toanthaycu com chuyên đề 4 giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM CHUYÊN ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giải tốn cách lập hệ phương trình lớp dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất đề thi học kì, kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Để giải dạng tốn lập hệ phương trình lớp 9, học sinh cần nắm cách giải hệ phương trình bậc phương pháp cộng đại số phương pháp Ngoài ra, kỹ quan trọng cách đặt ẩn biểu thị mối quan hệ ẩn để có hệ phương trình A Phương pháp giải toán cách lập hệ phương trình Cách giải tốn cách lập hệ phương trình, thực bước sau: - Bước 1: Lập hệ phương trình - Biểu diễn hai đại lượng phù hợp ẩn số x y (thường đặt ẩn số đại lượng đề u cầu cần tìm, ví dụ u cầu tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn đặt x chiều dải mảnh vườn, y chiều rộng mảnh vườn ) Sau đó, đặt đơn vị điều kiện ẩn cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hồn thành cơng việc số âm ) - Biểu thị đại lượng chưa biết lại qua ẩn - Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng thành lập hệ hai ẩn từ phương trình vừa tìm - Bước 2: Giải hệ phương trình nói - Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm thỏa mãn điều kiện toán nêu kết luận B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, đường sơng có tính đến dịng nước chảy) Phương pháp Đối với dạng toán này, cần ý đến điều kiện ẩn: - Nếu gọi x vận tốc chuyển động điều kiện x  - Đặt thời gian chuyển động y điều kiện y �0 - Một số công thức: - Quãng đường vận tốc nhân thời gian, s=v.t; - Vận tốc nước đứng yên = vận tốc riêng; - Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước; - Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng - vận tốc dòng nước - Nếu hai xe ngược chiều xuất phát gặp lần đầu: - Thời gian hai xe nhau, - Tổng quãng đường xe quãng đường cần xe Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM - Cách đổi đơn vị thời gian, vận tốc: - 1 h (1 giờ) = 60 phút - 1( m / s)  3, 6( km / h) , 1 m  1/1000 km 1 s  1/ 3600 - 1( km / h)  /18( m / s) Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: (Nghệ An, 2014 – 2015) Một ô tô xe máy hai địa điểm A B cách 180km , khởi hành lúc ngược chiều gặp sau Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km / h Tính vận tốc xe Giải: Gọi vận tốc ô tô x(km/h) x (km/ h) vân tốc xe máy y  km/h  ( Đk: x  y  0, x  10 ) Ta có phương trình : x  y  10 (1) x  km  Sau  2 ô tô quãng đường y  km  Sau  2 xe máy qng đường là: chúng gặp nhau, ta có phương trình: x  y  180 hay x  y  90 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình : �x-y=10 �x=50 �� (TM) � �x+y=90 �y=40 Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy là: 40 km/h Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc ô tô xe máy? Giải Gọi vận tốc ô tô x  km/h  Gọi vận tốc xe máylà , đk: x  y  km/h  , đk: y  80 Thời gian xe máy để gặp ô tô y (giờ) Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 100 Quãng đường ô tô 100 km nên thời gian ô tô y (giờ) 100 80  y (1) ta có phương trình x 60 Quãng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy y (giờ) 120 Quãng đường ô tô 120 km nên thời gian ô tô y (giờ) 120 60 9   (2) y 10 Vì tơ trước xe máy 54 phút = 10 nên ta có phương trình x 100 80 100 80 � � �x  y �x  y  � � �� � 120 60 � �40  20    � � y 10 y 10 �x Từ (1) (2) ta có hệ phương trình � x 100 80 � �60 12  �x  y  � �x  50 � �x 10 �� �� �� (TM ) 100 80 160 80 12 y  40 � � �  0   y � �x y 10 � �x Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h Ví dụ 3: (Ninh Bình, 2014 – 2015) Một xe máy từ A đến B Sau giờ, tơ từ A đến B với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10 km/h Biết ô tơ xe máy đến B lúc Tính vận tốc xe, với giả thiết quãng đường AB dài 200km Giải: y  km/h  Gọi vận tốc xe máy ô tô x Vận tốc ô tô lớn xe máy  x, y  0 10km/h � y  x  10  1 AB 200  (h) x Thời gian xe máy từ A đến B x AB 200  (h) y Thời gian ô tô từ A đến B y Vì tơ xuất phát sau xe máy 1h mà xe đến nơi lúc, thời gian tơ xe máy 1h Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM � 200 200   1(2) x y Từ (1) suy y  x  10 Thay vào (2) ta được: 200 200 200( x  10)  200 x   1(2) � 1 x x  10 x( x  10) � 200 x  2000  200 x  x  10 x � x  10 x  2000  ⇔ x = 40 (thỏa mãn) x = –50 (loại) ⇒ y = x + 10 = 50 Vậy vận tốc xe máy ô tô 40km/h 50km/h Ví dụ 4: (Tiền Giang, 2014 – 2015) Trên quãng đường AB, xe máy từ A đến B lúc xe ơtơ từ B đến A, sau hai xe gặp tiếp tục xe ơtơ đến A sớm xe máy đến B Tính thời gian xe hết quãng đường AB Giải: Gọi x h y  h thời gian xe máy hết quãng đường AB thời gian ôtô hết quãng đường AB y x  4  4 Trong xe máy được: x (quãng đường) Trong xe ô tô được: y (quãng đường) 1   (1) x y Trong hai xe được: Mà thời gian xe ô tô đến A sớm xe máy đến B nên: x  y  (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �1 1 1 �1  �  � �x y �۹�x x  �x  y  � �y  x  � �x  14 x  24  ( DK : x 6) � �y   Giải hệ phương trình được: x  12 (thỏa mãn); x  (loại)  12;6  Với  x  12 , tìm y  Do đó, nghiệm hệ Vậy thời gian xe máy hết quãng đường AB 12 giờ, ôtô hết quãng đường AB Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Ví dụ 5: (Hà Nội, 2015 – 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km , sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Giải: t Gọi thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước  t Gọi thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng nước Gọi V vận tốc tàu tuần tra nước yên Ta có: V 2 � 60 48 ;V   t1 t2 60 48 60 48 2 2 �   4(1) t1 t2 t1 t2 t1  t2  1(2) �60 48 �60 48  4 �   4 �  (1);(2) � �t1 t � �t1 t2 � � t1  t2  t1   t2 � � � t2  6( L) � 60 48   4 � 4t2  16t2  48  � � t2  2(TM )  V  22(km/ h)  t2 t2 � Ví dụ 6: (Tuyên Quang, 2014 – 2015, Đắc Lak, 2012–2013) Hai ô tô từ A đến B dài 200km Biết vận tốc xe thứ nhanh vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe Giải: Gọi vận tốc hai xe  x  km/h  y  km/h   x, y  0 Xe thứ nhanh xe thứ hai 10km/h nên x  y  10 � x  y  10 200 200 (h); (h) x y Thời gian xe thứ xe thứ hai hết quãng đường AB 200 200   1(*) y x Vì xe thứ đến sớm xe thứ hai 1h nên Thay x  y  10 vào (*) ta được: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 200 200 200(y  10) 200 y  1�  1 y y  10 y ( y  10) y ( x  10) 200( y  10)  200 y 2000 � 1� 1 y ( y  10) y (y 10) � y  10 y  2000  � ( y  50)( y  40)  � y   50 (loại) y  40 (thỏa mãn) � x  50 Vậy vận tốc xe 50km/h 40km/h Ví dụ 7: (Qng Ngãi, 2012–2013) Hai xe tơ từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm xe thứ Lúc trở xe thứ tăng vận tốc thêm km giờ, xe thứ hai giữ nguyên vận tốc dừng lại nghỉ điểm đường hết 40 phút, sau đến cảng Dung Quất lúc với xe thứ Tìm vận tốc