Luận văn thạc sĩ toán học một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Một số kiến thức phép tính sai phân 1.1 Định nghĩa 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân 1.3 Định lý tồn nghiệm 12 1.4 Toán tử ∆ E 13 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân 16 1.6 Toán tử ∆−1 phép lấy tổng 20 Chương Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Cách tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 26 2.3 Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 28 2.3.1 Phương trình tuyến tính tổng qt 28 2.3.2 Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn 31 2.3.3 Phương trình dạng yk+1 = Rk yk 35 2.4 Một số ứng dụng giải toán sơ cấp 35 2.4.1 Tính tổng 35 2.4.2 Dãy Số Fibonacci 42 2.4.3 Đa thức Chebyshev 44 2.4.4 Một số dạng toán liên quan tới dãy số 47 Kết luận 53 Lời nói đầu Phương trình sai phân lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm tính hữu hiệu giải số mơ hình đề xuất, ta tham khảo ứng dụng đa dạng phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán chương trình phổ thơng như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng quát, chứng minh bất đẳng thức, Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày lại số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân định lý tồn nghiệm, toán tử ∆ toán tử E, toán tử ∆−1 , Chương nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp Phần cuối chương trình bày vài ứng dụng phương trình sai phân việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát dãy số số tốn liên quan Để thực hồn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phận Sau đại học - Phịng đào tạo, Khoa Tốn- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên quý thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ em suốt trình hoc tập nghiên cứu 4 Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè anh chị lớp tạo điều kiện giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành thời gian, công sức hướng dẫn em trình nghiên cứu thực luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền Chương Một số kiến thức phép tính sai phân Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan tới phép tính sai phân, định nghĩa định lý nghiệm, tồn nghiệm; toán tử sai phân ∆ tính chất bản, tốn tử dịch chuyển E Nội dung chương tham khảo Chương Chương tài liệu [2], Chương tài liệu [3] 1.1 Định nghĩa Một dãy số hàm mà miền xác định tập số nguyên Trong phần này, xét dãy mà miền xác định số nguyên không âm Ta ký hiệu số hạng tổng quát dãy yk sử dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , Cho dãy số {yk } thỏa mãn yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , , yk ) (1.1) Khi cho trước giá trị ban đầu ta tính tốn giá trị cịn lại Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng n giá trị liên tiếp yk xác định cách cụ thể dãy {yk } xác định Các giá trị cụ thể gọi điều kiện ban đầu 6 Định nghĩa sau cho ta liên hệ dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình Phương trình cho dạng (1.1) phương trình sai phân cấp n thành phần yk xuất hàm F vế phải Chú ý dịch chuyển số không đổi cấp phương trình sai phân Chẳng hạn với số nguyên r yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , , yk+r ) (1.2) phương trình sai phân cấp n tương đương với phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân gọi tuyến tính cho dạng yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , (1.3) (k), i = 1, 2, , n Rk hàm k cho trước Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân