Giáo trình Vi tích phân 1C

Giáo trình Vi tích phân 1C Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán–Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày 19 tháng năm 2018 ii Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối C Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn • Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ • Tham gia biên tập LaTeX: Hồ Thị Kim Vân • Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải • Người biên tập nay: Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Trang web Tài liệu hỗ trợ mơn học Bộ mơn Giải tích có ở: http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich Đây thảo, tiếp tục chỉnh sửa bổ sung Mục lục Số thực Hàm số thực 1.1 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học 1.1.3 Tập hợp số thực 1.1.4 Dãy số thực 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm số sơ cấp 1.2.2 Đồ thị Đường thẳng 12 12 14 Hàm số liên tục 2.1 Giới hạn hàm số 2.1.1 Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi 2.1.2 Giới hạn hàm số 2.1.3 Một số tính chất giới hạn 2.1.4 Các giới hạn mở rộng 2.2 Hàm số liên tục 2.2.1 Tính chất hàm số liên tục 2.2.2 Định lý giá trị trung gian 16 16 16 19 22 24 30 31 33 Phép tính vi phân 3.1 Đạo hàm tính chất 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm 3.1.2 Tính chất đạo hàm 3.2 Các công thức cho đạo hàm 3.2.1 Đạo hàm hàm hợp 3.2.2 Đạo hàm hàm ngược 3.2.3 Đạo hàm hàm sơ cấp 3.2.4 Đạo hàm hàm ẩn 3.2.5 Đạo hàm bậc cao 38 38 38 42 45 45 47 47 50 50 53 53 56 57 60 60 62 65 Ứng dụng đạo hàm 4.1 Cực trị hàm số 4.1.1 Sự tồn giá trị lớn giá trị nhỏ 4.1.2 Các định lý giá trị trung bình 4.2 Đạo hàm tính chất hàm 4.2.1 Tính tăng, giảm, cực trị 4.2.2 Tính lồi, lõm, điểm uốn 4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính iii MỤC LỤC iv 4.2.4 Qui tắc l’Hơpital ứng dụng tính giới hạn 66 Phép tính tích phân 5.1 Định nghĩa tính chất tích phân 5.1.1 Bài tốn diện tích 5.1.2 Định nghĩa tích phân 5.1.3 Các tính chất tích phân 5.2 Định lý Cơ phép tính vi tích phân 5.2.1 Nguyên hàm 5.2.2 Công thức Newton-Leibniz 5.3 Một số phương pháp biến đổi tích phân 5.3.1 Phép đổi biến tích phân 5.3.2 Tích phân phần 5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho 5.3.4 Sự tồn cơng thức cho tích phân 5.3.5 Tính tích phân phương pháp số 5.3.6 Tích phân suy rộng 5.4 Ứng dụng tích phân 5.4.1 Diện tích, thể tích 5.4.2 Giá trị trung bình 5.4.3 Một số ứng dụng khoa học 5.4.4 Xác suất hàm đặc biệt 74 74 74 74 76 77 77 79 82 82 84 85 88 89 90 96 96 97 98 99 Chuỗi 6.1 Tiếp theo Dãy số thực 6.2 Chuỗi số thực 6.2.1 Sự hội tụ chuỗi số 6.2.2 Chuỗi số dương 6.2.3 Chuỗi đan dấu 6.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 105 105 108 108 110 114 116 122 122 124 127 127 130 131 Phương trình vi phân 7.1 Phương trình vi phân mơ hình tốn học 7.1.1 Mơ hình với phương trình vi phân 7.2 Giải phương trình vi phân cấp 7.2.1 Phương trình vi phân cấp tách biến 7.2.2 Phương trình vi phân cấp đẳng cấp 7.