Hàm sinh Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 26 tháng 4 năm 2016 1 / 51CuuDuongThanCong com https //fb com/tailieudientucntt http //cuuduongthancong com?src=pdf https //fb com/tailieudientucntt Nội dung Đếm và đa[.]
CuuDuongThanCong.com Hàm sinh Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 26 tháng năm 2016 https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Nội dung Đếm đa thức Định nghĩa hàm sinh Các phép toán hàm sinh Một toán đếm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu hình thức ▶ Có táo, mận, đào ▶ Ta ký hiệu T := “lấy táo” M := “lấy mận” D := “lấy đào” ▶ Lấy táo, mận, đào: TMMDDD = TM2 D3 ▶ Lấy táo, mận, đào lấy táo, đào, mận”: CuuDuongThanCong.com TMD + TMD2 https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Câu hỏi Xâu sau biểu diễn lựa chọn gì? TMD + TMD2 + TM2 D + T2 MD + TM2 D2 + · · · + T2 M3 D4 = (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ) Lời giải Đây chuỗi hình thức mơ tả khả chọn số táo, mận, đào, loại CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Bài tập Có cách chọn số táo, mận, đào, loại quả? Lời giải ▶ Ta cần thay T, M, D biến hình thức x chuỗi (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ) ▶ Vậy số hạng có số mũ ứng với số lần x6 xuất ▶ Hệ số x6 số cách chọn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Đa thức đếm ▶ Khi thay T, M, D x hệ số xk số cách chọn k ▶ Ta có (x + x2 )(x + x2 + x3 )(x + x2 + x3 + x4 ) = x3 (1 + x)(1 + x + x2 )(1 + x + x2 + x3 ) = x3 (1 + 2x + 2x2 + x3 )(1 + x + x2 + x3 ) = x3 + 3x4 + 5x5 + 6x6 + 5x7 + 3x8 + x9 ▶ Vậy có cách lựa chọn quả, cách chọn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Câu hỏi ▶ Giả sử mận có 20 calo, đào có 40 calo, táo có 60 calo ▶ Nếu ta thay T → x60 , M → x40 D → x20 chuỗi hình thức (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ) hệ số xn gì? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Lời giải ▶ Ta thay T → x60 , M → x40 D → x20 ▶ Vậy hệ số xn đa thức số cách chọn để có n calo ▶ Vì chọn Ti Mj Dk ta 60i + 40j + 20k calo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Ví dụ ▶ Từ đa thức (x60 + x120 )(x40 + x80 + x120 )(x20 + x40 + x60 + x80 ) = x120 (1 + x20 + 2x40 + 3x60 + 3x80 + 4x100 + 3x120 + 3x140 + 2x160 + x180 + x200 ) = x120 + x140 + 2x160 + 3x180 + 3x200 + 4x220 + 3x240 + 3x260 + 2x280 + x300 + x320 ▶ Ta thấy có cách chọn để có 200 calo CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 51 Bài tập ▶ Biết táo giá 60 đồng, mận giá 40 đồng, đào giá 20 đồng ▶ Có cách chọn giá 200 đồng, có loại không chọn? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 / 51 Bài tập Hãy tìm đa thức có hệ số xk số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 = k CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 / 51 Câu hỏi Ta dùng kỹ thuật mơ tả phần trước để lựa chọn táo, đào mận không hạn chế cần lấy T0 M0 D0 + TM0 D0 + · · · + TMD + TMD2 + · · · + Ti Mj Dk + · · · CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 / 51 Tính tốn hình thức ▶ Việc chọn khơng, một, tới số táo (mận, đào ) biểu diễn cách hình thức T0 + T1 + T2 + · · · + Ti + · · · M0 + M1 + M2 + · · · + Mj + · · · D0 + D1 + D2 + · · · + Dk + · · · ▶ Việc chọn táo, đào, mận với số lượng tùy ý viết dạng tích ( )( )( ) T + T1 + · · · M0 + M1 + · · · D0 + D1 + · · · CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 / 51 Ví dụ Nếu thay T, M, D x hệ số xn tích ba chuỗi vơ hạn sau số cách chọn n CuuDuongThanCong.com (1 + x + x2 + · · · + xi + · · · )3 https://fb.com/tailieudientucntt 14 / 51 Nội dung Đếm đa thức Định nghĩa hàm sinh Các phép toán hàm sinh Một toán đếm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa Hàm sinh dãy số ⟨g0 , g1 , g2 , · · · ⟩ chuỗi vô hạn G(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + · · · Ta sử dụng ký hiệu mũi tên hai phía để tương ứng dãy số hàm sinh sau: CuuDuongThanCong.com ⟨g0 , g1 , g2 , · · · ⟩ ←→ g0 + g1 x + g2 x2 + · · · https://fb.com/tailieudientucntt 16 / 51 Định nghĩa Ta ký hiệu [xn ]G(x) hệ số xn hàm sinh G(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + · · · Có nghĩa [xn ]G(x) = gn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 17 / 51 Ví dụ Dưới vài dãy số hàm sinh chúng: ⟨0, 0, 0, 0, · · · ⟩ ←→ + 0x + 0x2 + 0x3 + · · · = ⟨1, 0, 0, 0, · · · ⟩ ←→ + 0x + 0x2 + 0x3 + · · · = ⟨3, 2, 1, 0, · · · ⟩ ←→ + 2x + 1x2 + 0x3 + · · · = + 2x + x2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 18 / 51 Ví dụ ▶ Hàm sinh cho dãy vô hạn ⟨1, 1, 1, · · · ⟩ chuỗi hình học G(x) := + x + x2 + x3 + · · · Ta có ▶ G(x) = + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · −xG(x) = − x − x2 − x3 − · · · − xn − · · · G(x) − xG(x) = Vậy hàm sinh dãy 1, 1, CuuDuongThanCong.com ∞ ∑ = G(x) := xn 1−x n=0 https://fb.com/tailieudientucntt 19 / 51 Bài tập Hãy tìm cơng thức đóng cho hàm sinh dãy sau: ⟨ 0, 0, 0, 0, −6, 6, −6, 6, −6, 6, · · · ⟩ ⟨1, 0, 1, 0, 1, 0, · · · ⟩ ⟨1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, · · · ⟩ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20 / 51 ... 14 / 51 Nội dung Đếm đa thức Định nghĩa hàm sinh Các phép toán hàm sinh Một toán đếm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa Hàm sinh dãy số ⟨g0 , g1 , g2 , · · · ⟩ chuỗi...Nội dung Đếm đa thức Định nghĩa hàm sinh Các phép toán hàm sinh Một toán đếm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu hình thức... · G(x) − xG(x) = Vậy hàm sinh dãy 1, 1, CuuDuongThanCong.com ∞ ∑ = G(x) := xn 1−x n=0 https://fb.com/tailieudientucntt 19 / 51 Bài tập Hãy tìm cơng thức đóng cho hàm sinh dãy sau: ⟨ 0, 0,