gọi phi tuyến khơng tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một nghiệm phương trình sai phân hàm φ(k) thỏa mãn phương trình Các ví dụ sau làm rõ định nghĩa vừa đưa phần 7 Ví dụ 1.1 Xét số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k yk+1 = yk2 (bậc hai, tuyến tính), (bậc một, phi tuyến), yk+4 − yk = k2k (bậc bốn, tuyến tính), yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = (bậc hai, tuyến tính) k+1 Ví dụ 1.2 Hàm φ(k) = 2k nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bậc yk+1 − 2yk = 0, thay φ(k) vào phương trình, ta thu 2k+1 − 2.2k = Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc yk+1 − yk2 = có nghiệm φ(k) = √ (1.4) k+c c số Thật vậy, φ(k) vào phương trình (1.4) thu √ √ ( k + + c)2 − ( k + c)2 = (k + + c) − (k + c) = Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai yk+1 − yk−1 = có hai nghiệm, φ1 (k) = (−1)k , φ2 (k) = (1.5) Gọi c1 c2 hai số tùy ý Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 nghiệm Thật vậy, ϕ(k) phương trình (1.5) ta c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 1.2 Nguồn gốc phương trình sai phân Giả sử yk phần tử tổng quát dãy {yk } xác định theo hàm cụ thể k n số c1 , c2 , , cn Bây giờ, ta yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , , cn ) (1.6) yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , , cn ), (1.7) yk+n = f (k + n, c1 , c2 , , cn ) Đây dãy gồm n + phương trình với n số ci , i = 1, 2, , n Khử số ci ta nhận quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , , , yk+n−1 ) = (1.8) Đây phương trình sai phân cấp n Như vậy, phần tử tổng quát yk dãy {yk } biểu diễn hàm k n số yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev xác định biểu thức sau Ck (x) = 2k−1 cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, , ; |x| < (1.9) Bây ta hàm quan hệ truy hồi với theo phương trình sau Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = (1.10) đó, từ phương trình (1.9) ta có C0 (x) = 2, C1 (x) = x Từ công thức cos(θ1 ± θ2 ) = cos θ1 cos θ2 ∓ sin θ1 sin θ2 , từ suy cos[(k + 1) cos−1 x] k = k cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x) − k sin(cos−1 x) sin(k cos−1 x) Ck+1 x = Do đó, Ck+1 (x) + Ck−1 (x) = k−1 cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x) x = k−1 cos(k cos−1 x) =xCk (x), phương trình (1.10) Ví dụ 1.6 Cho k số ngun khơng âm, xét tích phân Z π cos(kθ) − cos(kφ) Ik (φ) = dθ cos θ − cos φ (1.11) Trong I0 = I1 = π Do biết Ik với k = k = 1, ta thử tìm mối quan hệ tuyến tính Ik+1 , Ik Ik−1 Nếu tìm thấy cơng thức liên hệ này, ta sử dụng để tính Ik thơng qua truy hồi Định nghĩa tốn tử L sau: LIk = AIk+1 + BIk + CIk−1 (1.12) A, B C số độc lập với k θ; nhiên, chúng phụ thuộc vào φ Do đó, L cos(kθ) = A cos(k + 1)θ + B cos(kθ) + C cos(k − 1)θ = [(A + C) cos θ + B] cos(kθ) − [(A − C) sin θ] sin(kθ) (1.13) 10 Nếu lấy A = C, B = −2A cos φ đặt A = 1, phương trình (1.13) trở thành L cos(kθ) = 2(cos θ − cos φ) cos(kθ), đại lượng tỷ lệ với mẫu số biểu thức tích phân phương trình (1.11) Bây giờ, áp dụng toán tử L vào cos(kφ) ta kết L cos(kφ) = Do đó, áp dụng toán tử L cho hai vế phương trình (1.11) ta Z π L cos(kθ) − L cos(kφ) LIk (φ) = dθ cos θ − cos φ 0Z (1.14) π =2 cos(kθ)dθ = 0 Như tích phân Ik (ϕ) thỏa mãn phương trình Ik+1 − (2 cos φ)Ik + Ik−1 = k = 1, 2, Vì I0 I1 ta xác định Ik cơng thức truy hồi với giá trị nguyên dương k Ví dụ 1.7 Giả sử phương trình vi phân sau đây: dy = f (y, t) (1.15) dt f (y, t) hàm cho trước y t, khơng thể lấy tích phân theo hàm số