www VNMATH com Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®−îc hoµn thµnh d−íi sù h−íng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña TS §Æng Anh TuÊn ®ång thêi cïng sù gióp ®ì vµ chØ dËy quý b¸u cña ThÇy PGS TS §Æng §×nh Ch©u mµ t«i ® nhËn ®−[.]
www.VNMATH.com Lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình, chu đáo TS Đặng Anh Tuấn đồng thời giúp đỡ dậy quý báu Thầy PGS.TS Đặng Đình Châu mà đà nhận đợc suốt trình làm luận văn Tôi xin đợc bày tỏ lòng biến ơn sâu sắc kính trọng tới hai Thầy Mặc dù bận nhiều công việc nhng hai Thầy đà bảo ban dẫn tận tình, đồng thời động viên hoàn thiện đợc luận văn Tôi xin đợc gửi lời cám ơn chân thành đến thầy Bảy Ngời đà tận tình cho nhiều thiếu xót để sửa chữa, khắc phục sai sót hoàn thành đợc khoá luận Tôi xin cám ơn thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học đà giảng dạy dìu dắt năm qua, để có đợc ngày hôm nay, hoàn thành khoá luận này.Và nhiều động viên từ gia đình, bạn bè Cám ơn tất ngời! Một lần cho đợc gửi lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến tất cả! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Thuý Lời mở đầu www.VNMATH.com Lời mở đầu Lý thut nưa nhãm mét tham sè cđa to¸n tư tun tính không gian Banach bắt đầu xuất từ nửa đầu kỉ XX, đạt đến cốt lõi vào năm 1948 với định lý sinh Hille-Yosida, sau đạt tới đỉnh vào năm 1957 với xuất Semigroups and funtional Analysis” cđa E Hille vµ R S Philips Vào năm thập kỉ 70 80 kỉ XX, nhờ cố gắng nghiên cứu nhiều trung tâm nghiêm cứu, trờng học khác nhau, lý thuyết nửa nhóm đợc đạt tới trạng thái hoàn hảo, đợc thể tốt chuyên khảo E B Davies[Dav80], J A Goldstein[Gol85], A Dazy[Paz83], nhiều nhà toán học khác Nửa nhóm đà trở thành công cụ quan trọng phơng trình vi tích phân phơng trình hàm vi phân, học lợng tử lýthuyết điều khiển vô hạn chiều Phơng pháp nửa nhóm đợc ứng dụng với thành công lớn để cụ thể hoá phơng trình, ,trong hệ động lực dân số lý thuyết vận tải Trong khoá luận này, xin trình bày dùng phơng pháp nửa nhóm để nghiên cứu nghiệm toán Cauchy Cấu trúc khoá luËn gåm ch−¬ng: Ch−¬ng 1: Mét sè kiÕn thøc đại số Banach lý thuyết phổ Trong phần này, trình bày định nghĩa, ví dụ, định lý, bổ đề không gian tuyến tính, định chuẩn, Banach, đại số Banach lý thuyết phổ Chơng 2: Phơng trình hàm Cauchy số nửa nhóm Lời mở đầu www.VNMATH.com 2.1 Phơng trình hàm Cauchy 2.2 Nửa nhóm ma trận 2.3 Nửa nhóm toán tử liên tục Trong phần này, nghiên cứu số nửa nhóm, nghiệm toán Cauchy từ tính chất nưa nhãm ta suy tÝnh chÊt nghiƯm cđa bµi toán Cauchy Chơng 3: Bài toán Cauchy toán tử tuyến tính không giới nội Trong chơng trớc, ta đà nghiên cứu nửa nhóm toán tử tuyến tính giới nội Trong phần này, nghiên cứu với toán tử tuyến tính không giới nội, từ ta nghiên cứu tính chất nhiệm toán Cauchy Chơng 4: Nửa nhóm nhân C0 (Ω)Ω)) Tõ tÝnh chÊt cđa phỉ cđa nưa nhãm nh©n, ta suy tÝnh chÊt cđa nưa nhãm nh©n, từ ta nghiên cứu nghiệm toán Cauchy suy đợc tính chất ổn định nghiệm toán Cauchy Mặc dù đà cố gắng nhiều, nhng trình độ thời gian hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu xót, mong nhận đợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn! www.VNMATH.com