Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán rời rạc - Phần 6: Đại số Bool và hàm Bool (TS. Nguyễn Viết Đông) cung cấp cho học viên những kiến thức về tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân bố của đại số Bool; hàm Bool n biến; bảng chân trị; các phép toán trên hàm Bool: phép công Bool, phép nhân Bool, phép lấy hàm bù; dạng nối rời chính tắc của hàm Bool;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Phần VI Đại Số Bool và hàm Bool Biên soạn:Nguyễn Viết Đông George Boole (1815-1864) Tài liệu tham khảo [1] GS.TS Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, Nhà xuất giáo dục n [2] TS.Trần Ngọc Hội, Tốn rời rạc n Đại Số Bool Một đại số Bool (A, , ) tập hợp A với hai phép toán , , tức hai ánh xạ: :A A A (x,y) x y :A A A (x,y) x y thỏa tính chất sau: Đại Số Bool n n n Tính giao hoán: x,y A x y = y x; x y = y x; Tính kết hợp: x,y,z A (x y) z = x (y z); (x y) z = x (y z) Tính phân bố: x,y,z A x (y z) = (x y) (x z); x (y z) = (x y) (x z) Đại Số Bool Có phần tử trung hòa vaø 0: x A x = x = x; x = x = x n Moïi phần tử có phần tử bù: x x A, A, x x x = x x x = 0; x = x = n Đại Số Bool Ví dụ: Xét F tập hợp tất dạng mệnh đề theo n biến p1, p2,…,pn với hai phép toán nối liền , phép toán nối rời , ta đồng dạng mệnh đề tương đương Khi F đại số Bool E 1, với phần tử phần tử sai 0,7 phần tử bù dạng mệnh đề E dạng Đại Số Bool Xét tập hợp B = {0, 1} Trên B ta định nghóa hai phép toán , sau: Khi đó, B trở thành một đại số Bool Đại Số Bool Cho đại số Bool (A, , ) Khi với x,y A, ta có: 1) x x = x; x x = x 2) x = x =0; x =1 x = 3) Phaàn tử bù x x = 0; = vaø 4) = x; x �y = x �y; Công thức De Morgan: x �y = x �y 5) Tính hấp thụ:x (x y) = x; x (x y) Định nghĩa hàm Bool Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn B , B = {0, 1} Như hàm Bool n biến hàm số có dạng : f = f(x1,x2,…,xn), biến x1, x2,…, xn f nhận giá trị B = {0, 1} Ký hiệu Fn để tập hàm Bool n biến Ví dụ: Dạng mệnh đề E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn hàm Bool n biến 10 • • Do có công thức đa thức tương ứng với phủ tối tiểu: (0, 5đ) f xz zt x zt x yt f xz zt x zt yz Trong có công thức thứ hai tối tiểu (0,25đ) Mạng logic (Mạng các cổng) Định nghóa Một mạng logic hay mạng cổng hệ thống có dạng: đó: - Input: x1, x2, , xn biến Bool - Output f(x1, x2, , xn) hàm Bool Ta nói mạng logic tổng hợp hay biểu diễn hàm Bool f Một mạng logic luôn cấu tạo từ số mạng sơ cấp mà ta gọi coång Coång NOT Coång AND Coång OR Coång NAND Coång NOR Basic Gates x x inverter x + y x y x1+x2+…+xn xn OR gate x x1 x2 OR gate with n inputs x y y x1 x2 xn AND gate x1x2…xn AND gate with n inputs We combine gates by allowing output of one gate to become input of other gates x y x y x y xy x y x xy OR x y x y xy x y x xy Example. Construct the circuit that provides the output (x x y z x y z y z) x y z x + y + z (x x y xyz z y z) x y z Example of Circuits Example Design a circuit to simulate the voting of a committee of three persons based on the majority Solution. The voting of three persons are represented by three Boolean variables x, y, z : 1 for YES and 0 for NO x y x y x x z z y z y z x y + x z + y z Example of Circuits Example Design a circuit for a light controlled by two switches Solution. The switches are represented by two Boolean variables x, y : 1 for CLOSED and 0 for OPEN Let F(x, y) =1 when the light is ON and 0 when it is OFF Assume that F(1, 1) =1 when both switches are closed Then the Boolean function F(x, y) is determined by the truth table x y F(x, y) 1 1 0 0 The corresponding circuit x y x y x y xy x y x y xy Example Design a circuit for a light controlled by three switches Solution. The switches are represented by three Boolean variables x, y, z : 1 for CLOSED and 0 for OPEN Let F(x,y,z) =1 when the light is ON and 0 when it is OFF x y z F(x, y) 1 1 Assume that F(1, 1, 1) =1 when three switches are closed 1 0 1 0 Then the Boolean function F(x, y, z) is determined by the truth table 1 0 1 0 1 0 0 z x x y x y x y z xyz y y z z z x y z y The corresponding circuit x z x x yz x yz xyz xyz x yz xyz f x y z n This formula contains only three literals. It allows us to design a circuit to represent f with only one OR gate with three inputs x f x y z y z x xy y y yz The corresponding circuit z x y z f x yz w x z wx z y z xy x yz w x z Đề thi 2009 Xét hàm Bool f = ( x y ����� xy )( z t ) z ( xt y t ) y z t a) b) p Hãy tìm các từ tối tiểu m sao cho m f Suy ra cách biểu diễn f như là tích của các từ tối đại , trong đó mỗi từ tối đại là tổng Bool của 4 từ đơn ...George Boole (181 5-1 864) Tài liệu tham khảo [1] GS.TS Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, Nhà xuất giáo dục n [2] TS.Trần Ngọc Hội, Toán rời rạc n Đại Số Bool Một đại số Bool (A, , ) tập... p2,…,pn với hai phép toán nối liền , phép toán nối rời , ta đồng dạng mệnh đề tương đương Khi F đại số Bool E 1, với phần tử phần tử sai 0,7 phần tử bù dạng mệnh đề E dạng Đại Số Bool Xét tập hợp... định nghóa hai phép toán , sau: Khi đó, B trở thành một? ?đại? ?số? ?Bool Đại Số Bool Cho đại số Bool (A, , ) Khi với x,y A, ta coù: 1) x x = x; x x = x 2) x = x =0; x =1 x = 3) Phần tử bù x x = 0;