ban đầu xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh 120 km hay hai xe xuất phát lúc Giải: Gọi vận tốc ban đầu xe thứ x  km/h  , xe thứ hai y  km/h  ĐK: x  0; y  120  h Thời gian xe thứ từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh x 120  h Thời gian xe thứ hai từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh y 120 120    1 y Vì xe thứ hai đến sớm xe thứ nên ta có phương trình: x Vận tốc lúc xe thứ x   km / h  120  h Thời gian xe thứ từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất x  120  h y Thời gian xe thứ hai từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất 40ph  Vì xe thứ hai dừng lại nghỉ hết 120 120    2 y phương trình: x  h , sau đến cảng Dung Quất lúc với xe thứ nên ta có Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 120 120 � �x  y  � � �120  120  � y Từ (1) (2) ta có hpt: �x  Giải hpt: 120 120 � �x  y  120 120 � �   � 360  x    360 x  x  x   � x x5 �120  120  � y �x  � x  x  1800  x1  5  85  40 (thỏa mãn ĐK) x2  5  85  45 (không thỏa mãn ĐK) 120 120 120  1 �  � y  60 40 y y x  40 Thay vào pt (1) ta được: (thỏa mãn ĐK) Vậy vận tốc ban đầu xe thứ 40 km/h , xe thứ hai 60 km/h Dạng 2: Tốn làm chung - làm riêng (Bài tốn vịi nước) Phương pháp Lập bảng Cả hai đơn vị (hai vòi nước) Đơn vị (vòi nước 1) Đơn vị (vòi nước 2) Thời gian làm (chảy) xong cơng việc (bài cho số liệu này) Phần cơng việc (thể tích) Phần cơng việc (thể tích) thời gian cho 1  x y x x y y Gọi thời gian người thứ làm xong công việc x , thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y : Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 1 người thứ làm x (công việc), 1 người thứ hai làm y công việc 1  x y (công việc) hai người làm Chú ý:  Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị cơng việc, biểu thị số  Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian t  Gọi A khối lượng công việc, n suất, t thời gian làm việc Ta có: A  n �  Tổng suất riêng suất chung làm Các ví dụ điển hình Ví dụ Hai vịi nước chảy đầy bé khơng có nước 3 h 45ph Nếu chảy riêng rẽ, vòi phải chảy đầy bể? biết vòi chảy sau lâu vòi trước h Hướng dẫn - Gọi thời gian vịi đầu chảy chảy đầy bể x (điều kiện x  , x tính giờ) - Gọi thời gian vịi sau chảy chảy đầy bể y (điều kiện y  , y tính giờ) 1 - Suy ra, vòi đầu chảy x bể, vòi sau chảy y bể 1  - Sau giờ, hai vòi chảy x y bể Hai vịi chảy đầy bể 3 h 45ph  15 / 4 h , nên hai vịi chảy 1: 15  15 bể 1   x y 15 Suy ra, ta có phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Mặt khác, chảy vịi sau chảy lâu vòi trước tức y  x  nên ta có hệ phương trình �1 �x  �  �x y 15 � � �y  10 �y  x  � - Vậy, vịi đầu chảy đầy bể h; vịi sau chảy đầy bể 10 Ví dụ 2: Nếu hai vịi nước chảy vào bể sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai chảy 12 phút 15 bể Hỏi vịi chảy sau đầy bể? Hướng dẫn giải Đổi 1h20 '  80'  x  80 Gọi x (phút) thời gian vịi I chảy đầy bể  y  80  Gọi y (phút) thời gian vịi II chảy đầy bể Trong phút vòi I chảy được: x (bể) Trong phút vòi II chảy được: y (bể) Trong phút hai vòi chảy được: 80 (bể) 1    1 x y 80 Ta có phương trình: 10 Trong 10 phút vịi I chảy được: x (bể) 12 Trong 12 phút vòi II chảy được: y (bể) 10 12    2 x y 15 Ta có phương trình: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM �1 1 �x  y  80 � � 10 12 �   � x y 15 � Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: � u � � x � � v y � � Đặt ẩn phụ , ta 1 � � uv  u � � �x  120 � � 120 80 �� �� � �y  240 � � 10u  12v  v � � 240 15 Vậy vòi I chảy sau 120 phút đầy bể Vịi II chảy sau 240 phút đầy bể Ví dụ 3: Hai người thợ Thành Long làm chung cơng việc theo dự định ngày xong Làm chung ngày Thành bị bệnh phải nghỉ, Long phải làm ngày xong Hỏi làm cơng việc người ngày? Hướng dẫn giải  x  6 Gọi x (ngày) thời gian Thành hồn thành cơng việc  y  6 Gọi y (ngày) thời gian Long hoàn thành cơng việc Trong ngày Thành làm x (công việc) Trong ngày Long làm y (công việc) Trong ngày hai người làm (công việc) 1    1 x y Ta có phương trình: Trong ngày Thành làm x (cơng việc) Trong ngày Long làm y (công việc)   1  Ta có phương trình: x y Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 10 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM �1 1 �x  y  � � �4   � Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �x y � u � � x � � v y � � Đặt ẩn phụ ta được: � 1 u � � �u  v  � 10 �x  10 �� �� � �y  15 � 4u  9v  �v  � � 15 (nhận) Vậy Thành làm 10 ngày Long làm 15 ngày Ví dụ 4: (Chuyên Hà Giang, 2015 – 2016) Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Hướng dẫn giải Gọi số để người làm hết cơng việc x  h y  h  ,  x, y   1 Mỗi giờ, người thứ người thứ hai làm được: x y (công việc) �1 � 1 16 �  � �   x y 16 Hai người làm hết cơng việc 16 nên: �x y � (1) 1 1   y (2) Người thứ làm người thứ hai làm cơng việc nên x �1 1 �1  �x  y  16 � �x  24 � �x 24 �� �� � 1 �y  48 � �1    � �y 48 y � Từ (1) (2) có hệ: � x (thỏa mãn) Vậy thời gian để người làm xong cơng việc 24 48 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 11 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Ví dụ 5: Hai đội công nhân làm chung xong đường Nếu đội làm riêng để xong đường thời gian đội thứ đội thứ hai Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian bao lâu? Hướng Dẫn Giải Gọi đội thứ làm xong cơng việc x (giờ) Đội thứ hai làm xong cơng việc y (giờ) Ta có phương trình:  x, y   y  x   1 1 đội thứ làm x (công việc) 1 đội thứ hai làm y (công việc) 1  hai đội làm x y (công việc) 1   x y (2) Ta có Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �y  x  � �1 1 �x  y  � y  x6 � yx6 � � y  x6 �� �� � �2 x  y  xy x  x  24  x  x � � �x  x  24  �x  �x  4 �� � �y  12 (nhận) �y  (loại) Vậy đội thứ làm giờ, đội thứ hai làm 12 Ví dụ 6: (Quảng Ninh, 2013 – 2014).Hai người thợ làm cơng việc xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm phần tư cơng việc Hỏi người thợ làm xong cơng việc Hướng Dẫn Giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 12 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  x  16  Gọi thời gian người thợ thứ làm xong việc x (giờ)  y  16  Thời gian người thợ thứ hai làm xong việc là: y (giờ) Trong người thợ thứ làm được: x (công việc) Trong người thợ thứ làm x (công việc) Trong người thợ thứ hai làm y (công việc) Trong người thợ thứ hai làm y (công việc) 1    1 Hai người làm 16 xong việc, Ta có phương trình: x y 16 Người thứ làm người thứ hai làm phần tư cơng việc, ta có phương trình:    2 x y �3 �x  y  � � �1   � Từ (1) (2) ta có hệ phương trình �x y 16 � u � � x � � v � y , ta được: Đặt ẩn phụ � � � 3u  6v  u � � � � 24 �x  24 �� �� � 1 �y  48 � � uv  v � � 48 16 (nhận) Vậy thời gian người thợ thứ làm xong việc 24 (giờ) Thời