Bt hh9 c1

Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông Chương HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài Hệ thức cạnh góc vng đường cao Tóm tắt lý thuyết Cho tam giác Đặt ABC vuông A , đường cao AH AB c , BC a , CA b , AH h , BH c ' , CH c ' Khi ta có hệ thức sau  a b  c  a.c ' c  a.h b.c  b '.c ' h  a.b ' b 1  2 2 a b  h Các ví dụ  Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH Biết AB 3  cm  , AC 4  cm  Tính BC , AH , BH , CH  Lời giải Ta có BC  AB  AC 32  42 25  BC 5  cm  AH BC  AB AC  AH  AB AC 3.4  2,  cm  BC AB 32  BH   1,8  cm  BH BC  AB BC CH BC  BH 3,  cm  Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vng  Ví dụ ABC vuông A , đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ) biết AB a , BC 2a Tính theo a độ dài AC AH Cho tam giác  Lời giải Theo định lí Pitago, ta có BC  AB  AC suy 2 2 AC BC  AB  2a   a 3a  AC a Lại có AH BC  AB AC  AH  AB AC a  BC  Ví dụ ABC vng A , có AB 3  cm  , AC 4  cm  , đường cao AH Gọi E , F hình chiếu H lên AB , AC Tính diện tích tứ giác AEHF Cho tam giác  Lời giải Tứ giác AEHF có ba góc A , E , F góc vng nên AEHF hình chữ nhật Do Ta có S AEHF  AE AF BC 5  cm  AH 2,  cm  , giác vuông nên tam AHB AHC ta có AH  AE  2, 76  cm  AE AB  AH AB AF AC  AH Suy  AF  AH 1, 44  cm  AC S AEHF 2, 76.1, 44 3,9744  cm   Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết BH 25  cm  , CH 144  cm  Tính AB , AC , BC , CH  Lời giải Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông BC BH  HC 25  144 169 AB BH BC 25.169  AB 65  cm  AC CH BC 144.169  AC 156  cm  AH BH CH 25.144  AH 60  cm   Ví dụ Cho tam giác Tính ABC vng A , đường cao AH Biết BH  25 60  cm  AH  12 13 ,  cm  AB , AC , BC , CH  Lời giải Ta có BH CH  AH  CH  AH 144  cm BH 13 BC BH  CH 13 cm AB BH  CH  652 65  AB  cm 13 13 12 AC CH CB 144  AC 12 cm BH  cm  Ví dụ Cho tam giác ABC vng B , đường cao AB 3BC Tính AB, AC, BC,AH, CH  Lời giải AB  BC Từ giả thiết ta suy 1  2 BA BC Suy Mặt khác, ta có BH 25 16 25     BC 16  BC 4 cm 2 144 BC BC BC Suy BA 3 cm Từ đây, ta tìm AC 5 cm, AH 1,8 cm , CH 3, cm Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vng  Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh cm Gọi M, N trung điểm AD, DC I giao điểm AN, BM Chứng minh AN vng góc với MB Tính AI, MI Tính diện tích tứ giác BINC  Lời giải 1.Xét hai tam giác ADN BAM  ˆ ˆ có A D 90 , AD  AB , DN  AM Suy ADN BAM (c  g  c) ,  DAN  ABM Suy   MAI  AMI DAN  AMB  ABM  AMB 90 Từ đây, ta có AN  BM 2 2 Ta có BM  AM  AB 5  20 25  BM 5 cm Suy MI  AM 1cm, AI  AM  MI 5  4  AI 2 cm MB S BCNI S BCN  S BIN  ( BI IN  BC CN ) 11cm 2 Ta có 12 AH  cm  Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có BC 5 cm , đường cao Tính BH, CH  Lời giải 144 BH CH  AH  25 Từ (1) ta có Giả sử BH CH Ta có BH  HC BC 5 Mặt khác ( BH  CH ) 25 , 2 suy BH  BH CH  CH 25  BH  CH 25  288 237  25 25 Do ( BH  CH ) BH  BH CH  CH  Suy BH  