Bài giảng toán rời rạc trần vĩnh đức

CuuDuongThanCong.com Phương pháp chứng minh Trần Vĩnh Đức HUST Ngày tháng năm 2018 https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Bài tập ▶ GS Mc Brain vợ bà April tới bữa tiệc có đơi vợ chồng khác ▶ Có vài cặp bắt tay khơng bắt tay với vợ chồng ▶ GS hỏi người khác xem họ bắt tay người ông nhận số khác ▶ Hỏi có người bắt tay April? CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Tài liệu tham khảo ▶ Eric Lehman, F Thomson Leighton & Albert R Meyer, Mathematics for Computer Science, 2013 (Miễn phí) ▶ K Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học (Bản dịch Tiếng Việt) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Định nghĩa Chứng minh toán học mệnh đề dãy suy luận logic dẫn đến mệnh đề từ tập tiên đề CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Nội dung Mệnh đề, tiên đề, suy luận logic Phương pháp chứng minh Nguyên lý thứ tự tốt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa Mệnh đề khẳng định hoặc sai ▶ Mệnh đề 2+3=5 ▶ Mệnh đề 1+1=3 CuuDuongThanCong.com ✓ ✗ https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Khẳng định mệnh đề ▶ “Đưa bánh!” ▶ “Bây giờ” CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Mệnh đề Với số nguyên dương n, giá trị p(n) ::= n2 + n + 41 số nguyên tố ▶ p(0) = 41 ▶ p(1) = 43 ▶ p(2) = 47 ✓ ✓ ✓ p(3) = 53 ▶ ··· ▶ p(39) = 1601 CuuDuongThanCong.com ✓ ▶ p(40) = 402 + 40 + 41 = 41 × 41 https://fb.com/tailieudientucntt ✓ ✗ / 37 Mệnh đề (Giả thuyết Euler, 1769) Phương trình a4 + b4 + c4 = d4 khơng có nghiệm a, b, c, d số nguyên dương Năm 1988, Noam Eikies chứng minh sai với phản ví dụ CuuDuongThanCong.com a = 95800, b = 217519, c = 414560, d = 422481 https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Mệnh đề Phương trình 313(x3 + y3 ) = z3 khơng có nghiệm ngun dương Mệnh đề sai phản ví dụ nhỏ có nhiều 1000 chữ số CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 / 37 Bài toán đường tin cậy ngắn ▶ Cho đồ thị trọng số G, hai đỉnh s t, số nguyên dương k, ▶ ta muốn tìm đường ngắn từ s tới t qua nhiều k cạnh dist(v, i) = độ dài đường ngắn từ s đến v dùng i cạnh Ta có CuuDuongThanCong.com dist(v, i) = {dist(u, i − 1) + ℓ(u, v)} (u,v)∈E https://fb.com/tailieudientucntt 47 / 61 Bài tốn tìm đường ngắn cặp đỉnh Bài toán Algor ▶ Các đỉnh V = {1, 2, , n} ▶ Ta cần tìm đường ngắn cặp đỉnh re 6.8 We want a path from s to t that is both short and has few edges S A 5 C B T D Shortest paths CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 48 / 61 the shortest path from i to j in which only nodes {1, 2, , k} can be used as intermenitially, dist(i, j, 0) is the length of the direct edge between i and j, if it exists, and is Bài toán wise happens when we expand the intermediate set to include an extra node k? We must ne all pairs i, j and check whether using k as an intermediate point gives us a shorter m i to j But this is easy: a shortest path from i to j that uses k along with possibly dist(i, j, k) = độnodes dài đường ngắnk từ i (why? tới j because we assume wer-numbered intermediate goes through just once e are no negative cycles) And we have already calculated the length qua đỉnh trung gian {1, 2, of , the k} shortest m i to k and from k to j using only lower-numbered vertices: dist(i, k, k − 1) k dist(k, j, k − 1) i dist(i, j, k − 1) j ing k gives us a shorter path from i to j if and