MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 4 Chương 1 BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 −NỬA NHÓM C0 −nửa nhóm 1 1 1 1 4 12 21 2 Bài toán Cauchy 3 Một số ví dụ Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM n −LẦN TÍCH HỢP 3 0 2 2 2 2 1 Nửa nhóm n[.]
MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM 1.1 C0 − nửa nhóm 1.2 Bài tốn Cauchy 12 1.3 Một số ví dụ 21 Chương - BÀI TỐN CAUCHY VÀ NỬA NHĨM n − LẦN TÍCH HỢP 30 2.1 Nửa nhóm n − lần tích hợp 30 2.2 Bài toán Cauchy (n,ω ) − đặt chỉnh 37 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương 40 2.4 Một số ví dụ 50 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 -1- MỞ ĐẦU Bài toán Cauchy trừu tượng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tốn có lịch sử lâu đời chun ngành Giải tích ứng dụng Nó áp dụng nhiều lĩnh vực khoa học vật lý học, sinh học, kỹ thuật, tài Khi xét toán ta thường gặp khả khác nghiệm Theo định nghĩa Hadamard, toán Cauchy gọi đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện tốn Phương pháp nửa nhóm phát triển mạnh mẽ có vai trị quan trọng việc giải tốn Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử khơng bị chặn Luận văn nghiên cứu tốn Cauchy trừu tượng dạng u ' (t ) = Au(t ), u (0)= x, t ≥ 0, (CP) A: X → X tốn tử tuyến tính, đóng, khơng bị chặn khơng gian Banach X u : ꢀ +→ X Mục tiêu luận văn nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm phương pháp nửa nhóm n − lần tích hợp khơng gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh tốn Cauchy Luận văn gồm hai chương: Chương - Trình bày khái niệm tính chất C0 − nửa nhóm Đây loại nửa nhóm đơn giản số lớp tốn tử khơng bị chặn toán Cauchy tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng lớp nửa nhóm C0 nửa nhóm n − lần tích hợp nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương bị chặn -2- mũ, khơng suy biến Áp dụng phương pháp để nghiên cứu tính ω − đặt chỉnh toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong (n, ) chương chúng tơi đưa số ví dụ minh họa dựa phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian qua thầy dành nhiều thời gian cơng sức, tận tình giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Em xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện, thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, thầy Viện Toán học Việt Nam giáo sư nước tham gia giảng dạy trường Trong năm qua thầy cô tâm huyết truyền đạt kiến thức vô quý báu cho chúng em, giúp em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng thực luận văn Cuối lời cảm ơn đến quan, gia đình, bạn bè tạo điều kiện cho tác giả học, động viên khích lệ giúp đỡ mặt để tác giả có thêm động lực học tập hồn thiện luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 -3- Chương - BÀI TỐN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHĨM 1.1 C0 − nửa