CH  337 288 49   25 25 25 Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vng Từ (1) (2) ta có BH= (BH+CH)+(BH-CH) 16 = cm, CH = BC - BH = cm 5  Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , kẻ HM vng góc với AB AB BM  BC M Chứng minh  Lời giải Trong tam giác vng AHB ta có BM BA BH , suy BM  BH AB Mặt khác, tam giác vuông ABC , ta có BH BC  AB , hay BH  AB AB AB BM   BC Do AB.BC BC Vậy tốn chứng minh  Ví dụ 10 Cho hình vng ABCD , I điểm thay đổi cạnh AB ( I khác A B ) 1  DK không đổi Đường thẳng DI cắt BC K Chứng minh DI  Lời giải Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI , cắt BC H Xét hai tam giác ADI CDH       có A C 90 , AD DC , CDI CDH (cùng phụ với góc CDI ) Suy ADI CDH (g  c  g) , DI DH Suy 1 1     2 2 DI DK DH DK DC Từ đó, ta có đpcm  Ví dụ 11 Cho tam giác ABC cân A , có góc A nhọn Vẽ BM AM  AB  2   1  BC  vng góc với AC Chứng minh MC Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông  Lời giải |Gọi D điềm đối xứng với C qua A , AB  AD  AC nên tam giác BCD vng B có đường cao BM 2 Suy CM CD BC  CM 2 AC BC , suy AC AM  AC  2  1   CM CM Mà AB  AC , nên ta có  BC  AM  AB  2  1  CM  BC  Vậy toán chứng minh Luyện tập  Bài Cho tam giác vuông ABC , đường cao AH , cạnh góc vng AC 60 cm , cạnh huyền BC 100 cm Tính chu vi tam giác ABC , ABH , ACH  Lời giải 2 Xét tam giác vng ABC có AB  BC  AC 80 cm AH  AB AC 60 80  48 cm BC 100 AB BH  64 cm, CH BC  BH 36 cm BC Chu vi tam giác ABC AB  BC  CA 240 cm  Chu vi tam giác ABH AB  AH  HB 192 cm  Chu vi tam giác ACH : AC  AH  HC 144 cm  Bài Cho tam giác vng có canh góc vng cm 12 cm Tìm cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền  Lời giải Các hình chiều cạnh lên cạnh huyền là: BH   AB 52 25   cm BC 13 13 CH BC  CH 13   25 144  cm 13 13  Bài Tìm canh tam giác vuông, biết đường cao đường trung tuyền ứng với cạnh huyền theo thứ tự cm cm Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vng  Lời giải Vì AM trung tuyến tam giác ABC vuông A nên AM MC MB 5 cm , suy BC 2 MA 10 cm 2 Xét AHM : HM  AM  AH 3 cm Suy BH MB  HM 2 cm, HC HM  MC 8 cm Xét tam giác vuông ABC :  AB BH BC 20  AB 2 cm  AC CH CB 80  AC 4 cm  Bài Tìm cạnh tam giác vuông, biết đường cao ứmg với cạnh huyền cm , diện tích tam giác vuông 20 cm  Lời giải Ta có BC  2S ABC 2.20  10 cm AH Đặt BH x( x  0) Ta có AH BH CH  16 x (10  x )  x 2  x  10 x  16 0    x 8 2 Khi BH 2 cm : AB BH BC 2,10  AB 2 cm; AC  BC  AB 4 cm 2 Khi BH 8 cm : AB BH BC 8 10  AB 4 cm; AC  BC  AB 2 cm Khi ba cạnh tam giác cm, cm 10 cm  Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AH 6 cm HC  HB 9 cm Tính HB, HC  Lời giải Đặt BH  x  CH 9  x với x  Ta có AH BH HC  x (9  x) 36  x  x  36 0  x  12   x 3 Vậy HB 3 cm, HC HB  12 cm Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông  Bài Cho tam giác ABC vuông ABC A, AB  AC , đường cao AH 18 cm Tính chu vi tam giác  Lời giải Đặt AB 3x  AC 4 x với x  2 Suy BC  AB  AC 5 x 1 AB AC 12 x 15  2  AH    x  cm 2 2 AH AB AC AB  AC Ta có Chu vi tam giác ABC AB  BC  CA 12 x 90 cm  Bài Cho tam giác ABC vuông A vái AB  AC đường cao AH Tính AB, AC biết AH 6 cm diện tích tam giác ABC 37,5 cm  Lời giải Giả sử tam giác ABC có đường cao AH Ta có BC  2S ABC 37,5  12,5 cm AH Đặt BH x( x  0) Ta có  x  AH BH CH  36 x.