only if Đường i đến j qua đỉnh k ngắn không qua đỉnh k dist(i, nếu:k, k − 1) + dist(k, j, k − 1) < dist(i, j, k − 1), case dist(i, j, k) should be updated accordingly dist(i,algorithm—and k, k−1) + dist(k, < dist(i, k−1), j, k−1) is the Floyd-Warshall as you can see, it takesj,O(|V | ) time r i = to n: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 49 / 61 Thuật toán quy hoạch động for i = to n: for j = to n: dist(i, j, 0) = ∞ for all (i, j) ∈ E: dist(i, j, 0) = ℓ(i, j) for k = to n: for i = to n: for j = to n: { dist(i, k, k−1) + dist(k, j, k−1), dist(i, j, k) = dist(i, j, k−1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 50 / 61 toán duislịch re Bài 6.8 We wantngười a path bán from shàng to t that both short and has few edges S A 5 C B T D ▶ Một người bán hàng thích du lịch sẵn sàng cho ▶ Bắt đầu từ nhà, với vali tay, anh hành Shortest paths chuyến bán hàng arted this chapter with a dynamic programming algorithm for the elementary ta trình phố to cầnmore đến sophisticated thămshortest-path ng the shortest path in ađó dag Wethành now turn pro lần trước quay nhà ee how these too can be accommodated by our powerful algorithmic technique ▶ Cho khoảng cách dij cặp thành phố i j, nên paths thăm thành phố theo thứ tự để tối ưu tổng rtest reliable khoảng cách? s complicated, and abstractions such as graphs, edge lengths, and shortest paths r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 51 / 61le re the whole truth In a communications network, for example, even if edge Bài tập Algor Người bán hàng nên thăm thành phố theo thứ tự để tối ưu want tổng khoảng cách? re 6.8 We a path from s to t that is both short and has few edges S A 5 C B T D Shortest paths arted this chapter with a dynamic programming algorithm for the elementary ta ng the shortest path in a dag https://fb.com/tailieudientucntt We now turn to more sophisticated shortest-path pro CuuDuongThanCong.com 52 / 61 Algor Bài toán re 6.8 We want a path from s to t that is both short and has few edges S A 5 C B T D Shortest paths Với tập thành phố S = {1, 2, , n} có chứa 1, j ∈ S, ta ký hiệu C(S, j) độ dài đường arted this chapter with a dynamic programming algorithm for the elementary ta ngắn thăm đỉnh S lần, bắt đầu ng the shortest path in a dag We now turn to more sophisticated shortest-path pro từtoo j ee how these cankết be thúc accommodated by our powerful algorithmic technique rtest reliable paths CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 53 / 61 Đưa toán nhỏ ▶ Nếu ta bắt đầu kết thúc j; ta nên chọn đến đỉnh trước đến j? ▶ Đỉnh đỉnh i ∈ S thỏa mãn: độ dài đường ngắn từ đến i cộng với dij nhỏ C(S, j) = C(S − {j}, i) + dij i∈S:i̸=j ▶ Khi |S| > 1, ta ký hiệu C(S, 1) = ∞ đường vừa bắt đầu kết thúc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 54 / 61 Thuật toán quy hoạch động C({1}, 1) = for s = to n: for all tập S ⊆ {1, 2, , n} thỏa mãn |S| = s ∈ S: C(S, 1) = ∞ for all j ∈ S, j ̸= 1: C(S, j) = min{C(S − {j}, i) + dij : i ∈ S, i ̸= j} return minj C({1, , n}, j) + dj1 Có nhiều 2n · n tốn con, thời gian tuyến tính để giải Độ phức tạp O(n2 · 2n ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 55 / 61 Nội dung Đường ngắn DAG Dãy tăng dài Khoảng cách soạn thảo Bài toán túi Nhân nhiều ma trận Đường ngắn Tập độc lập CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tập độc lập Định nghĩa Dasgupta, MộtC.H