Sáng kiến kinh nghiệm thpt một số ứng dụng của hàm số

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến Một số ứng dụng của hàm số Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Thanh Mã sáng[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52 Vĩnh Phúc, năm 2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số ứng dụng pháp hàm Sử dụng phương hàmsốsố để tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Mã sáng kiến: 21.52 Vĩnh Vĩnh Phúc, Phúc, năm năm 2020 2018 MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến 4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến Cơ sở lí luận thực tiễn 7.1 Nội dung sáng kiến A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN GTLN – GTNN hàm số GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến 6 C Ứng dụng GTLN – GTNN 34 Ứng dụng vào tốn giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 34 Ứng dụng vào toán thực tế 39 D Một số câu hỏi trắc nghiệm 45 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến 47 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 47 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến 47 kinh nghiệm theo ý kiến tác giả 10 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng 48 sáng kiến lần đầu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bài tốn tìm giá trị nhỏ (GTNN), giá trị lớn (GTLN) biểu thức toán bất đẳng thức dạng tốn khó chương trình phổ thơng Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, nội dung thường xuất dạng câu khó Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số) Vì vậy, số dạng tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh khơng giải cho tốn từ hai biến trở lên, chí cịn có tâm lí khơng đọc đến Thực tế tập thi tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ yêu cầu cao đa dạng địi hỏi học sinh có nhiều kĩ Hơn số lượng tập tham khảo không đầy đủ Vì để góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú học tập từ vận dụng để giải tốt tập GTLN - GTNN, đạt kết cao kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, định chọn đề tài “Một số ứng dụng hàm số” Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh - Chức vụ: Giáo viên - Địa chỉ: Trường Trung Học Phổ Thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986365068 - E-mail: thanhtlx@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THPT Lê Xoay - huyện Vĩnh Tường - tỉnh Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy bồi dưỡng kỹ giải tập giải tích cho học sinh THPT Ngày sáng kiến áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2016 Mơ tả chất sáng kiến Cơ sở lí luận thực tiễn Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 trình bày cách tìm GTNN, GTLN hàm số (tức biểu thức biến số) Các em học sinh cịn lúng túng chí bỏ qua tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nhiều biến kì thi chọn học sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, tốn thường dạng khó mức vận dụng cao phải sử dụng kết hợp phương pháp Từ thực tế mục đích đề tài xây dựng phương pháp tìm tịi có để giải toán: dựa vào bất đẳng thức, hàm trung gian sau kết hợp với phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 7.1 Nội dung sáng kiến A Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Định nghĩa: Cho hàm số xác định tập D  Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f  x  tập D nếu: y  f ( x)  f ( x)  M , x  D  x0  D, f ( x0 )  M Kí hiệu: M  max f ( x) D  Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f  x  tập D nếu:  f ( x)  m, x  D  x0  D, f ( x0 )  m f ( x) Kí hiệu: m  D Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] a Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn có GTLN GTNN đoạn b Qui tắc tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b]  Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng  a; b  f '( x) khơng xác định  Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b)  Tìm số lớn M số nhỏ m số M  max f ( x ), m  f ( x ) [a;b] [a;b] Nhận xét min f  x   f  a   a ;b ;  max f x  f b       a ;b min f  x   f  b    a;b max f x  f a       a ;b  f ( x) đồng biến  a; b   f ( x) nghịch biến  a; b Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số (a; b)  Tìm tập xác định  Tính f '( x) Tìm điểm x1 , x2 , , xn mà f '( x) không xác định  Sắp xếp điểm x1 , x2 , , xn theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN hàm số  a; b   B Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN GTLN – GTNN hàm số 1.1 Phương pháp khảo sát trực tiếp x  3x  Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số y  đoạn 0; 2 x 1 Giải  x  3 x  1   x2  3x  3 x2  x   x   0;  Ta có y '  2  x  1  x  1 y Lại có y    , y    17 Suy y  , max 0;2 