Khóa luận Phương trình bậc ba và một số tính chất34703

- - Lời nói đầu Phơng trình hàm số bậc ba chơng trình phổ thông xét dới góc độ giải tích, nh tìm nghiệm, khảo sát hàm số, tìm cực trị, Tuy nhiên, quan tâm đến việc có hay không mối kiên hệ phơng trình bậc ba với yếu tố hình học lợng giác Dựa nhận xét, tam giác hoàn toàn đợc xác định ba yếu tố độc lập (chẳng hạn ba cạnh tam giác), ba yếu tố đợc coi ba nghiệm phơng trình bậc ba tơng ứng Khóa luận xoay quanh vấn đề xây dựng phơng trình bậc ba, từ khai thác tính chất phơng trình bậc ba để chứng minh hệ thức hình học lợng giác Khóa luận đợc chia làm ba chơng, lời mở đầu kết luận Chơng Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức để làm rõ chơng chơng Chơng Phơng trình bậc ba tính chất nghiệm Trình bày công thức nghiệm tính chất nghiệm phơng trình bậc ba Chơng Xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố hình học lợng giác Chơng kết khóa luận gồm việc xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố hình học lợng giác, từ sáng tạo nhiỊu hƯ thøc míi, cịng nh− øng dơng vµo viƯc giải toán phức tạp mà cách giải gọn gàng logic nhiều so với cách giải thông thờng Mặc dù đà có nhiều cố gắng nhng chắn không tránh khỏi thiếu sót thời gian tơng đối ngắn, với hạn chế Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Lớp 04TT DeThiMau.vn - - định vỊ mỈc kiÕn thøc cịng nh− kinh nghiƯm vỊ mỈc thực tiễn Rất mong quý thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn Th.S Phan Thị Quản, ngời đà tận tình bảo, hớng dẫn em suốt trình nghiên cứu đề tài Em xin cảm ơn các thầy cô giáo khoa toán đà truyền thụ kiến thức giúp đỡ em suốt bốn năm học tập, tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Đà Nẵng, ngày 10 tháng năm 2008 SVTH Nguyễn Thành Hiển Khóa Luận Tốt Nghiệp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - Chơ ng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các định lý Định lý 1.1 (Về hệ thức lợng tam giác thờng) Gọi c1 = AH a1 = CH hình chiếu cạnh AB = c BC = a cạnh AC = b Khi Nếu góc A nhọn a2 = b2 + c2 − 2bc1 NÕu gãc A tï th× a2 = b2 + c2 − 2bc1 Định lý 1.2 (Định lý Stewart) Nếu đờng thẳng AD = d thuộc tam giác ABC chia cạnh BC thành đoạn BD = m CD = n th× d2 a = b2 m + c2 n − amn Hệ 1.1.1 Đờng trung tuyến tam giác ứng góc A đợc tính theo công thức 2(b2 + c2 ) − a2 ma = HƯ qu¶ 1.1.2 Phân giác góc A đợc tính theo công thøc la = bc.p.