Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)

Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)

ì ề Pì ế ì ề Pì ế Pữỡ sỡ số ì ì ữủ t t trữớ ữợ sỹ ữợ tr trồ tọ ỏ trồ t ỡ s s tợ t t t ữợ t t ủ t tr sốt q tr t ự t ỷ ỡ tợ t ổ tr trữớ õ t ổ tr õ r t t tr sốt tớ q ụ ỡ ỗ tt ữớ q t ú ù t õ t t t ỡ t ũ ử é Pữỡ tr q ữỡ tr Pữỡ tr Pữỡ tr tờ qt ởt số t ự ởt số t ữỡ tr ự tr rữớ ủ eif ữỡ Rn P t ú tr rữớ ủ eif ữủ Pữỡ tr tr ởt số t ữỡ tr Pữỡ tr s Pữỡ tr t Pữỡ tr Pữỡ tr Pr ởt số t é ỵ t ởt ữỡ tr ữủ ữớ t ữỡ tr ỡ tr ỵ tt ữỡ tr ữỡ tr Pữỡ tr ởt tr ỳ ỹ õ t sỡ õ õ ự tr ỵ tt ữỡ tr tr ỹ t ỗ t ự t t ự t tố t ỹ ữỡ tr ỡ ỡ tố t Pữỡ tr ữủ ợ t tr s ổ tứ t t ữỡ tr õ tứ tt r số f t ởt số tử tứ R R x, y õ t số tỹ t ss ụ ự ữỡ tr tr ố s ổ tứ ữ sỹ ự ổ t ụ ổ ró r r ỳ trữợ ỳ t õ t t t tr s r sỹ ự t số t ỳ t ự t ữỡ tr t ú ữ t ổ ró r õ õ t út sỹ ú ỵ t tr tớ t ự ỳ ữỡ tr Pữỡ tr tữỡ ữỡ sỹ tữ s t tử t q tú ỡ ữợ ự ữỡ tr sỷ tổ tữớ tr số t õ r r tr trữớ ủ t f : R R ộ s r sỹ tỗ t c R s f (x) = cx ợ x R tỹ t ữủ ự sỷ f tử r ự r f õ t ữủ tt ỡ tr ởt rt r rs r tt r f ữủ s rs tt r f tr t ữủ ữỡ strs st tt r f tứ ởt tr t ữủ ữỡ tt r f tr tr t õ r t ự ữỡ tr ổ õ t f sỷ ỡ s ổ t s r r õ ổ t t tứ ữỡ tr ổ t r tt ú Pữỡ tr ữủ qt õ s t ữợ ởt ữợ tr f t õ õ t ữỡ õ Ps ự r f tọ ởt t tt ữủ r r rsts õ t tt t t õ tử ú ỵ t õ ữỡ tr t õ t t t ởt ữợ ủ tt tứ t ữủ ữ ữợ tờ qt t f s ổ õ ởt trú số ỳ s ỡ t t õ tự ởt t ỗ ũ t ữủ ỹ t tr ữỡ tr sỷ r f tọ ữỡ tr ợ (x, y) tở t R2n t f õ t ữủ tr t ổ tr t õ r tt trữớ ủ t õ t t sỹ tỗ t ổ t t ữỡ tr ũ tr trữớ ủ f ữủ tr t ổ f tọ õ ợ tt (x, y) õ t t ữỡ tr ởt số t õ ổ qt rt t ữỡ tr õ õ t tr t s ọ tr ữợ qố t tữớ ởt t tự ố ợ s t t ữỡ tr ữủ s tỹ ộ t tr ởt số ự ữ qt ữủ ữỡ tr ỏ rt ú ự q ữỡ tr ữỡ tr ởt số t õ t ữủ sỹ tữỡ ố õ ố ợ t ổ ởt số ợ ữủ tr ữ ởt ữỡ tr tr õ ởt số ụ ự t ữ t t ữủ rở ởt số t ữỡ tr t ự ỵ tt tr ỗ ữù tự t s P t t s ố tữủ ự ố tữủ ự ữỡ tr ởt số t õ ởt t s tr t q tr t t Pữỡ ự t t t ự q ữỡ tr ự r q ợ t ữợ ự ữỡ tr ởt số t õ ố t ự tữỡ ự ợ ữỡ ữỡ Pữỡ tr q ữỡ tr Pữỡ tr Pữỡ tr tờ qt ởt số t ự ữỡ ởt số t ữỡ tr ự tr Pữỡ tr tr ởt số t ữỡ tr ởt số ữỡ Pữỡ tr r ữỡ t tr t t ữỡ tr r õ t s ự ữỡ tr ởt số t ự ữủ t t t q ữỡ tr Pữỡ tr ữỡ tr số ữỡ tr tự t số ữ t õ ữỡ tr ộ ữớ õ ỳ ỡ s ữỡ ỹ trữ t õ t ỹ ữủ ởt số ữợ ữ s tr ũ ủ t tr õ t t x = 0, x = 1, tứ õ t r ởt t t q trồ õ tr t t ự số t ữỡ sỷ tr f (x) q ợ n N t f (n) õ t f ( n1 ) f (e) Pữỡ tữớ tr t õ f ữủ tr Q tứ õ rở tr t số rở ỡ ỷ ữỡ tr ự t ỡ t tử t t tr ữỡ tr ữỡ tr õ ổ õ t ỡ tử t t tr ự t ỡ ố tr ự t ỡ t ụ tứ tr ữỡ tr ỹ ũ ữỡ ự ự ỹ ú tự tr ỗ t t t số ứ ởt số ữợ tr t t ữỡ tr s ự õ Pữỡ tr Pữỡ tr ữỡ tr õ f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R, tr õ f (x) tr R tọ ữỡ tr f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R, ữủ t ỵ số tử f (x) ữỡ tr f (x) = ax, x R, tr õ a số tũ ỵ F ữ tự F (x) = f (s) f (t) = f (x) ố ũ t f t (x1 , x2 ) G2 t S s G tỗ t s1 , s2 , t1 , t2 S tọ q x1 = s1 t1 , x2 = s2 t2 , s1 + s2 S, t1 + t2 S t G ữ x1 + x2 = (s1 + s2 ) (t1 + t2 ) S S F t H s r ữủ F (x1 + x2 ) = f (s1 + s2 ) f (t1 + t2 ) = f (s1 ) f (t1 ) + f (s2 ) f (t2 ) = F (x1 ) + F (x2 ) ỵ sỷ S S (S + S) A t ởt s ữỡ Rn s Rn A Rn tọ f : A R sỷ f tọ S ự I tr õ eif ữủ t tỗ t c Rn s f (x) = c.x, x S ự tỗ t ởt t F : Rn R tọ F (x) = f (x) ợ x S F t eiF = eif ữủ tr I t s r tứ ỵ r tỗ t c Rn s F (x) = c.x ợ x Rn ữủ s r f (x) = F (x) ợ x S t t S Rn s Rn ỗ ởt s ữỡ ỷ ổ trỹ ỷ ổ t ỗ ởt t s Rn õ tr rộ õ ỷ õ S Rn tự S + S S s r Rn t S : m=1 [2m, 3m] s r R ụ õ t S ợ rộ s r Rn ữ ổ ỷ õ ởt ỡ sỹ õ tữ ởt tỡ ổ tở õ tữ ữ ổ õ ữ m m n n S : m=1 Sm õ Sm := [10 , 5.10 ) , m N ợ x, y R m N s x + y| < 10m1 pm := (2.10m )nk=1 ỳ tỡ 2.10m t x = (pm + x) pm Sm Sm y = (pm + y) pm Sm Sm , x + y = (2pm + x + y) 2pm Sm Sm ỵ tữỡ tỹ ự ỵ õ t ữủ sỷ rở õ ỡ ỳ ữ ỵ t t ỵ S Rn A Rn tọ S (S +S) A sỷ f :AR tọ sỷ ữủ tr I S ự ởt ữỡ I eif tỗ t ởt t ổ t F : Rn R s F (x) = f (x), x S f (x) = cx, x S t tỗ t c Rn s ỵ ữủ t tr tr t õ t ữủ sỷ t õ t S tợ t ý tr R õ õ A := S + S õ t S tợ ởt q số õ ố t õ A := S + S ữ tỹ sỹ r tứ ỵ t t trữớ ủ rở ởt tử t ữủ tr ởt ỵ S Rn ởt t ỗ õ rộ A Rn tọ S (S + S) A sỷ f : A R tọ if n e ữủ tr S t tỗ t c R s f (x) = cx, x S ự u S + S tũ ỵ t u = s + t ợ ởt s, t S õ t ỗ t x = y = u s+t = S S 2 u tr s r r f (u) u =f , u S + S 2 t ú u := x + y, x, y S ữủ õ f x+y = f (x + y) f (x) + f (y) = , 2 ữỡ tr ố ữủ s r tứ r tỗ t c Rn b R s f (x) = cx + b, x S sỹ õ t s r b = ởt số t ữỡ tr r t tr ởt số t ữỡ tr õ õ ỳ ự tr qt ởt số t Pữỡ tr s ữỡ tr õ f x+y = f (x) + f (y) r õ x, y Rn ởt t Rn ỵ S ởt t ỗ Rn sỷ tr f : S R tọ ợ x, y S eif S t tỗ t c Rn b R s f (x) = cx + b ợ õ rộ sỷ ữủ tr x S ự x+y S t ữủ õ tỗ t ởt g : Rn R tọ ởt số S ỗ b R s f (x) = g(x) + b ợ x S eif ữủ tr S tr S rộ eif ữủ tr ởt s ữỡ ữủ ự tr S eig = ebi ef ữủ tr s ữỡ t tỗ t c Rn s g(x) = cx ợ x Rn f (x) = cx + b ợ x S ởt sỹ tr tự r tọ ợ (x, y) S Pữỡ tr t õ ữỡ tr õ f (x + y) = f (x)f (y) tr õ (x, y) tở ởt t R2n ởt s r tứ f ữ t t tr t ổ f (x0 ) = ởt số x0 Rn t f (x) = f (x x0 ).f (x0 ) = 0, x Rn x , x Rn õ r f ổ t f (x) > 0, x (x, y) tở ởt t R2n t t f (x) = f õ ổ r ró r t s ởt õ t ữỡ ỵ t t õ t ữỡ f ữủ tr t ỵ S Rn A Rn tọ S (S + S) A sỷ f :AR sỷ S ởt ữỡ t ợ ởt t ỗ õ tr rộ (x, y) S fi ữủ tr S fi S s r ữủ õ tỗ t Rn õ ự ởt ữỡ c Rn I s f (x) = ecx , x S ự f ữỡ số g : A R g := ln(f ) ụ tr A rt t t r g t f i = exp(i ln(f )) = eig ữủ sỷ ữủ tr S I ứ ỵ ỵ s r tỗ t c Rn s g(x) = cx, x Rn f (x) = ecx , x S f tọ Pữỡ tr ữỡ tr õ (f (x + y))2 = (f (x) + f (y))2 tr õ x, y Rn t ý t ý ữỡ tr ữ ữủ ổ ú t t õ t s r q f (x + y) = (f (x) + f (y)) õ tở (x, y) ữủ tr ởt ỷ õ S Rn t ứ ỵ t t s r ỵ s ỵ sỷ S ởt ỷ õ Rn s r Rn sỷ eif f :SR tọ tỗ t ữỡ ữủ t tỗ t c Rn s f (x) = cx, x S IS Pữỡ tr Pr õ ữỡ tr tờ qt õ ởt ữỡ tr q số f (x + y) = g(x) + h(y), tr õ (x, y) R2n ởt t R2n ỵ t t rở t q ữủ t ố ợ t ữủ ỵ S Rn ởt ỷ õ tọ S sỷ f : S R g : S R h : S R (x, y) S sỷ r S s r Rn tọ ợ số ụ ự ởt tr ữủ õ tỗ t số a, b R h(x) = c.x + b ợ s I c Rn õ ự ởt ữỡ f (x) = c.x + a + b, g(x) = c.x + a x S ự a := g(0), b := h(0) p : S R ữủ p(x) := f (x) a b, ợ x S t õ f (x) = p(x)+a+b, g(x) = p(x)+a, h(x) = p(x)+b ợ x S p t số ụ ự f, g h ữủ sỷ ữủ t ữỡ tr s r r eip ữủ t ữỡ ứ õ ởt ỷ õ s r ởt õ tỹ sỹ t r õ t q trỹ t tứ S + S S ỵ ợ A := S s r tỗ t c Rn s p(x) = c.x ợ ộ x S s tr r ữủ f, g, h t ữủ ữỡ tr t t |f (x + y) f (x) f (y)| ợ x, y Rn ợ ởt số ữỡ ởt f : Rn R tọ ữủ t ởt t t ữỡ tr ởt t ữủ t õ t t õ ổ t t ý ữủ trở t ởt t t t rs ữ r tr tr õ tỗ t t ởt g : Rn R tọ |f (x) g(x)| ợ x Rn số t g tọ f (mx) m m g(x) = lim 2m x ợ x R g(x) = limm f 2m ỹ t rs ự ỵ ổ số ỳ n ổ tr ữủ ỹ t ự f : S X õ X ởt ổ S ởt ỷ õ t q t ữỡ tr tr trữớ ủ t ữỡ tr t q tợ õ tr t tr ố t é t s t tr t sỹ rở q tở õ t f ữủ tr tr ởt t ữỡ ữủ t t ủ g õ t tử r t ố t q q tợ t ữủ õ ữủ t ữủ t q ự ữủ õ tr trữớ ủ t t f ợ ởt tr ỳ ữ r tứ ữớ t tỹ ữỡ õ ỵ S Rn ởt ỷ õ õ s r Rn ự ởt ữỡ I f : S R tọ tỗ t ởt (mk )k=1 s ộ hk : S C số ổ số tỹ hk (x) := eif (mk x)/mk ợ c Rn s |f (x) c.x| ợ ữủ t tỗ t x S x S ữủ tr I ự ữ õ tữỡ tỹ tỗ t ởt t g : S R tọ |f (x) g(x)| ợ x S ứ t õ g(x) = lim k f (mk x) mk ợ k N x S t tử ụ tứ t õ h(x) := exp(ig(x)) = lim exp i k f (mk x) mk = lim hk x k ợ x S õ sỹ h tợ I ợ ữủ õ ữủ g tọ ỷ õ s r ởt õ s r õ ữ t t tứ ỵ ợ A := S sỹ tỗ t c Rn s g(x) = c.x ợ tt x S t s r ự t f ữủ ữỡ t x eif (mx)/x) ữỡ ợ m N hk tứ ỵ tọ g ữủ õ t t r eif ữủ t õ ổ s r g ữủ t t f := 2[g(x)], x R tr ú ỵ õ g ởt t t t eif tử õ ởt |t [t]| ợ t R t õ |f (x) (2)g(x)| 2, ợ x R t ữỡ tr t tự t t t g s r r f tọ ợ := 2g tọ ỵ rs s r r õ ởt t f ụ s r r f (mx) m m ợ x R ợ õ t ữủ t t 2g(x) = lim ữ g ổ ữủ õ t õ r ũ eif ữủ ữ tứ ỵ r r tr ổ số gm (x) := eif (mx)/m , x R õ ỳ ú õ t ữủ ởt số t t ữỡ tr ỵ t q t ữỡ tr õ t ữủ rở tợ ữỡ tr f : Rn Rm tọ f = (f1 , f2 , , fm ) eifk ữủ ợ ộ k {1, , m} t tỗ t ởt tr mìn s f (x) = Cx ợ x Rn t q ỡ ỵ fk : Rn R tọ ợ ộ k t ổ ổ ởt tú õ t rở t q tợ ởt ổ ổ tr õ ữủ số ữủ t ự ỵ sỷ q t tr ữủ tr ủ ỵ r q t õ t ữủ rở ỡ ỳ q ổ tr õ ởt tự ỵ tt trứ tữủ ỡ r ữợ t õ r ởt (A, B, F ) õ t t t ỳ s ữủ tọ A t ủ số tỹ tr Rn B t ủ số ự {eif : g A} F : B C ởt số ợ C tọ || = h B t õ h B F (h) = F (h); số x c.x tở A ợ tt c Rn A õ ữợ số ỳ t ữỡ ỗ t ởt ỡ s {u1 , u2 , , un } Rn s ợ g A tọ q g(x + uk ) = g(x) ợ tt x Rn k {1, , n} số gy ữủ gy (x) := g(x + y) ợ ộ x Rn tở A ợ ộ y Rn t õ F (eigy ) = F (eig ); ợ ộ g A tỗ t ởt số ỳ t > s F (eig ) = ởt ởt (A, B, F ) A := {f : Rn R : eif }, B := {eig : g A}, F (v) := I v(x)dx ợ tt v A õ I Rn ởt ữỡ t ý sỷ r t õ ởt (A, B, F ) tọ t t t tr trữớ ủ f A f tọ t tỗ t c Rn s f (x) = c.x ợ x Rn t ự ụ tữỡ tỹ ự õ sỹ ự t tứ t t t ự s t eit , t R õ ởt số ỳ t ữỡ tứ t t (8) tr t số F ữỡ tr eig(x+y) = eig(x) eig(y) , sỷ t t tr tr t G(v) := I v(x)dx tr ữỡ tr õ I ởt s s r ỡ s {u1 , , un } v ởt t ý õ t tr I sỷ ởt tữỡ tỹ t tú õ t t ữủ ởt (A, B, F ) tọ t t t s A = {f : Rn R : eif ữủ} F ổ t t F ổ trũ ợ v I v(x)dx ởt sỹ t t r ổ t q t t r t t ởt (A, B, F ) tọ t t t t tr sỹ ổ r ổ õ ởt tỗ t tỷ t F ởt số Fj : B C ổ tữớ õ ỳ t t ỳ ổ tở A t A F A ổ t ởt t ủ tt số tỹ ởt sỹ tữỡ ự ỳ ữủ t tr ú ợ ởt t ố ũ õ s rt õ tr tờ ủ tữớ trứ tữủ ữủ tr ợ ởt ỵ tỗ t tữớ ữỡ tr ởt số tt số f (x), g(x), h(x) (R) tọ f (x + y) = g(x) + h(y), x, y R Pữỡ tr ữỡ tr Pr rở ữỡ tr y = ữỡ tr t ữủ g(x) = f (x) h(0) = f (x) b, b = h(0) x = ữỡ tr t a = g(0) t ữủ h(y) = f (y) a t q tr t õ f (x + y) = f (x) + f (y) a b, x, y R t F (x) = f (x) a b õ F (x) (R) tọ F (x + y) = F (x) + F (y), x, y R t q ữỡ tr t õ F (x) = cx r f (x) = cx + a + b g(x) = cx + a h(x) = cx + b f (x) = cx + a + b g(x) = cx + a h(x) = cx + b t tt số f (x), g(x), h(x) tử tr R tọ f (x + y) = g(x)h(y), x, y R r ữỡ tr ữủt t x = 0, y = t y = 0, x = t t õ g(0) = 0, h(0) = t h(t) = f (t) , (a := g(0) = 0) f (t) = g(0).h(t) a t R f (t) f (t) = g(t).h(0) g(t) = , (b := h(0) = 0) b t q tr t ữủ f (x) f (y) a b f (x + y) f (x) f (y) = , x, y R ab ab ab f (x) t (x) = , x R ab õ (x) (R) (x + y) = (x).(y), x, y R r (x) = ecx , c số ứ õ t õ f (x + y) = cx f (x) = abe g(x) = aecx h(x) = becx tr õa, b, c số ỷ t t số tr tọ ữỡ tr a = t õ f (x) = 0, x R g t h(x) số tũ ỵ tỗ t x0 R s g(x0) = t tr x = x0 t ữủ = f (x0 + y) = g(x0 )h(y), y R r h(y) = 0, y R ỷ t t số tr tọ ữỡ tr b = t õ f (x) = 0, x R h t g(x) số tũ ỵ tỗ t x0 R s h(x0) = t tr x = x0 t ữủ = f (x0 + y) = h(x0 )g(y), y R r g(y) = 0, y R ỷ t t số tr tọ ữỡ tr ú ỵ r tr tr t tữớ f 0, g 0, h õ t õ t q s cx f (x) = abe f f g(x) = aecx g0 h0 h(x) = becx h(x) (R) g(x) (R) ợ x R a, b, c số r t tr ữủ ởt số t q ữỡ tr t ợ t tờ q ữỡ tr ữỡ tr r ự ỵ q ữỡ tr r ự ởt số t ữỡ tr ữ ữỡ tr s ữỡ tr Pr ỹ t q tr tr t t q r tớ tợ t s t tử t ọ ự t t q tr ỗ tớ tr ỗ t tự ử q tr t s t t Pỏ ữỡ tr ố Pữỡ tr ỡ ợ số ố ởt số t ỗ ữù s ọ tr tổ rs rts t t t qt r sr stt s ts t qts str ss rs r s s ... Pữỡ tr tờ qt ởt số t ự ữỡ ởt số t ữỡ tr ự tr Pữỡ tr tr ởt số t ữỡ tr ởt số ữỡ Pữỡ tr r ữỡ t tr t t ữỡ tr r õ t s ự ữỡ tr ởt số t ự ữủ t t t ... rt ú ự q ữỡ tr ữỡ tr ởt số t õ t ữủ sỹ tữỡ ố õ ố ợ t ổ ởt số ợ ữủ tr ữ ởt ữỡ tr tr õ ởt số ụ ự t ữ t t ữủ rở ởt số t ữỡ tr t ự ỵ tt tr ỗ ữù... ữỡ tr õ tứ tt r số f t ởt số tử tứ R R x, y õ t số tỹ t ss ụ ự ữỡ tr tr ố s ổ tứ ữ sỹ ự ổ t ụ ổ ró r r ỳ trữợ ỳ t õ t t t tr s r sỹ ự t số t ỳ t ự t ữỡ