0;2 17 Nhận xét: Đây tốn khơng khó, học sinh hoàn toàn làm Ngoài cách làm tự luận tìm đáp án tốn, học sinh gặp tốn dạng trắc nghiệm học sinh sử dụng máy tính casio để giải sau: Sử dụng mod nhập hàm f ( x)  x  3x  x 1 Start end step 0.5 Từ bảng máy tính suy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  , max y  x0;2 x 0;2 17 Bài Tìm GTNN hàm số f ( x)   x2  4x  21   x2  3x  10 Giải: TXĐ: D   2;5 Ta có: f   x    x2  x  x  21  2x   x  3x  10 f   x     x    x  3x  10   x  3  x  x  21  x  2   x     x  3x  10    x  3   x  x  21    x  29  17 Thử lại, ta thấy có x  nghiệm f   x   1 Ta có f (2)  3; f (5)  4; f     3 x  Vậy giá trị nhỏ hàm số Nhận xét: Sử dụng đạo hàm khơng khó Tuy nhiên học sinh lại lúng túng việc giải phương trình f   x   Thế chuyển thành tốn trắc nghiệm học sinh dễ dàng tìm đáp án Cách sử dụng máy tính casio để tìm GTLN, GTNN hàm số giống với x   9x2 Bài Tìm giá trị lớn hàm số y  khoảng  0;  8x2  Giải Ta có: y  x  12  x  8x  x2   x Hàm số y đạt giá trị lớn khoảng  0;  hàm số f  x   x   x đạt giá trị nhỏ khoảng  0;  Xét hàm số f ( x)  x   x  0;  f  x   f   x   1   x x2   x   0;   9x Bảng biến thiên x  f  x  +  f  x 4   Từ bảng biến thiên ta có f  x   f    max y    0;   0;  6 2 Bài tập đề nghị Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x 1 x2  đoạn  1; 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x    x  x    x  ln x đoạn éë1;e ùû x 1.2 Sử dụng phương pháp đổi biến tìm GTLN – GTNN hàm số Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  2cos x  cos x  cos x  Giải Tập xác định: D  Đặt t  cos x ,  t   y  f (t )  f (t )  2t  t  ,  t 1 t 1 t  2t  4t  f ( t )   ;  f (0)  1, f (1)   (t  1) t  2   0;1 Vậy y  1, max y  Nhận xét: Bài toán sau đặt ẩn phụ trở thành toán quen thuộc học sinh làm dễ dàng Với tốn trắc nghiệm việc tìm GTLN, GTNN hàm số dễ với cách sử dụng máy tính bỏ túi Bài Tìm giá trị lớn hàm số y  x    x  ( x  4)(4  x)  Giải Điều kiện 4  x  Nhận xét: Hàm số f  x  liên tục đoạn  4; 4 Đặt t  x    x  t  x    x  ( x  4)(4  x)  ( x  4)(4  x)  t2   t2   Ta có y  t      2t  t  21  f  t    Tìm điều kiện t: Xét hàm số g ( x)  x    x với x [  4;4] g ( x)  1  ; g( x)   x  ; x4 4 x g (4)  2; g (0)  4; g (4)  2  g ( x)  2 ; max g ( x)   t [2 2;4] [  4;4] [  4;4] f (t )  4t   0, t [2 2;4]  f  t  hàm nghịch biến [2 2;4] y  f (2 2)   2 Vậy max 4;4   Nhận xét: Sau đổi biến việc tìm tập giá trị biến ln phần khó quan trọng, khơng tìm tập giá trị biến dẫn đến đáp số sai Khi tìm tập giá trị biến tốn trở nên dễ dàng đưa dạng thường gặp Bài tập đề nghị Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x4  x2   3 x2   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số f ( x)   x  1 2 x2  y sin x  sin x  sin x  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) f (1  x) đoạn  1;1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x ) = 1- x4 + + x2 + + x2 + 1- x2 + - x2 + GTLN – GTNN biểu thức chứa nhiều biến 2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa biến Bài Cho x, y  x  y  Tìm GTNN biểu thức P   x 4y Nhận xét: Bài tốn cho học sinh lớp 10 làm cách sử dụng bất đẳng thức Cosi khó tốn tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt GTNN Nhưng y theo x vào biểu thức biểu thức thành P   x  4x hàm số ẩn x, ta dễ dàng tìm GTLN, GTNN biểu thức Giải Từ giả thiết suy y   x  x, y  Do P  5 với  x   x  4x  5 , x   0;  Xét hàm số: f  x    x  4x  4 Ta có: f   x    4 ; f  x   x   2 x 5  4x  Bảng biến thiên x f  x  +   f  x  5   Từ bảng biến thiên ta có f  x   5, x   0;  hay P  4 Vậy giá trị nhỏ P Dấu “=” xảy x  1; y  Bài Cho ba số thực x, y, z  1;4  x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu P thức x y z   2x  3y y  z z  x Giải Ta có : P  x y z   2x  3y y  z z  x Xem hàm theo biến P '( z )  z ; x, y số y z ( x  y)( z  xy )   ( y  z ) ( z  x ) ( y  z ) ( z  x) Theo giả thiết x  y  x y 0 z + P  4 P 1 P Từ bảng biến thiên: xy  P '( z ) P( z ) P   z  xy (do x, y, z  1;4 ) x P  P( xy )   2x  y  xy  y x x y =  y x 3 x 1 y y Đặt t  x , x  y, x  z x, y, z  1;4 nên  t  y 10 ... TRƯỜNG THPT LÊ XOAY =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số ứng dụng pháp hàm Sử dụng phương hàms? ?số để tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ Tác giả sáng kiến: ... đạt kết cao kì thi chọn học sinh giỏi, thi THPT Quốc Gia, định chọn đề tài ? ?Một số ứng dụng hàm số? ?? Tên sáng kiến: Một số ứng dụng hàm số 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh - Chức vụ:... thiết để áp dụng sáng kiến 47 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến 47 kinh nghiệm theo ý kiến tác giả 10 Danh sách tổ chức cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng 48 sáng kiến lần đầu