sơ cấp Ta sử dụng lược đồ đơn giản sau để tìm nghiệm số Trước tiên ta xây dựng lưới tk = (∆t)k, ∆t khoảng thời gian t cố định, k số nguyên Tiếp theo ta thay đạo hàm xấp xỉ, y(t + ∆t) − y(t) yk+1 − yk dy(t) → = dt ∆t ∆ yk xấp xỉ theo nghiệm xác phương trình (1.15) thời điểm t = tk , tức là, yk ' y(tk ) 11 Cuối cùng, thay vế bên phải phương trình (1.15) f (y, t) → f [yk , (∆t)k] Thế vào phương trình đầu ta nhận yk+1 − yk = f (yk , (∆t)k) ∆t yk+1 = yk + (∆t)f (yk , (∆t)k) (1.16) Nếu y0 xác định ta xác định yk k = 1, 2, Lược đồ (1.16) gọi lược đồ Euler sử dụng để tìm nghiệm số phương trình (1.15) Ví dụ 1.8 Cho số hạng tổng quát yk dãy {yk } xác định sau yk = A2k , A số Vì có số nên phương trình sai phân có nghiệm cho cơng thức (1.8) phương trình cấp Ta tìm sau yk+1 = A2k+1 = 2A2k = 2yk Ví dụ 1.9 Giả sử yk cho biểu thức yk = c1 2k + c2 5k , c1 c2 số tùy ý Do đó, yk phải thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai Để xác định phương trình này, ta tính yk+1 yk+2 : yk+1 = 2c1 2k + 25c2 5k , yk+2 = 4c1 2k + 25c2 5k Khử c1 c2 ta nhận y 1 k yk+1 = yk+2 25 12 hay yk+2 − 7yk+1 + 10yk = Ví dụ 1.10 Xét yk cho yk = Ak + f (A), (1.17) A số tùy ý f hàm A Ta có yk+1 = Ak + f (A) + A = yk + A, A = yk+1 − yk (1.18) Thế kết phương trình (1.18) vào phương trình (1.17) ta yk = (yk+1 − yk )k + f (yk+1 − yk ) phương trình vi phân cấp phi tuyến tổng quát 1.3 Định lý tồn nghiệm Rõ ràng với phương trình sai phân cho trước, nghiệm tồn khơng có đảm bảo nghiệm Nghiệm phải bị hạn chế điều kiện ban đầu thêm vào với số lượng với cấp phương trình Định lý sau phát biểu tồn tính nghiệm Định lý 1.1 Cho yk+n = f (k, yk , yk+1 , , yk+n−1 ), k = 0, 1, 2, 3, (1.19) phương trình sai phân cấp n Phương trình có nghiệm tương ứng với n giá trị đầu y0 , y1 , , yn−1 Chứng minh Nếu giá trị y0 , y1 , , yn−1 cho trước phương trình sai phân với k = xác định yn Nếu yn xác định định, phương trình sai phân với k = cho ta yn+1 Tiếp tục vậy, với k ≥ n ta xác định tất yk 13 1.4 Toán tử ∆ E Toán tử ∆ xác định sau ∆yk ≡ yk+1 − yk (1.20) Biểu thức yk+1 − yk gọi sai phân yk ta gọi ∆ toán tử sai phân (cấp một) Toán tử sai phân cấp hai ký hiệu ∆2 cho sau ∆2 yk =∆(∆yk ) = ∆(yk+1 − yk ) =∆yk+1 − ∆yk = (yk+2 − yk+1 ) − (yk+1 − yk ) =yk+2 − 2yk+1 + yk Một cách tổng quát, với n nguyên dương, ta định nghĩa ∆(∆n yk ) = ∆n+1 yk (1.21) ∆m ∆n yk = ∆n ∆m yk = ∆m+n yk , (1.22) Và từ ta có với số nguyên dương m, n Giả sử phương trình (1.22) thỏa mãn m = 0, ta tìm ∆0 ∆n yk = ∆n+0 yk = ∆n ∆0 yk Như ∆0 toán tử đồng ∆0 yk = yk Rõ ràng ∆ thỏa mãn tính chất i ∆(xk + yk ) = ∆xk + ∆yk ii ∆(cyk ) = c∆yk , với c số iii ∆(c1 xk + c2 yk ) = c1 ∆xk + c2 ∆yk , với c1 c2 số Định lý sau cho ta cơng thức tính sai phân cấp n 14 Định lý 1.2 n(n − 1) yk+n−2 2! n(n − 1) (n − i + 1) yk+n−i + · · · + (−1)i i! + · · · + (−1)n yk ∆n yk =yk+n − nyk+n−1 + (1.23) Chứng minh Ta sử dụng quy nạp toán học để chứng minh định lý Thật vậy, định lý n = (theo phương trình (1.20)) Ta giả sử định lý tới n ta chứng minh định lý tới n + Ta có n(n − 1) yk+n−1 n(n − 1) · · · (n − i) yk+n−i + · · · + (−1)i+1 (i + 1)! ∆n yk+1 = yk+n+1 − nyk+n + + · · · + (−1)n yk+1 Do ∆(∆n yk ) = ∆n yk+1 − ∆n yk (n + 1)n yk+n−1 2! (n + 1)n(n − 1) (n − i + 1) + + (−1)i+1 yk+n−i (i + 1)! = yk+n+1 − (n + 1)yk+n + + + (−1)n+1 yk Đây biểu thức phương trình (1.23) với n n + Như định lý chứng minh Sử dụng định nghĩa hệ số nhị thức   n(n − 1) (n − i + 1) n! n = = , i i! (i!)