gian người thợ thứ hai làm xong việc 48 (giờ) Ví dụ (Đồng Nai, 2015 – 2016) Hai công nhân làm chung công việc xong Nếu người thứ làm 20 phút người thứ hai làm 10 xong cơng việc Tính thời gian công nhân làm riêng xong công việc Hướng Dẫn Giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 13 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Gọi x (h) thời gian người thứ làm xong cơng việc ( x  ) Trong h người thứ làm x (cv) Gọi y (h) thời gian người thứ hai làm xong cơng việc ( y  ) Trong h người thứ hai làm y (cv) 10 Trong 20 phút người thứ làm x (cv) Trong 10 h người thứ hai làm Ta có hệ phương trình Đặt ẩn phụ � u � � x � � v � � y 10 y (cv) �1 1 �x  y  � � 10 1 � �  10 �  � y �3 x � � uv  u � � � � 10 �x  10 �� �� � 10 �y  15 � � u  10v  v � 15 , ta được: �3 (nhận) Vậy người thứ làm 10 xong cơng việc Người thứ hai làm 15 xong cơng việc Dạng 3: Tốn có nội dung hình học Phương pháp - Khi đặt ẩn độ dài đoạn thẳng, độ dài cạnh điều kiện ẩn khơng âm - Diện tích hình chữ nhật S  x y , với x chiều rộng; y chiều dài - Diện tích tam giác S a.ha h với a độ dài cạnh tam giác a chiều cao ứng với cạnh - Định lý Pitago tam giác vuông với độ dài cạnh huyền c , độ dài hai cạnh góc vng a, b a2  b2  c2 Các ví dụ Ví dụ 1: (Bắc Ninh, 2015 – 2016) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật dài 10m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 14 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Giải: Gọi chiều dài mảnh đất hình chữ nhật a (m) ( < a < 28) Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật b (m) (0 < a < b) Chu vi mảnh đất hình chữ nhật 28 m nên : (a + b).2 = 28 a + b = 14 (1) 2 2 Đường chéo hình chữ nhật 10 m nên : a  b  10 � a  b  100(2) Từ (1) (2) ta có hệ PT �a  b  14 �2 �a  b  100 Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) : a  (14  a)  100 � a  196  28a  a  100 � 2a  28a  96  � a  14a  48   '  49  48  a     b  8(loai ) � �� a     b  6(tm) � Vậy chiều dài HCN mChiều rộng HCN m Ví dụ 2: Sơn La, 2015 – 2016)Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2 Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng m diện tích ruộng tăng thêm m2 Giải: Gọi chiều dài ban đầu ruộng a (m) (a > 0) Chiều rộng ban đầu ruộng b (m) (0 0) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu 360 m2 Khi tăng chiều dài thêm m, tăng chiều rộng thêm m diện tích mảnh vườn 400 m2 Tức là: Chiều dài: x +1 (m) ; chiều rộng: y + (m) Khi diện tích hình chữ nhật là: (x + 1)(y + 1) = 400  xy + x + y +1 = 400  x + y = 39 (2) Từ (1) (2) ta có hệ: �x  y  39 � �xy  360 Theo Vi-et x, y nghiệm phương trình: X2 – 39X + 360 = Giải phương trình ta hai nghiệm: X1 = 15; X2 = 24 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu 24 cm, chiều rộng 15 cm Ví dụ 4: (Phổ thông khiếu, 2015 – 2016)Cho tam giác vuông Nếu ta tăng độ dài cạnh góc vng thêm cm diện tích tăng thêm 33 cm2; giảm độ dài cạnh góc vng cm tăng độ dài cạnh góc cịn lại thêm cm diện tích giảm cm2 Hãy tính độ dài cạnh tam giác vng Giải: Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác vng x, y (cm) (giả sử tốn giảm 2cm cạnh x) (x > 2, y > 0) xy Diện tích tam giác vng ban đầu (cm2) ( x  3)( y  3)(cm ) Khi tăng cạnh góc vng thêm 3cm diện tích tam giác vng Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 16 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 1 ( x  3)( y  3)  xy  33 Theo ta có phương trình: (1) ( x  2)( y  1)(cm ) Khi giảm cạnh x 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm diện tích tam giác vuông 1 xy  ( x  2)( y  1)  2(2) Theo ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �1 ( x  3)( y  3)  xy  33 � �x  y  19 �x  12 �2  �  � � � x  y  �y  �1 xy  ( x  2)( y  1)  �2 (thỏa mãn điều kiện) Độ dài cạnh góc vng tam giác vuông 12cm 7cm 2 ⇒ Độ dài cạnh huyền 12   193 (cm) Ví dụ 5: (Bắc Ninh,2012 – 2013) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m Nếu tăng thêm chiều dài 3m chiều rộng m diện tích tăng thêm 45 m2 Hãy tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m); chiều rộng y (m) (0 < x, y < 17) �x  y  34 :  17 �x  12 �� � ( x  3)( y  2)  xy  45 �y  (thỏa mãn đk) Theo ta có hpt : � Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m Dạng 4: Tốn tìm số Phương pháp - Số có hai, chữ số ký hiệu ab , điều kiện �q �9; �b �9; a, b �� - Giá trị số: ab  10a  b - Số có ba, chữ số ký hiệu abc abc  100a  10b  c , điều kiện �q �9; �b, c �9; a, b, c �� - Tổng hai số x ; y là: x  y 2 - Tổng bình phương hai số x, y là: x  y Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 17 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM - Bình phương tổng hai số x, y là: ( x  y ) 1  - Tổng nghịch đảo hai số x, y là: x y Các ví dụ điển hình Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số lớn số cho 18 đơn vi Tim số cho Hướng dẫn - Gọi chữ số số cần tìm xy , điều kiện x, y ��,  x �9, �y �9 - Tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 nên có phương trình: x  y  14 Đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số lớn số cho 18 đơn vị nên có phương trình: yx  xy  18 10 y  x  (10 x  y )  18 �x  y  14 � 10 y  x  (10 x  y )  18 Do ta có hệ phương trình � Giải hệ này, tìm x  6, y  (thỏa mãn điều kiện) nên số cần tìm 68 Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số lớn số 280 đơn vị Hướng dẫn �;1 a 9;0 b - Gọi chữ số hàng chục a , chữ số hàng đơn vị b , điều kiện a, b Σ��� - Số cần tìm ab có giá trị ab  10a  b - Ta có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị nên ta có phương trình: ba 5 - Lại có, viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số a1b có giá trị a1b  100a  10  b - Do số lớn số ban đầu 280 đơn vị nên ta có phương trình: 100 a  10  b   10 a  b   280 a  b  � � (100a  10  b)  (10a  b)  280 - Ta có hệ phương trình � Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 18 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM - Giải hệ này, tìm a  3, b  thỏa mãn điều kiện nên số cần tìm 38 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề, kì, cuối kì, tuyển sinh thi thử THPT có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa Page 19 ... nên: x  y  (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �1 1 1 �1  �  � �x y �۹�x x  �x  y  � �y  x  � �x  14 x  24  ( DK : x 6) � �y   Giải hệ phương trình được: x  12 (thỏa mãn); x... 48 2 2 �   ? ?4( 1) t1 t2 t1 t2 t1  t2  1(2) �60 48 �60 48  ? ?4 �   ? ?4 �  (1);(2) � �t1 t � �t1 t2 � � t1  t2  t1   t2 � � � t2  6( L) � 60 48   ? ?4 � 4t2  16t2  48  � � t2  2(TM... 3 h 45 ph  15 / 4? ?h , nên hai vịi chảy 1: 15  15 bể 1   x y 15 Suy ra, ta có phương trình Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10 11,12 đề kiểm tra kết thúc chuyên đề,