(p − a) b+c Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - Hệ 1.1.3 Khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm vòng tròn ngoại tiếp O đợc tính theo công thức OG = 9R2 − (a2 + b2 + c2 ) HƯ qu¶ 1.1.4 Khoảng cách từ trực tâm H đến tâm vòng tròn nội tiếpI đợc tính theo công thức a3 + b3 + c3 + abc HI = 4R − a+b+c 2 Hệ 1.1.5 Khoảng cách từ trọng tâm G đến tâm I đờng tròn nội tiếp đợc tÝnh theo c«ng thøc IG = 9r − 3p2 + 2(a2 + b2 + c2 ) HÖ 1.1.6 Khoảng cách từ tâm đờng tròn ngoại tiếp O đến tâm đờng tròn nội tiếp I đợc tính theo c«ng thøc OI = R2 − abc a+b+c Định lý 1.3 (Định lý hàm số sin)Trong tam giác ABC ta có b c a = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.4 (Định lý hàm số cosin)Trong tam giác ABC ta lu«n cã a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = c2 + a2 − 2ca cos B c2 = a2 + b2 2ab cos C Định lý 1.5 (Định lý hàm số tang )Trong tam giác ABC ta lu«n cã A−B a−b A−B C = tg = tg A+B a+b 2 tg tg Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - 1.2 Các công thøc tÝnh diƯn tÝch DiƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC đợc tính theo công thức sau 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 abc = bc sin A = ca sin B = ab sin C = 2 4R = p.(p − a).(p − b).(p − c) = (p − a) = rb (p − b) = rc (p − c) √ a.rb rc = r.ra rb rc = rb + rc 1.3 Bán kính đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác Đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác đợc tính theo c«ng thøc sau r = (p − a).tg = p.tg A B C = (p − b).tg = (p − c)tg 2 S A = = p−a p.(p − b).(p − c) p−a 1.4 C¸c bất đẳng thức đại số quan trọng Định lý 1.6 (Bất đẳng thức CauChy ) Với số thực dơng a1, a2 , , an ta cã bất đẳng thức a1 + a2 + + an n a1.a2 an n Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an HƯ qu¶ 1.4.1 (Bất dẳng thức CauChy suy rộng) Với số thức dơng a1 , a2, , an x1 , x2 , , xn lµ số thực không âm có tổng 1, ta cã a1x1 + a2 x2 + + an xn Khãa LuËn Tèt NghiÖp ax1 ax2 axnn Ngun Thµnh HiĨn - Lớp 04TT DeThiMau.vn - - Định lý 1.7 (Bất đẳng thứcBunhiacopxkii) Với hai dÃy số thực tùy ý a1, a2 , , an vµ b1 , b2 , bn ta cã bất đẳng thức (a21 + a22 + + a2n ).(b21 + b22 + + b2n ) (a1b1 + a2b2 + + an bn )2 Đẳng thức xảy chØ (a1, a2 , , an ) vµ (b1, b2 , , bn ) hai tỷ lệ Hệ 1.4.2 Víi hai d·y sè thùc a1, a2 , , an vµ b1 , b2 , bn, bi ∀i = 1, n, ta cã a2n a21 a22 + + + b1 b2 bn (a1 + a2 + + an )2 b1 + b2 + + bn Bất đẳng thức thờng đợc gọi bất đẳng thøc Schwarz HƯ qu¶ 1.4.3 Víi hai d·y sè thùc a1, a2 , , an vµ b1 , b2 , bn , ta cã a21 + b21 + .+ a2n + b2n (a1 + a2 + + an)2 + (b1 + b2 + + bn )2 Đẳng thức xảy (a1, a2 , , an ) vµ (b1, b2 , , bn ) lµ hai tỷ lệ Định lý 1.8 (Bất đẳng thứcHolder ) Víi m d·y sè d−¬ng (a1,1, a1,2, , a1,n), , (am,1 , am,2 , , am,n) ta cã m n ai,j i=1 j=1   m j=1 m m n i=1 ai,j Đẳng thức xảy m dÃy tơng ứng tỷ lệ Bất đẳng thức Bunhiacopxkii hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder với m = Hệ 1.4.4 Víi a, b, c, x, y, z, m, n, p số thực dơng, ta có (a3 + b3 + c3 )(x3 + y + z )(m3 + n3 + p3 ) (axm + byn + czp)3 Hệ 1.4.5 Với dÃy số dơng a1, a2 , , an , ta cã (1 + a1 ).(1 + a2) (1 + an ) Khãa LuËn Tèt NghiÖp (1 + √ n n a1.a2 an ) Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - 1.5 Định lý đa thức đối xứng Định nghĩa 1.1 Một đa thức P (x1 , x2 , , xn ) cđa nh÷ng biÕn x1 , x2 , , xn , gọi đối xứng, không thay đổi ta chuyển đổi biến chúng cách Đa thức đối xứng sơ cấp biÕn x1 , x2 , , xn gåm   δ1 = x1 + x2 + + xn        δ2 = x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn δ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + xn−2 xn−1 xn         δ = x x x n n Định lý 1.9 (Định lý đa thức đối xứng) Giả sử P (x1, x2 , , xn đa thức ®èi xøng cđa c¸c biÕn x1 , x2 , , xn Khi đó, tồn ®a thøc ϕ(δ1 , δ2 , , δn ) cho nÕu nã ta thay δ1, , , n đa thức đối xứng sơ cấp tơng ứng , nhận đợc P (x1 , x2 , , xn ) Chøng minh.[5] trang 195-196 Khãa LuËn Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - Chơ ng Phơng trình bậc ba tính chất nghiệm 2.1 Công thức Cardano Phơng trình bậc ba dạng tổng quát a1x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = (a1, b1 , c1 , d1 R, a1 = 0)(*) Phơng trình (*) luôn đa phơng trình bậc ba dạng x3 + ax2 + bx + c = (2.1) víi b1 c1 b1 b= c= a1 a1 a1 a Bằng cách đặt x = y (2.1) trở thµnh a= y + py + q = víi p = b − (2.2) 2.a3 ab a2 − +c vµ q = 27 NghiƯm cđa phơng trình (2.2) y= q + q p3 + + 27 Khãa LuËn Tèt NghiÖp q − − q p3 + 27 Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - - đợc gọi công thức Cardano Gọi z1 , z2 lần lợt z1 = q − + q p3 + 27 z2 = q − − q p3 + 27 Khi ®ã y1 = z1 + z2 y2 = z1 ǫ + z2 ǫ2 y3 = z1 ǫ2 + z2 ǫ víi ǫ = − 21 + i bậc ba đơn vị 2.2 Tính chất nghiệm phơng trình bậc ba Định lý 2.1 (Định lý Vieta nghiệm phơng trình bậc ba ) Phơng trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (2.3) cã ba nghiƯm ( kĨ c¶ nghiƯm phøc) x1 , x2 , x3 , có tính chất sau Tính c hÊt 2.2.1 T1 = x1 + x2 + x3 = −a TÝnh c hÊt 2.2.2 T2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b TÝnh c hÊt 2.2.3 T3 = x1 x2 x3 = −c Chøng minh Vì x1 , x2 , x3 ba nghiệm (2.3) nªn x3 + ax2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) Phân tích vế trái sử dụng đồng thức, ta đợc điều phải chứng minh Khóa Luận Tốt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 10 - NhËn xÐt NÕu x1 , x2 , x3 nghiệm (2.3) phơng trình bậc ba 1 , , lµ nghiƯm cđa x1 x2 x3 b a t3 + t2 + t + = c c c NhËn xÐt NÕu x1 , x2 , x3 nghiệm (2.3) x21 , x22 , x23 nghiệm phơng trình bËc ba x3 − a2 − 2b x2 + b2 − 2ac x − c2 = NhËn xÐt NÕu x1 , x2 , x3 lµ nghiƯm cđa (2.3) th× (x1 + x2 ) , (x1 + x3 ) , (x2 + x3 ) nghiệm phơng trình bËc ba x3 + 2.a.x2 + a2 + b x + (ab − c) = NhËn xÐt NÕu x1 , x2 , x3 nghiệm (2.3) (x1 x2 + x2 x3 ) , (x2 x3 + x1 x3 ) , (x1 x3 + x2 x3 ) nghiệm phơng trình bậc ba x3 2bx2 + b2 + ac x + c2 − abc = TÝnh c hÊt 2.2.4 T4 = x21 + x22 + x23 = a2 − 2.b Chøng minh