Luận văn thạc sĩ một số phương pháp giải phương trình hàm một biến

Output file ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2011 z MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm biến 1.1 Sử dụng phép biến 1.2 Phương pháp qui nạp 15 1.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng 19 1.4 Sử dụng tính chất hàm số 23 1.4.1 Sử dụng tính liên tục hàm số 1.4.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 23 32 Chương Phương trình hàm với phép biến đổi đối số 36 2.1 Phương trình hàm dạng f (αx  + β)  = af (x) + b 36 αx+β 2.2 Phương trình hàm dạng f x+γ = af (x) + b 42 2.2.1 Mối liên hệ hàm phân tuyến tính phương trình bậc hai 2.2.2 Phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính với hệ số 2.3 Hàm số xác định phép biến đổi đại số 2.4 Phương trình hàm lớp hàm tuần hoàn 42 44 49 56 Chương Phương trình hàm lớp đa thức 63 3.1 Đa thức xác định phép biến đổi đối số 63 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 Một số toán xác định đa thức đơn giản Phép biến đổi vi phân hàm Phương trình dạng P(f)P(g)=P(h) Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q Một số ví dụ áp dụng 63 66 68 74 75 3.2 Một số toán tổng hợp đa thức 78 Kết luận 83 Tài liệu tham khảo 84 z MỞ ĐẦU Phương trình hàm với biến số chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chun tốn trường THPT chun Các tốn liên quan đến phương trình hàm với biến số thường khó phức tạp nhiều so với phương trình hàm nhiều biến với cặp biến tự Trong kì thi học sinh giỏi toán quốc gia Olympic toán khu vực quốc tế năm gần đây, tốn phương trình hàm biến ngày xuất nhiều Chúng xem tốn khó khó bậc trung học phổ thơng Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình hàm biến" trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến, vài dạng tốn điển hình phương trình hàm biến mà nghiệm dễ dàng tìm lớp hàm số sơ cấp biết chương trình tốn phổ thơng vài dạng phương trình hàm đa thức Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến thường dùng số toán minh họa cho phương pháp Chương trình bày phân loại dạng phương trình hàm với phép biến đổi đối số Chương trình bày số dạng phương trình hàm lớp đa thức số toán tổng hợp đa thức Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGND.GS.TSKH Nguyễn z Văn Mậu, người Thầy giúp cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Tốn học, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo Sau đại hoc, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Tốn niên khóa 2009-2011, thầy anh chị đồng nghiệp Semina "Phương pháp toán sơ cấp" trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà nội giúp đỡ góp ý để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Phú Thọ, Ban giám hiệu trường THPT chuyên Hùng vương, Phú Thọ bạn bè đồng nghiệp gia đình động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu z CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong lí thuyết thực hành, khơng có định lí thuật tốn chung để giải phương trình hàm biến tương tự thuật tốn giải phương trình đại số bậc hai Bởi vậy, để giải phương trình hàm biến, ta phải nghiên cứu kỹ tính chất đặc thù hàm số cần tìm, đơn giản hóa phép giá trị đặc biệt biến, đặt