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính Tài liệu tham khảo 139 Chương Số thực Hàm số thực 1.1 1.1.1 Số thực Tập hợp ánh xạ Trong toán học nay, tập hợp coi khái niệm ban đầu, từ dùng số qui tắc suy luận định người ta xây dựng kết toán học Có lý thuyết sâu sắc tập hợp tập hợp sở tập hợp số tự nhiên, tập hợp số thực, môn học không thảo luận chúng mà thừa nhận sử dụng số tính chất chúng mà phù hợp với kinh nghiệm đa số người Chúng ta hiểu tập hợp ghép nhóm đối tượng có tính chất chung Các đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Người ta thường dùng chữ in hoa A, B, C, X, Y , Z, để tập hợp thường dùng chữ in thường a, b, c, x, y, z, để phần tử tập hợp Nếu x phần tử thuộc A, ta kí hiệu x ∈ A đọc “x thuộc A” Nếu x khơng phần tử A ta kí hiệu x ∈ / A đọc “x không thuộc A” Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu ∅ Để mô tả tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau: (a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ tập hợp A chứa phần tử x, y, z t, ta viết A = {x, y, z, t} Hay tập hợp B gồm ngày tuần viết B = {thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật} Phương pháp thường dùng để mô tả tập hợp có phần tử (b) Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có Giả sử tập hợp A chứa phần tử có tính chất P Ta viết A = {x | P(x)} Ví dụ tập hợp C gồm sinh viên năm nam viết là: C = {sinh viên năm | sinh viên nam} Phương pháp thường dùng để mô tả tập hợp có nhiều phần tử Để biểu diễn tập hợp cách trực quan ta dùng biểu đồ Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B kí hiệu A ⊂ B CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa phần tử Ví dụ 1.1.1 Cho A = {x, y, z} B = {x, y, z, t} A ⊂ B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng nhau, kí hiệu A = B Các phép toán tập hợp Hợp (hay hội) hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử A B, kí hiệu A ∪ B Vậy x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.2 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∪ B = {a, b, c, x, y, z} Giao hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử A mà phần tử B, kí hiệu A ∩ B Vậy x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.3 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∩ B = {a, x} Hiệu tập A tập B tập gồm tất phần tử A mà khơng thuộc B, kí hiệu A \ B Vậy A \ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ / B) Ví dụ 1.1.4 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A \ B = {b, z} Nếu A ⊂ E E \ A gọi phần bù A E Ví dụ 1.1.5 Cho A = {a, b, x, z} E = {a, b, c, x, y, z} E \ A = {c, y} Tích tập hợp A với tập hợp B tập hợp gồm tất cặp có thứ tự (x, y) với x ∈ A y ∈ B, kí hiệu A × B Ánh xạ Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y Y Người ta thường ký hiệu ánh xạ từ X đến Y f : X → Y , x 7→ y = f (x) Tập X gọi tập hợp nguồn, hay miền xác định ánh xạ, tập Y gọi tập hợp đích ánh xạ Phần tử y gọi ảnh x phần tử x gọi nghịch ảnh (hay tiền ảnh) y Cho A tập X, tập hợp tất ảnh phần tử A qua ánh xạ f gọi ảnh A qua f , tập f (A) = {y ∈ Y | y = f (x), x ∈ A} 1.1 SỐ THỰC Ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f (X) = Im(f ) Cho B tập Y , ta gọi tập hợp nghịch ảnh phần tử B qua ánh xạ f nghịch ảnh B qua f xác định f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh với x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 f (x1 ) 6= f (x2 ), nghĩa