Tõ (2.2.1) vµ (2.2.2) ta cã : x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = a2 − 2.b TÝnh c hÊt 2.2.5 T5 = (x1 + x2 ) (x2 + x3 ) (x3 + x1 ) = −ab + c Chøng minh Ta cã (x1 + x2 ) (x2 + x3 ) (x3 + x1 ) = (x1 + x2 + x3 ) (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − x1 x2 x3 = −ab + c TÝnh c hÊt 2.2.6 T6 = x31 + x32 + x33 = −a3 + 3.ab − 3c Khãa LuËn Tèt NghiÖp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 11 - Chøng minh Ta cã x31 +x32 +x33−3.x1 x2 x3 = (x1 + x2 + x3 ) x21 + x22 + x23 − x1 x2 − x2 x3 − x3 x1 Suy x31 + x32 + x33 = 3.x1 x2 x3 + (x1 + x2 + x3 ) x21 + x22 + x23 − x1 x2 − x2 x3 − x3 x1 = −3c + (−a) a2 − 2b − b = −a3 + 3ab − 3c TÝnh c hÊt 2.2.7 T7 = (x1 + x2 − x3 ) (x2 + x3 − x1 ) (x3 + x1 − x2 ) = a3 − 4ab + bc Chøng minh Ta cã T7 = (T1 − 2x1 ) (T1 − 2x2 ) (T1 − 2x3 ) = T13 − 2T12 (x1 + x2 + x3 ) + 4T1 (x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ) − 8.x1 x2 x3 = −T13 + 4T1 T2 − 8T3 = a3 − 4ab + 8c TÝnh c hÊt 2.2.8 T8 = x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = b2 − 2ac Chøng minh ¸p dơng (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3) TÝnh c hÊt 2.2.9 T10 = sn = xn1 + xn2 + xn3 = −a.sn−1 − b.sn−2 − c.sn−3 ∀n ∈ N N, n Chứng minh Sử dụng đẳng thức (x1 + x2 + x3 ) x1n−1 + x2n−1 + x3n−1 = xn1 + xn2 + xn3 + x1 x2 x1n−2 + x2n−2 + +x2x3 x2n−2 + x3n−2 + x3 x1 x3n−2 + x1n−2 = xn1 + xn2 + xn3 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x1n−2 + x2n−2 + x3n−2 − −x1 x2 x3 x1n−3 + x2n3 + x3n3 Chuyển vế ta đợc sn = −a.sn−1 − b.sn−2 − c.sn−3 Khãa LuËn Tèt NghiÖp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 12 2 TÝnh c hÊt 2.2.10 T11 = (x1 − x2 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) = −4a3 c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 Chøng minh Khai triÓn biểu thức , sử dụng (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3), đợc (2.2.10) TÝnh c hÊt 2.2.11 Víi mäi k vµ l, ta cã T12 = (k + lx1 ) (k + lx2 ) (k + lx3 ) = k − k la + kl2 b − l3 c Chøng minh T12 = (k + lx1 ) k + lk (x2 + x3 ) + l2 x2 x3 = k + k l (x1 + x2 + x3 ) + l2 k (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + l3 x1 x2 x3 = k − k l.a + kl2 b l3 c Từ suy hai hệ qu¶ quan träng sau HƯ qu¶ 2.2.1 T120 = (1 − t1 ) (1 − t2 ) (1 − t3 ) = + a + b + c HƯ qu¶ 2.2.2 T121 = (1 + t1 ) (1 + t2 ) (1 + t3 ) = − a + b − c NhËn xÐt Ta thÊy r»ng Ti (x1 , x2 , x3 ) đa thức đối xứng (i N ), T1 , T2 , T3 đa thức đối xứng sơ cấp Theo định lý đa thức đối xứng , việc đa tính chất nghiệm phơng trình bậc ba vấn đề tìm đa thức đối xøng Tõ nhËn xÐt trªn, ta suy mét sè tÝnh chÊt sau TÝnh c hÊt 2.2.12 T13 = 1 a + + = x1 x x2 x3 x3 x1 c TÝnh c hÊt 2.2.13 T14 1 a2 + b + + = = x1 + x x2 + x3 x3 + x1 −ab + c Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 