ẩn phụ, đổi biến tìm nghiệm riêng, để đưa phương trình hàm biết cách giải 1.1 Sử dụng phép biến Nhận xét 1.1 Đối với phương trình dạng f (A) = B với A, B biểu thức chứa x, A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t, suy biểu thức x theo t Tiếp theo, thay giá trị vào biểu thức A, B Đối với phương trình dạng hàm hợp f (g(x)) = h(x), g(x) có hàm ngược, người ta thường đặt ẩn phụ g(x) = t, để xác định hàm số f (t) Bài tốn 1.1 Tìm hàm số f (x) biết với x 6= 0, ta có f Giải Đặt 1 x =x+ p + x2 1 = t, ta có x = Thay vào (1.1), suy x t r 1 f (t) = + + , t t hay f (t) = + t z √ + t2 · |t| (1.1) Từ đó, ta có f (x) =  √  + + x2     x x > √    − + x2   x < x a + 1 Bài tốn 1.2 Tìm giá trị hàm số f với a ∈ / {0; −1}, biết a   f = x2 − 1, ∀x 6= −1 (1.2) x+1 Giải Đặt a+1 a−1 = , suy x = Từ (1.2), suy x+1 a a+1  a +   a − 2 f = − 1, a a+1 f a + 1 a −4a · (a + 1)2 = Bài toán 1.3 Xác định tất hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f Giải Đặt x + 2 x−1 = 2x + , x2 + ∀x 6= x+2 t+2 = t, x = · Từ giả thiết, ta có x−1 t−1 t+2 +5 t−1 7t2 − 8t + f (t) =  2 = · 2t + 2t + t+2 + t−1 Do 7x2 − 8x + · 2x2 + 2x + f (x) = Đảo lại, ta thấy hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 1.4 Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau f x−3 x − 3 x+1 +f 3 + x 1−x = x 3+t (1.3) Giải Đặt = t, x = Khi phương trình (1.3) viết lại x+1 1−t sau t − 3 + t f (t) + f = · (1.4) t+1 z 1−t Tương tự, đặt 3+x = t Khi phương trình (1.3) viết lại dạng 1−x 3 + t t−3 f + f (t) = · (1.5) 1−t t+1 Cộng vế theo vế (1.4) (1.5), ta 2f (t) + f t − 3 t+1 +f 3 + t 1−t = Suy f (t) = 3+t t−3 8t + · ⇔ 2f (t) + t = · 1−t t+1 − t2 4t − t· 1−t Kiểm tra lại, ta thấy hàm số thỏa mãn đề Nhận xét 1.2 Phương pháp biến có lẽ phương pháp thường sử dụng giải phương trình hàm Ta thực phép sau: - Thay biến, phận chứa biến phương trình hàm cho chữ biểu thức mới, - Hoặc biến biểu thức để làm xuất số biểu thức cần thiết, - Hoặc xây dựng hàm số phụ Nhận xét 1.3 Xét phương trình hàm dạng: a(x)f (x) + b(x).f (g(x)) = c(x), (1.6) a(x), b(x), c(x), g(x) hàm số biết Giả sử miền xác định hàm số cần tìm Df , với x ∈ Df ta xét dãy xác định biểu thức x1 = x; xn+1 = g(xn ), n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1 Dãy xn gọi dãy tuần hoàn tồn số nguyên dương k cho xn+k = xn , ∀n ∈ N∗ (1.7) Số nguyên dương k nhỏ để dãy xn thỏa mãn (1.7) gọi chu kì sở (cịn gọi tắt chu kì) dãy Nếu dãy xn xác định tuần hồn với chu kì k , ta đưa (1.6) hệ k phương trình với k ẩn hàm.Giải hệ ta tìm đươc f (x) z Bài tốn 1.5 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện x2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x4 (1.8) Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn đề Từ (1.8), ta có f (1 − x) = 2x − x4 − x2 f (x) (1.9) Trong (1.8), ta thay x − x ta (1 − x)2 f (1 − x) + f (x) = 2(1 − x) − (1 − x)4 , ∀x ∈ R (1.10) Thay (1.9) vào (1.10) ta f (x)(x2 − x − 1)(x2 − x + 1) = (1 − x)(1 + x3 )(x2 − x − 1), ∀x ∈ R ⇔ (x2 − x − 1)f (x) = (1 − x2 )(x2 − x − 1), ∀x ∈ R Suy ra, f (x) = − x2 với x khác a, b, a b hai nghiệm phương trình x2 − x − = Theo định lí Viete ta có: a + b = ab = −1 (1.11) Lần lượt thay x = a, x = b vào đẳng