(12,5  x)  x  12,5 x  36 0    x 8 2 9 15 BH  cm : AB BH BC  12,5  AB  cm; AC  BC  AB 10 cm 2 Khi 2 Khi BH 8 cm : AB BH BC 8 12,5  AB 10 cm; AC  BC  AB 7,5 cm Khi ba cạnh tam giác AB 7,5 cm, AC 10 cm BC 12,5 cm  Bài Cho hình thang ABCD vng A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB 2 13, OA 6 Tính diện tích hình thang  Lời giải Xét OAB vng O , ta có: OB  AB  OA2  (2 13)  62 4 Xét ABD vng A , đường cao AO ta có: Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông AB BD OB  BD    AB (2 13)2  13 OB AD  BD  AB  132  (2 13)2 3 13 Ta có OD BD  OB 13  9 Xét ADC ABC vng D ta có: AD.DC OD AC  DC  Mà AD OA AC  AC  AD AD (3 13)   19,5 OA OA OD AC 9.19,5 13   AD 13 S ABCD  AD.( AB  DC ) 126, 75 Vậy (đvdt)  Bài Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH , cạnh bên AC 30, HB 32 Tính độ dài AH , HC , AB  Lời giải Đặt HC x( x  0) Xét ABC vng A , đường cao AH ta có AH HC.HB  30 x ( x  32)  ( x  18)( x  50) 0  x 18   x  50 2 Xét AHC vng H ta có AH  AC  HC 24 Xét ABC vuông A ta có AB HB.BC 32.(32  18) 40  Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 60 cm, AD 32 cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC Đường cắt AC E AB F Tính độ dài đoạn EA, EC , ED, FB, FD  Lời giải Xét tam giác vuông ADC ta có AD AD 322 256 EA     cm 2 2 AC 17 AD  CD 32  60 CD 602 900 EC    cm AC 17 322  602 Xét tam giác vng ADE có 322.602 480 tam giác vng ADE có ED  EA.EC    cm  2 32  60 17 Dự án tài tập toán Chương 1: Hệ thức lượng tam giác vuông FD  AD 322 544   cm ED 32 60 15 68 322 682 256  322  cm 60 15 256 644 FB  AB  AF 60   cm 15 15 AF  FD  AD   Bài 11 Tính diện tích hình thang ABCD , có đường cao 12 cm , hai đường chéo AC BD vng góc với nhau, DB 15 cm  Lời giải Qua B vẽ đường thẳng song song với AC , cắt DC E Gọi BH đường cao hình thang Ta có BE // AC nên BE  BD Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BDH , ta có BH  HD BD  122  HD 152  HD 225  144 81  HD 9 cm Xét tam giác BDE vuông B , ta có BD DE.DH  152 DE.9  DE  225 25 cm Ta có AB CE nên AB  CD CE  CD DE 25 cm Do S ABCD  25 12 150 cm 2  Bài 12 Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD 10 cm , đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tìm đường cao hình thang  Lời giải Gọi AH , BK đường cao hình thang, Đặt AB  AH BK  x Dễ dàng chứng minh DH CK  DC  AB 10  x  2 10  x HC  Do Xét ADC vng A , ta có AH HD.HC Do Từ suy x 2 cm Đường cao hình thang cm  Bài 13 Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72 cm , hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền cm  Lời giải 10