hai phần tử nguồn khác cho hai ảnh khác Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh ∀y ∈ Y ∃x ∈ X cho y = f (x) Hay nói cách khác f (X) = Y Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho f (x) = y Khi ánh xạ f −1 : Y → X xác định f −1 (y) = x ⇐⇒ wy = f (x) gọi ánh xạ ngược f 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học Toán học dựa số nhỏ khái niệm tiên đề thừa nhận suy diễn điều khác theo số nhỏ quy tắc Điều khiến cho lý luận kết tốn học có tính chặt chẽ xác cao so với số lĩnh vực hoạt động khác người CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC Hình 1.1.3: Biểu đồ minh họa ánh xạ ngược Nguyên lí trung Một mệnh đề tốn học có hai giá trị sai Vì tốn học không chấp nhận mâu thuẫn (vừa A vừa không A) Một mệnh đề dẫn tới mâu thuẫn mệnh đề sai Phủ định tồn Với hai mệnh đề A B ta tạo thành mệnh đề A ∨ B, đọc “A hay B”, với hàm nghĩa có hai điều A hay B xảy Phủ định A ∨ B A ∧ B, đọc “không A không B”, với hàm nghĩa điều A B xảy Giả sử phần tử x thuộc tập D liên kết với mệnh đề T (x) Ta lập dạng mệnh đề ∃ ∈ D, T (x), đọc “có phần tử x thuộc D mang tính chất T (x)” Phủ định ∃ ∈ D, T (x) ∀x ∈ D, T (x), với hàm nghĩa tất phần tử x thuộc D khơng có tính chất T (x) Có thể nhớ ngắn gọn quy tắc: phủ định tồn với Phủ định tổng quát Với hai mệnh đề A B ta tạo thành mệnh đề A ∧ B đọc “A B” với hàm nghĩa hai điều A B xảy Phủ định A ∧ B A ∨ B, đọc “không A hay khơng B”, với hàm nghĩa hai điều A hay B không xảy Giả sử phần tử x thuộc tập D liên kết với mệnh đề T (x) Ta lập dạng mệnh đề ∀ ∈ D, T (x), đọc “tất phần tử x thuộc D mang tính chất T (x)” Phủ định ∀ ∈ D, T (x) ∃x ∈ D, T (x), với hàm nghĩa có phần tử x thuộc D khơng có tính chất T (x) Có thể nhớ ngắn gọn quy tắc: phủ định với tồn 1.1 SỐ THỰC Phủ định dạng nhân Với hai mệnh đề A B ta tạo mệnh đề A ⇒ B đọc “A dẫn tới B”, hay “A suy B”, với hàm nghĩa có A phải có B Phủ định A ⇒ B A ∧ B, với hàm nghĩa có A mà khơng có B Phép phản chứng Lưu ý mệnh đề A ⇒ B khơng tính sai so với mệnh đề đảo nó, tức dạng B ⇒ A Mệnh đề A ⇒ B có nghĩa với mệnh đề phản đảo nó, tức dạng B ⇒ A (nếu khơng có B khơng có A) Khi người ta cho giả thiết A yêu cầu chứng minh điều B, ta chứng minh điều tương đương mệnh đề phản đảo, phủ định B dẫn tới phủ định A Việc thường tiến hành sau Ta giả sử phản chứng khơng có điều B (giả sử B) suy luận dẫn đến khơng có điều A (tức A) có A tạo mâu thuẫn, trái với giả thiết Vậy kết luận phải có điều B Phép suy luận gọi phép phản chứng Phép quy nạp toán học Trải qua trình thay đổi theo thời gian người hình thành khái niệm số lượng để miêu tả giới Tập hợp số tự nhiên n N = 0, 1, 2, 3, 4, } hình thành q trình sở phép đếm đời sống Từ tiên đề Peano số tự nhiên đưa vào cuối kỉ 19 ta có phép chứng minh quy nạp, cách xác tốn học để tổng quát hóa từ trường hợp đơn lẻ Mệnh đề 1.1.6 Giả sử n0 số tự nhiên với số tự nhiên n ≥ n0 T (n) mệnh đề với giá trị phụ thuộc giá trị n Nếu (a) T (n0 ) đúng, (b) với số tự nhiên k ≥ n0 , T (k) T (k + 1) đúng, T (n) với số tự nhiên n ≥ n0 1.1.3 Tập hợp số thực Dần dần nhu cầu sống tập hợp số tự nhiên mở rộng thành tập hợp Z số nguyên bao gồm số đếm (gọi số nguyên dương) số đối số đếm (gọi