13 - TÝnh c hÊt 2.2.14 T15 1 b2 − 2ac = 2+ 2+ = x1 x2 x3 c2 TÝnh c hÊt 2.2.15 1 + + x1 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) x2 (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) x3 (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) =− c T16 = TÝnh c hÊt 2.2.16 T17 = = x21 (x1 b c2 1 + + − x2 ) (x1 − x3 ) x2 (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) x3 (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) TÝnh c hÊt 2.2.17 T18 x32 x33 x31 + + = −a = (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) TÝnh c hÊt 2.2.18 T19 x42 x43 x41 = + + = a2−b (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) Định lý 2.2 Nếu phơng trình bậc ba a1 x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = (2.4) cã hai nghiƯm thùc x1 vµ x2 th× 4a1 c1 − b21 x1 x2 ≥ a21 Chứng minh Giả sử x1 x2 hai nghiệm thực phơng trình(2.4), a1 x31 + b1 x21 + c1 x1 + d1 = vµ a1 x32 + b1 x22 + c1 x2 + d1 = Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 14 - Trõ vÕ theo vế hai phơng trình trên, ta đợc a1 x31 x32 + b1 x21 − x22 + c1 (x1 − x2 ) = ⇔ a1 x21 + x1 x2 + x22 + b1 (x1 + x2 ) + c1 =0 ⇔ a1 (x1 + x2 )2 + b1 (x1 + x2 ) + c1 − a1x1 x2 = Để tồn x1 x2 = b21 − 4a1 (c1 − a1x1 x2 ) ≥ hay 4a1 c1 − b21 x1 x2 ≥ a21 Hệ 2.2.3 Nếu phơng trình bậc ba(2.4) có ba nghiƯm thùc th× 4a1 c1 − b21 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≥ a21 HÖ 2.2.4 Nếu phơng trình bậc ba x3 + ax2 + b.x + c = cã ba nghiÖm thùc x1 x2 4b a2 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ≥ 4b − a2 Định lý 2.3 (Định lý Sturm nghiệm phơng trình bậc ba ) Phơng trình x3 + ax2 + b.x + c = (2.5) Víi c¸c hÖ sè thùc a, b, c cã ba nghiÖm thùc chØ −4a3 c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 ≥ Chøng minh (2.6) NÕu c¶ ba nghiệm số thực theo (2.2.10), bất đẳng thức(2.6) hiển nhiên Ngợc lại, giả sử (2.6) ®óng nh−ng (2.5) chØ cã mét nghiƯm thùc x1 vµ hai nghiÖm phøc x2 = A + Bi , x3 = A − Bi (B = 0) Ta cã (x1 − x2 ) (x2 − x3 ) (x3 − x1 ) = 2Bi (x1 − A)2 + B Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 15 - hay (x1 − x2 )2 (x2 − x3 )2 (x3 − x1 )2 = −4B (x1 − A)2 + B 2 < vô lý theo (2.6).Định lý đà đợc chứng minh Định lý 2.4 Phơng trình (2.5) có ba nghiệm dơng ta có bất đẳng thức (2.6) a < 0, b > 0, c < Chøng minh (2.7) Dùa theo (2.2.1),(2.2.2),(2.2.3), suy điều phải chứng minh Định lý 2.5 Nghiệm phơng trình (2.5) độ dài tam giác ta có (2.6) , (2.7) vµ a3 − 4ab + 8c > Chøng minh (2.8) Nếu nghiệm (2.5) độ dài tam giác chúng số thực dơng x1 + x2 − x3 > , x1 + x3 − x2 > , x3 + x1 − x2 > 0, Vậy (2.6), (2.7), (2.8) thỏa Ngợc lại ,vì (2.6), (2.7) thỏa mÃn nên nghiệm số thực dơng Vì (2.8) thỏa nên dễ dàng suy x1 + x2 − x3 > , x1 + x3 − x2 > , x3 + x1 − x2 > 0, VËy x1 , x2 , x3 lµ ba cạnh