Chơng Một số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Không gian tuyến tính Cho X mét tËp tuú ý, K lµ tr−êng sè (Ω)C, R) Đ ịnh nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính tập X, xác định hai phép toán cộng hai phần tử X phép nhân phần tư cđa X víi mét sè thc tr−êng sè K Hai phép toán đợc xác định nh sau: Phép cộng: Đó ánh xạ : : XìX X ()x, y) = x + y thoả mÃn tiên ®Ò sau: (a) x + y = y + x víi mäi x, y ∈ X; (b) (Ω)x + y) + z = x + (Ω)y + z) víi mäi x, y, z ∈ X; www.VNMATH.com 1.1 Kh«ng gian tuyến tính định chuẩn (c) Tồn phần tử ∈ X tho¶ m·n: x + = + x = x víi mäi x ∈ X; (d) Với phần tử x X tồn phần tử đối, kí hiệu ()x) thoả mÃn x + ()x) = Phép nhân với số: Đó ánh xạ: :XìK X (kí hiệu ()x, ) = x x, x K, K) thoả m·n: (a) α(Ω)βxx) = βx(Ω)αx) = (Ω)αβxx) víi mäi x X; , x K; (b) Tồn phần tư ∈ K tho¶ m·n 1.x = x víi mäi x ∈ X; (c) (Ω)α + βx)x = αx + βxx víi mäi x ∈ X, α, βx ∈ K; (d) α(Ω)x + y) = αx + αy víi mäi x ∈ X, α ∈ K • K = R không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính thực ã K = C không gian tuyến tính X gọi không gian tuyến tính www.VNMATH.com 1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian định chuẩn Đ ịnh nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tuyến tính Một ánh xạ : X đợc gọi chuẩn X thoả mÃn tiên đề sau: (ta kí hiệu →R ϕ(Ω)x) = kxk) kxk ≥ víi mäi x ∈ X vµ ϕ(Ω)x) = vµ chØ x = 0; kαxk = |α|.kxk víi mäi x ∈ X vµ víi mäi α ∈ K; kx + yk ≤ kxk + kyk víi mäi x, y X Đ ịnh nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính X với chuẩn xác địnhà ktrên gọi không gian định chuẩn trênk Đ ịnh nghÜa 1.1.5 D·y n n=1 {x }∞ ⊂ X víi X không gian tuyến tính định 1.2 Đại sè Banach www.VNMATH.com suy k · k lµ chuẩn Cn gọi chuẩn Euclide 2 Suy d(Ω)x, y) = kx − yk = (Ω) i=1 n |xi − yi | ) khoảng cách Euclide P Banach đà biết Vậy K n không gian C với kxk = m a x |x()t)| không gian Banach [a,b] a t b ≤ ≤ víi d(Ω)x, y) = am≤ta≤xb |x(Ω)t) − y()t)| khoảng cách đà biết P 1.2 Đại số Banach www.VNMATH.com 10 Nếu thân phép nhân giao hoán, tức thoả mÃn: fg = gf f, g B, đại số B đợc gọi đại số giao hoán; Không gian định chuẩn B đợc gọi đại số định chuẩn đại số có đơn vị thoả mÃn thêm tiên đề: kek = 1; kfgk kfk kgk f, g B; Nếu đại số định chuẩn B mà đầy đủ (tức không gian Banach) đợc gọi Đại số Banach 1.2.2 Một số ví dụ Đại số Banach a, Trờng C Các số phức z cho ví dụ đơn giản Đại số Banach trang bị chuẩn cho theo công thức: p 1.2 Đại số Banach www.VNMATH.com 11 Đơn vị L()X, X) toán tử đồng Chuẩn L()X, X) đợc định nghĩa nh sau: kAk = sup kAxk kxk61 Ta biÕn L(Ω)X, X) thành đại số Banach với đơn vị I 1.2.3 Phổ giải thức Đ ịnh nghĩa 1.2.2 Cho B đại số Banach f B Phổ cđa f lµ σBtËp: (Ω)f) = {λ ∈ C : f e không khả nghịch B}, tập giải f tập: B ()f) = C\B ()f) Nếu / ()f) ta gọi giá trị quy Xét hàm R : C\()f) B với 1.2 Đại số Banach www.VNMATH.com 12 Ta có toán tử tuyến tính A : D()A) X X C đợc gọi giá trị quy A tồn ()I A) L()X) Tập giá trị quy đợc kí hiệu ()A) C\()A) = ()A) lµ tËp phỉ cđa A D(Ω)A) ∈ X; A : D()A) X đợc gọi toán tử đóng nÕu: ∀xn ∈ D(Ω)A) mµ xn → x vµ Axn y x D()A) Ax = y Đ ịnh lý 1.2.4 Nếu toán tử A phổ toàn thể mặt A phẳng toán phøc tư ®ãng