH KHAI TRÍ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ 15 x Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng qua điểm M và điểm I(1; 1) Câu II: (2,0 điểm) Giải phương trình: cos3 x cos x 2 sin x sin x cos x x( x y ) y 4 x x( x y ) y 7 x Giải hệ phương trình: e x ln x dx ln x Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 60 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P là trung a điểm BB’, CC’, BC và Q là điểm trên cạnh AB cho BQ = Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh (MAC) (NPQ) Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh với số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 1 ab bc ca 3 , ta có: a b c Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm (0; ) M thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x t d1 : y 4 t x y z x 1 y z 1 z 2t 3 và d3: Viết phương trình đường ; d2: thẳng , biết cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 các điểm A, B, C cho AB = BC Câu VII: (1,0 điểm) z z.z z 8 Tìm số phức z thỏa mãn : -Hết Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri và z z 2 0935021369 (2) wWw.VipLam.Info ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 15 – NĂM 2011 NỘI DUNG CÂU I-1 (1 điểm) ĐIỂ M TXĐ : D = R\{1} 0 ( x 1) y’ = 0,25 lim f ( x) lim f ( x ) 1 x nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x lim f ( x) , lim x 1 x 0,25 nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số Bảng biến thiên x - + - y' - 0,25 + y - Hàm số nghịch biến trên ( ;1) và (1; ) Hàm số không có cực trị Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri 0935021369 0,25 (3) wWw.VipLam.Info I-2 (1 điểm) II-1 (1 điểm) x0 Với x0 1 , tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ; x0 ) có phương trình : x0 x02 1 y ( x x0 ) xy 0 ( x0 1) x0 ( x0 1)2 ( x0 1) u ( 1; ) ( x 1) (d) có vec – tơ phương IM ( x0 1; ) x0 Để (d) vuông góc IM điều kiện là : x0 0 1 u.IM 0 1.( x0 1) 0 ( x0 1) x0 x0 2 + Với x0 = ta có M(0,0) + Với x0 = ta có M(2, 2) ĐK: sin x cos x 0 Khi đó 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 PT sin x cos x 1 2 sin x sin x cos x sin x cos x sin x sin x.cos x 0 0,25 sin x cos x sin x 0 sin x cos x 0,25 (thoả mãn điều kiện) x k 2 x m 2 0,25 k , m Z Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri 0935021369 (4) wWw.VipLam.Info Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x k 2 và x m 2 k , m Z Với x = không nghiệm đúng phương trình II-2 (1 điểm) y 1 x y 4 x y xy 4 x x 2 x ( x y ) y 7 x ( x y ) y 7 x Với x 0 , ta có: u v 4 u 4 v v 3, u 1 y 1 u , v x y v 2v 15 0 v 5, u 9 x Đặt ta có hệ: v 2u 7 +) Với v 3, u 1 ta có hệ: y 1 x y 1 x y y 0 y 1, x 2 y 2, x 5 x y 3 x 3 y x 3 y +) Với v 5, u 9 ta có hệ: e III (1 điểm) 0,25 0,25 y 9 x x y 0,25 , hệ này vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y ) (2;1), ( x; y) (5; 2) dx Đặt t = ln x có 2tdt = x x = thì t = 1; x = e thì t = 0,25 0,25 2 ln x t2 dx 2tdt t x ln x 0,25 t3 2( t ) 0,25 2(2 2) 0,25 Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri 0935021369 (5) wWw.VipLam.Info IV (1 điểm) Gọi I là trung điểm A’B’ thì C ' I A ' B ' C ' I ( ABA ' B ') C ' I AA ' suy góc BC’ và mp(ABB’A’) chính là góc C ' BI Suy C ' BI 60 ' BI a 15 C ' I BI tan C 0,25 a 15 VABC A ' B ' C ' AA '.S A ' B ' C ' AA ' CI A ' B ' 0,25 NP / / BC ' ( NPQ) / /(C ' BI ) PQ / / C ' I (1) 0,25 ' ABM BB ' I (c g c) suy AMB BIB ' BI 900 AM BI suy AMB B 0,25 Mặt khác theo chứng minh trên C’I AM nên AM (C ' BI ) Suy (AMC) (C ' BI ) (2) (MAC) (NPQ) Từ (1) và (2) suy 2 2 2 2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a b b c c a a b c 4 V (1 điểm) 0,25 2 Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh x y z xyz 4 với x, y, z 0,25 không âm thỏa mãn: x + y + z = Không làm tính tổng quát giả sử x y; x z thì x ta có: x y z xyz x ( y z ) yz ( x 2) x ( y z )2 ( y z ) ( x 2) 0,25 x2 x (3 x)2 ( x 1)2 ( x 2) 0 0,25 4 Dấu xảy a = b = c = Gọi N’ là điểm đối xứng N qua I thì N’ thuộc AB, ta có : VI.-1 (1 điểm) xN ' 2 xI xN 4 y N ' 2 y I y N 0,25 Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – = Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri 0,25 0935021369 (6) wWw.VipLam.Info d 4.2 3.1 2 32 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x tam giác vuông ABI có: 1 2 2 d x x suy x = suy BI = Điểm B là giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = với đường tròn tâm I bán kính 0,25 0,25 4x 3y – ( x 2) ( y 1) 5 Tọa độ B là nghiệm hệ: VI -2 (1 điểm) B có hoành độ dương nên B( 1; -1) Xét ba điểm A, B, C nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm AC t ( 5v) 2u t (1 2v) 2.(2 3u ) 2t ( v) 2( 3u) 0,25 Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) 0,25 x y z 1 Đường thẳng qua A, B, C có phương trình 0,25 Gọi z = x + iy ta có VII (1 điểm) 0,25 2 z x iy; z z z z x y 0,25 z z.z z 8 4( x y ) 8 ( x y ) 2 (1) 0,25 z z 2 x 2 x 1 (2) 0,25 Từ (1) và (2) tìm x = ; y = 1 Vậy các số phức cần tìm là + i và - i 0,25 Nguyễn Quốc Vũ – TTBDVH Khai Tri 0935021369 (7)