Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được điểm từng phần như đáp án quy định..[r]
(1)TTBDVH KHAI TRÍ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ SỐ Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 2 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x 3mx 3(m 1) x (m 1) (1) Với m = , khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ dương Câu II (3,0 điểm) cos x cos x 1 2 sin x sin x cos x Giải phương trình Giải phương trình x2 x x 2x x2 ( x ) x y x y 4 x( x y 1) y ( y 1) 2 Giải hệ phương trình 3 x dx x 1 x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N là các điểm di động trên các DMN ABC Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y cạnh AB, AC cho Chứng minh rằng: x y 3 xy Câu VI (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = và hai đường thẳng x 1 y z x y 2 z , d2: 2 d1: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 Câu VII (1,0 điểm) Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n , biết n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = -Hết - (2) SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN 2011 Đáp án gồm 06 trang Câu Nội dung Điểm I 2,0 1,0 Với m =1 thì x y x 1 a) Tập xác định: D 0.25 \ 2 b) Sự biến thiên: x2 4x x 1 y ' 0 x 2 x 2 , x 3 lim y lim y lim y ; lim y y ' 1 , x , x x 2 x 2 0.25 , lim y ( x 1) 0 ; lim y ( x 1) 0 x x Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x – Bảng biến thiên 0.25 Hàm số đồng biến trên khoảng 1; , 2;3 khoảng ;1 , 3; ; hàm số nghịch biến trên Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực trị: yCĐ = x = 1; yCT = x = c) Đồ thị: – – - + + + + 0.25 (3) 1.0 m Với x 2 ta có y’ = 1- ( x 2) ; Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình (x – 2)2 – m = (1) có hai nghiệm phân biệt khác m x1 2 m y1 2 m m Với m > phương trình (1) có hai nghiệm là: x2 2 m y2 2 m m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số là A( m ; m m ) ; B( m ; m m ) Khoảng cách từ A và B tới d nên ta có phương trình: 2 m m 2 m m m 0 m 2 Đối chiếu điều kiện thì m = thoả mãn bài toán Vậy ycbt m = 0.25 0.25 0.25 II 0.25 2.0 Giải phương trình cos x cos x 1 2 sin x sin x cos x 1.0 ĐK: sin x cos x 0 Khi đó 0.25 PT sin x cos x 1 2 sin x sin x cos x sin x cos x sin x sin x.cos x 0 0.25 sin x cos x sin x 0 sin x cos x x k 2 x m 2 k , m Z 0.25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 0.25 (thoả mãn điều kiện) Giải phương trình: x k 2 và x m2 x2 x x x x2 ( x ) 3 x x 0 PT 2 7 x x x 3 x x 3 x x 0 x x 2( x 2) x 1 x 0 x2 x x x k , m Z 1.0 0.25 0.25 x x 1 x 16 0 0.25 0.25 (4) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - Hệ phương trình có nghiệm ( 2; 2) ( 2; 2) (1; 2) ( 2;1) III Tính tích phân Đặt u = 3 x dx x 1 x 1.0 x 0 u 1 x u x 2udu dx ; đổi cận: x 3 u 2 2 0.25 x 2u 8u dx du (2u 6)du 6 du u u u x x 1 Ta có: 2 u 6u 6ln u 1 ln 0.25 0.25 0.25 IV 1.0 D Dựng DH MN H DMN ABC DH ABC mà D ABC là Do tứ diện nên H là tâm tam giác ABC C B N H 0.25 M A 3 DH DA AH Trong tam giác vuông DHA: 2 0.25 S AMN AM AN sin 600 xy Diện tích tam giác AMN là V S AMN DH xy 12 Thể tích tứ diện D AMN là 0.25 1 xy.sin 600 x AH sin 300 y AH sin 300 S S S AMH AMH 2 Ta có: AMN x y 3 xy 0.25 VI.a 2.0 1.0 Do B là giao AB và BD nên toạ độ B là nghiệm hệ: 21 x x y 0 21 13 B ; 5 x y 14 0 y 13 Lại có: Tứ giác nhật nên góc AC và AB góc AB và ABCD là hình chữ n (1; 2); nBD (1; 7); nAC (a; b) BD, kí hiệu AB (với a2+ b2 > 0) là VTPT các cos nAB , nBD cos nAC , nAB đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: 0.25 0.25 (5) a b 2 2 a 2b a b 7a 8ab b 0 a b - Với a = - b Chọn a = b = - Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, x y 0 x 3 A(3; 2) x y y A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm hệ: Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x x y I 7;5 2 x y 14 0 y 5 14 12 C 4;3 ; D ; 5 Do I là trung điểm AC và BD nên toạ độ - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 0.25 0.25 1.0 x 2t x 2 m d1 : y 1 3t ; d : y 5m z 2 t z 2m 0.25 Phương trình tham số d1 và d2 là: Giả sử d cắt d1 M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) và cắt d2 N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN (3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) nP (2; 1; 5) Do d (P) có VTPT m 1 Giải hệ tìm t 1 nên 3 m 2t 2k 5m 3t k k : MN kn p 2m t 5k 0.25 có nghiệm x 1 2t y 4 t z 3 5t VII.a 0.25 0.25 Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: thoả mãn bài toán n Tìm phần thực số phức z = (1 + i) , biết n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 1.0 n N Điều kiện: n Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = log4(n – 3)(n + 9) = 0.25 n 7 n 13 (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = Vậy n = 0.25 Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = i i Vậy phần thực số phức z là (thoả mãn) (không thoả mãn) i (2i) (1 i).( 8i) 8 8i 0.25 0.25 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì điểm phần đáp án quy định (6) (7)