(n − i)! ta viết lại kết Định lý 1.2 dạng   n X n i n ∆ yk = (−1) yk+n−i i i=0 Tiếp theo ta xét hàm toán tử ∆ Cho f (r) đa thức biến r xác định sau f (r) = a0 rm + a1 rm−1 + · · · + am , 15 đó, a0 , a1 , , am số Hàm toán tử f (∆) xác định sau f (∆)yk =(a0 ∆m + a1 ∆m−1 + · · · + am )yk =a0 ∆m yk + a1 ∆m−1 yk + · · · + am yk (1.24) Cho α1 , α2 , β1 β2 số, (α1 + β1 ∆)(α2 + β2 ∆)yk =α1 (α2 + β2 ∆)yk + β1 ∆(α2 + β2 ∆)yk =α1 α2 yk + α1 β2 ∆yk + β1 α2 ∆yk + β1 β2 ∆2 yk =α1 α2 yk + (α1 β2 + α2 β1 )∆yk + β1 β2 ∆2 yk Tương tự, ta có (α2 + β2 ∆)(α1 + β1 ∆)yk = α1 α2 yk + (α1 β2 + α2 β1 )∆yk + β1 β2 ∆2 yk Như cấp hai toán tử α1 + β1 ∆ α2 + β2 ∆ không phụ thuộc vào số α1 , α2 , β1 β2 Nếu f (r), phương trình (1.24) hàm đa thức bậc m, ta phân tích thành nhân tử dạng m Y f (r) = (r − r1 )(r − r2 ) (r − rm ) = (r − ri ) i=1 đó, phương trình (1.24) viết lại m Y f (∆)yk = (∆ − ri )yk (1.25) i=1 Tiếp theo, với p số nguyên bất kỳ, ta định nghĩa toán tử dịch chuyển E tác động lên yk sau E p yk = yk+p Các tính chất toán tử dịch chuyển E : i E p (c1 xk + c2 yk ) = c1 xk+p + c2 yk+p ii E p E q yk = E q E p yk = E p+q yk Q iii f (E)yk = m i=1 (E − ri )yk Mối quan hệ hai toán tử ∆ E, cho sau: i ∆yk = (E − 1)yk hay ∆ ≡ E − (1.26) 16 ii E ≡ + ∆ iii Nếu f (r) g(r) đa thức biến r f (E) = f (1 + ∆) g(∆) = g(E − 1) Định lý 1.3 yk+n = yk +n∆yk + ! n n(n − 1) ∆ yk + .+ 2! i ∆y yk + .+∆n yk (1.27) Chứng minh Ta có khai triển sau yk+n = E n yk = (1 + ∆)n yk = ! n X n i=0 i ∆i yk Như ta có điều phải chứng minh 1.5 Các tính chất tốn tử sai phân Gọi xk yk hàm số k, ta có số kết sau: a Sai phân tích Ta có ∆(xk yk ) = xk+1 ∆yk + yk ∆xk Thật vậy, ∆(xk yk ) = xk+1 yk+1 − xk yk (1.28) = xk+1 yk+1 − xk+1 yk + yk xk+1 − xk yk (1.29) = xk+1 (yk+1 − yk ) + yk (xk+1 − xk ) (1.30) = xk+1 ∆yk + yk ∆xk (1.31) 17 b Định lý Leibnitz cho sai phân Ta có cơng thức sau ! n ∆n (xk yk ) = xk ∆n yk + (∆xk )(∆n−1 )yk+1 + ! n + + (∆n xk )(yk+n ) n ! n (∆2 xk )(∆n−2 yk+2 ) (1.32) Chứng minh Sử dụng định nghĩa toán tử E1 E2 , tương ứng tác động lên xk yk ta nhận E1 (xk yk ) = xk+1 yk , E2 (xk yk ) = xk yk+1 , E1 E2 (xk yk ) = xk+1 yk+1 Do ta có E = E1 E2 Ta định nghĩa thêm toán tử ∆1 ∆2 thỏa mãn ∆1 = E1 − 1, ∆2 = E2 − Do ∆ = E − = E1 E2 − = (1 + ∆1 )E2 − = E2 + ∆1 E2 − = ∆2 + ∆1 E2 ∆n (xk yk ) = (∆2 + ∆1 E2 )n (xk yk ) Khai triển hạng tử (∆2 + ∆1 E2 )n ta " ! ! ! # n n n ∆n (xk yk )= ∆n2 + ∆n−1 ∆21 E22 + .+ ∆n1 E2n (xk yk ) ∆1 E2 + n ! ! n n = xk ∆n yk + (∆xk )(∆n−1 yk+1 ) + .+ (∆n xk )(yk+n ) n Đây kết trình bày phương trình (1.32) 18 c Sai phân thương Sai phân thương cho công thức sau   xk yk ∆xk − xk ∆yk ∆ = yk yk yk+1 Thật vậy, ta có  xk ∆ yk  xk+1 xk xk+1 yk − yk+1 xk − = yk+1 yk yk yk+1 (xk+1 − xk )yk − xk (yk+1 − yk ) = yk yk+1 yk ∆xk − xk ∆yk = yk yk+1 = d Sai phân tổng hữu hạn Đặt S k = y1 + y2 + y3 + + yk Do đó, Sk+1 = y1 + y2 + y3 + + yk + yk+1 ∆Sk = Sk+1 − Sk = yk+1 Ta minh họa tính chất số ví dụ sau Ví dụ 1.11 Với yk = ∀k, ∆1 = − = (1.33) Với yk = k, ∆k = (k + 1) − k = Với yk = k n , n số nguyên dương, ∆k n = (k + 1)n − k n ! n = nk n−1 + k n−2 + + n ! n−1 k +  ... dãy phương trình sai phân Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường quan hệ có dạng cho trước phương trình (1.1) Định nghĩa 1.2 Cấp phương trình sai phân hiệu số cao số thấp xuất phương trình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN... phương trình sai phân tài liệu [3] tài liệu tham khảo Bên cạnh ứng dụng mạnh mẽ phương trình sai phân nghiên cứu mơ hình phức tạp phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu giải toán chương trình