thức ra, với lưu ý tới (1.11), ta  a f (a) + f (b) = 2a − a4 b2 f (b) + f (a) = 2b − b4 Từ đó, f (a) = c f (b) = 2a − a4 − a2 c, với c ∈ R tùy ý Như   c ∈ R, tùy ý f (x) = 2a − a4 − a2 c  1 − x x = a x = b x 6= a, x 6= b, (1.12) a, b hai nghiệm phương trình x2 − x − = Ngược lại, với lưu ý a, b hai nghiệm phương trình x2 − x − = sử dụng (1.11), dễ dàng kiểm tra thấy f (x) xác định (1.12) thỏa mãn đề Vậy hàm số xác định (1.12) tất hàm số cần tìm Bài tốn 1.6 Tìm tất hàm số f (x) biết với ∀x ∈ R \ {0; 1}, ta có   f (x) + f =x+1− · 1−x x z (1.13) Giải Thay x (1.13), ta 1−x f x − 1
x2 − 3x + + f (x) = · x x(x − 1) (1.14) Lấy phương trình (1.13) trừ cho phương trình (1.14) theo vế với vế ta   x − 1 f −f =x+ · 1−x x x−1 x ta nhận 1−x   = −x + − f (x) − f 1−x Trong phương trình (1.15) thay (1.15) · x (1.16) Lấy (1.13) cộng với (1.16) theo vế với vế, ta 2f (x) = − , x suy x−1 · x f (x) = Kiểm tra lại, ta thấy hàm số thỏa mãn đề Cách 2: Ta giải phương trình hàm (1.13), cách đưa hệ phương trình · Với x 6= 1, xét dãy x1 = x; xn+1 = g(xn ) g(x) = Ta có x1 = x; x2 = ; x3 = 1−x 1+ x−1 x−1 = ; x4 = x 1−x · x−1 1− x Suy dãy xn tuần hồn với chu kì Bằng phép thay x x1 , x2 , x3 ta    f (x1 ) + f (x2 ) = x1 + −     f (x2 ) + f (x3 ) = x2 + −      f (x3 ) + f (x1 ) = x3 + − Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ), ta f (x1 ) = Vậy f (x) = x−1 , ∀x ∈ R \ {0; 1} x z x1 x2 x1 x1 − với x1 6= x1 6= x1 Bài tốn 1.7 (Philippine 2010) Tìm tất hàm số f : R \ {1} → R thỏa mãn  x + 2009  x + f (x) + 2f x−1 = 2010 Giải Với x 6= 1, xét dãy x1 = x; xn+1 = g(xn ), g(x) = Ta có x1 = x; x2 = ta x + 2009 · x−1 x + 2009 ; x3 = x Bằng phép thay x x1 , x2 x−1  x1 + f (x1 ) + 2f (x2 ) = 2010 x2 + f (x2 ) + 2f (x1 ) = 2010 Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ), ta f (x1 ) = Vậy f (x) = x21 + 2007x1 − 6028 với x1 6= 3(x1 − 1) x2 + 2007x − 6028 , ∀x ∈ R \ {1} 3(x − 1) Bài tốn 1.8 Tìm tất hàm số f (x), biết với ∀x 6= −1 ta có xf (x) + 2f x − 1 x+1 (1.17) = Giải Mỗi x 6= 1, xét dãy x1 = x; xn+1 = g(xn ) g(x) = Ta có x1 = x; x2 = x−1 · x+1 x−1 x+1 ; x3 = − ; x4 = ; x5 = x x+1 x 1−x Suy ra, dãy xn tuần hồn với chu kì Bằng phép thay x x1 , x2 , x3 , x4 , ta đưa (1.12) hệ sau:  x − 1   x f (x ) + 2f =1 1   x1 +     x −1   x2 f (x2 ) + 2f =1 x2 +  x 3−1   x3 f (x3 ) + 2f =1   x3 +       x4 f (x4 ) + 2f x1 − = x1 + Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ) ta được: f (x1 ) = 4x21 − x1 + (với x1 ∈ / {−1; 0; 1}) 5x1 (x1 − 1) Cho x = từ (1.17), suy ra, 2f (−1) = hay f (−1) = · Cho x = từ (1.17), suy f (1) + 2f (0) = 10 z ... thơng Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình hàm biến" trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến, vài dạng tốn điển hình phương trình hàm biến mà nghiệm dễ dàng tìm lớp hàm số. .. CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong lí thuyết thực hành, khơng có định lí thuật tốn chung để giải phương trình hàm biến tương tự thuật tốn giải phương trình đại số bậc... chương trình tốn phổ thơng vài dạng phương trình hàm đa thức Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương trình bày số phương pháp giải phương trình hàm biến thường dùng số