số nguyên âm) với số không 0: n Z = − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, } Người ta thường gặp phân số, cặp có thứ tự hai số nguyên, thường viết dạng m n Chúng gọi số hữu tỉ (nghĩa có tỉ số) Tập hợp số hữu tỉ miêu tả n o m Q = x | x = ; m ∈ Z, n ∈ Z \ {0} n CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC Có tương ứng số hữu tỉ với dãy số tự nhiên từ tới 10, gọi biểu diễn số theo hệ số 10, gọi dạng thập phân Theo cách có = 0,35 có dạng thập phân vơ số hữu tỉ có dạng thập phân hữu hạn 20 hạn tuần hoàn 37 = 0,428571428571428571428571 · · · = 0,(428571) Ở ta hiểu tập hữu hạn có tương ứng song ánh với tập hợp số nguyên dương từ tới số ngun dương Ngược lại ta nói tập vơ hạn Người ta coi dãy thập phân vơ hạn khơng tuần hồn số vơ tỉ (nghĩa khơng có tỉ số) Chẳng hạn từ định lý Pythagore 2500 năm trước người ta nhận chiều dài cạnh huyền hình tam giác vng có cạnh góc vng có chiều dài phải có bình phương 2, khơng thể số hữu tỉ, mà số vô tỉ Hội tập hợp số hữu tỉ tập hợp số vô tỉ gọi tập hợp số thực R Các tập hợp có mối quan hệ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Người ta thường biểu diễn trực quan tập số thực hình vẽ đường thẳng định hướng mặt phẳng, gọi trục số thực, điểm đại diện cho số thực Hình 1.1.4: Trục số thực Như nói đầu chương, không sâu khái niệm số thực mà thừa nhận tập hợp số thực có tính chất thường dùng, bao gồm phép toán phép cộng phép trừ, phép nhân phép chia, tính chất chúng tính kết hợp, có số đối, có số nghịch đảo, tính phân phối phép cộng phép nhân, Tập hợp số thực có thứ tự tương thích với thứ tự số tự nhiên mà ta quen dùng Cho tập A ⊂ R • Ta nói tập A bị chặn có số thực α lớn hay số thực thuộc tập A, số α gọi chặn tập A • Tập A bị chặn có số β nhỏ hay số thuộc tập A, số β gọi chặn A • Một tập gọi bị chặn hay giới nội vừa bị chặn vừa bị chặn • Nếu có phần tử α ∈ A cho α lớn hay phần tử thuộc tập A, α gọi phần tử lớn tập A, kí hiệu max A • Nếu có phần tử β ∈ A cho β nhỏ hay phần tử thuộc tập A, β gọi phần tử nhỏ tập A, kí hiệu A Một tính chất quan trọng tập hợp số thực tính đầy đủ Tính chất cốt yếu nhiều kết mơn Vi tích phân Một dạng tính đầy đủ tập hợp số thực tính chất sau, cịn gọi tính liên tục, hay tính chặn nhỏ nhất: Trong tài liệu ta dùng qui tắc kí hiệu số thập phân Việt Nam, giống nhiều nước khác Pháp, Nga, phần nguyên phần thập phân tách biệt dấu phẩy “,” Một số nước Anh, Mỹ thay vào dùng dấu chấm “.” Do phổ biến máy tính phần mềm từ Mỹ mà dấu chấm dùng nhiều hơn, đặc biệt dùng máy tính, người đọc cần ý tới ngữ cảnh để khỏi bị nhầm lẫn < , − g(c) < g(x) f (x) CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 68 Từ ta suy được, với x ∈ (a, c1 ), f (x) ... Phương trình vi phân 7.1 Phương trình vi phân mơ hình tốn học 7.1.1 Mơ hình với phương trình vi phân 7.2 Giải phương trình vi phân cấp 7.2.1 Phương trình vi phân cấp tách... tính tích phân cho 5.3.4 Sự tồn cơng thức cho tích phân 5.3.5 Tính tích phân phương pháp số 5.3.6 Tích phân suy rộng 5.4 Ứng dụng tích phân 5.4.1 Diện tích, ... 66 Phép tính tích phân 5.1 Định nghĩa tính chất tích phân 5.1.1 Bài tốn diện tích 5.1.2 Định nghĩa tích phân 5.1.3 Các tính chất tích phân 5.2 Định