nhóm Cho X khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh) Họ tốn tử tuyến tính, bị chặn {T (t), t ≥ 0} không gian Banach X gọi C0 − nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) (T1) T (t + s ) = T (t )T ( s ) , ∀t, s ≥ (T2) T (0 ) = I (I toán tử đồng nhất) (T3) tlimT (t ) x = T (t0 ) x, ∀x∈ X , t, t0 ≥ →t Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh) A: D ( A ) ⊂ X → X , Toán tử xác định Ax:= T (0 ) x := lim T (h ) − I x , h→0 h ' với miền xác định D(A)= D⎛⎜ T' ⎝ (0)⎞⎟ ⎠ ⎧⎪ :=⎨ ⎪⎩ T (h ) − I ⎫ x∈ X ∃lim x⎪ , h→0 h ⎪⎬ ⎭ gọi tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {T (t), t ≥ 0} Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức) ( A, D ( A)) tốn tử đóng khơng gian Banach X , tập giá trị −1 λ ∈ꢁ cho (λI − A ) song ánh (tức (λI − A) tốn tử tuyến tính bị chặn X ), gọi tập giá trị quy A (tập giải toán tử A ), ký hiệu ρ (A) Tập σ ( A ) = ꢁ \ ρ ( A ) gọi tập phổ tốn tử -4- −1 A Khi (λ I − A ) := RA (λ ) = R (λ , A ) với λ ∈ ρ ( A ) gọi giải thức A Mệnh đề 1.1.1 Đối với tốn tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh {T (t), t ≥ 0}, ta có A: D(A)⊂ X → X toán tử tuyến tính; t lim+ ∫ T ( s ) xds = x ; t→0 t ∀x∈ X , Cho x∈ D(A), ta có T (t ) x∈ D(A) d T (t ) x = T (t ) Ax = AT (t ) x với ∀t ≥ ; dt t Cho ∀t ≥ 0, x∈ X ta có ∫ T ( s )xds∈ D ( A ) ; Cho ∀t ≥ ta có t T (t ) x − x = A∫ T ( s )xds x∈ X , t = ∫ T ( s ) Axds x∈ D(A) (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5) Chứng minh Hiển nhiên, T (t) tốn tử tuyến tính tính chất giới hạn A ( x ) = lim+ h→0 T (h ) x − x h t Đặt yt = ∫ T ( s )xds, x X , ∀ t > t→0+ t0 ∀ ∈ Vì lim T (t ) x = x suy ε ∀ε > 0, ∃δ > : < t < δ suy T (t ) x − x < Theo định nghĩa tích phân, ∀ε > tồn phân hoạch [ 0,t ] -5- s0 = < s1 < < sn = t cho t n ε − t, với α i ∈ [si−1 − si ] , i = 1,n T ( ) ( α ) Δ ≤ ∑ i i ∫ i=1 T s xds x s Với ∀t : < t < δ ta có t t 1 n − T s xds x T s xds T (αi ) x Δsi + ∑ ∫t ( ) − ≤ t ∫ ( ) t i=1 0 n ∑ t T (α )x Δs i=1 i n ε ε ε < + ∑ T (αi ) x − x Δsi < + = ε i=1 t 2 t lim+ yt = lim+ ∫ T ( s )xds = x t →0 t→0 t Từ suy Lấy x∈ D(A), từ định nghĩa toán tử sinh A suy lim+ h→0 Vậy lim+ h→0 T (t + h ) x −T (t ) x T (h ) x − x = T (t ) lim+ = T (t ) Ax h→0 h h T (h )T (t ) x −T (t ) x tồn Theo định nghĩa D ( A ) ta có h T (t ) x∈ D ( A ) AT (t ) x = T (t ) Ax Với x∈ X , ∀t ≥ ta có t t ⎞ 1⎛ ⎜⎜ T (h ) ∫ T ( s ) xds− ∫ T ( s ) xds⎟⎟ h⎝ ⎠ 0 = = t T (h + s ) xds− t T (s ) xds h 0∫ h ∫0 t+h 1t T ( s ) xds− ∫T (s ) xds h ∫h h0 t+h t h t 1 1 ∫ = ∫ T ( s ) xds + ∫ T ( s ) xds− T (s ) xds hh h t h 0T (s ) xds − h h∫ = t+h 1h T ( s ) xds − ∫ T (s ) xds h t h0 ∫ -6- i −x = h∫ 1h T (s ) xds h 0T (t + s ) xds− h ∫ h h = T (t ) ∫ T ( s ) xds− ∫ T (s ) xds → T (t ) x − x h → 0+ (Do (1.1.1)) h0 h0 Suy t t 0 ∫ T ( s )xds∈ D ( A ) T (t ) x − x = A∫ T ( s )xds với ∀x∈ X T (h ) x − x hội tụ ⎡⎣ 