tập Papadimitriou, đỉnh Sand ⊆ U.V V làVazirani tập độc lập đồ thị G = (V, E) khơng có cạnh chúng igure 6.10 The largest independent set in this graph has size igure 6.11 I(u) is the size of the largest independent set of the subtree rooted at u T ▶ {1, 5} tập độc lập, {1, 4, 5} ases: either u is in this independent set, or it isn’t ▶ Tập độc lập lớn {2, 3, 6} CuuDuongThanCong.com r https://fb.com/tailieudientucntt 57 / 61 Tập độc lập ▶ Bài toán tìm tập độc lập lớn nhiều người tin khơng có thuật tốn hiệu để giải ▶ Nhưng đồ thị tốn giải thời gian tuyến tính Bài toán Lấy nút r làm gốc Mỗi nút u xác định gốc u Ta xét toán con: I(u) = kích thước tập độc lập lớn gốc u Mục đích ta tìm I(r) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 58 / 61 Figure 6.11 I(u) is the size of the largest independent set of the subtree rooted at u Two cases: either u is in this independent set, or it isn’t Đưa toán nhỏ r u ▶ Giả sử ta biết tập độc lập lớn bắt Exercises đầu từ u; tức ta biết I(w) cho cháu w u 6.1 A contiguous subsequence of a list S is a subsequence made up of consecutive elements of S For ▶ Làm instance, if S isthế để tính I(u)? 5, 15, −30, 10, −5, 40, 10, ▶ Tách thành hai trường hợp: tập độc lập chứa u then 15, −30, 10 is a contiguous subsequence but 5, 15, 40 is not Give a linear-time algorithm for không chứa u the following task: CuuDuongThanCong.com Input: A list of numbers,https://fb.com/tailieudientucntt a , a2 , , an 59 / 61 Figure 6.11 I(u) is the size of the largest independent set of the subtree rooted at u Two cases: either u is in this independent set, or it isn’t Đưa toán nhỏ r u Hai trường hợp: tập độc lập chứa u khơng chứa u Exercises 6.1 A contiguous subsequence of a list S is a subsequence made up of consecutive elements of S For instance, if S is { } 5,∑ 15, −30, 10, −5, 40, 10, ∑ =ismax + subsequence but 5,I(w), I(w) algorithm for then 15,I(u) −30, 10 a contiguous 15, 40 is not Give a linear-time the following task: cháu w u w u Input: A list of numbers, a1 , a2 , , an CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 60 / 61 Độ phức tạp tính tốn Figure 6.11 I(u) is the size of the largest independent set of the subtree rooted at u Two cases: either u is in this independent set, or it isn’t r u Bài tập Exercises Số số đỉnh Liệu ta cài đặt thuật toán chạy 6.1 A contiguous subsequence of a list S is a subsequence made up of consecutive elements of S For if S is instance, 5, 15, −30, −5, 40, 10, O(|V| +10, |E|)? then 15, −30, 10 is a contiguous subsequence but 5, 15, 40 is not Give a linear-time algorithm for the following task: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Input: A list of numbers, a , a , , a 61 / 61 ... 2013 (Miễn phí) ▶ K Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng tin học (Bản dịch Tiếng Việt) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Định nghĩa Chứng minh toán học mệnh đề dãy suy luận... CuuDuongThanCong.com ✗ https://fb.com/tailieudientucntt 37 / 37 CuuDuongThanCong.com Quy nạp Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 24 tháng năm 2018 https://fb.com/tailieudientucntt / 37 Tài liệu tham khảo ▶... 12 / 37 Mệnh đề (Định lý cuối Fermat) Phương trình xn + yn = zn khơng có nghiệm ngun với n ≥ ▶ Bài toán viết sách Fermat đọc năm 1630 ▶ Andrew Wiles chứng minh năm 1994 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt