LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Trọng Hòa và TS Nguyễn Hà Thanh , người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi về chuyên môn cũng như tinh thần cho tôi hoàn[.]
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Trọng Hòa TS.Nguyễn Hà Thanh , người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ chuyên môn tinh thần cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cơ nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho học viên cao học khóa 21 kiến thức bản, công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu để chúng tơi tự tin cho việc học hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm Thầy Cơ giảng viên khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho chúng tơi hồn thành khóa học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn học viên khóa chia buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ vượt qua lúc khó khăn suốt q trình học tập Bên cạnh đó, tơi gửi lời cảm ơn đến bạn học viên cao học chun ngành hình học tơpơ khóa trước nhiệt tình chia kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình tơi, người ln bên cạnh động viên, giúp đỡ mặt MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu liên quan LỜI NÓI ĐẦU Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 Định nghĩa khái niệm 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Các Tôpô thông thường không gian hàm 12 Chương CÁC NHĨM ĐỒNG PHƠI TƠPƠ 22 2.1 Các tính chất Η K (Y ) 22 2.2.Các tính chất Η f (Y ) : 26 2.3 Các tính chất Η + f () ω 36 Chương TƠPƠ TÍCH NỬA – HÌNH HỘP 44 3.1 Định nghĩa 44 3.2 Các tính chất ¬ω đồng phơi với 49 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 CÁC KÍ HIỆU LIÊN QUAN • F(X;Y) hay F : Tập hợp ánh xạ từ X đến Y • C(X;Y) : Tập hợp hàm số liên tục từ X đến Y • C(X) : Tập hợp hàm số thực liên tục từ X đến • C + (X) : Tập hợp hàm số thực xác định dương từ X đến • H(Y) : Nhóm tự đồng phơi khơng gian mêtric Y • H K (Y) : Nhóm tự đồng phơi không gian mêtric Y theo tôpô mở - compact • H f (Y) : Không gian tự đồng phơi khơng gian mêtric Y theo tơpơ mịn • H +f (Y) : Không gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric Y theo tôpô mịn • H K () ; H K ( I ) : Các tự đồng phôi I, với I = [−1;1] • H + () ;H + () : Các đồng phôi đồng biến I • ω : Tích Decarter ω theo tơpơ hỡnh hp ã : Tớch Decarter theo tơpơ nửa – hình hộp LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài : Như biết Cho X; Y hai không gian tôpô, giả sử f : X → Y song ánh cho f ánh xạ ngược f −1 f đồng thời liên tục f gọi phép đồng phôi Không gian tôpô X không gian tôpô Y gọi đồng phôi với có phép đồng phơi từ khơng gian vào khơng gian , nói chung , tính chất tơpơ có khơng gian tơpơ có khơng gian tơpơ hai không gian tôpô theo quan điểm tơpơ chúng Hay nói cách khác , hai không gian tôpô X Y gọi đồng phơi với có ánh xạ liên tục f : X → Y g : Y → X cho thỏa mãn đồng thời f g = IdY g f = Id X Ví dụ : Hình vành khuyên : = A {( x; y) ∈ |1 ≤ x + y ≤ 4} đồng phơi với hình trụ B= {( x; y; z ) ∈ | x + y = 1;0 ≤ z ≤ 1} Vì ta hàm liên tục sau f : A → B g : B → A với x y = f ( x; y ) ; ; x + y − 1 x2 + y x2 + y Và g ( x; y; z ) = ( (1 + z ) x;(1 + z ) y ) Thõa mãn : f= g g= f Id ta nói f ; g phép đồng phôi mà ta hay gọi vắn tắt đồng phôi Ta gọi H f (Y ) không gian tự đồng phơi khơng gian mêtric Y theo tơpơ mịn ta biết nhóm tơpơ Tức , vừa thỏa mãn tiên đề nhóm vừa thỏa tiên đề khơng gian tôpô ánh xạ sau liên tục : η : H f (Y ) × H f (Y ) → H f (Y ) (g, h) η ( g , h) = g h −1 ( nghĩa ,ánh xạ ngược phép toán kết hợp hàm số hàm liên tục ) Trường hợp riêng , gọi H +f () không gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric theo tơpơ mịn , ta biết , có tính chất giống tơpơ tích hình hộp ω , hai khơng gian không đồng phôi với Do động tìm kiếm khơng gian tơpơ tích mà đồng phơi với H +f () khơng gian tích nửa-hình hộp xem xét , khơng gian tơpơ mịn khơng gian tơpơ tích Tychonoff thơ tơpơ tích hình hộp Do , nội dung đề tài mà tác giả quan tâm Nội dung đề tài : Nội dung đề tài gồm có chương Chương : Tác giả nêu vắn tắt khái niệm , định nghĩa mà tác giả cho đủ để nhớ lại để thảo luận vấn đề phần sau trọng tâm đề tài Tuy nhiên , khái niệm hay định nghĩa nhắc đến , mà tác giả nêu chổ vấn đề quan tâm Cuối chương tác giả cố gắng nêu nhận xét liên quan đến khái niệm ,nó kết biết báo sách giáo khoa Chương : Tác giả nêu vấn đề đồng phôi không gian hàm Với không gian Hausdorff Y, Gọi Η (Y ) nhóm ( tự ) đồng phơi Y Nếu Η K (Y ) kí hiệu nhóm theo tơpơ mở - compact dạng nhóm tơpơ Y compact compact địa phương liên thông địa phương [7] Nhưng Η K (Y ) khơng nhóm tơpơ Y không gian mêtric khả li compact địa phương , phép tốn lấy nghịch đảo khơng liên tục Cũng chương này, thấy Y không gian mêtric Η f (Y ) kí hiệu Η (Y ) theo tơpơ mịn, Η f (Y ) ln nhóm tơpơ Điều trước tiên ta thấy tôpô mịn Η (Y ) tôpô đồ thị chúng Và thấy vài tính chất Η f (Y ) qua việc nghiên cứu lớp tương đương hai quan hệ tương đương không gian Bây sang không gian đặc biệt, không gian số thực, gọi Ι khoảng đóng [ −1;1] , gọi ω tập thứ tự đầu tiên, gọi tập số tự nhiên ω \ {0} Gọi Η + () Η + (Ι) tương ứng đồng phôi đồng biến Η () Η (Ι) Hiển nhiên Η K () Η K (Ι) đồng phôi với tôpô tổng hai lần Η + K () Η + K (Ι) Điều với Η f () Η f (Ι) Vì nghiên cứu tính chất Η () Η (Ι) , cần xét Η + () Η + (Ι) Ta có Η + K (Ι) đồng phôi với ω ( tích ω lần ) với tơpơ tích Tychonoff ( xem [10] [18] ) Không gian Η + K () đồng phôi với Η + K (Ι) , đồng phơi với ω Hơn Η + f (Ι) Η + K (Ι) , đồng phơi với ω Tuy nhiên, Η + f () có tơpơ mịn Η + K () Vì câu hỏi đặt xem nhóm tơpơ Η + f () có đồng phơi với ω với tơpơ mịn tơpơ tích Tychonoff hay khơng – tơpơ tích hình hộp khơng ? Chúng ta thấy tính chất tơpơ Η + f () tương tự tính chất ω , ( khơng gian ω theo tơpơ tích hình hộp ) Tuy nhiên , cuối thấy Η + f () không đồng phôi với ω Chương : chương phần trọng tâm đề tài Chúng tơi đưa khái niệm gọi tơpơ tích nửa - hình hộp , mà mịn tơpơ tích Tychonoff thơ tơpơ tích hình hộp Tơpơ tích nửa - hình hộp ω cho khơng gian, kí hiệu ¬ω , đối tượng tốt không gian đồng phôi với Η + f () Cuối , nghiên cứu tính chất ¬ω vài kết dự đốn Η + f () đồng phơi với ¬ω Cụ thể , thấy Η + f () nhúng sang ¬ω ngược lại Hơn nửa Η + f () đồng phôi vi Q ì õy Q l khụng gian ω Mặc dù, tác giả cố gắng thật nhiều, cịn nhiều thiếu sót, sai lầm , tác giả chân thành cảm ơn đóng góp q báo thầy bạn để tác giả cịn nghiên cứu sâu lĩnh vực Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương nhắc lại khái niệm , định nghĩa không gian tôpô Như ta biết tập hợp hàm số , có nhiều tôpô : Tôpô hội tụ điểm , tơpơ hội tụ , tơpơ hình hộp , tơpơ mở - mở , tôpô mở - compact , tôpô Krikorian, tôpô mịn ,tôpô đồ thị …Tuy nhiên, quan tâm đến vài tôpô cần thiết sau mà Như : tôpô hội tụ điểm , tôpô hội tụ , tôpô mở -compact , tơpơ hình hộp ; tơpơ mịn tơpơ đồ thị việc nêu định nghĩa chúng sở Đặc biệt ,chúng ta so sánh không gian tôpô không gian hàm số không gian mịn , thô 1.1 Định nghĩa khái niệm 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X τ thỏa mãn tiên đề sau : ( i ) ∅ ∈τ X ∈τ ( ii ) Nếu U1 ∈τ U ∈τ , U1 ∩ U ∈τ (iii).Nếu ∈τ , ∪ ∈τ với họ phần tử τ Giả sử X cho tơpơ Khi cặp ( X ;τ ) gọi không gian tôpô xác định tập hợp X U ⊂ X , U ∈τ gọi mở phần tử x ∈ X gọi điểm không gian tôpô ( X ;τ ) Trên tập hợp X cho trước , ta có nhiều cấu trúc tơpơ khác Khi ta nhận tơpơ khác có chung tập X Nếu gọi τ τ hai tơpơ , ta có hai không gian tôpô ( X ;τ ) ( X ;τ ) Nếu τ ⊂ τ ta nói τ thơ τ hay τ mịn τ 1.1.2 Lân cận điểm Cho ( X ;τ ) không gian tôpô điểm x0 ∈ X Tập hợp A ⊂ X gọi lân cận x0 tồn mở U ∈τ cho x ∈ U ⊂ A , ta nói U lân cận x0 , ngược lại lân cận x0 chưa tập mở 1.1.3 Tập mở Một tập V ⊂ X tập mở với x ∈ V có lân cận U x x chứa V 1.1.4 Cơ sở không gian tôpô Một họ ⊂ τ gọi sở không gian tôpô ( X ;τ ) tập mở khác rỗng X biểu thị hợp họ Ta thấy họ tập X sở không gian tôpô ( X ;τ ) ⊂ τ với x ∈ X lân cận V x có U ∈ cho x ∈ U ⊂ V Mỗi không gian tôpô ( X ;τ ) có nhiều sở khác 1.1.5 Trọng số không gian tôpô Tập hợp tất số phần tử có dạng | | , sở không gian tôpô ( X ;τ ) Số phần tử nhỏ | | gọi trọng số không gian tơpơ ( X ;τ ) Kí hiệu : w ( ( X ;τ ) ) 1.1.6 Cơ sở không gian tôpô Một họ ρ ⊂ τ gọi sở không gian tôpô ( X ;τ ) họ tất giao hữu hạn U1 ∩ U ∩ ∩ U k , U i ∈ ρ với i = .k sở không gian ( X ;τ ) 1.1.7 Cơ sở lân cận Một họ ( x ) lân cận x gọi sở lân cận x lân cận V x tồn U ∈ ( x ) cho x ∈ U ⊂ V Ta thấy sở không gian tôpô ( X ;τ ) , với x ∈ X , sở ( x ) ( X ;τ ) điểm x ,ta có = ∪ x∈X ( x ) 1.1.8 Đặc số điểm không gian tôpô Đặc số điểm không gian tôpô ( X ;τ ) số phần tử nhỏ có dạng | ( x )| , ( x ) sở lân cận x Kí hiệu : χ ( x;( X ;τ ) ) 1.1.9 Đặc số không gian tôpô Đặc số không gian tôpô ( X ;τ ) cận tất số χ ( x;( X ;τ ) ) với x ∈ X Kí hiệu : χ ( ( X ;τ ) ) χ ( ( X ;τ ) ) sup {χ ( ( X ;τ ) ) | x ∈ X } + Hay= 1.1.10 Không gian tôpô ( X ;τ ) thỏa mãn tiên đề đếm thứ Nếu χ ( ( X ;τ ) ) ≤ , Ở ( đọc aleph zero ) tập hợp song ánh với tập số nguyên dương , khơng gian tơpơ ( X ;τ ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ Nói cách khác, điểm x ∈ X có sở lân cận đếm ... phép đồng phôi Không gian tôpô X không gian tôpô Y gọi đồng phơi với có phép đồng phơi từ không gian vào không gian , nói chung , tính chất tơpơ có khơng gian tơpơ có khơng gian tôpô hai không gian. .. Khơng gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric Y theo tơpơ mịn • H K () ; H K ( I ) : Các tự đồng phôi I, với I = [−1;1] • H + () ;H + () : Các đồng phôi đồng biến I • ω : Tích Decarter... () không gian tự đồng phôi đồng biến khơng gian mêtric theo tơpơ mịn , ta biết , có tính chất giống tơpơ tích hình hộp ω , hai không gian không đồng phôi với Do động tìm kiếm khơng gian