0,t ⎤⎦ đến hàm h Nếu x∈ D(A), s → T ( s ) s → T ( s ) A ( x ) h → 0+ (do T ( s ) ≤ M , ∀s∈⎣⎡0,t⎦⎤ ) Do t t t ⎤ 1⎡ ⎢ ⎥ T (t ) x − x = A∫ T ( s )xds =h→0 lim T ( h ) ∫ T ( s ) xds− ∫ T ( s ) xds +h ⎢ ⎥ 0 ⎣ t t = lim+ (T (h ) − I )∫ T ( s )xds =lim ∫ T ( s ) (T (h ) − I )xds h→0 h h 0 ⎦ + h→0 t = ∫ T ( s ) Axds t Vậy T (t ) x − x = ∫ T ( s ) Axds với ∀x∈ D(A) Mệnh đề 1.1.2 Đối với tốn tử sinh A nửa nhóm liên tục mạnh {T (t), t ≥ 0}, ta có T (t )T ( s ) = T ( s )T (t ) với ∀t, s ≥ ; T toán tử bị chặn mũ, tức là: ∃K ≥1, ω ∈ ꢀ, ∀t ≥ : T t ≤ Keωt ; D(A) = X A tốn tử đóng; Với ∀λ∈ ꢁ : Reλ >ω, ∃(λI − A) ∞ ( ) −1 := R A(λ) −λ t RA (λ )x = ∫ e T (t )xdt, x ∈ X -7- (1.1.7) (1.1.8) Chứng minh Do {T (t), t ≥ 0} C0 − nửa nhóm, từ điều kiện (T1) Định nghĩa 1.1.1 ta dễ dàng chứng minh tính giao hoán T (t ) T (h ) với ∀t, h ≥ , T (t )T (h ) = T (t + h ) = T (h + t ) = T (h )T (t ), với ∀t, h ≥ Vì T (t ) x { , x∈ X liên tục với ⎡⎣ 0,1⎦⎤ nên ⎡ T (t ) x t ∈ 0,1 } T (τ ) ≤ K với ⎤ ∀τ ≤τ ≤1 vàTheo Tnguyên (0 ) =1lýsuy K ≥1 ta ln có :tập bị chặn bị chặn ⎣ ⎦ Với ∀t ≥ ta viết dạng t = n +τ, n∈ ꢂ, ≤τ ω, −1 ∃ (λ I − A ) =: R (λ ) A ∞ R A (λ ) x = ∫ e −λt T (t ) xdt, x ∈ X Từ (1.1.7) T (t ) bị chặn mũ suy tích phân vế phải tồn với ∀x∈ X , ∀λ ∈ ꢁ , Reλ > ω Với ∀x∈ D ( A ) A tốn tử đóng ta có ∞ ∞ −λt ∞ AT (t ) xdt = A ∫ e−λtT (t ) xdt = ∫ e 0 '(t ) xdt Lấy tích phân phần ∫e ∞ ∫e −λt T '(t ) xdt = e −λt (t ) xdt ∞ λt = − x + λ e− T (t ) xdt ∫ -9- +∞ T (t ) x ∞ +λ ∫e −λt −λt T T Thác triển liên tục toàn không gian X = D(A) ta ∞ λt − T (t ) xdt = x, x∈ X (λI − A) ∫ e (1.1.9) Mặt khác lại có ∞ ∫ e −λt T (t ) (λI − A)xdt = x, x∈ D(A) (1.1.10) Từ (1.1.9) (1.1.10) suy tồn toán tử bị chặn X ∞ R (λ ) := (λI − A)−1 R (λ ) x = ∫ e−λt T (t ) xdt, x ∈ X A A Mệnh đề 1.1.3 Cho T toán tử liên tục mạnh cho ∃ ≤ Ke K ≥1, ω ∈ ꢀ, ∀t ≥ , Đặt ∞ ωt T (t ) λt − T (t )dt, Reλ > ω R (λ ) =0∫ e Khi R (λ ) thỏa mãn phương trình giải thức (μ − λ ) R (λ ) R ( μ ) = R (λ ) − R ( μ ), Reλ, Reμ >ω, T thoả mãn T (t + s ) = T (t )T ( s ) Chứng minh , ∀t, s ≥0 (1.1.11) Cho Reλ, Reμ > ω , từ Định lý phép biến đổi Laplace ta có ∞ R ( μ ) R(λ)= ∫ e −μs ∞ ∫e - 10 - −λt T ( s )T (t ) dsdt, ... tương ứng đặt chỉnh Từ đưa số ví dụ minh họa Chương - Trình bày lớp n? ??a nhóm mở rộng lớp n? ??a nhóm C0 n? ??a nhóm n − l? ?n tích hợp n? ??a nhóm n − l? ?n tích hợp địa phương bị ch? ?n -2- mũ, không suy bi? ?n. .. động lực học tập ho? ?n thi? ?n lu? ?n v? ?n Hà N? ??i, tháng n? ?m 2011 -3- Chương - BÀI TO? ?N CAUCHY VÀ C0 − N? ??A NHĨM 1.1 C0 − n? ??a nhóm Cho X không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa n? ??a nhóm li? ?n. .. t? ?n tử tuy? ?n tính, đóng, khơng bị ch? ?n không gian Banach X u : ꢀ +→ X Mục tiêu lu? ?n v? ?n nhằm trình bày việc ứng dụng phương pháp C0 − n? ??a nhóm phương pháp n? ??a nhóm n − l? ?n tích hợp khơng gian