Nhóm file Word toán THCS CHỦ ĐỀ 3 – GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 DẠNG 1 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 2 DẠNG 2 TOÁN NĂNG SUẤT 4 DẠNG 3 TOÁN[.]
Nhóm file Word tốn THCS CHỦ ĐỀ – GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG .2 DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT .4 DẠNG 3: TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC .5 DẠNG TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ DẠNG TOÁN PHẦN TRĂM .9 DẠNG 6: TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC 10 II GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .12 DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG .12 DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT 16 DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC 19 DẠNG 4: TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC 20 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỰNG TRONG CHỦ ĐỀ 21 I GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 21 II GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 22 Nhóm file Word tốn THCS I GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp chung Bước Kẻ bảng được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước Giải thích bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình Bước Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, trả lời tốn DẠNG 1: TỐN CHUYỂN ĐỘNG 1.1 Chuyển động Ghi nhớ công thức: Quãng đường = Vận tốc Các bước giải thời gian Bước Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường điền thông tin vào bảng gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước Giải thích ô bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình Bước Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, trả lời tốn Ví dụ Một xe máy từ đến thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm đến sớm so với dự định, vận tốc giảm đến muộn với dự định Tính quãng đường Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định Trường hợp Trường hợp Gọi vận tốc thời gian dự định Điều kiện Quang đường (giờ) Trong trường hợp 1: Vận tốc , thời gian (giờ) Suy quãng đường Do qng đường khơng đổi nên ta có phương trình Trong trường hợp 2: Vận tốc , thời gian (giờ) so Nhóm file Word toán THCS Suy quãng đường Do quãng đường khơng đổi nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) Vậy quãng đường 1.2 Chuyển động dòng nước ca nơ Vận tốc xi dịng = Vận tốc riêng ca nơ + Vận tốc dịng nước (viết tắt ) Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nô – Vận tốc dòng nước (viết tắt , ý Quãng đường = Vận tốc ) thời gian; Ví dụ Một ca nơ chạy khúc sơng, xi dịng ngược dịng hết phút Lần khác, ca nơ xi dịng ngược dịng hết phút Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước, biết vận tốc khơng đổi Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Xuôi dịng lần Ngược dịng lần Xi dịng lần Ngược dòng lần Đổi phút giờ; phút Gọi vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước Điều kiện Nhóm file Word tốn THCS Trong lần +) Vận tốc xi dịng (giờ) , qng đường xi dịng +) Vận tốc ngược dịng nên thời gian xi dịng , qng đường ngược dòng nên thời gian ngược dòng (giờ) Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng hết nên ta có phương trình Trong lần +) Vận tốc xi dịng (giờ) , qng đường xi dòng +) Vận tốc ngược dòng nên thời gian xi dịng , qng đường ngược dịng nên thời gian ngược dịng (giờ) Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng hết nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT Năng suất lượng công việc làm đơn vị thời gian Tổng lượng công việc = Năng suất Thời gian Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian Thời gian = Tổng lượng cơng việc : Năng suất Ví dụ Để hồn thành cơng việc theo dự định cần số công nhân làm số ngày định Nếu tăng thêm cơng nhân cơng việc hồn thành sớm ngày Nếu bớt cơng nhân phải thêm ngày hồn thành cơng việc Hỏi theo dự định cần cơng nhân làm Nhóm file Word tốn THCS ngày? Lời giải Số công nhân Số ngày Lượng công việc Dự định Trường hợp Trường hợp Gọi số công nhân số ngày theo dự định Điều kiện: Lượng công việc theo dự định Trường hợp 1: Số công nhân (công nhân), (ngày) (ngày công) (công