tam giác Khóa Luận Tốt Nghiệp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 16 - Chơ ng Xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố hình học lợng giác Trong chơng này, tìm cách xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố nh: cạnh tam giác, đờng cao,đờng trung tuyến, đờng phân giác, góc, Sau đó, từ tính chất nghiệm phơng trình bậc bậc ba nêu chơng 2, ta thiết lập đợc nhiều công thức quan trọng 3.1 Xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố hình học 3.1.1 Phơng trình bậc ba a, b, c Định lý 3.1 Các cạnh a, b, c tam giác nghiệm phơng trình x3 2.p.x2 + p2 + r + 4.R.r x − 4pRr = (3.1) Trong p, R, r lần lợt chu vi , bán kính đờng trình ngoại tiếp nội tiếp tam giác Khóa Luận Tốt Nghiệp Nguyễn Thành Hiển - Líp 04TT DeThiMau.vn - 17 - Chøng minh Ta cã a = 2.R sin A = 4.R sin A r p − a = A = r A tg sin A A cos 2 cos Chia vế theo vế, ta đợc A cos r p−a = = r A A tg sin 2 Nhân vế theo vế, ta đợc cos2 A a (p − a) = 4.R.r Hay = sin2 A A a.r a (p − a) + cos2 = + 2 4R (p − a) 4R.r Suy a3 − 2.a2 p + r + p2 + 4Rr a − 4Rrp = 0, ®iỊu nµy chøng tá a lµ nghiƯm cđa (3.1) LËp ln tơng tự b, c nghiệm (3.1) Vậy ba cạnh a, b, c tam giác nghiệm phơng trình (3.1) Chứng minh Từ công thøc A , tg A = r , sin A = a sin A = A p−a 2R + tg 2 2tg Ta cã r a p−a = 2R r2 1+ (p − a)2 Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 18 - Hay 2r.(p − a) a = 2R (p − a)2 + r ⇔ a p2 − 2pa + a2 + ar = 4prR − 4rRa ⇔ a3 − 2pa2 + a p2 + r + 4Rr − 4Rrp = ⇔ đpcm Chứng minh Giả sử a, b, c nghiệm phơng trình (3.1), theo định lý Vieta    a + b + c = 2p (1) ab + bc + ca = r2 + p2 + 4Rr (2)    abc = 4R.r.p (3) −(1) hiĨn nhiªn abc − Ta cã S = = pr nên suy (3) 4R Biến đổi tơng ®−¬ng (2) ⇔ ab + bc + ca = (p − a) (p − b) (p − c) abc + p2 + p p ⇔ p (ab + bc + ca) = (p − a) (p − b) (p − c) + p3 + abc ⇔ p (ab + bc + ca) = p3 − (a + b + c)p2 + (ab + ac + bc)p − abc + p3 + abc ⇔ p (ab + bc + ca) = p3 − 2p3 + p(ab + ac + bc) − abc + p3 + abc VËy (2) đà đợc chứng minh Từ nhận xét chơng cho ta hệ sau Hệ 3.1.1 1 , , nghiệm phơng trình bËc ba a b c x3 − 1 (p2 + r2 + 4.R.r) x + x − = 4.p.R.r 2.R.r 4.p.R.r (3.2) Tõ nhËn xÐt trongch−¬ng cho ta hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 3.1.2 a2 , b2 , c2 nghiệm phơng trình bậc ba x3 − p2 − r2 − 4Rr x2 + p2 + r2 + 4Rr Khãa LuËn Tèt NghiÖp − 16.p2 Rr x − 16.p2 R2 r2 = (3.3) Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 19 - Tõ nhËn xÐt ch−¬ng cho ta hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 3.1.3 (a + b) , (a + c) , (b + c) nghiệm phơng trình bậc ba x3 4p.x2 + 5p2 + r + 4Rr x − 2p p2 + r + 2Rr = (3.4) Tõ nhận xét chơng cho ta hệ sau HƯ qu¶ 3.1.4 (ab + bc) , (bc + ac) , (ac + ab) nghiệm phơng trình bËc ba x3 − p2 + r2 + 4Rr x2 + p2 + r2 + 4Rr + 