Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®−îc hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña TS §Æng Anh TuÊn ®ång thêi cïng sù gióp ®ì vµ chØ dËy quý b¸u cña ThÇy PGS TS §Æng §×nh Ch©u mµ t«i ® nhËn ®−îc trong suèt q[.]
www.VNMATH.com Lời cảm ơn Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo TS Đặng Anh Tuấn đồng thời giúp đỡ dậy quý báu Thầy PGS.TS Đặng Đình Châu mà đà nhận đ-ợc suốt trình làm luận văn Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng biến ơn sâu sắc kính trọng tới hai Thầy Mặc dù bận nhiều công việc nh-ng hai Thầy đà bảo ban dẫn tận tình, đồng thời động viên hoàn thiện đ-ợc luận văn Tôi xin đ-ợc gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Bảy Ng-ời đà tận tình cho nhiều thiếu xót để sửa chữa, khắc phục sai sót hoàn thành đ-ợc khoá luận Tôi xin cám ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học đà giảng dạy dìu dắt năm qua, để có đ-ợc ngày hôm nay, hoàn thành khoá luận này.Và nhiều động viên từ gia đình, bạn bè Cám ơn tất ng-ời! Một lần cho đ-ợc gửi lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến tất cả! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Thuý Lời mở đầu www.VNMATH.com Lời mở đầu Lý thut nưa nhãm mét tham sè cđa to¸n tư tun tính không gian Banach bắt đầu xuất từ nửa đầu kỉ XX, đạt đến cốt lõi vào năm 1948 với định lý sinh Hille-Yosida, sau đạt tới đỉnh vào năm 1957 với xuất "Semigroups and funtional Analysis" cđa E Hille vµ R S Philips Vào năm thập kỉ 70 80 kỉ XX, nhờ cố gắng nghiên cứu nhiều trung tâm nghiêm cứu, tr-ờng học khác nhau, lý thuyết nửa nhóm đ-ợc đạt tới trạng thái hoàn hảo, đ-ợc thể tốt chuyên khảo E B Davies[Dav80], J A Goldstein[Gol85], A Dazy[Paz83], nhiều nhà toán học khác Nửa nhóm đà trở thành công cụ quan trọng ph-ơng trình vi tích phân ph-ơng trình hàm vi phân, học l-ợng tử lýthuyết điều khiển vô hạn chiều Ph-ơng pháp nửa nhóm đ-ợc ứng dụng với thành công lớn để cụ thể hoá ph-ơng trình, ,trong hệ động lực dân số lý thuyết vận tải Trong khoá luận này, xin trình bày dùng ph-ơng pháp nửa nhóm để nghiên cứu nghiệm toán Cauchy Cấu trúc khoá luËn gåm ch-¬ng: Ch-¬ng 1: Mét sè kiÕn thøc đại số Banach lý thuyết phổ Trong phần này, trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý, bổ đề không gian tuyến tính, định chuẩn, Banach, đại số Banach lý thuyết phổ Ch-ơng 2: Ph-ơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm Lời mở đầu www.VNMATH.com 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy 2.2 Nửa nhóm ma trận 2.3 Nửa nhóm toán tử liên tục Trong phần này, nghiên cứu số nửa nhóm, nghiệm toán Cauchy từ tính chất nưa nhãm ta suy tÝnh chÊt nghiƯm cđa bµi toán Cauchy Ch-ơng 3: Bài toán Cauchy toán tử tuyến tính không giới nội Trong ch-ơng tr-ớc, ta đà nghiên cứu nửa nhóm toán tử tuyến tính giới nội Trong phần này, nghiên cứu với toán tử tuyến tính không giới nội, từ ta nghiên cứu tính chất nhiệm toán Cauchy Ch-ơng 4: Nửa nhóm nhân C0 (Ω) Tõ tÝnh chÊt cđa phỉ cđa nưa nhãm nh©n, ta suy tÝnh chÊt cđa nưa nhãm nh©n, từ ta nghiên cứu nghiệm toán Cauchy suy đ-ợc tính chất ổn định nghiệm toán Cauchy Mặc dù đà cố gắng nhiều, nh-ng trình độ thời gian hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu xót, mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn! www.VNMATH.com Ch-ơng Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ 1.1 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Không gian tuyến tính Cho X mét tËp tuú ý, K lµ tr-êng sè (C, R) Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính tập X, xác định hai phép toán cộng hai phần tử X phép nhân phần tử cđa X víi mét sè thc tr-êng sè K Hai phép toán đ-ợc xác định nh- sau: Phép cộng: Đó ánh xạ : : XìX X (x, y) = x + y thoả mÃn tiên đề sau: (a) x + y = y + x víi mäi x, y ∈ X; (b) (x + y) + z = x + (y + z) víi mäi x, y, z ∈ X; www.VNMATH.com 1.1 Kh«ng gian tuyÕn tính định chuẩn (c) Tồn phần tử X tho¶ m·n: x + = + x = x víi mäi x ∈ X; (d) Víi phần tử x X tồn phần tử đối, kí hiệu (x) thoả mÃn x + (x) = Phép nhân với số: Đó ánh xạ: :XìK X (kí hiệu (x, ) = x x, x K, K) thoả m·n: (a) α(βx) = β(αx) = (αβx) víi mäi x X; , K; (b) Tồn phần tư ∈ K tho¶ m·n 1.x = x víi mäi x ∈ X; (c) (α + β)x = αx + βx víi mäi x ∈ X, α, β ∈ K; (d) α(x + y) = αx + αy víi mäi x ∈ X, α ∈ K • K = R không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính thực ã K = C không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính phức Ví dụ 1.1.2 (a) R không gian tuyến tính thực (b) C không gian tuyến tính phức (c) K n = {(x1 , x2 , , xn ), xi ∈ K, i = 1, n} không gian tuyến tính (d) C[a,b] tập hợp hàm thực (hoặc phức) liên tục [a, b] không gian tuyến tính thực (hoặc phức) với phép cộng hàm số nhân thông th-ờng (e) l2 = {(x1 , x2 , , xn , ), ∞ P |xi |2 < +∞, xi ∈ K} không gian i=1 tuyến tính với phép cộng phép nhân với số theo toạ độ www.VNMATH.com 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tuyến tính Một ánh xạ : X R đ-ợc gọi chuẩn X thoả mÃn tiên đề sau: (ta kí hiệu ϕ(x) = kxk) kxk ≥ víi mäi x ∈ X vµ ϕ(x) = vµ chØ x = 0; kαxk = |α|.kxk víi mäi x ∈ X vµ víi mäi α ∈ K; kx + yk ≤ kxk + kyk víi mäi x, y X Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính X với chuẩn trênk à k xác định gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.5 D·y {xn }∞ n=1 ⊂ X víi X lµ không gian tuyến tính định chuẩn đ-ợc gọi dÃy (dÃy Cauchy) > cho tr-íc tån t¹i n0 (phơ thc ) cho víi mäi n, m > n0 ta cã: kxn − xm k < Định nghĩa 1.1.6 Không gian X đ-ợc gọi không gian đầy đủ dÃy hội tụ Định nghĩa 1.1.7 Nếu không gian định chuẩn X không gian đầy đủ X đ-ợc gọi không gian Banach hay Banach không gian Ví dụ 1.1.8 Trong R C đặt kxk = |x| ta có R C không gian Banach R C Trong K n đặt kxk = k(x1, x2 , , xn )k = n X i=1 |xi |2 1/2 , www.VNMATH.com 1.2 Đại số Banach suy k · k lµ chuÈn Cn gọi chuẩn Euclide P Suy d(x, y) = kx − yk = ( ni=1 |xi − yi|2 ) khoảng cách Euclide đà biết Vậy K n không gian Banach C[a,b] với kxk = max |x(t)| không gian Banach với atb d(x, y) = max |x(t) y(t)| atb khoảng cách ®· biÕt l2 = {(x1 , x2 , , xn , ), xn K, Trong l2 đặt kxk = ( P ∞ P |xn |2 < ∞} n=1 |xi |2 )1/2 víi x = (x1 , x2 , , xn , ) ta suy i=1 l2 không gian Banach 1.2 Đại số Banach 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Không gian tuyến tính B đ-ợc gọi đại số đà đ-a thêm phép toán đại số nữa-phép nhân, thoả mÃn tiên đề sau: (f g)h = f (gh) ∀f, g, h ∈ B; a, f(g + h) = f g + f h ∀f, g, h ∈ B; b, (f + g)h = f h + gh ∀f, g, h ∈ B; α(f g) = (αf)g ∀α ∈ C, f, g ∈ B; NÕu tồn phần tử e B cho ef = f e = f víi mäi f ∈ B e đ-ợc gọi đơn vị đại số B thân đại số đ-ợc gọi đại số có đơn vị; www.VNMATH.com 1.2 Đại số Banach 10 Nếu thân phép nhân giao hoán, tức thoả mÃn: f g = gf f, g B, đại số B đ-ợc gọi đại số giao hoán; Không gian định chuẩn B đ-ợc gọi đại số định chuẩn đại số có đơn vị thoả mÃn thêm tiên đề: kek = 1; kf gk kfk kgk ∀f, g B; Nếu đại số định chuẩn B mà đầy đủ (tức không gian Banach) đ-ợc gọi Đại số Banach 1.2.2 Một số ví dụ Đại số Banach a, Tr-ờng C Các số phức z cho ví dụ đơn giản Đại số Banach trang bị chuẩn cho theo công thức: kzk = |z| = p (x2 + y ), (z = x + iy) Các số phức tạo thành tr-êng, ta kÝ hiƯu tr-êng nµy lµ C Trong C ®èi víi mäi phÇn tư, trõ phÇn tư 0, ta định nghĩa phép chia ng-ợc phép nhân Đơn vị C e = b) Đại số Banach toán tử tuyến tính bị chặn Giả sử X không gian Banach Ta xét không gian L(X, X) không gian tất toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ từ X vào Với phép toán cộng nhân toán tử với số phép nhân thông th-ờng với toán tử 10 www.VNMATH.com 1.2 Đại số Banach 11 Đơn vị L(X, X) toán tử đồng Chuẩn L(X, X) đ-ợc định nghĩa nh- sau: kAk = sup kAxk kxk61 Ta biến L(X, X) thành đại số Banach với đơn vị I 1.2.3 Phổ giải thức Định nghĩa 1.2.2 Cho B đại số Banach vµ f ∈ B Phỉ cđa f lµ tËp: σB (f) = {λ ∈ C : f − λe lµ không khả nghịch B}, tập giải f lµ tËp: ρB (f ) = C\σB (f ) NÕu / (f) ta gọi giá trị quy Xét hàm R : C\(f) B với R f = (e f )1 xác định tập điểm quy phần tử f đ-ợc gọi giải thức phần tử Hơn bán kính phổ f đ-ợc xác định : rB (f) = sup{|λ| : λ ∈ σB (f )} Để đơn giản từ sau ta kí hiệu (f), (f ), r(f ) lần l-ợt tập phổ, tập giải bán kính phổ f 1.2.4 Mét sè tÝnh chÊt cđa phỉ cđa to¸n tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.3 Giả sử X không gian Banach phức, A X D(A) tập X 11 www.VNMATH.com 1.2 Đại số Banach 12 Ta cã A : D(A) ⊂ X → X lµ toán tử tuyến tính C đ-ợc gọi giá trị quy A tồn (I A)1 L(X) Tập giá trị quy đ-ợc kí hiệu (A) C\(A) = (A) lµ tËp phỉ cđa A D(A) ∈ X; A : D(A) X đ-ợc gọi toán tử đóng nÕu: ∀xn ∈ D(A) mµ xn → x vµ Axn y x D(A) Ax = y Định lý 1.2.4 Nếu toán tử A phổ toàn thể mặt phẳng phức A toán tử đóng Chứng minh: Giả sử / (A) Xét ánh xạ: B : X D(A), B = (λI − A)−1 ∈ L(X) Gi¶ sư {xn } ⊂ D(A), xn x Axn y Đặt hn = (λI − A)xn ta cã: lim hn = lim (λI − A)xn = λx − y n→∞ n→∞ Suy ta cã: B(λx − y) = lim Bhn = lim (λI − A)−1(λI − A)xn = x n→∞ n→∞ VËy x ∈ D(A) Vµ (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = (λx − y) Suy Ax = y Tõ ®ã ta cã A toán tử đóng Định lý đ-ợc chứng minh 12 ... www.VNMATH.com 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy 2.2 Nửa nhóm ma trận 2.3 Nửa nhóm toán tử liên tục Trong phần này, chóng ta sÏ nghiªn cøu mét sè nưa nhãm, nghiƯm toán Cauchy từ tính chất nửa nhóm ta suy tính... gm (t)kdt 0 16 1.2 Đại số Banach www.VNMATH.com Suy ta có điều phải chứng minh 17 17 www.VNMATH.com Ch-ơng Ph-ơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm 2.1 Ph-ơng trình hàm Cauchy Bài toán 2.1.1 Tìm... lực dân số lý thuyết vận tải Trong khoá luận này, xin trình bày dùng ph-ơng pháp nửa nhóm để nghiên cứu nghiệm toán Cauchy Cấu trúc khoá luận gåm ch-¬ng: Ch-¬ng 1: Mét sè kiÕn thøc c¬ đại số Banach