nhân), số ngày (ngày) Do lượng cơng việc (ngày cơng) Vì lượng cơng việc khơng đổi nên ta có phương trình Trường hợp 2: Số công nhân (công nhân), số ngày (ngày) Do lượng cơng việc (ngày cơng) Vì lượng cơng việc khơng đổi nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) (công nhân), (ngày) Vậy số công nhân số ngày theo dự định DẠNG 3: TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC Bài tốn Nếu hai người làm chung sau ngày (giờ, phút, ) xong công việc Nếu người I làm ngày nghỉ người II làm tiếp ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Hỏi làm để hồn thành cơng việc người ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc ngày người I làm , người II làm (ngày) Điều kiện: (lượng công việc) * ngày người I làm , người II làm (lượng công việc) Do hai người làm chung sau ngày xong cơng việc nên ta có phương trình Nhóm file Word tốn THCS * ngày người I làm , ngày người II làm (lượng công việc) Do người I làm ngày nghỉ người II làm tiếp ngày xong cơng việc nên ta có phương trình Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện trả lời toán Bài toán Nếu hai người làm chung sau ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Làm chung ngày người I nghỉ người II làm tiếp ngày (giờ, phút, ) xong cơng việc Hỏi làm để hồn thành cơng việc người ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc Suy ngày người I làm , người II làm (ngày) Điều kiện: (lượng công việc) * k ngày người I làm , người II làm (lượng công việc) D hai người làm chung sau k ngày xong cơng việc nên ta có phương trình (1) * m ngày hai người làm (lượng công việc) n ngày người II làm (lượng công việc) Do làm chung m ngày người I nghỉ người II làm tiếp n ngày xong cơng việc nên ta có phương trình (2) Giải hệ (1), (2); đối chiếu điều kiện trả lời tốn Ví dụ Hai người thợ làm công việc 30 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm tổng số họ làm 50% công việc Hỏi người làm công việc xong? Lời giải Đổi 30 phút = Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > Suy người I người II làm (lượng cơng việc) Nhóm file Word tốn THCS * 30 phút hai người làm (lượng công việc) Do hai người thợ làm cơng việc 30 phút xong nên ta có phương trình (1) * người thứ I làm (lượng công việc) * người thứ II làm (lượng cơng việc) Vì người I làm người II làm tổng số họ làm 50% cơng việc nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (2) (thỏa mãn điều kiện) Vậy làm xong cơng việc, người I cần 18 giờ, người II cần Ví dụ Hai người thợ làm cơng việc sau 40 phút hồn thành Nếu người thứ làm sau người thứ hai vào làm 40 phút hồn thành Hỏi người làm xong? Lời giải Đổi 40 phút = giờ; 40 phút = Gọi thời gian người I, người II làm xong cơng việc x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > Suy người I người II làm (lượng công việc) * 40 phút hai người làm (lượng công việc) Do hai người thợ làm công việc 40 phút xong nên ta có phương trình (1) * người thứ I làm (lượng cơng việc) Nhóm file Word tốn THCS * 40 phút hai người làm (lượng công việc) Vì người thứ làm sau người thứ hai vào làm 40 phút hồn thành nên ta có phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (2) (thỏa mãn điều kiện) Vậy làm xong công việc, người I cần giờ, người II cần Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Nếu mở vời I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảy bể Hỏi vời chảy riêng đầy bể bao lâu? Lời giải Đổi 45 phút = giờ; 40 phút = Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy đầy bể x, y (giờ) Điều kiện: x > 0, y > Suy vòi I vòi II chảy (bể) * hai vòi chảy (bể) Do hai người vòi chảy sau đầy bể nên ta có phương trình (1) * người thứ I làm (bể) * 45 phút vòi I chảy (bể), 30 phút vời II chảy (bể) Vì mở vời I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảy phương trình Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: (2) bể nên ta có Nhóm file Word toán THCS (thỏa mãn điều kiện) Vậy chảy riêng để đầy bể, vòi I cần giờ, vòi II cần Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Cùng chảy khóa vịi I lại vòi II phải chảy thêm 12 đầy bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu? Lời giải Gọi thời gian vòi I, vịi II chảy đầy bể (giờ) Điều kiện: Suy vòi I vòi II chảy (bể) hai vòi chảy (bể) Do hai vòi chảy sau đầy bể nên ta có phương trình (1) hai vịi chảy (bể), 12 vòi II chảy (bể) Vì chảy khóa vịi I lại vòi II phải chảy thêm 12 đầy bể nên ta có phương trình (2) Từ (1)(2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn) Vậy chảy riêng để đầy bể, vòi I cần giờ, vịi II cần 18 DẠNG TỐN VỀ CẤU TẠO SỐ Chú ý đặt điều kiện ẩn: + Với số có hai chữ số Số Đổi chỗ hai chữ số số chữ số khác nên điều kiện : ta Nhóm file Word tốn THCS Chèn số vào số Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 14 đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Lời giải Gọi số cần tìm , điều kiện Vì tổng hai chữ số 14 nên ta có phương trình Do đổi chỗ hai chữ số số (1) ta số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị nên ta có phương trình (2) Từ (1)(2) ta có hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) Vậy số cần tìm 86 Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị 12 Nếu thêm số vào hai chữ số ta số có ba chữ số lớn số ban đầu 180 đơn vị Tìm số ban đầu Lời giải Gọi số ban đầu , điều kiện Vì tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị 12 nên ta có phương trình Do thêm số vào hai chữ số số ta có phương trình Thay vào Vậy số ban đầu 25 ta số có ba chữ số lớn số ban đầu 180 đơn vị nên ta (thỏa mãn) (thỏa mãn) Ví dụ 3.Cho số tự nhiên có hai chữ số Biết tổng hai chữ số Nếu lấy số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 18 Tìm số ban đầu Lời giải Gọi số cần tìm , điều kiện Vì tổng hai chữ số nên ta có phương trình Do lấy số (1) chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 18 nên ta có phương trình (2) Từ (1)(2) ta có hệ phương trinh (thoả mãn) Vậy số cần tìm 72 DẠNG TỐN PHẦN TRĂM Dự kiến ngày làm (sản phẩm) Thực tế ngày tăng nghĩa là : + Số sản phẩm tăng thêm ngày (sản phẩm) 10 Nhóm file Word toán THCS Lời giải Số hàng ghế Số ghế / hàng Tổng số ghế Ban đầu Trường hợp Trường hợp Gọi số hàng ghế số ghế hàng lúc đầu Điều kiện: Tổng số ghế lúc đầu Trường hợp 1: Số ghế (hàng) (ghế) (ghế) (ghế), số ghế hàng Suy tổng số ghế trường hợp Do toonge số ghế trường hợp giảm (ghế) (ghế) ghế so với ban đầu nên ta có phương trình: (1) Trường hợp 2: Số ghế (ghế), số ghế hàng Suy tổng số ghế trường hợp Do tổng số ghế trường hợp tăng thêm (ghế) (ghế) ghế so với ban đầu nên ta có phương trình: (2) Từ ta có hệ phương trình: Vậy phịng họp lúc ban đầu có (thỏa mãn điều kiện) (hàng ghế ) có tổng số ghế là: 13 (ghế) Nhóm file Word tốn THCS II GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp chung Bước 1: Kẻ bảng được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước 2: Giải thích bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời tốn DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 1.1.Chuyển động Ghi nhớ công thức Quãng đường = Vận tốc Các bước giải Thời gian Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường điền thông tin vào bảng gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước 2: Giải thích ô bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời tốn Ví dụ Một người xe đạp từ A đến B cách km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Lúc Lúc Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B Vận tốc từ B trở A (km/h) Thời gian lúc lúc Vì thời gian thời gian phút Vậy vận tốc lúc (km/h) Điều kiện: (giờ) nên ta có phương trình : (km/h) 14 Nhóm file Word tốn THCS Ví dụ Qng đường từ A đến B dài km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc (km/h) Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Lúc Lúc Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B Vận tốc từ B trở A (km/h) Thời gian lúc lúc Vì thời gian nghỉ có phương trình : Có phút (km/h) Điều kiện: (giờ) thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A = (-31)2 – 4.1.