8p2 Rr x − 8p2 Rr p2 + r2 + 2Rr = (3.5) HƯ qu¶ 3.1.5 x3 − 1 , , nghiệm phơng trình bậc ba a+b b+c c+a 5p2 + r2 + 4Rr 2 x + x − = 2 2p p + r + 2Rr p + r + 2Rr 2p (p + r2 + 2Rr) HƯ qu¶ 3.1.6 (3.6) 1 , , nghiệm phơng trình bậc ba ab + ac bc + ba ca + cb p2 + r2 + 4Rr + 8p2 Rr p2 + r2 + 4Rr 1 x − x − x + = 2 2 2 4p Rr p + r + 2Rr 8p Rr p + r + 2Rr 8p Rr p + r2 + 2Rr (3.7) HƯ qu¶ 3.1.7 ba x − 1 , , nghiệm phơng trình bậc (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 5p2 + r2 + 4Rr 2p p2 + r2 + 2Rr − − p2 + r + 2Rr 4p2 p2 + r2 + 2Rr x2 + 3p2 − r2 − 4Rr 2p2 p2 + r2 + 2Rr x (3.8) = Định lý 3.2 Gäi G(p, r, R) lµ biĨu thøc chøa ba biÕn p, r, R §Ĩ cho tiƯn, chóng ta viết G thay phải viết G(p, r, R) Định lý 3.2 đợc phát biểu nh sau (G a), (G − b), (G − c) lµ nghiƯm cđa phơng trình x3 (3G 2p) x2 + p2 + r2 + 3G2 + 4Rr − 4pG x − G3 − 2pG2 + + p2 + r2 + 4Rr G − 4pRr = Khãa Ln Tèt NghiƯp Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn - 20 - (G − a1 ), (G − 1b ), (G 1c ) nghiệm phơng trình x3 − 3G − p2 + r2 + 4Rr 4pRr p2 + r2 + 4Rr x − 2G 2Rr 4pRr p2 + r2 + 4Rr 1 − G3 − =0 G + G − 4pRr 2Rr 4pRr x2 + 3G2 + G.a, G.b, G.c lµ nghiƯm phơng trình x3 2pG.x2 + p2 + r + 4Rr G2 x − 4pRr.G3 = G G G , , a b c lµ nghiƯm phơng trình p2 + r + 4.R.r G2 G3 x − G.x + x − = 4.p.R.r 2.R.r 4.p.R.r Chøng minh − Thay x = G (G x) vào (3.1), ta đợc [G − (G − x)]3 − 2p.[G − (G − x)]2 + (p2 + r + 4Rr)[G − (G − x)] 4pRr = Đặt G x = X , ®ã : (G − X)3 − 2p(G − X)2 + (p2 + r2 + 4Rr)(G − X) − 4Rr = ⇔G3 − 3GX(G − X) − X − 2p(G2 − 2GX + X ) + (p2 + r2 + 4Rr)(G − X) − 4Rr = ⇔X − (3G − 2p).X + (p2 + r2 + 3G2 + 4Rr − 4pG).X − [G3 − 2pG2 + (p2 + r2 + 4Rr)G − 4pRr] = − Thay x = G1 (Gx) vào (3.1), ta đợc (3), thực tơng tự suy (4) NhËn xÐt B»ng viƯc thay biĨu thøc G(p, r, R) chøa ba biÕn p, r, R vµo định lý 3.2, ta xây dựng đợc hàng loạt phơng trình bậc ba sau Hệ 3.1.8 (p a) , (p − b) , (p − c) lµ nghiệm phơng trình bậc ba x3 p.x2 + r + 4Rr x − p.r = Hệ 3.1.9 (3.9) 1 , , nghiệm phơng trình bậc ba pa pb pc x3 − 1 4R + r = .x + x − pr r p.r Khãa LuËn Tèt NghiƯp (3.10) Ngun Thµnh HiĨn - Líp 04TT DeThiMau.vn ... ǫ = − 21 + i √ lµ bậc ba đơn vị 2.2 Tính chất nghiệm phơng trình bậc ba Định lý 2.1 (Định lý Vieta nghiệm phơng trình bậc ba ) Phơng trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (2.3) cã ba nghiƯm ( kĨ c¶... Phơng trình bậc ba tính chất nghiệm 2.1 Công thức Cardano Phơng trình bậc ba dạng tỉng qu¸t a1x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = (a1, b1 , c1 , d1 ∈ R, a1 = 0)(*) Phơng trình (*) luôn đa phơng trình bậc ba. .. tìm cách xây dựng phơng trình bậc ba với nghiệm yếu tố nh: cạnh tam giác, đờng cao,đờng trung tuyến, đờng phân giác, góc, Sau đó, từ tính chất nghiệm phơng trình bậc bậc ba nêu chơng 2, ta thiết