(- 180) = 1681 > nên ta nên x= (thỏa mãn), x = -5 ( loại) Vậy vận tốc lúc 36 (km/h) Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người Lời giải Vận tốc Dự định Thời gian x Quãng đường 60 15 Nhóm file Word tốn THCS Thực tế x 30 x+2 30 Đổi 30 phút = Gọi vận tốc dự định x ( km/h) Điều kiện: x > Thời gian dự định (giờ) Thời gian người 30 km đầu (giờ) Thời gian người 60 – 30 = 30 km lại Do xe đến B hạn nên ta có phương trình ( giờ) + + = = x2 + 2x - 120 = x2 + 2x + – 121= (x+1)2 = 121 x+ 1= x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại) Vậy vận tốc dự định 10 ( km/h) Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định x 120 Thực tế x x x+6 120 - x Đổi 10 phút = Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x ( km/h) Điều kiện: x > Thời gian dự định ô tô (giờ) Trong đầu ô tô x (km) nên quãng đường cịn lại 120 - x (km) 16 Nhóm file Word tốn THCS Thời gian tơ quãng đường lại Do xe đến B hạn nên ta có phương trình (giờ) +1+ = = 2 6(x + 720)=7(x + 6x) x + 42x – 4320 = ( x – 48 )( x + 90 )= x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại) Vậy vận tốc lúc đầu ô tơ 48 ( km/h) 1.2 Chuyển động dịng nước Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nơ + vận tốc dịng nước ( viết tắt vx= vr + vn) Vận tốc ngược dịng = Vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dòng nước ( viết tắt vng= vr - vn, ý vr > ) Quãng đường = vận tốc x thời gian; Sx= vx.tx; Sng= vng.tng Ví dụ 1: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Lời giải Vận tốc Thời gian Qng đường Xi dịng x+2 48 Ngược dịng x-2 60 Gọi vận tốc tàu nước yên lặng x ( km/h) Điều kiện: x > Vận tốc lúc xi dịng ngược dịng x + 2; x – (km/h) Thời gian xi dịng ngược dịng (giờ) Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có phương trình =1 x2 - 12x – 220 = x2 - 12x + 36 – 256 = (x – 6)2 = 256 x– = x = 22 ( thỏa mãn), x = - 10 (loại) Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 22 ( km/h) 17 Nhóm file Word tốn THCS Ví dụ Lúc 30 phút sáng, ca nơ xi dịng sơng từ A đến B dài Khi đến B, ca nơ nghỉ 30 phút sau lại ngược dịng từ B đến A lúc 10 36 phút ngày Tìm tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước Lời giải Vận tốc Quãng đường Thời gian Xi dịng x+3 48 Ngược dịng x-3 48 Gọi vận tốc riêng ca nô x ( km/h) Điều kiện: x > Vận tốc lúc xi dịng ngược dịng x + 3; x – (km/h) Thời gian xi dịng ngược dịng (giờ) Vì tổng thời gian đi,về, nghỉ 10 36 phút – 30 phút = nên ta có phương trình + + = 3x2 - 80x - 27= Có x= ( thỏa mãn), x = Vậy vận tốc riêng ca nô 27 ( km/h) nên (loại) 18 thời gian nghỉ 30 phút = Nhóm file Word tốn THCS DẠNG 2: TỐN NĂNG SUẤT Năng suất lượng công việc làm đơn vị thời gian Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng cần sản xuất sản phẩm? Lời giải Số sản phẩm / ngày Số ngày Tổng số sản phẩm Kế hoạch x 1100 Thực tế x+5 1100 Gọi số sản phẩm ngày xưởng cần làm theo kế hoạch (sản phẩm) Điều kiện: Số sản phẩm ngày phân xưởng làm thực tế (sản phẩm) Số ngày phân xưởng cần làm theo kế hoạch (ngày) Số ngày phân xưởng cần làm thực tế (ngày) Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm ngày nên ta có phương trình: Có nên (thỏa mãn), (loại) Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng cần làm 50 (sản phẩm) Ví dụ Một đội xe dự định dùng số xe loại để chở 60 hàng Lúc khởi hành có xe phải điều làm việc khác nên tham gia chở hàng Vì vậy, xe cịn lại phải chở nhiều dự định hàng Tính số xe theo dự định đội đó, biết xe chở khối lượng hàng 19 Nhóm file Word tốn THCS Lời giải: Số hàng/xe Số xe Tổng số hàng Dự định 60 Thực tế 60 Gọi số xe theo dự định đội x (xe) Điều kiện: Thực tế số xe (xe) Số hàng xe theo dự định thực tế (tấn) Vì xe thực tế phải chở nhiều dự định hàng nên ta có phương trình: Có nên (loại), Vậy số xe dự định đội 15 (xe) (thỏa mãn) Ví dụ Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định Lời giải Số sản phẩm/ngày Số ngày Dự kiến Tổng số sản phẩm 600 400 Thực tế 200 20 ... Word tốn THCS Thực tế x 30 x+2 30 Đổi 30 phút = Gọi vận tốc dự định x ( km/h) Điều kiện: x > Thời gian dự định (giờ) Thời gian người 30 km đầu (giờ) Thời gian người 60 – 30 = 30 km cịn lại Do xe... ca nô nghỉ 30 phút sau lại ngược dịng từ B đến A lúc 10 36 phút ngày Tìm tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dịng nước Lời giải Vận tốc Quãng đường Thời gian Xi dịng x +3 48 Ngược dịng x -3 48 Gọi vận... tốc lúc xi dịng ngược dòng x + 3; x – (km/h) Thời gian xi dịng ngược dịng (giờ) Vì tổng thời gian đi,về, nghỉ 10 36 phút – 30 phút = nên ta có phương trình + + = 3x2 - 80x - 27= Có x= ( thỏa